目录
1 微分中值定理 Fermat 引理,Rolle 中值定理,Lagrange 中值定理,Cauahy 中值定理, 微分 Darboux 定理, 凸集, 常微分方程初值问题解的唯一性 2 L’Hôpital 法则 L’Hôpital 法则及其推广, 极限计算的化简—“去核” 和 " 去皮 " 3 凸函数 凸 (凹) 函数,Jensen 不等式, 割线斜率与凸性, 凸性与连续性, 中点凸 (凹) 函数, 凸函数与一阶导数, 支撑线 (面), 凸性与二阶导数,Hesse 矩阵, 对偶数,Young 不等式, 离散 Hölder 不等式, 离散 Minkowski 不等式, 幂平均不等式, 调和平均 4 微分 Darboux 定理与比较定理 微分不等式, 常微分方程比较定理, 偏微分方程比较定理 5 Taylor 多项式与插值多项式 Taylor 多项式, 带 Peano 型余项的 Taylor 公式,Maclaurin 展开式,Taylor 展开式的唯一性, 带 Lagrange 型余项的 Taylor 公式,Lagrange 型插值多项式, 线性方程组解的线性可加性,Runge 现象, 插值多项式的误差估计, 插值多项式, 插值函数, 函数拟合, 广义中值定理 6 Taylor 展开式的计算及应用 Taylor 展开式计算的直接方法和间接方法, 利用 Taylor 展开式计算反函数的高阶导数, 利用 Taylor 展开式计算隐函数的高阶导数,Landau 不等式,Taylor 展开式在组合问题上的应用 微分中值定理
Fermat 引理,Rolle 中值定理,Lagrange 中值定理,Cauahy 中值定理, 微分 Darboux 定理, 凸集, 常微分方程初值问题解的唯一性 设一元实函数 f 在 [ a , b ] 上连续, 在 ( a , b ) 内可导, f ( a ) = f ( b ) = 0 . 证明:
•
存在 ξ ∈ ( a , b ) 使得 ξ 2 f ( ξ ) + + f ′ ( ξ ) = 0 .
证明. 令
F ( x ) = f ( x ) ⋅ exp ( 3 1 x 3 ) , 则
F ( 0 ) = F ( 1 ) , 由 Rolle 定理知
∃ ξ ∈ ( a , b ) 使得
F ′ ( ξ ) = exp ( 3 1 ξ 3 ) ( ξ 2 f ( ξ ) + f ′ ( ξ ) ) = 0 , 结论得证.
•
存在 ξ ∈ ( a , b ) 使得 f 2 ( ξ ) sin ξ + + f ′ ( ξ ) = 0 .
证明. 令
F ( x ) = f ( x ) ⋅ exp ( ∫ a x f ( t ) sin t d t ) . 仿 (1) 即可.
设实函数 f 在 [ a , b ] 上可导, f ( a ) = f ( b ) = 0 . 证明: 存在 ξ ∈ ( a , b ) 使得f 3 ( ξ ) + f ′ ( ξ ) = 0.
证明. 令
F ( x ) = f ( x ) ⋅ exp ( ∫ a x f 2 ( t ) d t ) , 则
F ( a ) = F ( b ) = 0 , 由 Rolle 定理知
∃ ξ ∈ ( a , b ) 使得
F ′ ( ξ ) = exp ( ∫ a ξ f ( t ) d t ) ( f 3 ( ξ ) + f ′ ( ξ ) ) = 0 , 从而得证.
设实函数
f 在
[ 0 , 1 ] 上连续, 在
( 0 , 1 ) 内二阶可导. 已知
f ( 0 ) = f ( 1 ) = 0 , f ( 2 1 ) = 4 1 . 证明: 存在
ξ ∈ ( 0 , 1 ) , 使得
f ′′ ( ξ ) = − 2 .
证明. 令
F ( x ) = f ( x ) + x 2 , 则
F ( 0 ) = 0 , F ( 1 ) = 1 , F ( 2 1 ) = 2 1 , 则由 Lagrange 中值定理知
∃ ξ 1 ∈ ( 0 , 2 1 ) , ξ 2 ∈ ( 2 1 , 1 ) 使得
F ′ ( ξ 1 ) = 1/2 − 0 F ( 1/2 ) − F ( 0 ) = 1 , F ′ ( ξ 2 ) = 1 − 1/2 F ( 1 ) − F ( 1/2 ) = 1 , 由 Rolle 定理知
∃ ξ ∈ ( ξ 1 , ξ 2 ) 使得
F ′′ ( ξ ) = f ′′ ( ξ ) + 2 = 0 . 得证.
设实函数
f 在
[ 0 , 1 ] 上有二阶导数, 且
f ( 0 ) = 1 , f ( 1 ) = 3 e , f ′ ( 1 ) = 5 e . 证明或证伪: 存在
ξ ∈ ( 0 , 1 ) 使得
f ′′ ( ξ ) − 2 f ′ ( ξ ) + f ( ξ ) = 0. 证明. 令
F ( x ) = e − x f ( x ) . 则
F ( 0 ) = 1 , F ( 1 ) = 3 , 由 Lagrange 中值定理知
∃ ξ 1 使得
F ′ ( ξ 1 ) = 1 − 0 F ( 1 ) − F ( 0 ) = 2 , 而易见
F ′ ( 1 ) = 2 , 从由 Rolle 定理
∃ ξ ∈ ( ξ 1 , 1 ) 使得
F ′′ ( ξ ) = e − ξ ( f ′′ ( ξ ) − 2 f ′ ( ξ ) + f ( ξ ) ) = 0 .
设一元实函数
f 在
[ 1 , 2 ] 上有二阶导数, 且
f ( 2 ) = 0 . 令
F ( x ) = ( x − 1 ) 2 f ( x ) , 证明: 存在
ξ ∈ ( 1 , 2 ) 使得
F ′′ ( ξ ) = 0. 证明. 易见
F ( 1 ) = F ( 2 ) = 0 , 由 Rolle 定理知
∃ ξ 1 ∈ ( a , b ) 使得
F ′ ( ξ 1 ) = 0 , 易见
F ′ ( 1 ) = 0 , 再次使用 Rolle 定理知
ξ ∈ ( ξ 1 , 1 ) 使得
F ′′ ( ξ ) = 0 .
设
δ > 0 . 在
( − δ , δ ) 内, 一元实函数
f 可微, 且满足
f ( x + y ) = 1 − f ( x ) f ( y ) f ( x ) + f ( y ) , ∀ x , y , x + y ∈ ( − δ , δ ) . 试求
f .
易见 f ( 0 ) = 0 , 方程两侧对 y 求导得到f ′ ( x + y ) = ( 1 − f ( x ) f ( y ) ) 2 f ′ ( y ) ( 1 − f ( x ) f ( y ) ) + f ( x ) f ′ ( y ) ( f ( x ) + f ( y ) ) , 记 a = f ′ ( 0 ) , 同时令 y = 0 得到f ′ ( x ) = a + a f 2 ( x ) , 容易解得 f ( x ) = tan a x .
设
a 1 = 2 , a 2 = 3 , a n + 2 = a n + 1 + l n a n 1 ( n ⩾ 1 ) . 证明:
lim n → + ∞ n a n l n a n 存在并求其值.
易见 { a n } 单增且无界. 设可微函数 f ( x ) 满足 f ( n ) = a n , 且 f ( x ) 单调递增. 同时设 F ( x ) = f ( x ) ln f ( x ) . 对于原极限, 由 Stolz 定理与 Lagrange 中值定理可得n → + ∞ lim n a n ln a n = n → + ∞ lim a n + 1 ln a n + 1 − a n ln a n = n → + ∞ lim F ( n + 1 ) − F ( n ) = n → + ∞ lim F ′ ( ξ n ) , 其中 ξ n ∈ ( n , n + 1 ) , 而 F ′ ( x ) = f ′ ( x ) ( ln f ( x ) + 1 ) , 结合 f ( x ) 单调性, 有f ′ ( ξ n ) ( ln a n + 1 ) ⩽ f ′ ( ξ n ) ( ln ξ n + 1 ) ⩽ f ′ ( ξ n ) ( ln a n + 1 + 1 ) . lim n → + ∞ n a n l n a n = 1.
设
ψ 是
( 0 , + ∞ ) 上局部有界的实值函数, 满足
ψ ( x y ) = ψ ( x ) + ψ ( y ) , ∀ x , y ∈ ( 0 , + ∞ ) . 试证明:
•
ψ 在 ( 0 , + ∞ ) 上某一点连续, 进而在 ( 0 , + ∞ ) 每一点连续.
•
对任何 x > 0 以及有理数 q , ψ ( x q ) = q ψ ( x ) .
•
对任何 x > 0 以及实数 y , ψ ( x y ) = y ψ ( x ) .
特别的, 对任何 x > 0 成立 ψ ( x ) = ψ ( e ) ln x .
若对任何 x , y ∈ R , R 上不恒为零的一元实函数 f 满足 f ( x + y ) = f ( x ) f ( y ) . 进一步, f 在 R 上局部有界, 证明: 存在常数 a 使得f ( x ) = a x , ∀ x ∈ R . 举例说明中值定理对于复值函数不成立. 设 f , g ∈ C [ a , b ] , g 严格单调. 证明: 存在 [ a 1 , b 1 ] ⊂ [ a , b ] 使得 b 1 − a 1 = 2 b − a , 且g ( b 1 ) − g ( a 1 ) f ( b 1 ) − f ( a 1 ) = g ( b ) − g ( a ) f ( b ) − f ( a ) .
证明. 记
m = 2 a + b , c = 2 b − a , 设
F ( x ) = g ( x + c ) − g ( x ) f ( x + c ) − f ( x ) − g ( b ) − g ( a ) f ( b ) − f ( a ) , x ∈ [ a , m ] , 注意到
g ( m ) − g ( a ) f ( m ) − f ( a ) ⋅ g ( b ) − g ( a ) g ( m ) − g ( a ) + g ( b ) − g ( m ) f ( b ) − f ( m ) ⋅ g ( b ) − g ( a ) g ( b ) − g ( m ) = g ( b ) − g ( a ) f ( b ) − f ( a ) , 并且
g ( b ) − g ( a ) g ( m ) − g ( a ) + g ( b ) − g ( a ) g ( b ) − g ( m ) = 1 , 结合题设可知
F ( a ) 与
F ( c ) 异号, 从而有结论得证.
若对任何 x , y ∈ R , R 上的一元复值函数 f 满足 f ( x + y ) = f ( x ) f ( y ) . 进一步, f 在 R 上局部有界. 试问, f 的解具有什么形式? 在上一题中, 假设 f 的取值为 n 阶方阵, 结论又如何? 设 f 在 ( a , b ) 内连续且右导数为 f + ′ ( x ) = x arctan x . 证明: f 在 ( a , b ) 内可导. 设实函数 f 在 [ 0 , + ∞ ) 上有二阶的连续导数, 满足 f ( 0 ) = f ′ ( 0 ) = 0 以及 f ′′ ( x ) + 3 f ′ ( x ) + 2 f ( x ) ⩾ 0 . 证明: f ( x ) ⩾ 0 ( ∀ x ∈ [ 0 , + ∞ ) ) . 设实函数 f 在区间 [ − 1 , 1 ] 上连续, 在 ( − 1 , 1 ) 内三阶可导. 证明: ξ ∈ ( − 1 , 1 ) 使得 f ′′′ ( ξ ) = 3 ( f ( 1 ) − f ( − 1 ) − 2 f ′ ( 0 ) ) .
证明. 令
F ( x ) = f ( x ) − ( 2 f ( 1 ) − f ( − 1 ) − 2 f ′ ( 0 ) ) x 3 + ( f ( 0 ) − 2 f ( − 1 ) + f ( 1 ) ) x 2 − f ′ ( 0 ) x 于是有
F ( − 1 ) = F ( 0 ) = F ( 1 ) = f ( 0 ) , 由 Rolle 定理可知
∃ ξ 1 ∈ ( − 1 , 0 ) , ∃ ξ 2 ∈ ( 0 , 1 ) 使得
F ′ ( ξ 1 ) = F ′ ( ξ 2 ) = 0 , 又有
F ′ ( 0 ) = 0 , 再次使用 Rolle 定理, 即
∃ ξ 3 ∈ ( ξ 1 , 0 ) 与
ξ 4 ∈ ( 0 , ξ 2 ) 使得
F ′′ ( ξ 3 ) = F ′′ ( ξ 4 ) = 0 , 依 Rolle 定理
∃ ξ ∈ ( ξ 3 , ξ 4 ) 使得
F ′′′ ( ξ ) = 0 . 结论得证.
设实函数
f 为
R 上的有界可微函数, 且对任何
x 均有
∣ f ′ ( x ) ∣ < 1. 证明: 存在
M < 1 使得对任何
x ∈ R 成立
∣ f ( x ) − f ( 0 ) ∣ ⩽ M ∣ x ∣ .
进一步, 是否存在常数 K < 1 , 使得对任何 x , y ∈ R , 均有 ∣ f ( x ) − f ( y ) ∣ < K ∣ x − y ∣ ?
证明. 由 Lagrange 中值定理, 有
∣ ∣ x − 0 f ( x ) − f ( 0 ) ∣ ∣ = ∣ f ′ ( ξ ) ∣ < M < 1 , ξ 介于 0 与 x 之间 , 由此知
∣ f ( x ) − f ( 0 ) ∣ < M ∣ x ∣ . 同理可知后者部分结论也成立.
设实函数
f 是
R 上的连续可导函数, 且
∀ x ∈ R , f ′ ( x ) > f ( f ( x ) ) . 证明:
∀ x ⩾ 0 , f ( f ( f ( x ) ) ) ⩽ 0 .
L’Hôpital 法则
L’Hôpital 法则及其推广, 极限计算的化简—“去核” 和 " 去皮 " 设 x 0 ∈ ( 0 , π ) , x n + 1 = sin x n ( n ⩾ 0 ) . 计算 lim n → + ∞ n sin x n .
易见 { x n } 大于零单调递减有下界, 取极限得 lim n → ∞ x n = 0 , 而n → ∞ lim n sin 2 x n 1 Stolz n → ∞ lim sin 2 x n sin 2 x n + 1 sin 2 x n − sin 2 x n + 1 = n → ∞ lim x n + 1 2 sin 2 x n + 1 x n + 1 2 − sin 2 x n + 1 = x → 0 lim x 2 sin 2 x ( x − sin x ) ( x + sin x ) = x → 0 lim x 4 1/6 ⋅ x 3 ⋅ 2 x = 3 1 . 从而 lim n → + ∞ n sin x n = 3 .
计算
lim x → 0 ( x a r c s i n x ) 1/ x 2 .
由于x → 0 lim x 2 ln ( x arcsin x ) = x → 0 lim x 3 arcsin x − x = 6 1 . 从而 lim x → 0 ( x a r c s i n x ) 1/ x 2 = exp ( 6 1 ) .
计算
lim x → + ∞ ( ( x 3 − x 2 + 2 x ) e 1/ x − x 6 + x ) .
令 t = x 1 , 则原极限变为t → 0 + lim t 3 e t ( 1 − t + 2 1 t 2 ) − 1 + t 5 L’H o ˆ pital t → 0 + lim 3 t 2 2 1 t 2 e t − 2 1 + t 5 5 t 4 = 6 1 .
计算:
•
lim x → 0 x 2 a r c t a n ( s i n x ) − a r c t a n ( l n ( 1 + x )) .
注意到 lim x → 0 x 2 s i n x − l n ( 1 + x ) L’H o ˆ pital 2 1 , 于是有= = x → 0 lim x 2 arctan ( sin x ) − arctan ( ln ( 1 + x )) x → 0 lim sin x − ln ( 1 + x ) arctan ( sin x ) − arctan ( ln ( 1 + x )) ⋅ x 2 sin x − ln ( 1 + x ) 2 1 x → 0 lim ( arctan x ) ′ = 2 1 .
•
lim x → 0 x 3 ( 1 + t a n x ) 3/2 − ( 1 + x ) 3/2 .
注意到 lim x → 0 x 3 t a n x − x L’H o ˆ pital = 3 1 , 于是有= x → 0 lim x 3 ( 1 + tan x ) 3/2 − ( 1 + x ) 3/2 = x → 0 lim tan x − x ( 1 + tan x ) 3/2 − ( 1 + x ) 3/2 ⋅ x 3 tan x − x 3 1 x → 0 lim ( ( 1 + x ) 3/2 ) ′ = 2 1 .
•
lim x → 0 ( l n ( x + 1 + x 2 ) 1 − l n ( 1 + x ) 1 ) .
记 F ( x ) = ln ( 1 + x ) , φ ( x ) = x , ψ ( x ) = x + 1 + x 2 − 1 , 注意到x → 0 lim F ′ ( x ) = 1 , x → 0 lim x φ ( x ) = x → 0 lim x ψ ( x ) = 1 , 以及x → 0 lim x 2 φ ( x ) − ψ ( x ) = x → 0 lim x 2 1 − 1 + x 2 L’H o ˆ pital − 2 1 x → 0 lim x 2 φ ( x ) ψ ( x ) = x → 0 lim x φ ( x ) ⋅ x → 0 lim x ψ ( x ) = 1. 从而= x → 0 lim ( ln ( x + 1 + x 2 ) 1 − ln ( 1 + x ) 1 ) = x → 0 lim ln ( x + 1 + x 2 ) ⋅ ln ( 1 + x ) ln ( 1 + x ) − ln ( x + 1 + x 2 ) x → 0 lim x 2 ln ( 1 + x ) − ln ( x + 1 + x 2 ) = − 2 1 .
•
lim x → 0 x 2 ( 1 + x + 1 x ) ( 1 + x ) / x − ( 1 + t a n x ) 1/ t a n x .
设 F ( x ) = ( 1 + x ) 1/ x , 注意到x → 0 lim x 2 x + 1 x − tan x = x → 0 lim x 2 x − ( x + 1 ) tan x L’H o ˆ pital − 1 , 以及x → 0 lim F ′ ( x ) = e x → 0 lim x 2 x − ( 1 + x ) ln ( 1 + x ) L’H o ˆ pital − 2 e . 于是= x → 0 lim x 2 ( 1 + x + 1 x ) ( 1 + x ) / x − ( 1 + tan x ) 1/ t a n x x → 0 lim x + 1 x − tan x ( 1 + x + 1 x ) ( 1 + x ) / x − ( 1 + tan x ) 1/ t a n x ⋅ x 2 x + 1 x − tan x = 2 e .
设 f 在 [ a , b ] 上两阶可导, 且满足 ∣ f ′′ ( x ) ∣ ⩽ M ∣ f ( x ) ∣ , f ( a ) = f ′ ( a ) = 0 , 其中 M 是一个常数, 证明 f ( x ) ≡ 0 .
证明. 97 页
反证法. 若
∃ x 0 ∈ ( a , b ] 使得
f ( x 0 ) = 0 , 不妨设
f ( x 0 ) > 0 , 记
c = sup { x ∈ [ a , x 0 ] ∣ ∣ f ( x ) ⩽ 0 } , 则
c 适定, 且
c ∈ [ a , x 0 ) , f ( c ) = 0 ,
f ( x ) > 0 , ∀ x ∈ ( c , x 0 ) . 在
( c , x 0 ) 内, 有
f ( x ) f ′ ( x ) ⩽ M , 即
( ln f ( x ) ) ′ ⩽ M , ∀ x ∈ ( c , x 0 ) , 所以由中值定理可得
x 0 − c ln f ( x 0 ) − ln f ( x ) ⩽ M , ∀ x ∈ ( c , x 0 ) . 在上式中令
x → c + , 并注意到
f ( c ) = 0 得到
+ ∞ ⩽ M . 矛盾, 所以
f ( x ) ≡ 0 .
设
f 在
[ 0 , + ∞ ) 可导, 且
f ′ ( x ) 在
( 0 , + ∞ ) 上一致连续,
lim x → + ∞ f ( x ) 存在. 证明
lim x → + ∞ f ′ ( x ) = 0. 设
f 在
R 上连续可微, 且
f ( x + 1 ) − f ( x ) = f ′ ( x ) ( ∀ x ∈ R ) ,
lim x → + ∞ f ′ ( x ) = c . 证明
f ′ ( x ) ≡ c .
证明. 反证法. 设有 ξ 0 使得 f ′ ( ξ 0 ) = c , 则f ( ξ 0 + 1 ) − f ( ξ 0 ) = f ′ ( ξ 0 ) , 由 Lagrange 中值定理可知 ∃ ξ 1 ∈ ( ξ 0 , ξ 0 + 1 ) 使得f ′ ( ξ 0 ) = f ( ξ 0 + 1 ) − f ( ξ 0 ) = f ′ ( ξ 1 ) , 则 f ( ξ 1 + 1 ) − f ( ξ 1 ) = f ′ ( ξ 1 ) 又由 Lagrange 中值定理知 ∃ ξ 2 ∈ ( ξ 1 , ξ 1 + 1 ) 使得f ′ ( ξ 0 ) = f ( ξ 1 + 1 ) − f ( ξ 1 ) = f ′ ( ξ 2 ) , 重复这个操作得到 { ξ n } 使得 f ′ ( ξ n ) = f ′ ( ξ 0 ) ( n = 0 , 1 , 2 ⋯ ) , 设集合 E 为全体导数值等于 f ′ ( ξ 0 ) 的坐标全体, 即E = { ξ ∣ ∣ f ′ ( ξ ) = f ′ ( ξ 0 )} , 由上面的信息可见 E 为无限集.
若 E 无界, 则与题设 lim x → + ∞ f ′ ( x ) = c . 矛盾. 下证 E 必无界.
事实上, 若
E 有界, 则必有上确界, 记
sup ξ ∈ E ξ = M , 从
E 中选取一子列
{ ξ n ′ } 使其收敛于
M , 结合
f ( x ) 的连续性有
f ′ ( ξ 0 ) = n → ∞ lim [ f ( ξ n ′ + 1 ) − f ( ξ n ′ ) ] = f ( M + 1 ) − f ( M ) , 由 Lagrange 中值定理可知
∃ ξ ′ ∈ ( M , M + 1 ) 使得
f ′ ( ξ ′ ) = f ′ ( ξ 0 ) , 即
ξ ′ ∈ E 并且
ξ ′ > M , 矛盾. 进而
E 无界.
设 x ∈ ( 0 , 1 ) , p > 0 , 试考察级数( sin x ) p − ( sin ( sin x ) ) p + ( sin ( sin ( sin x ) ) ) p − ( sin ( sin ( sin ( sin x ) ) ) ) p + ⋯ 的收敛性 (含绝对收敛性).
记 a 0 = x , a n + 1 = sin a n ( n ⩾ 1 ) , 于是原级数即为 ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n + 1 a n , 参考 6.2A 可知 { a n p } 单调递减趋于零, 由 Leibniz 判别法可知原级数收敛.
并且由 lim n → + ∞ n sin a n = 3 可知 a n ∼ n 3 , 即 a n p ∼ ( n 3 ) p /2 , 从而 p > 2 时原级数绝对收敛.
设
n ⩾ 1 , P 为
n 阶实系数多项式, 则对于
R 上任何
n 次可导的实函数
f ,
lim x → + ∞ P ( D ) f ( x ) = 0 均蕴涵
lim x → + ∞ f ( x ) = 0 的充要条件是
P 的所有零点都有负实部.
设
f 在
[ 1 , + ∞ ) 上连续, 在
( 1 , + ∞ ) 上可导, 且
e x 2 f ′ ( x ) 在
( 1 , + ∞ ) 上有界, 则在什么条件下可得
x e x 2 f ( x ) 在
[ 1 , + ∞ ) 上有界?
设实函数
f 在
R 上有界, 可导且
∣ f ′ ( x ) ∣ < 1 ( ∀ x ∈ R ) , 又设
x 0 ∈ R , x n + 1 = f ( x n ) ( n ⩾ 0 ) , 证明
{ x n } 收敛.
证明. 设 max { ∣ f ( x ) ∣ , ∣ x 0 ∣ } ⩽ M . 考虑 F ( x ) = x − f ( x ) , 由于 F ( − M ) = − M − f ( − M ) ⩽ 0 , 而 F ( M ) = M − f ( M ) ⩾ 0 , 从而有 x ∗ ∈ [ − M , M ] 使得 F ( x ∗ ) = 0 . 下面说明, 这样的 x ∗ 是唯一的, 事实上由于 ∣ f ′ ( x ) ∣ < 1 , 由 Lagrange 中值定理, 对任意 x < y , 存在 ξ ∈ ( x , y ) 使得∣ f ( x ) − f ( y ) ∣ = ∣ f ′ ( ξ ) ∣∣ x − y ∣ < ∣ x − y ∣ , 若还有 x ′ = x ∗ 使得 F ( x ′ ) = 0 , 则有 ∣ f ( x ∗ ) − f ( x ′ ) ∣ = ∣ x ∗ − x ′ ∣ 矛盾.
再证
{ x n } 收敛到
x ∗ , 由于
∣ x n + 1 − x ∗ ∣ = ∣ f ( x n ) − f ( x ∗ ) ∣ < ∣ x n − x ∗ ∣ , 从而
{ ∣ x n − x ∗ ∣ } 单调递减, 设其极限为
A , 则
{ x n } 必存在子列收敛到
x ∗ ± A . 不妨设
{ x n } 本身收敛到
x ∗ + A , 则
x n + 1 = f ( x n ) 收敛到
f ( x ∗ + A ) , 也即
x ∗ + A = f ( x ∗ + A ) , 则
F ( x ∗ + A ) = 0 , 由上述知
A 只能为 0. 从而
{ x n } 收敛.
设实函数
f 在
R 上可导且
∣ f ′ ( x ) ∣ < 1 ( ∀ x ∈ R ) , 又设
x 0 ∈ R , x n + 1 = f ( x n ) ( n ⩾ 0 ) , 证明
{ x n } 收敛或举例说明
{ x n } 可能发散.
{ x n } 可能发散. 设f ( x ) = ⎩ ⎨ ⎧ x + x 1 , 2 , − x − x 1 , x ⩾ 1 , − 1 < x < 1 , x ⩽ − 1 取 x 0 = 1 易见 { x n } 发散.
设
F : R n → R n 是可微的有界函数,
∥ F x ( x ) ∥ < 1 ( ∀ x ∈ R n ) , 又设
x 0 ∈ R n , x k + 1 = F ( x k ) ( k ⩾ 0 ) , 证明
{ x k } 收敛.
证明. 设 max { ∥ F ( x ) ∥ , ∥ x ∥ } ⩽ M . 考虑 G ( x ) = x − F ( x ) 在 [ − M , M ] n 上的结果. 对于 x ∈ R n , 我们称 x ⩽ 0 为 x 的所有分量小于等于 0 ; x ⩾ 0 为 x 的所有分量大于等于 0 . 记 M 为所有分量均为 M 的向量, 则 G ( − M ) ⩽ 0 而 G ( M ) ⩾ 0 , 由于 [ − M , M ] n 道路连通并且 G 连续, 从而有 x ∗ ∈ [ − M , M ] n 使得 G ( x ∗ ) = 0 .
下面说明这样的
x ∗ 是唯一的, 事实上由于
∥ F x ( x ) ∥ < 1 , 由中值定理, 对任意
x , y , 存在
ξ 使得
∥ F ( x ) − F ( y ) ∥ = ∥ F x ( x ) ∥ ∥ x − y ∥ < ∥ x − y ∥ , 若还有
x ′ = x ∗ 使得
G ( x ′ ) = 0 , 则有
∥ F ( x ∗ ) − F ( x ′ ) ∥ = ∥ x ∗ − x ∗ ∥ 矛盾. 其余部分参考第 4 题.
凸函数
凸 (凹) 函数,Jensen 不等式, 割线斜率与凸性, 凸性与连续性, 中点凸 (凹) 函数, 凸函数与一阶导数, 支撑线 (面), 凸性与二阶导数,Hesse 矩阵, 对偶数,Young 不等式, 离散 Hölder 不等式, 离散 Minkowski 不等式, 幂平均不等式, 调和平均 C61 设 E ⊆ R n 为凸集, 称 f : E → R 为 E 上的凸函数 , 如果对于任何 α ∈ ( 0 , 1 ) 以及 x , y ∈ E , 成立f ( α x + ( 1 − α ) y ) ⩽ α f ( x ) + ( 1 − α ) f ( y ) . 若当 x = y 时上式中的严格不等式成立, 则称 f 为严格凸函数 . 称 f 为 (严格) 凹函数 如果 − f 是 (严格) 凸函数.
C62 设 E ⊆ R n 为凸集, 称 f : E → R 为 E 上的凸函数 , 如果对于任何 m ⩾ 2 , x 1 , x 2 , ⋯ , x m ∈ E 以及满足 α 1 + α 2 + ⋯ + α m = 1 的 α 1 , α 2 , ⋯ , α m ⩾ 0 成立f ( k = 1 ∑ m α k x k ) ⩽ k = 1 ∑ m α k f ( x k ) .
C63 设 f 为区间 ( a , b ) 内的实连续函数. 则有
•
f (严格) 凸当且仅当 f + ′ 在 ( a , b ) 内存在且 (严格) 单增.
•
f 凸当且仅当 f + ′ 在 ( a , b ) 内存在, 且对任何 x 0 ∈ ( a , b ) , 成立f ( x ) ⩾ f ( x 0 ) + f + ′ ( x 0 ) ( x − x 0 ) , ∀ x ∈ ( a , b ) .
而 f 严格凸当且仅当 f + ′ 在 ( a , b ) 内存在, 且对任何 x 0 ∈ ( a , b ) 以及 x = x 0 , 上式中严格不等式成立.
•
f (严格) 凸当且仅当 f − ′ 在 ( a , b ) 内存在, 且 f − ′ (严格) 单增.
•
f 凸当且仅当 f − ′ 在 ( a , b ) 内存在, 且对任何 x 0 ∈ ( a , b ) , 成立f ( x ) ⩾ f ( x 0 ) + f − ′ ( x 0 ) ( x − x 0 ) , ∀ x ∈ ( a , b ) .
而 f 严格凸当且仅当 f − ′ 在 ( a , b ) 内存在, 且对任何 x 0 ∈ ( a , b ) 以及 x = x 0 , 上式中严格不等式成立.
•
若 f 可导, 则 f (严格) 凸当且仅当 f ′ (严格) 单增.
•
若 f 可导, 则 f 凸当且仅当曲线在切线之上 , 即对任何 x 0 ∈ ( a , b ) , 成立f ( x ) ⩾ f ( x 0 ) + f − ′ ( x 0 ) ( x − x 0 ) , ∀ x ∈ ( a , b ) . 而 f 严格凸当且仅当对任何 x 0 ∈ ( a , b ) 以及 x = x 0 , 上式中严格不等式成立.
C64 设 f 为区间 ( a , b ) 内二阶可导函数, 则 f 为凸函数当且仅当 f ′′ 非负, 进一步, 若 f ′′ 恒正, 则 f 严格凸.
设 E ⊆ R n 为凸集. 证明 f : E → R 为凸函数当且仅当集合 {( x , y ) ∣ y ⩾ f ( x , x ∈ E )} 为凸集.
设区间
I 上的实函数
f 在某一点
x 0 ∈ I 的附近有界, 且
f 为
I 上的中点凸函数. 尝试按以下步骤证明
f 为
I 上的凸函数:
•
证明 f 在 I 上的任何有界闭子区间上有界.
•
证明 f 在 I 的内点连续.
•
证明 f 为 I 上的凸函数.
直接利用中值定理, 证明定理
?? 的 (v)—(vi) 以及定理
?? . 设
0 < a < b , f 在
[ 0 , b ] 上连续可导, 在
[ 0 , a ] 上为凸函数, 在
[ a , b ] 上为凸函数,
f ′ ( 0 ) > f ′ ( b ) . 证明: 存在正整数
n 0 , 使得对任何
n ⩾ n 0 , 以及满足
a 1 + a 2 + ⋯ + a n = b 的非负数列
a 1 , a 2 , ⋯ , a n , 成立
f ( a 1 ) + f ( a 2 ) + ⋯ + f ( a n ) ⩽ n f ( n b ) . 设
a , b , c 为满足
a + b + c = 1 的非负实数, 求证:
•
1 + a 3 a + 1 + b 3 b + 1 + c 3 c ⩽ 28 27 .
证明. 设
f ( x ) = 1 + x 3 x ( x ∈ [ 0 , 1 ]) , 由
f ′′ ( x ) < 0 克制
f ( x ) 在给定定义域内是凹函数, 从而
3 1 ( f ( a ) + f ( b ) + f ( c ) ) ⩽ f ( 3 a + b + c ) , 即为题设不等式.
•
1 + a 2 a + 1 + b 2 b + 1 + c 2 c ⩽ 10 9 .
证明. 设
f ( x ) = 1 + x 2 x , 同 (1) 可证.
•
1 + a 2 1 + 1 + b 2 1 + 1 + c 2 1 ⩽ 10 27 .
证明. 设
f ( x ) = 1 + x 2 1 , 同 (2) 可证.
•
1 + a 2 1 + 1 + b 2 1 + 1 + c 2 1 ⩽ 10 9 .
证明. 设
f ( x ) = 1 + x 2 1 , 同 (3) 可证.
设 a < b < c < d , f 在 [ a , c ] 和 [ b , d ] 上为凸函数, 证明 f 在 [ a , d ] 上为凸函数.
证明. 由于去除凸函数在端点处的值不会影响函数的凸性, 我们下证 f 在 ( a , c ) 和 ( b , d ) 上为凸函数, 则 f 在 ( a , d ) 上也为凸函数.
首先, f 在 ( a , c ) 与 ( b , d ) 上的凸性蕴含其连续性, 因此 f 在 ( a , b ) 内连续.
我们只需证明对任何 ε ∈ ( 0 , 4 b − c ) , f 在 ( a + ε , d − ε ) 内为凸函数. 任取 α ∈ ( 0 , 4 ε ) , 定义f α = α 2 1 ∫ x x + α d t ∫ t t + α f ( s ) d s , x ∈ ( a + ε , d − ε ) . 则 f α 有连续的二阶导数, 且 lim α → 0 + f α ( x ) = f ( x ) .
进一步,
f α 在
( a + ε , c − ε ) 和
( b + ε , d − ε ) 内分别为凸函数. 因此, 注意到
c − ε > b + ε ,
f α ′′ ( x ) ⩾ 0 , ∀ x ∈ ( a + ε , d − ε ) . 所以
f α ( x ) 是
( a + ε , d − ε ) 内的凸函数. 从而
f α ( x ) ( s x + ( 1 − s ) y ) ⩽ s f α ( x ) + ( 1 − s ) f α ( y ) , ∀ s ∈ ( 0 , 1 ) , x , y ∈ ( a + ε , d − ε ) . 令
α → 0 + 即得
f ( x ) ( s x + ( 1 − s ) y ) ⩽ s f ( x ) + ( 1 − s ) f ( y ) , ∀ s ∈ ( 0 , 1 ) , x , y ∈ ( a + ε , d − ε ) . 所以
f 是
( a + ε , d − ε ) 内的凸函数, 即是
( a , d ) 上的凸函数, 进一步,
f 是
[ a . d ] 上的凸函数.
设
f 为区间
I 上的凸函数. 若
x , y , s , t ∈ I 满足
x < s 且
y < t , 进一步,
x ⩽ y 且
s ⩽ t , 证明:
s − x f ( s ) − f ( x ) ⩽ t − y f ( t ) − f ( y ) (如图
1 ).
设 α < 1 , 且正项级数 ∑ i = 1 ∞ a n 收敛, 证明 ∑ i = 1 ∞ M α ( a 1 , a 2 , ⋯ , a n ) 收敛.
设凸区域
Ω 内的凸函数
f 在点
x 0 的偏导数都存在, 证明
f 在点
x 0 可微.
设
E ∈ R n 为非空凸闭集,
x 0 ∈ / E . 证明存在唯一的
x ∈ E 使得
∣ x − x 0 ∣ = inf y ∈ E ∣ y − x 0 ∣ (如图). 进一步, 对任何
y ∈ E ,
[ 0 , 1 ] 上的函数
F ( α ) = ∣ x + α ( y − x ) − x 0 ∣ 2 在点
0 取得最小值, 以此证明
x 是如下不等式的唯一解:
⟨ x 0 − x , y − x ⟩ ⩽ 0 , ∀ y ∈ E . 设
E ⊂ R n 为非空凸闭集,
x 0 ∈ ∂ E . 证明存在一列
E 外的点列
{ x k } 收敛于
x 0 .
设
E ⊂ R 为非空凸闭集,
x 0 ∈ ∂ E . 证明存在非零向量
μ 使得
⟨ μ , x − x 0 ⟩ ⩽ 0 , ∀ x 0 ∈ E , 平面
⟨ μ , x − x 0 ⟩ 称为
E 在点
x 0 的支撑面. 设
f 是区域
Ω ∈ R n 中的凸函数. 证明
f 的
上镜集 E = {( x , y ) ∣ ∣ y ⩾ f ( x ) , x ∈ Ω } 为凸集. 进一步, 证明
E 也是凸集.
任取 x 0 ∈ Ω , 设 ⟨ μ , x − x 0 ⟩ + ⟨ γ , y − f ( x 0 ) ⟩ = 0 为 E 在点 ( x 0 , f ( x 0 ) ) 处的支撑面. 证明 γ < 0 且f ( x ) ⩾ f ( x 0 ) − γ 1 μ ⋅ ( x − x 0 ) , ∀ x ∈ Ω . 试构造严格凸函数 f ∈ C 2 ( R ) 使得 ∣ f ( x ) ∣ < ∣ x ∣ + 1 ( ∀ x ∈ R ) . 设 φ 为区间 I 上值域为 I 的严格单调函数, n ⩾ 2 . 对于 a 1 , a 2 , ⋯ , a n , 定义F ( a 1 , a 2 , ⋯ , a n ) = φ − 1 ( n 1 k = 1 ∑ n φ ( a k ) ) . 试对一些具体的 φ 考察 F 的性质. 设 f n ( x ) = 1 + 1 ! x + 2 ! x 2 + ⋯ + n ! x n , 证明:
•
当 n 为偶数时, f n ( x ) 在实轴上有正的最小值.
•
当 n 为奇数时, f n ( x ) 有且仅有一个实根.
证明. 由 e x 的 Taylor 展开知e x = f n ( x ) + R n ( x ) , R n ( x ) = ( n + 1 )! e θ x , 0 < θ < 1.
(1) 当 n 为偶数时, n + 1 为奇数. 由 e x > 0 知, f n ( x ) > − R n ( x ) . 当 x ⩾ 0 时, P n ( x ) ⩾ 1 > 0 , 当 x < 0 时, 则f n ( x ) > − R n ( x ) = − ( n + 1 )! e θ x x n + 1 = ( n + 1 )! e θ x ( − x ) n + 1 > 0 , 因此, n 为偶数时, 对任何 x , f n ( x ) > 0 , 即 f n ( x ) 有下界, 则必有下确界, 即为最小值.
(2) 当
n 为奇数时,
n − 1 为偶数, 由 (1) 知
f n ′ ( x ) = f n − 1 ( x ) > 0 .
f n ( x ) 在
R 上严格单调递增, 由于
lim x → − ∞ f n ( x ) = − ∞ , f n ( 0 ) = 1 > 0 , 知
f n ( x ) 由唯一的实零点.
设
f 为
R 上实函数,
E 为
f 的左连续但不连续点的全体. 证明
E 至多可列. 设
f 为区间
( a , b ) 上的实函数, 满足
∀ x ∈ ( a , b ) , lim y → x f ( y ) 存在. 设
E 为
f 的不连续点全体. 证明
E 至多可列. 设
a m > 0 , a 0 , a 1 , ⋯ , a m − 1 ∈ R ,
g ( x ) = a m x m + a m − 1 x m − 1 + ⋯ + a 1 x + a 0 . 定义
G ( x ) = ( g ( x ) ) 2 − g ′ ( x ) . 证明: 若
g 有
m 个不相同的实零点, 则
•
当 m 为正奇数时, G 有且仅有 m + 1 个实零点.
•
当 m 为正偶数时, G 有且仅有 m 个实零点.
证明. 设 g 的 m 个实零点分别为 x 1 , x 2 , ⋯ , x m , 并且 x i < x i + 1 ( i = 1 , 2 , ⋯ , m − 1 ) . 于是g = a m ( x − x 1 ) ( x − x 2 ) ⋯ ( x − x m ) , 易得 g ′ ( x ) = a m ∑ k = 1 m ∏ i = 1 , i = k m ( x − x i ) . 于是G ( x ) = a m 2 k = 1 ∏ m ( x − x k ) 2 − a m k = 1 ∑ m i = 1 , i = k ∏ m ( x − x i ) = a m 2 x 2 m + P ( x ) , 其中 P ( x ) 是一次数低于 2 m 的实系数多项式.
(1) 若 m 为正奇数, 易见G ( x 1 ) < 0 , G ( x 2 ) > 0 , G ( x 3 ) < 0 , ⋯ , G ( x m ) < 0 , 即 ( − 1 ) k G ( x k ) > 0 . G ( x ) 连续, 由介值定理知存在 ξ k ∈ ( x k , x k + 1 ) ( k = 1 , 2 , ⋯ m − 1 ) 使得 G ( ξ k ) = 0 . 注意到G ( x ) → + ∞ , x → ∞ , 故存在充分大的正数 A 满足 A > x m 且 − A < x 1 使得 ∣ x ∣ > A − 1 时 G ( x ) > 0 . 于是 G ( A ) > 0 , G ( − A ) > 0 . 从而有 ξ 0 ∈ ( − A , x 1 ) , ξ m ∈ ( x m , A ) 使得 G ( ξ 0 ) = G ( ξ m ) = 0 . 这便得到了 G ( x ) 的 m + 1 个实零点. 若除诸 ξ k ( k = 0 , 1 , ⋯ m ) 之外, G ( x ) 还有其他实零点.
(2) 若
m 为正偶数, 同理可得
G ( x 1 ) > 0 , G ( x 2 ) > 0 , ⋯ , G ( x m ) > 0 , 即
( − 1 ) k G ( x k ) < 0 . 同理有
ξ k ∈ ( x k , x k + 1 ) ( k = 1 , 2 , ⋯ , m − 1 ) 使得
G ( ξ k ) = 0 , 也存在
A > x m 使得
G ( A ) > 0 , 从而有
ξ m ∈ ( x m , A ) 使得
G ( ξ m ) = 0 , 这便得到了
G ( x ) 的
m 个实零点. 若除诸
ξ k ( k = 1 , 2 , ⋯ , m ) 之外,
G ( x ) 还有其他实零点.
对于区间
( a , b ) 内的实函数
f , 定义
F ( x ) = y → x lim y − x f ( y ) − f ( x ) , 这里
F ( x ) 的取值可以是
± ∞ . 依次证明:
•
若 F ( x ) > 0 ( ∀ x ∈ ( a , b )) , 则 f 在 ( a , b ) 内严格单调增加.
•
若 F ( x ) ⩾ 0 ( ∀ x ∈ ( a , b )) , 则 f 在 ( a , b ) 内单调增加.
计算 inf x ∈ ( 0 , π /2 ) x − s i n x t a n x − x .
提示: 求使得以下不等式成立的 α :tan x + α sin x ⩾ ( 1 + α ) x , ∀ x ∈ ( 0 , 2 π ) .
设
f 在
( a , b ) 内连续, 且对任何
x ∈ ( a , b ) ,
F ( x ) = h → 0 lim h 2 f ( x + h ) + f ( x − h ) − 2 f ( x ) 存在. 证明:
f 在
( a , b ) 内凸当且仅当
F ⩾ 0 . 设
f 在
( a , b ) 内连续. 定义
F ( x ) = h → 0 lim h 2 f ( x + h ) + f ( x − h ) − 2 f ( x ) . 证明或证伪:
f 在
( a , b ) 内凸当且仅当
F ⩾ 0 , 这里
F 取值也有可能为
+ ∞ . 试在上述练习基础上, 进一步考察各种 " 广义 " 导数, " 广义 " 两阶导数 (包括左导数右导数等) 与函数单调性, 凹凸性之间的关系.
微分 Darboux 定理与比较定理
微分不等式, 常微分方程比较定理, 偏微分方程比较定理 C64 设 y 在 [ a , b ] 上二阶可导, g 为 [ a , b ] 上的非负函数, f 为 R 上的连续函数, 满足 y ( a ) ⩽ 0 , y ( b ) ⩽ 0 ,y ′′ ( x ) = f ( y ( x )) + g ( x ) , ∀ x ∈ [ a , b ] , y f ( y ) ⩾ 0 , ∀ y ∈ R . 则 y ( x ) ⩽ 0 , ( ∀ x ∈ [ a , b ]) .
设 f 是 ( a , + ∞ ) 中的实函数, f ( a + ) 与 f ( + ∞ ) 存在且相等. 证明: 若 f 有三阶导数, 则存在 ξ ∈ ( a , + ∞ ) 使得 f ′′′ ( ξ ) = 0 . 设实函数 f 是 [ a , + ∞ ) 上有界的可微函数, ∣ f ′ ∣ 单调. 证明:lim x → + ∞ x f ′ ( x ) = 0.
证明. 由 Darboux 定理可知
∣ f ′ ∣ 的单调性蕴涵
f ′ 的保号性. 不妨设
f ′ 非负, 此时
f ′ 必然单调减少. 否则
f ′ 单调增加, 且有
x 2 > x 1 ⩾ a 使得
f ′ ( x 2 ) > f ′ ( x 1 ) ⩾ 0 . 由中值定理, 当
x > x 2 时,
f ( x ) − f ( x 2 ) = f ′ ( x 2 + θ ( x − x 2 ) ) ( x − x 2 ) ⩾ f ′ ( x 2 ) ( x − x 2 ) , 其中
θ ∈ ( 0 , 1 ) 与
x 有关. 从而
lim x → + ∞ f ( x ) = + ∞ . 这与题设矛盾. 于是
f ′ 非负且单调减少. 由中值定理,
2 ( f ( x ) − f ( 2 x ) ) = f ′ ( 2 x + α 2 x ) x ⩾ f ′ ( x ) x ⩾ 0 , 其中
α ∈ ( 0 , 1 ) 为与
x 有关的一个数. 由于
f 有界, 而由
f ′ 非负知
f 单调增加, 所以
lim x → + ∞ f ( x ) 存在. 于是由夹逼准则得
lim x → + ∞ x f ′ ( x ) = 0. 设一元实函数
f 在
[ a , b ] 上连续, 在
( a , b ) 内可导,
ab > 0 . 证明
ξ ∈ ( a , b ) 使得
a − b a f ( b ) − b f ( a ) = f ( ξ ) − ξ f ′ ( ξ ) . 设一元实函数
f 在
[ a , b ] 可微,
f ′ ( a ) = f ′ ( b ) . 证明: 存在
ξ ∈ ( a , b ) 使得
f ′ ( ξ ) = ξ − a f ( ξ ) − f ( a ) . 证明. 不妨设
a = 0 , f ( a ) = 0 , 若结论不真, 则成立
f ′ ( x ) > x f ( x ) , x ∈ ( 0 , b ) 或
f ′ ( x ) < x f ( x ) , x ∈ ( 0 , b ) . 不妨设前者成立, 于是
( x f ( x ) ) ′ = x 2 x f ′ ( x ) − f ( x ) > 0 , 取
0 < α < β < b , 则对任意
x ∈ ( 0 , b ) , y ∈ ( β , b ) 有
x f ( x ) < α f ( α ) < β f ( β ) < y f ( y ) < f ′ ( y ) , 于是令
x → 0 + , y → b − 有
f ′ ( a ) = f ′ ( b ) 矛盾.
设一元实函数
f 在
[ 0 , 1 ] 上连续, 在
( 0 , 1 ) 内可导,
f ( 0 ) = 0 , f ( 1 ) = 1 . 证明存在两两不同的
α , β , γ ∈ ( 0 , 1 ) 使得
f ′ ( α ) 1 + f ′ ( β ) 1 + f ′ ( γ ) 1 = 3. 证明. 由中值定理, ∃ α ∈ ( 0 , 1 ) 使得 f ′ ( α ) = 1 − 0 f ( 1 ) − f ( 0 ) = 1 .
•
f ( α ) = α , 则由中值定理, 存在 β ∈ ( 0 , α ) , γ ∈ ( α , 1 ) 使得f ′ ( β ) = α − 0 f ( α ) − f ( 0 ) = 1 , f ′ ( γ ) = 1 − α f ( 1 ) − f ( α ) = 1. 此时结论成立.
•
f ( α ) < α , 则存在 η ∈ ( 0 , α ) , ζ ∈ ( α , 1 ) 使得f ′ ( η ) = α − 0 f ( α ) − f ( 0 ) < 1 , f ′ ( ζ ) = 1 − α f ( 1 ) − f ( α ) > 1. 于是有 ε > 0 使得f ′ ( η ) < 1 + ε 1 < 1 < 1 − ε 1 < f ′ ( ζ ) . 由 Darboux 定理, ∃ β ∈ ( η , α ) 以及 γ ∈ ( α , ζ ) 使得f ′ ( β ) = 1 + ε 1 , f ′ ( γ ) = 1 − ε 1 . 立即得到此时结论也成立.
•
f ( α ) > α . 类似情形 II 可证.
设
μ > 0 , 一元实函数
f 在
[ a , b ] 上连续, 在
( a , b ) 内可导,
c ∈ ( a , b ) 且
f ′ ( c ) = 0 . 求证: 存在
ξ ∈ ( a , b ) 使得
f ′ ( ξ ) = μ ( f ( ξ ) − f ( a ) ) .
证明. 由于( f ( x ) − ∫ a x μ ( f ( t ) − f ( a ) ) d t ) ′ = f ′ ( x ) − μ ( f ( x ) − f ( a ) ) , 因此由 Darboux 定理, f ′ − μ ( f − f ( a ) ) 在 ( a , b ) 内满足介值性.
于是若结论不成立, 则
f ′ − μ ( f − f ( a ) ) 在
( a , b ) 内恒正或恒负. 不妨设
f ′ ( x ) − μ ( f ( x ) − f ( a ) ) > 0 , x ∈ ( a , b ) , ( ⊛ ) (1) 则
( e − μx ( f ( x ) − f ( a ) ) ) ′ = e − μx ( f ′ ( x ) − μ ( f ( x ) − f ( a ) ) ) > 0 , ∀ x ∈ ( a , b ) . 所以
e − μx ( f ( x ) − f ( a ) ) > e − μ a ( f ( a ) − f ( a ) ) = 0 , ∀ x ∈ ( a , b ] , 即
f ( x ) − f ( a ) > 0 , ∀ x ∈ ( a , b ] . 于是, 由式 (
1 ) 有
f ′ ( c ) > μ ( f ( c ) − f ( a ) ) > 0 , 与
f ′ ( c ) = 0 矛盾, 证毕.
设实函数
f 在
[ 0 , 1 ] 上连续, 在
( 0 , 1 ) 内二阶可导,
f ( 0 ) = 0 , f ( 2 1 ) = 6 π , f ( 1 ) = 2 π . 证明: 存在
ξ ∈ ( 0 , 1 ) 使得
f ′′ ( ξ ) = 1 − ξ 2 ξ f ′ ( ξ ) .
证明. 令
F ( x ) = 1 − x 2 f ( x ) , G ( x ) = f ( x ) − arcsin x , 于是
G ( 0 ) = G ( 2 1 ) = G ( 1 ) = 0 , 由 Rolle 定理知
∃ ξ 1 ∈ ( 0 , 2 1 ) , ξ 2 ∈ ( 2 1 , 1 ) 使得
G ′ ( ξ 1 ) = G ′ ( ξ 2 ) = 0 , 此时
f ′ ( ξ 1 ) = 1 − ξ 1 2 1 , f ′ ( ξ ) = 1 − ξ 2 2 1 有
F ( ξ 1 ) = f ′ ( ξ 1 ) 1 − ξ 1 2 = 1 = f ′ ( ξ 2 ) 1 − ξ 2 2 = F ′ ( ξ 2 ) , 故
∃ ξ ∈ ( ξ 1 , ξ 2 ) 使得
F ′ ( ξ ) = 0 , 即得结论.
设 f . g 均为有界闭区间上的单调增加函数, F = f − g 在 [ a , b ] 上有介值性. 证明 F ∈ C [ a , b ] . 设 f 在 R n 的单位开球 B 1 ( 0 ) 内二阶连续可微, 在 B 1 ( 0 ) 上连续, 满足 ∑ k = 1 n ∂ x k 2 ∂ 2 f ( x ) = 1 − 2∣ x ∣ 2 . 且对任何 x ∈ ∂ B 1 ( 0 ) , f ( x ) = 0 . 试求 f 并说明理由.
试根据定理 ?? 的证明写出比定理 ?? 更一般的结果. 给定区间 I , 试选取其上的一元实函数 (记为 g ), 求其一阶, 二阶导数, 找出其满足某个二阶微分方程 (记为 (E)), 选取该函数或导函数在某三点的值, 构造三组数据. 考察一个二阶可导的函数 f , 若 f 对应的三组数据与 g 对应的一样, 是否存在某个 ξ ∈ I 使得 f 在 ξ 满足方程 (E)?
例如, 选取 I = [ 0 , 1 ] , g ( x ) = x 3 , 则 g ′ ( x ) = 3 x 2 , g ′′ ( x ) = 6 x . 我们有 3 g ( x ) g ′′ ( x ) = 2 ( g ′ ( x ) ) 2 , g ′′ ( x ) g ′ ( x ) = 18 g ( x ) , g ( 0 ) = 0 , g ( 1 ) = 1 , g ′ ( 1 ) = 3 . 我们可以提出以下问题:
设 f 在 [ 0 , 1 ] 可导, 在 ( 0 , 1 ) 上两阶可导, f ( 0 ) = 0 , f ( 1 ) = 1 , f ′ ( 1 ) = 3 . 问是否一定存在 ξ , η ∈ ( 0 , 1 ) 使得 2 f ( ξ ) f ′′ ( ξ ) = 2 ( f ′ ( ξ ) ) 2 , f ′′ ( η ) f ′ ( η ) = 18 f ( η )? 设实函数 f 在 [ a , b ] 上连续, 在 ( a , b ) 内有二阶导数, 满足 f ( a ) = f ( b ) = 0 . 证明: 若在 ( a , b ) 内成立以下条件之一, 则在 [ a , b ] 上恒有 f ( x ) ⩽ 0 :
•
f ′′ ( x ) − f ( x ) ⩾ 0 ;
•
f ′′ ( x ) − 4 f ′ ( x ) + 4 f ( x ) ⩾ 0 ;
•
f ′′ ( x ) + 4 f ′ ( x ) + f ( x ) ⩾ 0 .
证明. 我们证明这样一个结果: 设 f 为题设函数, 若 f 满足条件 f ′′ + α f ′ + β f ⩾ 0 , 其中实数 α , β 满足 α 2 − 4 β ⩾ 0 , 则 f 在 [ a , b ] 上恒有 f ⩽ 0 .
我们有f ′′ ( x ) + α f ′ ( x ) + β f ( x ) = ( ( D − δ ) 2 − γ ) f ( x ) = e − δ x ( D 2 − γ ) ( e δ x f ( x ) ) , 其中 δ = 2 α , γ = 4 α 2 − 4 β ⩾ 0 .
置 F ( x ) = e δ x f ( x ) , 设 F 在 [ a , b ] 上连续, 在 ( a , b ) 内有二阶导数, 且F ′′ ( x ) − γ F ( x ) = e δ x ( f ′′ ( x ) + α f ′ ( x ) + β f ( x ) ) ⩾ 0 , ∀ x ∈ ( a , b ) .
•
若 γ = 0 , 则 F 为凸函数, 立即得到 F ( x ) ⩽ 0 ( ∀ x ∈ [ a , b ]) , 即 f ( x ) ⩽ 0 ( ∀ x ∈ [ a , b ]) .
•
若 γ > 0 . 此时, 若结论不真, 则有 ξ ∈ ( a , b ) 使得 F ( ξ ) = max x ∈ [ a , b ] F ( x ) > 0 . 我们有 F ′′ ( x ) < 0 . 另一方面, 由假设条件, F ′′ ( ξ ) ⩾ γ F ( ξ ) > 0 . 矛盾, 因此必有 f ( x ) ⩽ 0 ( ∀ x ∈ [ a , b ]) .
设
f 为
R 上的非负连续可微函数, 满足:
∀ x ∈ R , 成立
f ′ ( x ) ⩾ 6 + f ( x ) − f 2 ( x ) . 证明:
∀ x ∈ R , 成立
f ( x ) ⩾ 3 .
证明. 考虑函数
g ( x ) = f ( x ) + 2 f ( x ) − 3 e 5 x , 则
g ′ ( x ) = ( f ( x ) + 2 ) 2 5 e 5 x ( f ′ ( x ) − 6 − f ( x ) + f 2 ( x ) ) ⩾ 0 , 从而
g ( x ) 单调增, 如果存在
x 0 使得
f ( x 0 ) < 3 , 则
g ( x 0 ) < 0 并且
∀ x < x 0 都有
g ( x ) ⩽ g ( x 0 ) < 0 , 从而
0 ⩽ f ( x ) < 3 , 于是有
− 2 3 ⩽ f ( x ) + 2 f ( x ) − 3 < 0 , x < x 0 , 这表示
− 2 3 e 5 x < g ( x ) < 0 , 令
x → − ∞ 得
g ( x ) → 0 , 这与任何
x < x 0 ,
g ( x ) ⩽ g ( x 0 ) < 0 矛盾.
设
f 为
R 上的非负连续可微函数, 满足:
∀ x ∈ R , 成立
f ′ ( x ) ⩽ 6 + f ( x ) − f 2 ( x ) . 证明:
∀ x ∈ R , 成立
f ( x ) ⩽ 3 .
证明. 考虑函数
g ( x ) = f ( x ) + 2 3 − f ( x ) e 5 x , 则
g ′ ( x ) = ( f ( x ) + 2 ) 2 5 e 5 x ( 6 + f ( x ) − f 2 ( x ) − f ′ ( x ) ) ⩾ 0 , 从而
g ( x ) 单调增, 如果存在
x 0 使得
f ( x 0 ) > 3 , 则
g ( x 0 ) < 0 并且
∀ x < x 0 都有
g ( x ) ⩽ g ( x 0 ) < 0 , 从而
f ( x ) > 3 , 于是有
− 1 ⩽ f ( x ) + 2 3 − f ( x ) < 0 , x < x 0 , 这表示
− e 5 x < g ( x ) < 0 , 令
x → − ∞ 得
g ( x ) → 0 , 这与任何
x < x 0 ,
g ( x ) < g ( x 0 ) < 0 矛盾.
设
f 在
[ a , b ] 上可导,
g 在
[ a , b ] 上连续. 证明
F = f ′ g 在
[ a , b ] 上有介值性质.
证明. 不失一般性, 只要证明 F [ a , b ] 为区间或单点集. 进一步, 不妨设 F ( a ) < η < F ( b ) , 我们只需要证明存在 ξ ∈ ( a , b ) 使得 F ( ξ ) = η .
•
η = 0 . 此时 f ′ ( a ) f ′ ( b ) g ( a ) g ( b ) < 0 . 从而f ′ ( a ) f ′ ( b ) < 0 或 g ( a ) g ( b ) < 0. 若前者成立, 则由微分 Darboux 定理, 存在 ξ ∈ ( a , b ) 使得 f ′ ( ξ ) = 0 . 若后者成立, 则由连续函数的介值定理, 存在 ξ ∈ ( a , b ) 使得 g ( ξ ) = 0 . 无论哪种情形, 都有 f ′ ( ξ ) g ( ξ ) = η .
•
η > 0 . 此时不妨设 g ( b ) > 0 .
∘
g 在 [ a , b ] 上恒正. 则f ′ ( a ) − g ( a ) η < 0 < f ′ ( b ) − g ( b ) η , 而由于函数 f ′ − g η 具有介值性, 因此存在 ξ ∈ ( a , b ) 使得 f ′ ( ξ ) − g ( ξ ) η = 0 , 即 f ′ ( ξ ) g ( ξ ) = η .
∘
g 在 [ a , b ] 上不恒正. 则 g 在 [ a , b ] 上有最大零点 s ∈ [ a , b ) . 由微分 Darboux 定理, 有 ( s , b ) 中趋于 s 的点列 { x n } , 使得 lim n → + ∞ f ′ ( x n ) = f ′ ( s ) . 从而 lim n → + ∞ f ′ ( x n ) g ( x n ) = 0 . 于是有 k ⩾ 1 使得 f ′ ( x k ) g ( x k ) < η . 由于 g 在 [ x k , b ] 上恒正, 由 (i) 可得结论.
•
η < 0 . 与情形 II 同理可证.
Taylor 多项式与插值多项式
Taylor 多项式, 带 Peano 型余项的 Taylor 公式,Maclaurin 展开式,Taylor 展开式的唯一性, 带 Lagrange 型余项的 Taylor 公式,Lagrange 型插值多项式, 线性方程组解的线性可加性,Runge 现象, 插值多项式的误差估计, 插值多项式, 插值函数, 函数拟合, 广义中值定理 设 n ⩾ 2 , δ > 0 , 实函数 f 在 ( x 0 − δ , x + δ ) 内有定义, 且满足f ( x ) = k = 0 ∑ n a k ( x − x 0 ) k + o ( ( x − x 0 ) n ) , x → x 0 .
•
函数 f 在点 x 0 是否连续?
•
若 f 在点 x 0 连续, f 在点 x 0 是否可导?
•
若 f 在点 x 0 可导, f 在点 x 0 是否二阶可导?
对于例 6.5.4, 记
k = ( b − a ) 2 6 ( f ′ ( a ) + f ′ ( b ) ) − ( b − a ) 3 12 ( f ( b ) − f ( a )) . 尝试通过微分不等式
f ′′′ > k 推出矛盾. 对于例 6.5.6, 记
k = ( b − a ) 4 480 ( f ′ ( a ) + 4 ′ ( 2 a + b ) + f ′ ( b ) ) − ( b − a ) 5 2880 ( f ( b ) − f ( a ) ) . 尝试通过微分不等式
f ( 5 ) > k 推出矛盾. 设
f 在
[ 0 , 1 ] 上连续, 在
( 0 , 1 ) 内可导, 证明存在
ξ ∈ ( 0 , 1 ) 使得
f ′ ( ξ ) = 2 f ( 1 ) + 2 f ( 2 1 ) − 3 f ( 0 ) .
证明. 注意到
2 f ( 1 ) + 2 f ( 2 1 ) − 3 f ( 0 ) = 2 1 ⎝ ⎛ 1 − 0 f ( 1 ) − f ( 0 ) + 1/2 − 0 f ( 2 1 ) − f ( 0 ) ⎠ ⎞ = 2 f ′ ( ξ ) + f ′ ( ξ 2 ) , 其中
ξ 1 ∈ ( 0 , 1 ) , ξ 2 ∈ ( 0 , 2 1 ) , 并且有
f ′ ( ξ 1 ) ∧ f ′ ( ξ 2 ) ⩽ 2 f ′ ( ξ 1 ) + f ′ ( ξ 2 ) ⩽ f ′ ( ξ 1 ) ∨ f ′ ( ξ 2 ) , 由微分 Darboux 定理可知有
ξ 介于
ξ 1 与
ξ 2 之间满足
f ′ ( ξ ) = 2 f ′ ( ξ 1 ) + f ′ ( ξ 2 ) . 从而结论成立.
设
f 在
[ − 3 , 3 ] 上连续, 在
( − 3 , 3 ) 上五阶可导. 证明存在
ξ ∈ ( − 3 , 3 ) 使得
f ( 5 ) = 5 3 ( f ( 3 ) − f ( − 3 ) ) − 15 ( f ′ ( − 1 ) + f ′ ( 1 ) ) . 证明. 我们建立更一般的结果. 设
α > 1 , f 在
[ − α , α ] 上连续, 在
( − α , α ) 内五阶可导, 考虑满足下列条件的五次多项式
P :
{ P ( − α ) = f ( − α ) , P ( − 1 ) = f ( − 1 ) , P ′ ( − 1 ) = f ′ ( − 1 ) , P ( 1 ) = f ( 1 ) , P ′ ( 1 ) = f ′ ( 1 ) , P ( α ) = f ( α ) . 则
P 由下式唯一确定:
∣ ∣ P ( x ) f ( − α ) f ( − 1 ) f ( 1 ) f ( α ) f ′ ( − 1 ) f ′ ( 1 ) 1 1 1 1 1 0 0 x − α − 1 1 α 1 1 x 2 α 2 1 1 α 2 − 2 2 x 3 − α 3 − 1 1 α 3 3 3 x 4 α 4 1 1 α 4 − 4 4 x 5 − α 5 − 1 1 α 5 5 5 ∣ ∣ = 0. 求得
P ( 5 ) = α ( α 2 − 1 ) 2 60 ( f ( α ) − f ( − α ) ) + ( a 2 − 1 ) 2 ( α 2 − 3 ) ( f ( 1 ) − f ( − 1 ) ) − α 2 − 1 30 ( f ′ ( 1 ) + f ′ ( − 1 ) ) . 考虑
F = f − P , 则
F 在
[ − α , α ] 上连续, 在
( − α , α ) 内五阶可导, 且
F ( − α ) = F ( α ) = F ( − 1 ) = F ( 1 ) = F ′ ( − 1 ) = F ′ ( 1 ) = 0. 从而存在
ξ ∈ ( − α , α ) 使得
F ( 5 ) ( ξ ) = 0 , 即
f 5 ( ξ ) = α ( α 2 − 1 ) 2 60 ( f ( α ) − f ( − α ) ) + ( a 2 − 1 ) 2 ( α 2 − 3 ) ( f ( 1 ) − f ( − 1 ) ) − α 2 − 1 30 ( f ′ ( 1 ) + f ′ ( − 1 ) ) . 令
α = 3 , 即得待证明之式.
设实函数
f 在点
x 0 有直到
n + 1 阶的导数,
f ( x 0 + h ) = f ( x 0 ) + h f ′ ( x 0 ) + 2 ! h 2 f ′′ ( x 0 ) + ⋯ + n ! h n f ( n ) ( x 0 + θ h h ) , 其中
θ h ∈ ( 0 , 1 ) 与
h 的选取有关.
f ( n + 1 ) ( x 0 ) = 0. 证明:
lim h → 0 θ h = n + 1 1 . 进一步, 若 f ( n + 2 ) ( x 0 ) 存在, 试计算 lim h → 0 h θ h − n + 1 1 .
证明. 由带 Peano 余项的 Taylor 公式:f ( x 0 + h ) = f ( x 0 ) + h f ′ ( x 0 ) + ⋯ + n ! h n f ( n ) ( x 0 ) + ( n + 1 )! h n + 1 f ( n + 1 ) ( x 0 ) + o ( h n + 1 ) , 于是有n ! h n f ( n ) ( x 0 + θ h h ) = n ! h n f ( n ) ( x 0 ) + ( n + 1 )! h n + 1 f ( n + 1 ) ( x 0 ) + o ( h n + 1 ) , 即有θ h θ h h f ( n ) ( x 0 + θ h h ) − f ( n ) ( x 0 ) = n + 1 1 f ( n + 1 ) ( x 0 ) + o ( h ) , 由此易见 lim h → 0 θ h = n + 1 1 .
进一步, 由所给条件
f ( x 0 + h ) = f ( x 0 ) + ⋯ + n ! h n f ( n ) ( x 0 ) + ( n + 1 )! h n + 1 f ( n + 1 ) ( x 0 ) + ( n + 2 )! h n + 2 f ( n + 2 ) ( x 0 ) + o ( h n + 2 ) , 于是有
n ! h n f ( n ) ( x 0 + θ h h ) = n ! h n f ( n ) ( x 0 ) + ( n + 1 )! h n + 1 f ( n + 1 ) ( x 0 ) + ( n + 2 )! h n + 2 f ( n + 2 ) ( x 0 ) + o ( h n + 2 ) , 即
f ( n ) ( x 0 + θ h h ) = f ( n ) ( x 0 ) + ( n + 1 ) h f ( n + 1 ) ( x 0 ) + ( n + 1 ) ( n + 2 ) h 2 f ( n + 2 ) ( x 0 ) + o ( h 2 ) , 上式两侧减去
θ h h f ( n + 1 ) ( x 0 ) , 得到
θ h 2 θ h 2 h 2 f ( n ) ( x + θ h h ) − f ( n ) ( x 0 ) − θ h h f ( n + 1 ) ( x 0 ) = h n + 1 1 − θ h f ( n + 1 ) ( x 0 ) + ( n + 1 ) ( n + 2 ) 1 f ( n + 2 ) ( x 0 ) . 值得一提的是对于
f 有这样的现象
t → 0 lim h 2 f ( n ) ( x 0 + t ) − f ( n ) ( x 0 ) − t f ( n + 1 ) ( x 0 ) L’H o ˆ pital 2 1 f ( n + 2 ) ( x 0 ) . 结合上方两式得到
h θ h − n + 1 1 → ( ( n + 1 ) ( n + 2 ) 1 − 2 ( n + 1 ) 2 1 ) f ( n + 1 ) ( x 0 ) f ( n + 2 ) ( x 0 ) , h → 0. 设 a < c < b . 试确定常数 α , β , γ , 使得对任何在 [ a , b ] 内连续, 在 ( a , b ) 内二阶可导的实函数 f , 总有 ξ ∈ ( a , b ) 使得 f ′′ ( ξ ) = α f ( a ) + β f ( c ) + γ f ( b ) .
设
a < c < b . 试确定常数
α , β , γ , δ , 使得对任何在
[ a , b ] 内连续, 在点
a 两阶可导, 在
( a , b ) 内三阶可导的实函数
f , 总有
ξ ∈ ( a , b ) 使得
f ′′′ ( ξ ) = α f ( a ) + β f ( c ) + γ f ( b ) + δ f ′′ ( a ) .
对于 α ∈ ( 1 , 2 ) , 尝试构造在 [ − α , α ] 上的三阶连续可微的函数 F 使得 F ( − α ) = F ( α ) = F ′ ( − 1 ) = F ′ ( 1 ) = 0 , 且在 [ − α , α ] 上成立 F ′′′ > 0.
设
a n = − 1 ( n ⩾ 1 ) ,
lim n → + ∞ a n = 0 , 试在级数
∑ n = 1 ∞ a n 与
∑ n = 1 ∞ a n 2 (绝对) 收敛与否的各种情形下, 讨论无穷乘积
∏ n = 1 ∞ ( 1 + a n ) 的收敛性 (含绝对收敛性).
证明方程
x 2 n − 2 x 2 n − 1 + 3 x 2 n − 2 − ⋯ − 2 n x + ( 2 n + 1 ) = 0 无实根.
证明. 设
S ( x ) = x 2 n − 2 x 2 n − 1 + 3 x 2 n − 2 − ⋯ − 2 n x + ( 2 n + 1 ) , 显然
S ( − 1 ) = 0 , 注意到
x S ( x ) = x 2 n + 1 − 2 x 2 n + 3 x 2 n − 1 − ⋯ − 2 n x 2 + ( 2 n + 1 ) x , 于是
S ( x ) + x S ( x ) = x − x 2 + x 3 − ⋯ − x 2 n + x 2 n + 1 + ( 2 n + 1 ) = 1 + x x ( 1 + x 2 n + 1 ) + ( 2 n + 1 ) , 于是
S ( x ) = ( 1 + x ) 2 x ( 1 + x 2 n + 1 ) + ( 1 + x ) ( 2 n + 1 ) , 即证
f ( x ) := x ( 1 + x 2 n + 1 ) + ( 1 + x ) ( 2 n + 1 ) 无除
x = − 1 外的实根. 由
f ′ ( x ) = 0 可知
x = − 1 是
f ( x ) 的唯一极小值点, 并且
f ( − 1 ) = 0 , 从而结论得证.
设
f ( x ) 在
R 上无限次可微,
f ( n 1 ) = n 2 + 1 n 2 ( ∀ n ⩾ 1 ) , 问以上条件可否确定
f ( k ) ( 0 ) ( ∀ k ⩾ 0 ) ?
设
− ∞ < x 1 < x 2 < ⋯ < x n < + ∞ ( n ⩾ 2 ) ,
P k ( k = 1 , 2 , ⋯ , n ) 为满足
P k ( x j ) = { 1 , 0 , j = k , j = k 的
n − 1 次插值多项式. 证明:
∀ x ∈ [ x k , x k + 1 ] , 成立
P k ( x ) + P k + 1 ( x ) ⩾ 1 ( 1 ⩽ k ⩽ n − 1 ) .
Taylor 展开式的计算及应用
Taylor 展开式计算的直接方法和间接方法, 利用 Taylor 展开式计算反函数的高阶导数, 利用 Taylor 展开式计算隐函数的高阶导数,Landau 不等式,Taylor 展开式在组合问题上的应用 计算函数 f ( x ) = ( 7 + c o s x 1 ) 1/3 的带 Peano 型余项的三阶 Maclaurin 展开式.
将
3 1 + sin 3 x 在点 0 附近展开到
x 9 .
设函数
f 在
x = 1 处有三阶导数, 并满足
f ′ ( x ) = f ( f ( x ) ) 以及
f ( 1 ) = 1. 试求
f 在
x = 1 处的带 Peano 余项的三阶 Taylor 公式.
( f ( x ) = 1 + ( x − 1 ) + 2 1 ( x − 1 ) 2 + 3 1 ( x − 1 ) 3 + o (( x − 1 ) 4 ) . )
设定义在点
0 附近的光滑函数
y = y ( x ) 满足
y ( 0 ) = 0 以及
x = tan y − 2 y . 计算
y ( x ) 在
x = 0 处的带 Peano 型余项的五阶 Taylor 公式.
( y = − x − 3 1 x 3 − 27 2 x 5 + o ( x 5 ) . )
设光滑函数
y = y ( x ) 满足
x = y − ln ( 1 + y ) sgn ( y ) . 试求
y ( x ) 的带 Peano 型余项的二阶 Maclaurin 展开式.
设函数
y = y ( x ) 在
x = 1 处有五阶导数,
y ( 0 ) = 0 , 其反函数
x = x ( y ) 满足:
x = 1 + y + 3 y 2 − 4 y 3 + o ( y 5 ) ( y → 0 ) . 试求
y ( x ) 的带 Peano 型余项的五阶 Maclaurin 展开式.
设函数
y = y ( x ) 在
x = 1 处有三阶导数,
y ( 1 ) = 0 , 其反函数
x = x ( y ) 满足:
x = 1 + y + 3 y 2 − 4 y 3 + o ( y 3 ) ( y → 0 ) . 试求
y ( x ) 在
x = 1 处的带 Peano 型余项的三阶 Taylor 展开式.
设实数
a , A , B 满足
lim x → ∞ [ A ( cos x 1 + a sin x 2 1 + 2 cos x 3 1 + sin x 4 1 ) ] x 4 = B . 试求
a , A , B .
置 t = x 1 , 那么原极限即为t → 0 lim [ A ( cos t + a sin t 2 + 2 cos t 3 + sin t 4 ) ] 1/ t 4 , 该极限存在, 必有 lim t → 0 A ( cos t + a sin t 2 + 2 cos t 3 + sin t 4 ) = 3 A = 1 , 于是 A = 3 1 . 另一方面, 我们有cos t + a sin t 2 + 2 cos t 3 + sin t 4 = 3 + ( a − 2 1 ) t 2 + 24 25 t 4 + o ( t 4 ) , 于是= = t → 0 lim [ A ( cos t + a sin t 2 + 2 cos t 3 + sin t 4 ) ] 1/ t 4 t → 0 lim exp ( t 4 ln [ A ( cos t + a sin t 2 + 2 cos t 3 + sin t 4 ) ] ) t → 0 lim exp ⎝ ⎛ t 4 3 1 ( a − 2 1 ) t 2 + 3 1 ⋅ 24 25 t 4 + o ( t 4 ) ⎠ ⎞ = exp ( 72 25 ) . 由此推得 a = 2 1 , B = e 25/72 .
设
f 在原点有二阶导数, 且
lim x → 0 ( x 3 s i n 3 x + x 2 f ( x ) ) = 0 . 试求:
•
f ( 0 ) , f ′ ( 0 ) , f ′′ ( 0 ) ;
•
lim x → 0 x 2 f ( x ) + 3 .
由假设,x 3 sin 3 x + x 2 f ( x ) = o ( 1 ) , x → 0. 所以f ( x ) = − x sin 3 x + o ( x 2 ) = − 3 + 2 9 x 2 + o ( x 2 ) , x → 0. 另外由 f ( x ) 的 Taylor 展开式f ( x ) = f ( 0 ) + f ′ ( 0 ) x + 2 1 f ′′ ( x ) x 2 + o ( x 2 ) , x → 0 的唯一性得到f ( 0 ) = − 3 , f ( 0 ) = 0 , f ′′ ( 0 ) = 9. 于是又有x → 0 lim x 2 f ( x ) + 3 = x → 0 lim x 2 9 x 2 /2 + o ( x 2 ) = 2 9 .
设
n ⩾ 1 , 一元实函数
f 在
R 上有
n + 1 阶导数, 且
M 0 , M n + 1 < + ∞ , 其中
M m = sup x ∈ R ∣ f ( m ) ( x ) ∣ ( m = 0 , 1 , ⋯ , n + 1 ) . 证明: 对于
1 ⩽ m ⩽ n , 存在与
f 无关的常数
C m > 0 使得
M m < C m M 0 1 − m / ( n + 1 ) M n + 1 m / ( n + 1 ) .
证明. ∀ x ∈ R , h > 0 , 存在
ξ 1 , ξ 2 , ⋯ , ξ n 使得
f ( x + mh ) = f ( x ) + k = 1 ∑ n k ! m k h k f ( k ) ( x ) + ( n + 1 )! m n + 1 h n + 1 f ( n + 1 ) ( ξ m ) , m = 1 , 2 , ⋯ , n , 把上式看成
h f ′ ( x ) , h 2 f ′′ ( x ) , ⋯ , h n f ( n ) ( x ) 的线性方程组, 且方程组的系数矩阵与
h , f 无关, 则易见存在与
f 和
h 无关的常数
C 1 , C 2 , ⋯ , C n 使得
M m h m ⩽ 2 1 C m ( M 0 + M n + 1 h n + 1 ) , m = 1 , 2 , ⋯ , n , 由此利用
h > 0 的任意性, 取
h = ( M 0 / M n + 1 ) 1/ ( n + 1 ) , 得到
M m < C m M 0 1 − m / ( n + 1 ) M n + 1 m / ( n + 1 ) .
设
f 是
[ 0 , + ∞ ) 上的有界函数, 有三阶导数, 且
lim x → + ∞ f ′′′ ( x ) = α , 其中
α ∈ R . 证明:
lim x → + ∞ f ′′ ( x ) = 0. 证明. 由题设,
∀ ε > 0 , ∃ X 使得
x 1 , x 2 > X 时有
∣ f ′′′ ( x 1 ) − f ′′′ ( x 2 ) ∣ < h 3 6 ε , 其中
h 是给定的正数. 设
x > X + h 由 Taylor 公式
f ( x + h ) f ( x − h ) = f ( x ) + f ( x ) h + 2 f ′′ ( x ) h 2 + 6 f ′′′ ( ξ 1 ) h 3 , ξ 1 ∈ ( x , x + h ) , = f ( x ) − f ( x ) h + 2 f ′′ ( x ) h 2 − 6 f ′′′ ( ξ 2 ) h 3 , ξ 2 ∈ ( x − h , x ) , 设
M 是
∣ f ( x ) ∣ 的一个上界, 即有
∣ f ′′ ( x ) ∣ = ∣ ∣ h 2 f ( x + h ) + f ( x − h ) − 2 f ( x ) − h 3 ( f ′′′ ( ξ 1 ) − f ′′′ ( ξ 2 ) ) /6 ∣ ∣ ⩽ h 2 4 M + ε → 0 , h → + ∞. 设有界数列
{ a n } 满足
lim n → + ∞ ( a n + 2 − 2 a n + 1 + a n ) = 0 , 问是否有
lim n → + ∞ ( a n + 1 − a n ) = 0 ? 结论是成立的. 由题设 ∀ ε > 0 , 存在 N ′ ∈ N 使得 n > N ′ 时有∣ a n + 2 − 2 a n + 1 + a n ∣ < 2 N ε , 其中 N ∈ N + , 设a n + k + 1 − 2 a n + k + a n + k − 1 = ε k , k = 1 , 2 , ⋯ N , 其中 ∣ ε k ∣ < 2 N ε , 我们记上述方程组为 A a = ε , 也即⎝ ⎛ − 2 1 1 − 2 ⋱ 1 ⋱ 1 ⋱ − 2 1 1 − 2 ⎠ ⎞ N × N ⎝ ⎛ a n + 1 a n + 2 ⋮ a n + N − 1 a n + N ⎠ ⎞ = ⎝ ⎛ ε 1 − a n ε 2 ⋮ ε N − 1 ε N − a n + N + 1 ⎠ ⎞ , 立即可以得到 a = A − 1 ε , 可以算的A − 1 = ⎝ ⎛ 0.4 e m − N + 1 N 0.4 e m − N + 1 N − 1 0.4 e m − N + 1 N − 2 0.4 e m ⋮ 0.4 e m − N + 1 2 0.4 e m − N + 1 1 − N + 1 N − 1 − N + 1 2 ( N − 1 ) − N + 1 2 ( N − 2 ) ⋮ N + 1 4 − N + 1 2 ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ − N + 1 1 − N + 1 2 − N + 1 3 ⋮ − N + 1 N − 1 − N + 1 N ⎠ ⎞ N × N , 实际上我们只关心 A − 1 的前两行, 这样得到a n + 1 a n + 2 = − ( N + 1 N ( ε 1 − a n ) + N + 1 N − 1 ε 2 + N + 1 N − 2 ε 3 + ⋯ + N + 1 ε N − a n + N + 1 ) , = − ( N + 1 N − 1 ( ε 1 − a n ) + N + 1 2 ( N − 1 ) ε 2 + N + 1 2 ( N − 2 ) ε 3 + ⋯ + N + 1 2 ( ε N − a n + N + 1 ) ) , 从而∣ a n + 2 − a n + 1 ∣ = ∣ ∣ N + 1 ε 1 − a n − N + 1 N − 1 ε 2 − N + 1 N − 2 ε 3 − ⋯ − N + 1 ε N − a n + N + 1 ∣ ∣ ⩽ ∣ ∣ N + 1 ε 1 ∣ ∣ + ∣ ∣ N + 1 N − 1 ε 1 ∣ ∣ + ∣ ∣ N + 1 N − 2 ε 3 ∣ ∣ + ⋯ + ∣ ∣ N + 1 ε N ∣ ∣ + N + 1 ∣ a n ∣ + ∣ a n + N − 1 ∣ ⩽ ∣ ε 1 ∣ + ∣ ε 2 ∣ + ⋯ + ∣ ε N ∣ + N + 1 ∣ a n ∣ + ∣ a n + N − 1 ∣ ⩽ 2 ε + N + 1 2 M , 其中 M 为 { ∣ a n ∣ } 的一个上界. 对于 ε , 有充分大得 N 使得 N + 1 2 M < 2 ε , 即有 ∣ a n + 2 − a n + 1 ∣ < ε , 从而结论成立.
考察如何求 sec x 的 Maclaurin 展开式.
考察含参变量的 Taylor 展开式. 具体的, 设
m ⩾ 1 , 在区域
Ω × D ⊆ R n × R m 内,
n + m 元实函数
f ( x , y ) 作为
x 的函数, 所有不高于
m 阶的偏导数均存在. 记
r ( x , y ) = f ( x , y ) − k = 0 ∑ m ∣ α ∣ = k ∑ α ! 1 ∂ x α ∂ k f ( x 0 , y ) ( x − x 0 ) α . 问什么条件下成立
lim x → x 0 sup y ∈ D ∣ x − x 0 ∣ m r ( x , y ) = 0 ?
对于数列
{ a n } , 定义该数列的各阶差分如下:
Δ a n Δ j + 1 a n = a n + 1 − a n , n ⩾ 1 , = Δ j a n + 1 − Δ j a n , n ⩾ 1 , j ⩾ 1. •
证明: 存在常数 C 使得对任何数列 { a n } , 整数 k ⩾ 2 , 成立k n ⩾ 1 sup ∣Δ a n ∣ ⩽ C ( n ⩾ 1 sup ∣ a n ∣ + k 2 n ⩾ 1 sup ∣ Δ 2 a n ∣ ) .
•
证明: 存在常数 C 1 , C 2 使得对任何数列 { a n } , 整数 k ⩾ 3 , 成立k n ⩾ 1 sup ∣Δ a n ∣ ⩽ C 1 ( n ⩾ 1 sup ∣ a n ∣ + k 3 n ⩾ 1 sup ∣ Δ 3 a n ∣ ) 以及k 2 n ⩾ 1 sup ∣ Δ 2 a n ∣ ⩽ C 2 ( n ⩾ 1 sup ∣ a n ∣ + k 3 n ⩾ 1 sup ∣ Δ 3 a n ∣ ) .
•
试考察更高阶差分的结果.
证明. (1) 对于任何 k ⩾ 2 , 我们有a n + k − a n = ℓ = 0 ∑ k − 1 Δ a n + ℓ = k Δ a n + ℓ = 1 ∑ k − 1 ( Δ a n + ℓ − Δ a n ) = k Δ a n + ℓ = 1 ∑ k − 1 m = 0 ∑ ℓ − 1 Δ 2 a n + m , 因此,k n ⩾ 1 sup ∣Δ a n ∣ ⩽ 2 n ⩾ 1 sup ∣ a n ∣ + 2 k 2 n ⩾ 1 sup ∣ Δ 2 a n ∣ , 取 C ⩾ 2 即得结论.
(2) 对于任何 k ⩾ 3 , 我们有a n + k − a n a n + 2 k − a n = k Δ a n + 2 k ( k − 1 ) Δ 2 a n + ℓ = 2 ∑ k − 1 m = 1 ∑ ℓ − 1 p = 0 ∑ m − 1 Δ 3 a n + p , = 2 k Δ a n + k ( 2 k − 1 ) Δ 2 a n + ℓ = 2 ∑ 2 k − 1 m = 1 ∑ ℓ − 1 p = 0 ∑ m − 1 Δ 3 a n + p , 于是( k Δ a n k 2 Δ 2 a n ) = ( 1 2 2 k k − 1 2 − k 1 ) − 1 ( a n + k − a n − ∑ ℓ = 2 k − 1 ∑ m = 1 ℓ − 1 ∑ p = 0 m − 1 Δ 3 a n + p a n + 2 k − a n − ∑ ℓ = 2 2 k − 1 ∑ m = 1 ℓ − 1 ∑ p = 0 m − 1 Δ 3 a n + p ) = ( 2 − k 1 − 2 2 k 1 − k 1 ) ( a n + k − a n − ∑ ℓ = 2 k − 1 ∑ m = 1 ℓ − 1 ∑ p = 0 m − 1 Δ 3 a n + p a n + 2 k − a n − ∑ ℓ = 2 2 k − 1 ∑ m = 1 ℓ − 1 ∑ p = 0 m − 1 Δ 3 a n + p ) , 由此立即得到k n ⩾ 1 sup ∣Δ a n ∣ ⩽ 2 5 ( 2 n ⩾ 1 sup ∣ a n ∣ + 6 k 3 n ⩾ 1 sup ∣ Δ 3 a n ∣ ) 以及k 2 n ⩾ 1 sup ∣ Δ 2 a n ∣ ⩽ 3 ( 2 n ⩾ 1 sup ∣ a n ∣ + 6 k 3 n ⩾ 1 sup ∣ Δ 3 a n ∣ ) , 结论得证.
(3) 我们猜测对于
p , q ∈ N 且
p < q 有常数
C 使得
k p n ⩾ 1 sup ∣ Δ p a n ∣ ⩽ C ( n ⩾ 1 sup ∣ a n ∣ + k q n ⩾ 1 sup ∣ Δ q a n ∣ ) , 我们以后再来验证结论的正确性.
在习题
A 第 10 题中, 若函数的定义域是有界区间, 是否有类似的结果?
试构造实数列
{ a n } 使得
∑ n = 1 ∞ a n 收敛而
∑ n = 1 ∞ arctan a n 发散.
取 a n = n 1/3 c o s ( 2 πn /3 ) , 由 Dirichlet 判别法可知 ∑ n = 1 ∞ a n 收敛. 但a n 3 = n cos 3 ( 2 πn /3 ) = n 1 + n 3 cos ( 2 πn /3 ) , 从而 ∑ n = 1 ∞ a n 3 发散, 又 arctan a n ∼ a n − 3 a n 3 ( a n → 0 ) , 并且 ∑ n = 1 ∞ a n k ( k > 3 ) 收敛, 从而 ∑ n = 1 ∞ arctan a n 发散.
设实函数
f 在点
0 附近有定义,
f ( 0 ) = 0 , lim x → 0 x f ( x ) = 1 . 若级数
∑ n = 1 ∞ a n 收敛蕴含
∑ n = 1 ∞ f ( a n ) 收敛, 证明或证伪: 存在
δ > 0 使得对任何
x ∈ ( − δ , δ ) , 有
f ( x ) = x .
设
x 0 > 1 , x 1 > 0 , x n + 2 = x n + 1 + l n x n x n ( n ⩾ 0 ) .
•
计算 c ≡ lim n → + ∞ n l n 2 x n 以及 lim n → + ∞ n l n 2 x n − c n .
•
尝试给出比上述结果更精细的结果.