用户: Solution/ 习题: 泛函分析续论

教材: 算子理论基础 (第二版) 郭坤宇

1Riesz 函数演算

若不加说明, $\mathcal{A}$ 表示有单位元 $1$ 的 Banach 代数. $X$ 表示 Banach 空间.

1.	如果 $a,b\in \mathcal{A}$, $ab-ba$, 则对任何的 $f\in \mathrm{Hol}(a)$ 都有 $f(a)b=bf(a)$. 证明. 设 $G$ 是 $\sigma (a)$ 的一个邻域且 $f$ 在 $G$ 上解析, 在 $G$ 中选取正定向闭合曲线组 $\Gamma =\{{\gamma }_1,\cdots ,{\gamma }_n\}$, 使得 $\sigma (a)\subseteq \mathrm{Ins}\Gamma$, 则有 Riesz 函数演算$$f(a)=\frac{1}{2\pi \mathrm{i}}{\int }_{\Gamma }\frac{f(z)}{z-a}\mathrm{d}z.$$由于$${\int }_{\gamma }f=\underset{\Delta \to 0}{\lim }\sum _{j=0}^n[\gamma (t_j)-\gamma (t_{j-1})]f(\gamma (t_j)),$$其中 $\{t_0,\cdots ,t_n\}$ 是 $[0,1]$ 的任意分划, $\Delta =\underset{1⩽j⩽n}{\max }(t_j-t_{j-1})$, 故只需验证$$(z-a{)}^{-1}b=b(z-a{)}^{-1}$$即可, 这是 $b(z-a)=(z-a)b$ 的直接推论. $\square$
2.	(i) $T\in \mathcal{B}(X),Tx=\alpha x,x\ne 0,x\in X$. 则对 $f\in \mathrm{Hol}(T),f(T)x=f(\alpha )x$. (ii) $f({\sigma }_p(T))\subseteq {\sigma }_p(f(T))$. (iii) 如果 $\alpha \in {\sigma }_p(f(T))$, 并且 $\alpha -f(z)$ 在 $\sigma (T)$ 的每个分支上不恒为零, 则 $\alpha \in f({\sigma }_p(T))$. (iv) 如果 $f$ 在 $\sigma (T)$ 的每个分支上都不为常数, 则 $f({\sigma }_p(T))={\sigma }_p(f(T))$.
3.	设 $H$ 是 Hilbert 空间, $A\in \mathcal{B}(H),f\in \mathrm{Hol}(A)$. 则有 $f(A{)}^{\ast }=\tilde{f}(A^{\ast })$, 其中 $\tilde{f}(z)=\overline{f(\bar{z})}$.
4.	设 $H$ 是 Hilbert 空间, $A\in \mathcal{B}(H),f\in \mathrm{Hol}(A)$. 若 $A$ 正规, 则 $f(A)$ 正规. 证明. 由第 1 题有 $f(A)A^{\ast }=A^{\ast }f(A)$, 进而 $f(A)\tilde{f}(A^{\ast })=\tilde{f}(A^{\ast })f(A)$ (不难说明 $\tilde{f}\in \mathrm{Hol}(A)$) , 接着用第 3 题的结论即可. $\square$
5.	$\mathcal{A}$ 是 Banach 代数, $I$ 是其真理想, $a\in I,f\in \mathrm{Hol}(a),f(0)=0$. 证明 $f(a)\in I$. 证明. 设 $G$ 是 $\sigma (a)$ 的一个邻域且 $f\in \mathrm{Hol}(G)$, $a$ 在真理想 $I$ 中从而不可逆, 即 $0\in \sigma (a)\subseteq G$. 由于 $f(0)=0$, 存在 $g\in \mathrm{Hol}(G)$ 使得 $f(z)=zg(z)$, 从而 $f(a)=ag(a)\in I$. $\square$
6.	$A\in \mathcal{B}(X)$, $P$ 在 $X$ 上可逆, $f\in \mathrm{Hol}(A)$, 则 $f(PA{P}^{-1})=Pf(A)P^{-1}$. 证明. $P$ 可逆意味着 $\sigma (PA{P}^{-1})=\sigma (A)$, 则 $f(PA{P}^{-1})$ 是良定的. 设 $G$ 是 $\sigma (a)$ 的一个邻域且 $f$ 在 $G$ 上解析, $\Gamma$ 是 $G$ 中正定向闭合曲线组使得 $\sigma (a)\subseteq \mathrm{Ins}\Gamma$, 则有$$\begin{array}{rl}Pf(A)P^{-1}& =P\frac{1}{2\pi \mathrm{i}}{\int }_{\Gamma }\frac{f(z)}{z-A}\mathrm{d}z{P}^{-1}\\ & =\frac{1}{2\pi \mathrm{i}}{\int }_{\Gamma }f(z)P(z-A{)}^{-1}{P}^{-1}\mathrm{d}z\\ & =\frac{1}{2\pi \mathrm{i}}{\int }_{\Gamma }\frac{f(z)}{P(z-A)P^{-1}}\mathrm{d}z\\ & =\frac{1}{2\pi \mathrm{i}}{\int }_{\Gamma }\frac{f(z)}{z-PA{P}^{-1}}\mathrm{d}z\\ & =f(PA{P}^{-1}).\end{array}$$ $\square$
7.	$A\in M_n(\mathbb{C}),{\sigma }_p(A)=\{{\lambda }_1,\cdots ,{\lambda }_m\}$, 其中 ${\lambda }_i\ne {\lambda }_j,i\ne j$. 设 $G_i$ 是 ${\lambda }_i$ 的开邻域, 且 $G_i$ 两两不交. 记 $e_i$ 是 $G_i$ 的特征函数, 则 $e_i(A)$ 是幂等元, 且 ${\sum }_i{e}_i(A)=I$. 证明 (i) $\mathrm{Ran}{e}_i(A)=\ker ({\lambda }_{i}I-A{)}^n$. (ii) ${\mathbb{C}}^n={⨁}_i\mathrm{Ran}(e_i(A))={⨁}_i\ker ({\lambda }_{i}I-A{)}^n$. (iii) $A$ 相似于矩阵 $A_1\oplus \cdots \oplus A_m$, $A_i$ 阶数为 $\dim \ker ({\lambda }_{i}I-A{)}^n$, 且 ${\sigma }_p(A_i)=\{{\lambda }_i\}$. (iv) 若 $f\in \mathrm{Hol}(A)$, 则$$f(A)=\sum _{{\lambda }_i\in \sigma (A)}\sum _{k=0}^n\frac{f^{(k)}({\lambda }_i)}{k!}(A-{\lambda }_i{)}^k{e}_i(A).$$
8.	设 $A\in \mathcal{B}(X)$, 若存在多项式 $P(z)$ 使得 $P(A)=0$, 则 (i) $\sigma (A)={\sigma }_p(A)\subseteq Z(P)$; (ii) $A$ 有极小多项式 $r$; (iii) 设 $f$ 是 $\sigma (A)$ 某邻域 $G$ 上的解析函数, 验证存在多项式 $q$ 满足 $\mathrm{deg}q<\mathrm{deg}r$, 以及 $G$ 上的解析函数 $g$, 使得 $f(z)=q(z)+r(z)g(z),f(A)=q(A)$. 证明. (i) 是由于 $P(\sigma (A))=\sigma (P(A))=\sigma (0)=\{0\}$. (ii) 显然. (iii) 的 $g$ 是把 $f/r$ 的极点 $Z(r)=\{{\alpha }_1,\cdots ,{\alpha }_s\}$ 处的 Laurent 展开式的主部减掉, 即$$g(z)=\frac{f(z)}{r(z)}-\sum _{i=1}^s\sum _{k=1}^{m_i}\frac{c_{ik}}{(z-{\alpha }_i{)}^k},$$也就是$$r(z)g(z)=f(z)-\underset{q(z)}{\underbrace{r(z)\sum _{i=1}^s\sum _{k=1}^{m_i}\frac{c_{ik}}{(z-{\alpha }_i{)}^k}}}.$$$\square$
9.	$a\in \mathcal{A}$. 设 $\tau :\mathrm{Hol}(a)\to \mathcal{A}$ 是一个代数同态, 满足: (i) $\tau (1)=1$; (ii) $\tau (z)=a$; (iii) $G$ 为 $\mathbb{C}$ 上的开集, $\sigma (a)\subseteq G$. $f_1,f_2,\cdots$ 是 $G$ 上解析函数且在其紧子集上一致收敛至 $f$, 则成立 $\tau (f_n)\to \tau (f)$. 证明 $\tau (f)=f(a)$.
10.	设 $\mathcal{A}$ 是 Banach 代数, $a\in \mathcal{A}$. ${\mathbf{C}}_a$ 表示代数 $\{f(a)\mid f\in \mathrm{Hol}(a)\}$ 在 $A$ 中的闭包. 证明: (i) ${\mathbf{C}}_a$ 是一个交换 Banach 代数. (ii) $\sigma (a)={\sigma }_{\ast }(a)$. 其中 ${\sigma }_{\ast }(a)$ 表示 $a$ 在代数 ${\mathbf{C}}_a$ 中的谱. (iii) 对任何 $b\in {\mathbf{C}}_a,\sigma (b)={\sigma }_{\ast }(b)$. (iv) 代数 ${\mathbf{C}}_a$ 的极大理想空间通过如下给定对应与 $a$ 的谱 $\sigma (a)$ 一致:$$\phi \mapsto \phi (a).$$
11.	设 $A$ 是 Banach 空间 $X$ 上一个拟线性算子:$$\underset{n\to \infty }{\lim }\Vert A^n{\Vert }^{\frac{1}{n}}=0$$$x\in X,x\ne 0$. 证明$$0⩽\underset{\lambda \to 0}{\overline{\lim }}\frac{\log \Vert (\lambda -A{)}^{-1}x\Vert }{\log \Vert (\lambda -A{)}^{-1}\Vert }⩽1.$$

2连续函数代数的表示

P173.2	定义酉算子 $U:L^2(\mathbb{R})\to L^2(\mathbb{R}),f(t)\to f(t+1)$. 给出 $U$ 的谱及谱分解.
证:	对于 Schwartz 函数 $f$, $(Uf{)}^{\wedge }(t)=e^{2\pi it}\hat{f}(t)$. 记 $\phi (x)=e^{2\pi ix}$, $M_{\phi }$ 为相应的乘法算子. 则在 $L^2(\mathbb{R})$ 中, $U={\mathcal{F}}^{-1}{M}_{\phi }\mathcal{F}$. 从而 $\sigma (U)=\sigma (M_{\phi })=\mathrm{essrange}(\phi )=S^1$. 定义谱测度 $E(\omega )=M_{{\chi }_{\phi }^{-1}(\omega )}$, $\omega$ 为 $S^1$ 的可测子集. 则$${\int }_{S^1}{\chi }_{\omega }\mathrm{d}{E}_{f,g}=⟨E(\omega )f,g⟩={\int }_{\mathbb{R}}{\chi }_{\omega }\circ \phi f\bar{g}\mathrm{d}t.$$用简单函数逼近可知,$${\int }_{S^1}z\mathrm{d}{E}_{f,g}={\int }_{\mathbb{R}}z\circ \phi f\bar{g}\mathrm{d}t={\int }_{\mathbb{R}}\phi f\bar{g}\mathrm{d}t.$$
P173.4	设 $H$ 是可分 Hilbert 空间, 证明集 $\{A\in B(H)\mid 0\le A\le I\}$ 的端点正是投影.
证:	$P=0$ 显然为端点. 下面考虑投影 $P\ne 0$, 假设 $P=t{A}_1+(1-t)A_2,t\in (0,1),0\le A_i\le I$, 我们通过证明 $A_i{|}_{\mathrm{Ran}(P{)}^{\perp }}=0,A_i{|}_{\mathrm{Ran}(P)}=I$ 来证明 $P=A_i,i=1,2$, 从而导出矛盾. 对 $x\in \mathrm{Ran}(P{)}^{\perp },⟨Px,x⟩=0$, 因此 $t⟨A_{1}x,x⟩+(1-t)⟨A_{2}x,x⟩=0$. 由于 $⟨A_{i}x,x⟩=\Vert A_i^{\frac{1}{2}}x{\Vert }^2$, 可见 $A_{i}x=0,i=1,2$. 对 $x\in \mathrm{Ran}(P),(I-P)x=0$, 类似上述情形可以证明 $A_i=I,I=1,2$. 对于这一集合的端点 $A$, 要证 $A$ 为投影, 只需证 $A^2=A$. 注意到 $A=\frac{2A-A^2}{2}+\frac{A^2}{2}$, 由 $2x-x^2\le 1,x\in \mathbb{R}$, 可见 $2A-A^2\le I$. 由于 $A$ 为端点, 从而 $2A-A^2=A^2$, 即证.
P173.5	如果 $N$ 是正规算子, 证明 $N$ 有分解 $N=U|N|$, 这里 $U$ 是一个酉算子.
证:	定义 $\psi (z)=\{\begin{array}{ll}\frac{z}{|z|},& z\ne 0\\ 1,& z=0\end{array}$, 则 $z=\psi (z)|z|$. 作 Borel 函数演算, 可见 $N=\psi (N)|N|$, 由 $\psi \bar{\psi }=|\psi {|}^2=1$, 可见 $\psi (N)$ 为酉算子.
P185.7
证:	定义 $\varphi (z)=\{\begin{array}{ll}\frac{z}{|z|},& z\ne 0\\ 0,& z=0\end{array}$. 记 $W^{\prime }=\varphi (A)$, 则由函数演算, $W^{\prime }|A|=A$. 下面证明这给出了极分解: 首先, 显然有 $W^{\prime }{\mid }_{\mathrm{Ran}(|A|)}=W{\mid }_{\mathrm{Ran}(|A|)}$, 由 ${\chi }_{\{0\}}\varphi =0$, 可见 $\mathrm{Ran}E(\{0\})\subset \ker \varphi (A),(\mathrm{Ran}(|A|){)}^{\perp }=\ker (|A|)=\ker (|z|)(A)=\mathrm{Ran}E(\{0\})$. 因此 $W^{\prime }{\mid }_{\mathrm{Ran}(|A|{)}^{\perp }}=0$. 即 $A=W^{\prime }|A|$ 给出了极分解.
P185.8	von Neumann 代数 $\mathcal{A}$ 中投影算子的线性组合全体在 $\mathcal{A}$ 中按范数稠密.
证:	$\mathcal{A}$ 中元素可写成自伴元的线性组合, 因此只需考虑自伴算子 $A={\int }_{\sigma (A)}z\mathrm{d}E.$ 下面我们证明 $E(\omega )\in \mathcal{A}$, 如果我们证明了此, 用简单函数逼近可知 $A\in \mathcal{A}$. 由 von Neumann 代数的定义, 只需证 $E(\omega )\in {\mathcal{A}}^{\prime \prime }$. 任取 $T\in {\mathcal{A}}^{\prime }$, 则 $TA=AT,\forall A\in \mathcal{A}$, 从而 $TE(\omega )=E(\omega )T$, 即 $E(\omega )\in {\mathcal{A}}^{\prime \prime }$.
P160.1	如果 $\mathcal{A}$ 的一个态 $\phi$ 是 $\Sigma (\mathcal{A})$ 的端点, 称 $\phi$ 是纯的. 证明: 如果 $\mathcal{A}$ 是交换的, 那么 $\phi$ 是纯的当且仅当 $\phi$ 是可乘的.
证:	由 Gelfand–Naimark 定理, 可设 $\mathcal{A}=C(X)$, 其中 $X$ 为紧 Hausdorff 空间. 由 Riesz 表示定理, 可知 $\Sigma (\mathcal{A})$ 即为 $X$ 上的正则 Borel 概率测度全体, 则我们断言任一 $\phi \in \Sigma (\mathcal{A})$ 是单点支撑的 Dirac 测度. 否则, ${\phi }_0$ 支撑在至少两个点, 由 Urysohn 引理, 可以找连续函数分离这两个点, 从而可以证明 ${\phi }_0$ 不是端点.(细节留给读者) 我们知道, $C(X)$ 上的可乘线性泛函全体正是 $\{{\delta }_x:x\in X\}$, 从而完成了证明.
P161.4	$\mathcal{A}$ 为 $C^{\ast }$-代数, 则 $a\in {\mathcal{A}}_{+}$ 当且仅当对于每一个态 $\phi ,\phi (a)\ge 0$.
证:	“$\Leftarrow$”: 由于 $\phi (a^{\ast })=\overline{\phi (a)}=\phi (a)$, 且态分离点, 可见 $a=a^{\ast }$. 考虑由 $1,a$ 生成的 $C^{\ast }$-代数 $C^{\ast }(a)$, 这是一个交换 $C^{\ast }$-代数, 由定理 4.4.9, ${\sigma }_{\mathcal{A}}(a)={\sigma }_{C^{\ast }(a)}(a)$. 由于 $C^{\ast }(a)$ 上的可乘线性泛函可以延拓为 $\mathcal{A}$ 上的态, 从而对于可乘泛函 $\phi ,\phi (a)\ge 0$, 从而 ${\sigma }_{C^{\ast }(a)}(a)\subseteq [0,\infty )$, 即证.
P161.5	如果 $a$ 是 $\mathcal{A}$ 的正规元, 证明: $\{\phi (a):\phi \in \Sigma (\mathcal{A})\}=\overline{\mathrm{con}(\sigma (a))}$, 这里 $\overline{\mathrm{con}(\sigma (a))}$ 表示 $\sigma (a)$ 的闭凸包.
证:	由于 $C^{\ast }(a)$ 上的态可以延拓为 $\mathcal{A}$ 上的态, 且 $\mathcal{A}$ 上的态限制在 $C^{\ast }(a)$ 上也成为 $C^{\ast }(a)$ 上的态, 因此 $\{\phi (a):\phi \in \Sigma (\mathcal{A})\}=\{\phi (a):\phi \in \Sigma (C^{\ast }(a))\}$. 由 P160 习题 1 及 Krein–Milman 定理, $\Sigma (C^{\ast }(a))=\overline{\mathrm{con}\{\phi :\phi \in {\Delta }_{C^{\ast }(a)}\}}$, 从而 $\{\phi (a):\phi \in \Sigma (\mathcal{A})\}=\overline{\mathrm{con}\{\phi (a):\phi \in {\Delta }_{C^{\ast }(a)}\}}=\overline{\mathrm{con}(\sigma (a))}$.
P184.1	设 $S$ 是 Hilbert 空间 $H=\overline{\mathrm{span}\{e_n:n\ge 0\}}$ 上重数为 $1$ 的单向移位, 证明: $W^{\ast }(S)=B(H)$, 这里 $W^{\ast }(S)$ 表示由 $S$ 生成的 $C^{\ast }$-代数的 WOT-闭包.
证:	记 $\mathcal{A}=W^{\ast }(S)$, 我们断言 ${\mathcal{A}}^{\prime }=\mathbb{C}\cdot I.$ 如果我们证明了此, 则由 von Neumann 定理, $\mathcal{A}={\mathcal{A}}^{\prime \prime }=B(H)$. 对 $A\in {\mathcal{A}}^{\prime },A$ 与 $e_0⟨\cdot ,e_0⟩=S^{\ast }S-S{S}^{\ast }$ 交换, 从而 $A{e}_0⟨\cdot ,e_0⟩=e_0⟨A\cdot ,e_0⟩.$ 在 $e_0$ 上取值可知 $A(e_0)=\lambda e_0,$ 其中 $\lambda =⟨A{e}_0,e_0⟩$. 则 $A{e}_n=A{S}^n{e}_0=S^{n}A{e}_0=\lambda S^n{e}_0=\lambda e_n,$ 这意味着 $A=\lambda I,$ 即证.
P173.6	设 $(\Omega ,\mathcal{B},E,H)$ 是一个谱测度空间, $f$ 是 $\Omega$ 上一个复的可测函数. 令$${\mathcal{D}}_f=\left\{x\in H:{\int }_{\Omega }\Vert f{\Vert }^2\mathrm{d}{E}_{x,x}<\infty \right\}.$$证明: (i)${\mathcal{D}}_f$ 是 $H$ 的一个稠子空间; (ii) 如果 $x,y\in H$, 那么$${\int }_{\Omega }|f|\mathrm{d}|E_{x,y}|⩽\Vert y\Vert ({\int }_{\Omega }|f|\mathrm{d}{E}_{x,x}{)}^{\frac{1}{2}};$$(iii) 如果 $f$ 是有界的, 并且记 $w=\pi (f)z$, 那么 $\mathrm{d}{E}_{x,w}=\bar{f}\mathrm{d}{E}_{x,z}$.
证:	(i) 记 ${\omega }_n:=\{\eta \in \Omega :|f(\eta )|\le n\},x_n:=E({\omega }_n)x.$ 由于 ${\bigcup }_n{\omega }_n=\Omega$, 于是 $E(\omega )x\to x$. 下面只需证明 $x_n\in {\mathcal{D}}_f,\forall n$, 即 ${\int }_{\Omega }|f{|}^2\mathrm{d}{E}_{x_n,x_n}<\infty$. 由$$E_{x_n,x_n}(\omega )=⟨E(\omega )x_n,x_n⟩=⟨E(\omega \cap {\omega }_n)x,x⟩,$$可见$${\int }_{\Omega }|f{|}^2\mathrm{d}{E}_{x_n,x_n}={\int }_{{\omega }_n}|f{|}^2\mathrm{d}{E}_{x,x}<\infty .$$(ii) 只需证明此不等式对简单函数成立, 进一步, 只需证对 $f={\chi }_{\omega }$ 成立. $$\int {\chi }_{\omega }\mathrm{d}|E_{x,y}|=|E_{x,y}|(\omega )=\sup \{\sum _{i=1}^n|E_{x,y}({\Delta }_i)|:\omega =\underset{i=1}{\overset{n}{⨆}}{\Delta }_i\}.$$ $$\begin{array}{rl}\sum _{i=1}^n|E_{x,y}({\Delta }_i)|& =\sum |⟨E({\Delta }_i)x,E({\Delta }_i)y⟩|\\ & ⩽\sum \Vert E({\Delta }_i)x\Vert \cdot \Vert E({\Delta }_i)y\Vert \\ & ⩽(\sum \Vert E({\Delta }_i)x{\Vert }^2{)}^{\frac{1}{2}}(\sum \Vert E({\Delta }_i)y{\Vert }^2{)}^{\frac{1}{2}}\\ & ⩽\Vert E(\omega )x\Vert \Vert y\Vert .\end{array}$$即证. (iii) 对 $\omega$ 可测, $\int {\chi }_{\omega }\mathrm{d}{E}_{x,w}=E_{x,w}(\omega )=⟨E(\omega )x,w⟩=⟨E(\omega )x,\pi (f)z⟩=⟨\pi (\overline{f})E(\omega )x,z⟩=⟨\pi (f{\chi }_{\omega })x,z⟩=\int {\chi }_{\omega }\overline{f}\mathrm{d}{E}_{x,z},$ 即证.
P174.7	在习题 6 的基础上证明: 对每个复的可测函数 $f$, 在 Hilbert 空间 $H$ 上存在唯一的闭的稠定算子 $\pi (f)$, 其定义域是 ${\mathcal{D}}_f$, 该算子由下式唯一确定: $$⟨\pi (f)x,y⟩={\int }_{\Omega }f\mathrm{d}{E}_{x,y},x\in {\mathcal{D}}_f,y\in H.$$且此算子满足 $\Vert \pi (f)x{\Vert }^2={\int }_{\Omega }|f{|}^2\mathrm{d}{E}_{x,x},x\in {\mathcal{D}}_f.$
证:	对 $x\in \mathcal{D}$, 定义$$\Lambda :H\to \mathbb{C},y\mapsto {\int }_{\Omega }f\mathrm{d}{E}_{x,y},$$由习题 6 知 $\Lambda$ 是有界共轭线性算子, 从而由 Riesz 表示定理知, 存在 $\pi (f),$ 使得$$⟨\pi (f)x,y⟩=\int f\mathrm{d}{E}_{x,y}.$$不难看出 $\pi (f),\pi$ 为线性算子. 记 $y_n:=\pi (f{\chi }_{{\omega }_n})$, 则$$⟨\pi (f)x,y_n⟩=\int f\mathrm{d}{E}_{x,y_n}=\int |f{|}^2\mathrm{d}{E}_{x,x}\to \int |f{|}^2\mathrm{d}{E}_{x,x}.$$下面我们证明 $y_n$ 弱收敛到 $\pi (f)x$. 若能证明此, 则可见$$\Vert \pi (f)x{\Vert }^2={\int }_{\Omega }|f{|}^2\mathrm{d}{E}_{x,x},x\in {\mathcal{D}}_f.$$对 $y\in H,$ 考虑$$\begin{array}{rl}|⟨y_n-\pi (f)x,y⟩|& =|⟨\pi (f\chi {\omega }_n)x,y⟩-⟨\pi (f)x,y⟩|\\ & =|\int f{\chi }_{{\omega }_n^c}\mathrm{d}{E}_{x,y}|⩽\Vert y\Vert ({\int }_{{\omega }_n^c}|f{|}^2\mathrm{d}{E}_{x,x}{)}^{\frac{1}{2}}\to 0.\end{array}$$即证. 下证 $\pi (f)$ 是闭算子. 即若 $x_n\in {\mathcal{D}}_f,x_n\to x,\pi (f)x_n\to y$, 要证 $(1)x\in {\mathcal{D}}_f,(2)\pi (f)x=y$. (1) 对 $\omega \in \mathcal{B}$, $$|E_{x_n,x_n}(\omega )-E_{x,x}(\omega )|\le |⟨E(\omega )(x_n-x),x_n⟩|+|⟨E(\omega )x,x_n-x⟩|\le 2\max \Vert x_n\Vert \cdot \Vert x_n-x\Vert \to 0.$$则$$\begin{array}{rl}\int |f{|}^2\mathrm{d}{E}_{x,x}& =\sum _m{\int }_{F_m}|f{|}^2\mathrm{d}{E}_{x,x}=\sum _m\underset{n\to \infty }{\lim }{\int }_{F_m}|f{|}^2\mathrm{d}{E}_{x_n,x_n}\\ & ⩽\underset{n\to \infty }{\mathrm{liminf}}\sum _m{\int }_{F_m}|f{|}^2\mathrm{d}{E}_{x_n,x_n}\\ & =\underset{n\to \infty }{\mathrm{liminf}}\int |f{|}^2\mathrm{d}{E}_{x_n,x_n}=\underset{n\to \infty }{\mathrm{liminf}}\Vert \pi (f)x_n{\Vert }^2<\infty ,\end{array}$$其中小于等于号利用了 Fatou 引理. 从而 $x\in {\mathcal{D}}_f$. (2) 即要证 $\int |f{|}^2\mathrm{d}{E}_{x_n-x,x_n-x}\to 0.$ 类似 (1) 中分析可知,$$\int |f{|}^2\mathrm{d}{E}_{x_n-x,x_n-x}⩽\underset{m\to \infty }{\mathrm{liminf}}\int |f{|}^2\mathrm{d}{E}_{x_n-x_m,x_n-x_m}=\underset{m\to \infty }{\mathrm{liminf}}\Vert \pi (f)(x_n-x_m){\Vert }^2.$$由于 $\{\pi (f)x_n\}$ 为 Cauchy 列, 可见 $\underset{n\to \infty }{\lim }\int |f{|}^2\mathrm{d}{E}_{x_n-x,x_n-x}=0$.
P153	(顶上的练习) 称形如 $f(t)={\sum }_{k=1}^n{c}_k{e}^{i{b}_{k}t},b_k\in \mathbb{R},c_k\in \mathbb{C}$ 的函数为 $\mathbb{R}$ 上的三角多项式, 记 $\mathcal{A}$ 为三角多项式全体在最大模范数下的完备化, 在复共轭下 $\mathcal{A}$ 成为交换的 $C^{\ast }$-代数. 证明其极大理想空间 $\Delta$ 上有自然的群结构, 且 $\mathbb{R}$ 作为其子群是一个稠子群.
证:	记 $\overline{\mathbb{R}}:={\hat{\mathbb{R}}}_d:=\{\varphi :{\mathbb{R}}_d\to \mathbb{T},\varphi (x+y)=\varphi (x)\varphi (y)\}$, 赋予点态收敛拓扑. 下证 $\Delta$ 同胚于 $\overline{\mathbb{R}}$. 设 $\tau :\Delta \to \overline{\mathbb{R}}$, 对于 $\psi \in \Delta$, 设 $\tau (\psi ):\mathbb{R}\to \mathbb{T},x\mapsto \psi (e^{ixt})$, 其中 $t$ 为多项式的未定元. 不难验证 $\tau (\psi )\in \overline{\mathbb{R}}$; 由于 $e^{ixt}$ 为酉元, 可见 $\psi (e^{ixt})\in \mathbb{T}$. 从而 $\tau$ 良定. 验证 $\tau$ 连续: 对于 $\Delta$ 中的网 $\{{\psi }_{\alpha }\},{\psi }_{\alpha }\to \psi$, 我们有 ${\psi }_{\alpha }(e^{ixt})\to \psi (e^{ixt})$, 从而 $\tau ({\psi }_{\alpha })\to \tau (\psi )$, 即 $\tau$ 连续. 验证单射: 若 $\tau ({\psi }_1)=\tau ({\psi }_2)$, 则对任一三角多项式 $P$, ${\psi }_1(P)={\psi }_2(P)$, 可见 ${\psi }_1={\psi }_2$. 验证满射: 对于 $\phi \in \overline{\mathbb{R}}$, 要找 $\psi$ 使得 $\tau (\psi )=\phi$. 由 $\tau$ 的定义可见 $\psi (e^{ixt})=\phi (x)$, 从而可以得到 $\psi$ 在三角多项式全体上的取值, 下面要证明: 对于三角多项式 $P$, $|\phi (P)|\le \Vert P\Vert$, 从而将 $\psi$ 延拓为 $\mathcal{A}$ 上的可乘泛函, 这需要用到如下的 Kronecker 定理: 对于 $x_1,\dots x_n\in \mathbb{R}$, 映射 $\beta :\mathbb{R}\to {\mathbb{T}}^n:t\mapsto (e^{i{x}_{1}t},\dots ,e^{i{x}_{n}t})$. 若 $\{x_1,\dots ,x_n\}$ 为 $\mathbb{Q}$-线性无关, 则 $\beta (\mathbb{R})$ 在 ${\mathbb{T}}^n$ 中稠密. 设 $P(t)=\sum _{n=1}^N{a}_n{e}^{i{x}_{n}t}$. 不难发现存在 $\{y_1,\dots y_M\}\subseteq \mathbb{R},\mathbb{Q}$-线性无关且 $x_n\in {\mathrm{span}}_{\mathbb{Z}}\{y_1,\dots y_M\}$. (可以先找极大 $\mathbb{Q}$-无关组, 再提取公因子来实现). 设 $x_n=\sum c_{nm}{y}_m$, $\forall 0<\epsilon \ll 1$, 存在 $t\in \mathbb{R}$ 使得 $|e^{i{y}_{n}t}-\phi (y_n)|<\epsilon$. 注意到$$|e^{i{x}_{n}t}-\phi (x_n)|=|\prod _{m=1}^M(e^{i{y}_{m}t}{)}^{c_{nm}}-\prod _{m=1}^M\phi (y_n{)}^{c_{nm}}|,$$从而可见存在不依赖于 $\epsilon$ 的常数 $C$, 使得 $|e^{i{x}_{n}t}-\phi (x_n)|<C\epsilon$, 于是可见 $|\phi (P)|\le \Vert P\Vert +C\epsilon$. 由 $\epsilon$ 的任意性即证. 由 $\Delta$ 紧且 $\overline{\mathbb{R}}$ 为 Hausdorff 空间, 可见 $\tau$ 为同胚.
P156.6	参考 https://www.bilibili.com/read/cv11150434?spm_id_from=333.999.0.0