泛函分析 第三章解答

3有界线性算子的基本定理

3.1 Baire 纲定理

习题 3. 设 $A$ 是区间 $[a,b]$ 中的非空完全集 (即 $A^{\prime }=A$, 这也是说 $A$ 无孤立点) . 证明: $A$ 不是可数集.

证明. 以下证明更强的结论: $A$ 具有连续统势; 证明来自 [KT] Chapter 5 Problem 21.

构造 $A$ 的两个不相交的非空完全子集 $A_0,A_1$ 如下: 取两点 $a_0,a_1\in A$, 令 $A_0=B(a_0,r_0)\cap A,A_1=B(a_1,r_0)\cap A$, 其中 $r_0<1$. 接着构造 $A_0$ 的两个不相交的非空完全子集 $A_{00},A_{01}$ 如下: 取两点 $a_{00},a_{01}\in A_0$, 令 $A_{00}=B(a_{00},r_1)\cap A,A_{01}=B(a_{01},r_1)\cap A$, 其中 $r_1<1/2$; 同理构造 $A_1$ 的两个不相交的非空完全子集 $A_{10},A_{11}$. $A$ 中的点皆是聚点确保了 $a_{{\epsilon }_0,{\epsilon }_1,\cdots ,{\epsilon }_n}$ (${\epsilon }_0,{\epsilon }_1,\cdots ,{\epsilon }_n\in \{0,1\}$) 一直存在, 从而这一过程能不断延续下去.

对每一个无穷序列 $\epsilon =({\epsilon }_0,{\epsilon }_1,\cdots )\in \{0,1{\}}^{\omega }$, 由闭球套定理, $\bigcap _n{A}_{{\epsilon }_0,{\epsilon }_1,\cdots ,{\epsilon }_n}$ 确定了唯一的点 $x_{\epsilon }\in A$, 故有 $2^{{\aleph }_0}=|\{0,1{\}}^{\omega }|⩽|A|$. 又有 $|A|⩽|[a,b]|=2^{{\aleph }_0}$, 所以 $|A|=2^{{\aleph }_0}$.

$\square$

注: (i) 上述证明对 ${\mathbb{R}}^n$ 完全适用, 故 ${\mathbb{R}}^n$ 的非空完全集同样都具有连续统势.

(ii) 由此不难证明 ${\mathbb{R}}^n$ 的闭集要么至多可数, 要么具有连续统势; 见 [KT] Chapter 5 Problem 22.

(iii) 这让 Cantor 猜想连续统假设成立, 即: 不可数的实数集的势均为 $2^{{\aleph }_0}$, 也就是说 $2^{{\aleph }_0}={\aleph }_1$.

习题 4. 证明无限维的 Banach 空间不能分解成可列个相对列紧集的并集.

证明. 无限维的 Banach 空间的球不是紧的, 所以列紧集无内点, 即相对列紧集是疏朗集, 与 Baire 纲定理矛盾.

$\square$

习题 7. 设 $[0,1]$ 上的连续函数序列 $f_n$ 点态收敛于 $f$.

(i)	对于 $x\in [0,1]$, 令 $w_f(x)=\underset{\delta \to 0}{\lim }\underset{y,z\in O(x,\delta )}{\sup }|f(y)-f(z)|$. 证明: $f$ 在 $x$ 处连续当且仅当 $w_f(x)=0$.
(ii)	对于 $\epsilon >0$, 证明: $\{x\in [0,1]:w_f(x)<\epsilon \}$ 是 $[0,1]$ 的一个开集.
(iii)	证明: $f$ 的不连续点全体是一个第一纲集.

证明. 以下 (iii) 的过程来自 [Ox] Theorem 7.3 (p.32).

(i)	没什么好证的.
(ii)	同样是显然的. 设 $w_f(x)<\epsilon$, 则存在 $\delta >0$ 使得对于 $y,z\in O(x,\delta )$ 有 $|f(y)-f(z)|<\epsilon$, 这意味着对任何的 $v\in O(x,\delta /2)$, 对于 $y,z\in O(v,\delta /2)\subset O(x,\delta )$ 亦有 $|f(y)-f(z)|<\epsilon$, 从而 $w_f(v)<\epsilon$.
(iii)	由 (i), (ii), $f$ 的不连续点全体是一列闭集的并 $\bigcup _k\{x\in [0,1]:w_f(x)⩾1/k\}$, 故只需说明 $F=\{x\in [0,1]:w_f(x)⩾1/k\}$ 均无内点即可. 简写 $\epsilon =1/5k$, 并且令$$E_n=\bigcap _{i,j⩾n}\{x\in [0,1]:|f_i(x)-f_j(x)|⩽\epsilon \}.$$易有 $E_n$ 都是闭集, $E_n\subset E_{n+1}$, 且 $\{f_n\}$ 点态收敛于 $f$ 说明 $[0,1]=\bigcup _n{E}_n$. 考虑 $[0,1]$ 任意的闭子区间 $I$, 有 $I=\bigcup _n(E_n\cap I)$, 则必有一个 $E_n\cap I$ 是有内点的, 即在某个区间 $J$ 上 $|f_i(x)-f_j(x)|⩽\epsilon$ 对于 $i,j⩾n$ 皆成立; 令 $j=n$ 与 $i\to \infty$, 得到在 $J$ 上 $|f(x)-f_n(x)|⩽\epsilon$. 对于任意固定的 $x_0\in J$, 由于 $f_n$ 是连续的, 存在 $x_0$ 的邻域 $U\subset J$ 使得对 $x\in U$ 有 $|f_n(x)-f_n(x_0)|⩽\epsilon$. 那么对 $x\in U$, 两式相加有 $|f(x)-f_n(x_0)|⩽2\epsilon$, 进一步推出 $w_f(x_0)⩽4\epsilon <1/k$. 由此证明了对任意闭区间 $I$, 都存在一段区间 $J\subset I\setminus F$, 此即 $F$ 无内点. $\square$

习题 8. 设 $L$ 是线性空间, $p$ 是 $L$ 上函数, 如果满足

(1)	$p(x)⩾0$, $p(x)=0$ 当且仅当 $x=0$;
(2)	$p(x+y)⩽p(x)+p(y)$;
(3)	$p(-x)=p(x)$, 并且 $\underset{{\alpha }_n\to 0}{\lim }p({\alpha }_{n}x)=0$, $\underset{p(x_n)\to 0}{\lim }p(\alpha x_n)=0$ (${\alpha }_n,\alpha$ 是数) ,

则称 $p$ 是拟范数, $(L,p)$ 是拟赋范空间.

(iii)${}^{\ast }$ 如果 $\underset{n\to \infty }{\lim }{\alpha }_n=\alpha$, $\underset{n\to \infty }{\lim }p(x_n-x)=0$, 证明: $\underset{n\to \infty }{\lim }p({\alpha }_n{x}_n-\alpha x)=0$.

证明. $p({\alpha }_n{x}_n-\alpha x)⩽p({\alpha }_n(x_n-x))+p(({\alpha }_n-\alpha )x)$, ${\alpha }_n-\alpha \to 0$ 说明 $p(({\alpha }_n-\alpha )x)\to 0$, 那么要说明的是 $p({\alpha }_n(x_n-x))\to 0$.

作 $\mathbb{F}$ 上的函数 $f_n(\beta )=p(\beta (x_n-x))$. 因为 $\underset{{\beta }_i-\beta \to 0}{\lim }p(({\beta }_i-\beta )(x_n-x))=0$, $f_n$ 皆是连续函数; 并且, $\underset{p(x_n-x)\to 0}{\lim }p(\beta (x_n-x))=0$ 是说 $n\to \infty$ 时 $f_n$ 点点收敛到 $0$. 由 Egoroff 定理, $f_n$ 在一个正测集 $E$ 上一致收敛到 $0$.

由于 $E-E$ 含含 $0$ 的区间, 也就是存在 ${\sigma }_0>0$ 使 $\forall |\sigma |⩽{\sigma }_0$, $\sigma$ 能写成 $e-e^{\prime }(e,e^{\prime }\in E)$, 得 $f_n(\sigma )⩽f_n(e)+f_n(e^{\prime })\to 0$, 且这个趋于 $0$ 是关于 $\sigma$ 一致的. 由于 $\{{\alpha }_n\}$ 是有界的, 取 $N\in {\mathbb{Z}}^{+}$ 使得对所有的 $n$, $|{\alpha }_n/N|⩽{\sigma }_0$, 于是 $p({\alpha }_n(x_n-x))=f_n({\alpha }_n)⩽N{f}_n({\alpha }_n/N)\to 0$.

$\square$

3.2 开映射定理、逆算子定理、闭图像定理和共鸣定理

习题 1. 设 $X,Y$ 是 Banach 空间, $T\in \mathfrak{B}(X,Y)$. 证明: $\mathfrak{R}(T)$ 是闭的当且仅当存在 $c>0$, 使得对任意 $x\in X$, 有 $c\Vert Tx\Vert ⩾d(x,\ker T)$.

证明. 注意 $d(x,\ker T)$ 即是 $X/\ker T$ 里面 $[x]$ 的范数. 当 $\mathfrak{R}(T)$ 是闭的, $[T]:X/\ker T\to Y,[x]\mapsto Tx$ 是单射, $\mathfrak{R}([T])=\mathfrak{R}(T)$ 同样是闭的, 由定理 3.2.4, $c\Vert Tx\Vert ⩾\Vert [x]\Vert =d(x,\ker T)$.

当 $c\Vert Tx\Vert ⩾d(x,\ker T)$, 对于 $T{x}_n\to y\in Y$, 通过取子列, 可使得 $\sum _{n=1}^{\infty }\Vert T{x}_n-T{x}_{n+1}\Vert <\infty$, 再取 $z_n\in X$ 使 $z_n-(x_n-x_{n+1})\in \ker T$ 且 $\Vert z_n\Vert ⩽2d(x_n-x_{n+1},\ker T)$. 这样 $\sum _{n=1}^{\infty }\Vert z_n\Vert <\infty$, $\sum _{n=1}^{\infty }{z}_n$ 收敛, 于是 $T(x_1-\sum _{n=1}^{\infty }{z}_n)=T{x}_1-\sum _{n=1}^{\infty }(T{x}_n-T{x}_{n+1})=y$, 从而 $y\in \mathfrak{R}(T)$.

$\square$

习题 2. 用范数等价定理证明: $C[0,1]$ 按范数$$\Vert f{\Vert }_1={\int }_{[0,1]}|f(t)|\mathrm{d}m(t)$$不是 Banach 空间.

证明. 只需说明不存在 $c>0$ 使得 $\Vert \cdot {\Vert }_{C[0,1]}⩽c\Vert \cdot {\Vert }_1$ 成立. 对 $0<a<1$, 取$$f(x)=\{\begin{array}{ll}1-x/a,& 0⩽x⩽a\\ 0,& a⩽x⩽1\end{array},$$有 $\Vert f{\Vert }_{C[0,1]}=1$, $\Vert f{\Vert }_1=a/2$ 任意小.

$\square$

习题 3. 对于 Lebesgue 可测函数 $\phi \in L^{\infty }[0,1]$, 定义 $L^2[0,1]$ 上的有界线性算子 $M_{\phi }$ 为$$M_{\phi }f=\phi f,\forall f\in L^2[0,1].$$证明: $\Vert M_{\phi }\Vert =\Vert \phi {\Vert }_{\infty }$, 并且 $M_{\phi }$ 是可逆算子当且仅当存在正数 $c>0$, 使得对几乎处处的 $x\in [0,1]$, 成立不等式 $|\phi (x)|>c$.

证明. $\Vert M_{\phi }f{\Vert }_2⩽\Vert \phi {\Vert }_{\infty }\Vert f{\Vert }_2$, 有 $\Vert M_{\phi }\Vert ⩽\Vert \phi {\Vert }_{\infty }$; 对任何 $d<\Vert \phi {\Vert }_{\infty }$, $\phi {\chi }_{\{\phi ⩾d\}}$ 不几乎处处为 $0$, 从而 $\Vert M_{\phi }\Vert ⩾\Vert \phi {\chi }_{\{\phi ⩾d\}}{\Vert }_2/\Vert {\chi }_{\{\phi ⩾d\}}{\Vert }_2⩾d$, 由 $d$ 的任意性进而有 $\Vert M_{\phi }\Vert ⩾\Vert \phi {\Vert }_{\infty }$.

$M_{\phi }$ 的逆算子为 $M_{1/\phi }$, 其有界相当于 $1/\phi \in L^{\infty }$, 即 $1/\phi$ 有界, 亦即 $|\phi |$ 有正下界.

$\square$

习题 4. 设 $X,Y$ 是 Banach 空间, $T\in \mathfrak{B}(X,Y)$, $T$ 是满射. $T$ 是否一定为闭映射 (即 $T$ 将 $X$ 中的闭集映成 $Y$ 中的闭集) ? 说明理由.

解答. 不一定. 让 $Y$ 的维数很小就容易做到满射, 极端来说就是 $Y$ 是数域, $T$ 是泛函; 要让 $T$ 不是闭映射, 只需要各分量上的系数趋于某上界却达不到即可. 取$$T:l^1\to \mathbb{R},(a_1,a_2,\cdots )\mapsto 0.9a_1+0.99a_2+\cdots ,$$则 $T$ 将单位闭球 $\{|a_1|+|a_2|+\cdots ⩽1\}$ 映成开区间 $(-1,1)$.

$\square$

习题 5. 设 $X,Y$ 是 Banach 空间, $T\in \mathfrak{B}(X,Y)$, 并且 $TX=Y$. 证明: 存在常数 $N$, 使得对 $Y$ 中任何收敛于 $y_0$ 的点列 $\{y_n\}$, 都可找到 $X$ 中的一个点列 $\{x_n\}$, $\Vert x_n\Vert ⩽N\Vert y_n\Vert$, $T{x}_n=y_n(n=0,1,2,\cdots )$, 且 $x_n\to x_0$.

证明. 设对 $n⩾N$ 有 $\Vert y_0\Vert ⩽2\Vert y_n\Vert$, 由注 3.2.1, 存在一个点列 $\{x_n{\}}_{0⩽n<N}$, 使得 $T{x}_n=y_n,\Vert x_n\Vert ⩽M\Vert y_n\Vert$, 以及点列 $\{z_n{\}}_{n⩾N}$, 使得 $T{z}_n=y_n-y_0,\Vert z_n\Vert ⩽M\Vert y_n-y_0\Vert$. 由 $y_n-y_0\to 0$, 有 $z_n\to 0$. 对 $n⩾N$, 令 $x_n=x_0+z_n$, 那么 $x_n\to x_0$, $T{x}_n=y_n$, 且 $\Vert x_n\Vert ⩽M(\Vert y_0\Vert +\Vert y_n-y_0\Vert )⩽5M\Vert y_n\Vert$.

$\square$

习题 6. 设 $X,Y$ 是 Banach 空间, $T\in \mathfrak{B}(X,Y)$. 若存在 $Y$ 的一个闭线性子空间 $M$ 使得 $\mathfrak{R}(T)\cap M=\{0\}$, $\mathfrak{R}(T)+M=Y$, 证明: $T$ 的值域 $\mathfrak{R}(T)$ 是闭的.

证明. 构造有界算子$$T^{\prime }:X\times M\to Y,(x,m)\mapsto Tx+m.$$由于 $\mathfrak{R}(T)\cap M=\{0\}$, 得$$\ker T^{\prime }=\{(x,m)\mid Tx+m=0\}=\{(x,m)\mid Tx=m=0\}=\ker T\times \{0\}.$$$\mathfrak{R}(T^{\prime })=\mathfrak{R}(T)+M=Y$ 是闭的, 故由本节习题 1, $$c\Vert Tx\Vert =c\Vert T^{\prime }(x,0)\Vert ⩾d((x,0),\ker T^{\prime })=d(x,\ker T),$$得 $\mathfrak{R}(T)$ 是闭的.

$\square$

习题 7. 在习题 2.5 第 6 题中证明了 Fourier 变换 $\mathcal{F}:f\to \hat{f}$ 是从 $L^1(\mathbb{R})$ 到 $c_0(\mathbb{R})$ 的单射.

(i)	令 $f(x)={\chi }_{[-n,n]}(x)\sin x$, 计算它的 Fourier 变换 $\hat{f}$.
(ii)	证明: $\mathcal{F}:f\to \hat{f}$ 不是满射.

证明.

(i)

计算有$$\begin{array}{rl}\hat{f}(\xi )& ={\int }_{-n}^n\sin x{e}^{-\mathrm{i}2\pi tx}\mathrm{d}x={\int }_0^n\sin x(e^{-\mathrm{i}2\pi tx}-e^{\mathrm{i}2\pi tx})\mathrm{d}x=-2\mathrm{i}{\int }_0^n\sin x\sin 2\pi t\mathrm{d}x\\ & =\mathrm{i}{\int }_0^n\cos (2\pi t+1)x-\cos (2\pi t-1)x\mathrm{d}x=\mathrm{i}\left[\frac{\sin (2\pi t+1)n}{2\pi t+1}-\frac{\sin (2\pi t-1)n}{2\pi t-1}\right].\end{array}$$

(ii)

假如 $\mathcal{F}$ 是满射, 由逆算子定理, $\Vert \cdot {\Vert }_1$ 与 $\Vert \hat{\cdot }{\Vert }_{\infty }$ 应当等价. 既然 $\Vert \hat{\cdot }{\Vert }_{\infty }⩽\Vert \cdot {\Vert }_1$ 是成立的, 那么要试着找函数使得 $\Vert \cdot {\Vert }_1$ 很大而 $\Vert \hat{\cdot }{\Vert }_{\infty }$ 不大, 就能得出矛盾. 引入磨光核 $\varphi (x)=e^{-\pi x^2}$, 记 ${\varphi }_{\epsilon }(x)=e^{-\pi (x/\epsilon {)}^2}/\epsilon$, 有 $\hat{\varphi }=\varphi$, $\Vert {\varphi }_{\epsilon }{\Vert }_1=1$, 且$$\widehat{{\varphi }_{\epsilon }}(t)={\int }_{\mathbb{R}}{e}^{-\pi (x/\epsilon {)}^2}{e}^{-\mathrm{i}2\pi \epsilon t(x/\epsilon )}\mathrm{d}(x/\epsilon )=\hat{\varphi }(\epsilon t)=e^{-\pi (\epsilon t{)}^2}.$$记 $\eta (x)={\chi }_{[-1,1]}(x)$, 有$$\hat{\eta }(t)={\int }_{-1}^1{e}^{-\mathrm{i}2\pi tx}\mathrm{d}x=\frac{e^{-\mathrm{i}2\pi t}-e^{\mathrm{i}2\pi t}}{-\mathrm{i}2\pi t}=\frac{\sin \pi t}{\pi t},$$不难看出 $\hat{\eta }\notin L^1(\mathbb{R})$. 现在准备工作完成, 最终的 boss 是 $\widehat{\eta \ast {\varphi }_{\epsilon }}$: 一方面, $$\Vert \widehat{\eta \ast {\varphi }_{\epsilon }}{\Vert }_1=\Vert \hat{\eta }\widehat{{\varphi }_{\epsilon }}{\Vert }_1,$$其中 $\widehat{{\varphi }_{\epsilon }}(t)=e^{-\pi (\epsilon t{)}^2}$ 在 $t\to \pm \infty$ 处迅速衰减, 且 $\epsilon \to 0$ 时点点收敛于 $1$, 这分别说明 $\Vert \hat{\eta }\widehat{{\varphi }_{\epsilon }}{\Vert }_1$ 对任意 $\epsilon$ 都有限, 且 $\epsilon \to 0$ 时趋于无限; 另一方面, $$\Vert \eta \ast {\varphi }_{\epsilon }{\Vert }_{\infty }⩽\Vert \eta {\Vert }_{\infty }\Vert {\varphi }_{\epsilon }{\Vert }_1=1.$$

注: [Gr] 习题 2.2.9 (c) 表明在 $t⩾2$ 时同 $1/\log t$ 相等的函数不是任何 $L^1(\mathbb{R})$ 函数的 Fourier 变换, 其证明见这里.

$\square$

习题 8. 设 $\{x_n\}$ 是 Banach 空间 $X$ 中的点列, 如果对任意的 $x\in X$, 都存在唯一数列 $\{{\alpha }_i(x)\}$, 使得$$\underset{n\to \infty }{\lim }\Vert x-\sum _{i=1}^n{\alpha }_i{x}_i\Vert =0,\text{也即 }x=\sum _{i=1}^{\infty }{\alpha }_i{x}_i,$$则称 $\{x_n\}$ 为 $X$ 的 Schauder 基, 并称 $X$ 是具有基的 Banach 空间. 证明: 在有基 $\{x_n\}$ 的 Banach 空间 $X$ 中, 展开式 $x=\sum _{i=1}^{\infty }{\alpha }_i(x)x_i$ 中的 ${\alpha }_i(x)\in X^{\ast }$.

证明. 以下证明来自 [Ca] Theorem 3.1 (pp.26–7).

在 $X$ 上作新范数 $\left|\left|\left|x\right|\right|\right|=\underset{\ell }{\sup }\Vert \sum _{i=1}^{\ell }{\alpha }_i{x}_i\Vert$, 下面说明 $(X,\left|\left|\left|\cdot \right|\right|\right|)$ 也是一个 Banach 空间.

设 $\{y^n\}$ 是 $(X,\left|\left|\left|\cdot \right|\right|\right|)$ 下的 Cauchy 列, 任务是论证其收敛于某个 $y$. 记其展开式为 $\{y^n=\sum _{i=1}^{\infty }{\alpha }_i^n{x}_i\}$, 并且记 $y_{\ell }^n=\sum _{i=1}^{\ell }{\alpha }_i^n{x}_i$, 那么 $\left|\left|\left|y^n\right|\right|\right|=\underset{\ell }{\sup }\Vert y_{\ell }^n\Vert$. 由于 $y^n-y^m$ 的展开式就是 $\sum _{i=1}^{\infty }({\alpha }_i^n-{\alpha }_i^m)x_i$ (即 $(y^n-y^m{)}_{\ell }=y_{\ell }^n-y_{\ell }^m$) , 得出对所有的 $\ell$ 有$$\Vert y_{\ell }^n-y_{\ell }^m\Vert ⩽\left|\left|\left|y^n-y^m\right|\right|\right|,$$这说的是在 $\Vert \cdot \Vert$ 下 $\{y_{\ell }^n\}$ 是关于 $\ell$ 一致的 Cauchy 列, 所以 $\{y_{\ell }^n\}$ 关于 $\ell$ 一致地收敛于某个 $y_{\ell }$, 即 $n\to \infty$ 时$$\underset{\ell }{\sup }\Vert y_{\ell }^n-y_{\ell }\Vert \to 0.\text{\hspace{1em}(⧫)}$$接下来说明 $\{y_{\ell }\}$ 收敛于一个 $y$, 最后证明 $\{y^n\}$ 同样收敛于这个 $y$; 也就是说, 思路如下: $$\begin{array}{cccccc}& ⋮& & ⋮& & ⋮\\ \cdots & y_{\ell }^n& \cdots & y_{{\ell }^{\prime }}^n& \to & y^n\\ & ⋮& & ⋮& & ⋮\\ \cdots & y_{\ell }^m& \cdots & y_{{\ell }^{\prime }}^m& \to & y^m\\ & & & & & \\ & \downarrow & & \downarrow & & \downarrow \\ \cdots & y_{\ell }& \cdots & y_{{\ell }^{\prime }}& \to & y\end{array}$$把 $y_{\ell }-y_{{\ell }^{\prime }}$ 拆成三项: $$\Vert y_{\ell }-y_{{\ell }^{\prime }}\Vert ⩽\Vert y_{\ell }^n-y_{\ell }\Vert +\Vert y_{{\ell }^{\prime }}^n-y_{{\ell }^{\prime }}\Vert +\Vert y_{\ell }^n-y_{{\ell }^{\prime }}^n\Vert ,$$由 $(⧫)$ 可知 $n\to \infty$ 时前两项 (关于 $\ell ,{\ell }^{\prime }$ 一致地) 趋于 $0$, 且对这个固定的 $n$ 令 $\ell ,{\ell }^{\prime }\to \infty$ 有 $y_{\ell }^n,y_{{\ell }^{\prime }}^n\to y^n$, 从而末项亦趋于 $0$; 这说明了 $\{y_{\ell }\}$ 是 Cauchy 列, 记其收敛于 $y$. 现在 $y$ 找到了, 下面再说明 $\{y^n\}$ 亦收敛于 $y$ 即可.

由于对所有的 $i$,$$\underset{n\to \infty }{\lim }{\alpha }_i^n{x}_i=\underset{n\to \infty }{\lim }(y_i^n-y_{i-1}^n)=y_i-y_{i-1},$$可设 $\underset{n\to \infty }{\lim }{\alpha }_i^n={\alpha }_i$. 注意到这推出 $\{x_1,\cdots ,x_n\}$ 张成的有限维空间上序列 $\{y_{\ell }^n\}$ 的收敛: $$y_{\ell }^n=\sum _{i=1}^{\ell }{\alpha }_i^n{x}_i\to \sum _{i=1}^{\ell }{\alpha }_i{x}_i=y_{\ell },$$而 $\{y_{\ell }\}$ 又收敛于 $y$, 所以有 $y=\sum _{i=1}^{\infty }{\alpha }_i{x}_i$, 则这恰恰是 $y$ 在 Schauder 基下的展开式! 那么终于能算 $\left|\left|\left|y^n-y\right|\right|\right|$ 了: $y$ 的展开式以及 $(⧫)$ 直接带来了$$\left|\left|\left|y^n-y\right|\right|\right|=\underset{\ell }{\sup }\Vert y_{\ell }^n-y_{\ell }\Vert \to 0,$$故 $(X,\left|\left|\left|\cdot \right|\right|\right|)$ 是 Banach 空间. 由范数等价定理有 $\left|\left|\left|y\right|\right|\right|⩽c\Vert y\Vert$, 故$$\Vert {\alpha }_i{x}_i\Vert =\Vert y_i-y_{i-1}\Vert ⩽2\left|\left|\left|y\right|\right|\right|⩽2c\Vert y\Vert .$$$\square$

习题 9. 设 $X$ 为线性空间, $P$ 为 $X$ 上幂等算子.

(i)	证明: $I-P$ 也是 $X$ 上幂等算子.
(ii)	记 $L_P=\{x:Px=x,x\in X\},L_{(I-P)}=\{x:Px=0,x\in X\}$. 证明: $$X=L_P\oplus L_{(I-P)}.$$
(iii)	设 $E,L$ 是 $X$ 的线性子空间, 并且 $X=E\oplus L$, 作 $X$ 上的算子 $P_E$: 当 $x=y+z$ 时, 规定 $P_{E}x=y$. 证明: $P_E$ 是 $X$ 上幂等算子, 并且 $E=\mathfrak{R}(P_E),L=\ker P_E$.

证明. 过于简单; 见 [Xia] §5.4 习题 5.

$\square$

习题 10. 设 $X$ 是赋范线性空间.

(i)	设 $P$ 是幂等算子 (按定义, 它是有界线性算子, 并且 $P^2=P$) . 证明: $L_P,L_{(I-P)}$ 都是 $X$ 的闭线性子空间.
(ii)	当 $E,F$ 是 Banach 空间 $X$ 的两个闭线性子空间, 并且 $X=E\oplus F$ 时, 按第 9 题 (iii) 的方式定义算子 $P_E$ 和 $P_F$. 证明: 算子 $P_E,P_F$ 是 $X$ 上的幂等算子, 并且 $I=P_E+P_F$.

证明.

(i)	根据上一题的 (ii), $L_P=\ker (I-P),L_{(I-P)}=\ker P$, 有界线性算子的核空间都是闭的.
(ii)	主要就是证明 $P_E,P_F$ 有界. $X$ 上不仅有本来的范数 $\Vert x\Vert$, 还有作为直和 $E\oplus F$ 的范数 $\Vert y\Vert +\Vert z\Vert$ (其中 $x=y+z$, $y\in E,z\in F$) , 且 $\Vert x\Vert ⩽\Vert y\Vert +\Vert z\Vert$. 由范数等价定理, $\Vert y\Vert ,\Vert z\Vert$ 亦为 $\Vert x\Vert$ 控制, 即是 $P_E,P_F$ 有界. $\square$

注: 不少人以为非零幂等算子的范数一定是 $1$, 实际上不是的. 比如说 $P:{\mathbb{R}}^2\to {\mathbb{R}}^2,(x,y)\mapsto (x+\lambda y,0)$ 是幂等算子, 在范数 $\Vert (x,y)\Vert =\sqrt{x^2+y^2}$ 下, $\Vert P\Vert =\sqrt{1+{\lambda }^2}$.

习题 11. 试举一例: $X$ 是 Banach 空间, $E$ 是 $X$ 的闭线性子空间, $F$ 是 $X$ 的线性子空间, 并且 $X=E\oplus F$, 但 $F$ 不是闭线性子空间.

证明. 取无限维 Banach 空间 $X$, $f$ 是 $X$ 上的无界线性泛函. 令 $F=\ker f$, 这是不闭的子空间; 任取 $y\notin F$, 令 $E=\mathbb{F}y$. 显然 $E\cap F=\{0\}$, 并且任意 $x\in X$ 能分解成 $f(x)y/f(y)+[x-f(x)y/f(y)]\in E\oplus F$.

$\square$

习题 12. 设 $X,Y$ 都是 Banach 空间, $T$ 是 $X$ 到 $Y$ 的线性算子, 证明: 如果对每个 $f\in Y^{\ast }$, $f(Tx)$ 作为空间 $X$ 上的泛函是连续线性泛函, 那么 $T\in \mathfrak{B}(X,Y)$.

证明. $\{f(T\cdot ):f\in Y^{\ast },\Vert f\Vert =1\}$ 是从 $X$ 到 $\mathbb{F}$ 的一族有界线性算子, 对每个 $x\in X$ 有 $\underset{\Vert f\Vert =1}{\sup }|f(Tx)|=\Vert Tx\Vert <\infty$. 那么 $\Vert f(T\cdot )\Vert$ 是一致有界的, 设为 $c$, 即 $\underset{\Vert f\Vert =1}{\sup }|f(Tx)|=\Vert Tx\Vert ⩽c\Vert x\Vert$ 对所有 $x\in X$ 成立.

$\square$

习题 13. 设 $(E,\Vert \cdot \Vert )$ 是 Banach 空间, $(F,\Vert \cdot {\Vert }_1)$ 是赋范线性空间. 若 $F$ 上有第二个范数 $\Vert \cdot {\Vert }_2$ 使得 $(F,\Vert \cdot {\Vert }_2)$ 是 Banach 空间, 且 $\Vert \cdot {\Vert }_2$ 强于 $\Vert \cdot {\Vert }_1$, 证明: 任何 $E\to (F,\Vert \cdot {\Vert }_1)$ 的有界线性算子 $T$ 也是 $E\to (F,\Vert \cdot {\Vert }_2)$ 的有界线性算子.

证明. 这样的 $T$ 是 $E\to (F,\Vert \cdot {\Vert }_2)$ 的闭算子, 推理如下: $$\text{设}\left\{\begin{array}{ccc}{x}_n\to x\text{ 于 }E& ⟹& T{x}_n\to Tx\text{ 于 }(F,\Vert \cdot {\Vert }_1)\\ & & \\ T{x}_n\to y\text{ 于 }(F,\Vert \cdot {\Vert }_2)& ⟹& T{x}_n\to y\text{ 于 }(F,\Vert \cdot {\Vert }_1)\end{array}\right\}⟹Tx=y.$$上方的推导用的是 $T:E\to (F,\Vert \cdot {\Vert }_1)$ 是有界线性算子, 下方的推导是用了 $\Vert \cdot {\Vert }_2$ 强于 $\Vert \cdot {\Vert }_1$.

$\square$

习题 14. 设 $T$ 是 $L^2[0,1]$ 上有界线性算子. 如果 $T$ 把 $L^2[0,1]$ 中连续函数映射成连续函数, 证明: $T$ 是 $C[0,1]$ 上有界线性算子.

证明. 只需验证 $T$ 是 $C[0,1]$ 上的闭算子. 设 $(x_n,T{x}_n)\stackrel{C[0,1]}{⟶}(x,y)$, $L^2[0,1]$ 范数不超过 $C[0,1]$ 范数表明 $(x_n,T{x}_n)\stackrel{L^2}{⟶}(x,y)$, 由 $T$ 有界又有 $T{x}_n\stackrel{L^2}{⟶}Tx$, 这样 $Tx=y$.

$\square$

习题 15. 设 $X$ 为线性空间, $\Vert \cdot {\Vert }_1,\Vert \cdot {\Vert }_2$ 是 $X$ 上的两个范数. 如果凡对 $\Vert \cdot {\Vert }_1$ 为连续的线性泛函, 也为 $\Vert \cdot {\Vert }_2$ 连续, 那么存在数 $c>0$, 使得对一切 $x\in X$, $\Vert \cdot {\Vert }_1⩽c\Vert \cdot {\Vert }_2$.

证明. 对于 $i=1,2$, 记 $\Vert f{\Vert }_i$ 是 $f$ 在 $(X,\Vert \cdot {\Vert }_i{)}^{\ast }$ 中的范数. 由条件, $\{f\in (X,\Vert \cdot {\Vert }_1{)}^{\ast }:\Vert f{\Vert }_1=1\}$ 是从 $(X,\Vert \cdot {\Vert }_2)$ 到 $\mathbb{F}$ 的一族有界线性算子, 对每个 $x\in X$ 有 $\underset{\Vert f{\Vert }_1=1}{\sup }|f(x)|=\Vert x{\Vert }_1<\infty$. 那么 $\Vert f{\Vert }_2$ 是一致有界的, 设为 $c$, 即 $\underset{\Vert f{\Vert }_1=1}{\sup }|f(x)|=\Vert x{\Vert }_1⩽c\Vert x{\Vert }_2$ 对所有 $x\in X$ 成立.

可惜这是个错误的做法, 原因在于 $(X,\Vert \cdot {\Vert }_2)$ 未必是 Banach 空间. 不过赋范空间的对偶空间一定是 Banach 空间, 于是正确的证明如下:

$\{x^{\ast \ast }:x\in X,\Vert x{\Vert }_2=1\}$ 是从 $(X,\Vert \cdot {\Vert }_1{)}^{\ast }$ 到 $\mathbb{F}$ 的一族有界线性算子, 由条件, 对每个 $f\in (X,\Vert \cdot {\Vert }_1{)}^{\ast }$, $f$ 也属于 $(X,\Vert \cdot {\Vert }_2{)}^{\ast }$, 从而有$$\underset{\Vert x{\Vert }_2=1}{\sup }|x^{\ast \ast }(f)|=\underset{\Vert x{\Vert }_2=1}{\sup }|f(x)|=\Vert f{\Vert }_2<\infty .$$那么 $\Vert x^{\ast \ast }\Vert$ 是一致有界的, 设为 $c$, 即 $\underset{\Vert x{\Vert }_2=1}{\sup }\Vert x^{\ast \ast }{\Vert }_{(X,\Vert \cdot {\Vert }_1{)}^{\ast \ast }}=\underset{\Vert x{\Vert }_2=1}{\sup }\Vert x{\Vert }_1⩽c$ 成立.

$\square$

习题 16. 举例说明共鸣定理中空间完备性的假设不可除去.

例子. 设 $X$ 是 ${\mathbb{R}}^{\infty }=\underset{n⩾1}{⨁}\mathbb{R}$ (其元素只有有限项非零) 上取 $l^{\infty }$ 范数, 这是不完备的赋范空间. 令$$T_n:X\to X,(x_1,x_2,\cdots )\mapsto (x_1,2x_2,\cdots ,n{x}_n,0,\cdots ),$$对每个 $x\in X$, 记 $x$ 在第 $N_x$ 项开始为零, 那么有 $\underset{n}{\sup }\Vert T_{n}x\Vert ⩽N_x\Vert x\Vert$. 不过 $\Vert T_n\Vert =n$ 不一致有界.

$\square$

习题 17. 设 $\{e_{\lambda }{\}}_{\lambda \in \Gamma }$ 是 Hilbert 空间 $H$ 的一组标准正交基. 对 $H$ 中的一个点列, 证明: $x_n$ 弱收敛于一点 $x$ 当且仅当点列 $\{x_n\}$ 有界且$$\underset{n\to \infty }{\lim }⟨x_n,e_{\lambda }⟩=⟨x,e_{\lambda }⟩,\forall \lambda \in \Gamma .$$

证明. 前推后显然. 后推前如下: 对任意 $f\in H$, 设 $f=\sum _{\lambda \in \Gamma }{a}_{\lambda }{e}_{\lambda }$, 有$$⟨x_n-x,f⟩=⟨x_n-x,\sum _{\lambda \in \Gamma \setminus F}{a}_{\lambda }{e}_{\lambda }⟩+\sum _{\lambda \in F}{\bar{a}}_{\lambda }⟨x_n-x,e_{\lambda }⟩,$$其中 $F$ 为有限子集; 先取定 $F$ 让 $\Vert \sum _{\lambda \in \Gamma \setminus F}{a}_{\lambda }{e}_{\lambda }\Vert$ 小, 再令 $n$ 大, 即有 $⟨x_n-x,f⟩$ 充分小.

$\square$

习题 18. 设 $X$ 是 Banach 空间, $Y,Z$ 都是赋范线性空间, $\Phi (x,y)$ 是 $X\times Y$ 到 $Z$ 的双线性映射, 即: 固定 $x$, $\Phi (x,y)$ 是 $Y$ 到 $Z$ 的线性映射, 固定 $y$, $\Phi (x,y)$ 是 $X$ 到 $Z$ 的线性映射. 若 $\Phi (x,y)$ 对变量 $x,y$ 是分别连续的: 对 $x\in X$, $\Phi (x,\cdot )\in \mathfrak{B}(Y,Z)$; 对 $y\in Y$, $\Phi (\cdot ,y)\in \mathfrak{B}(X,Z)$, 证明: 存在常数 $M$, 使得 $\Vert \Phi (x,y)\Vert ⩽M\Vert x\Vert \Vert y\Vert$.

证明. $\{\Phi (\cdot ,y){\}}_{\Vert y\Vert =1}$ 是 $X$ 到 $Z$ 的一族有界线性算子, 且对任意的 $x\in X$, $$\underset{\Vert y\Vert =1}{\sup }\Vert \Phi (x,y)\Vert =\Vert \Phi (x,\cdot ){\Vert }_{Y\to Z}<\infty ,$$则 $\{\Vert \Phi (\cdot ,y){\Vert }_{X\to Z}{\}}_{\Vert y\Vert =1}$ 是一致有界的, 即 $\Vert \Phi (x,y)\Vert ⩽M\Vert x\Vert$ 对某个 $M>0$ 及一切 $\Vert y\Vert =1$ 成立.

$\square$

习题 19 (Gelfand 引理). 设 $X$ 是 Banach 空间, $p(x)$ 是 $X$ 上的泛函, 它满足下面的条件:

(i)	$p(x)⩾0$;
(ii)	当 $\alpha$ 为非负数时, $p(\alpha x)=\alpha p(x)$;
(iii)	$p(x+y)⩽p(x)+p(y)$, $\forall x,y\in X$;
(iv)	当 $x,x_n(n=1,2,\cdots )\in X$, $\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n=x$ 时, $\underset{n\to \infty }{\underline{\lim }}p(x_n)⩾p(x)$,

证明: 存在正数 $M$, 使得对一切 $x\in X$, $p(x)⩽M\Vert x\Vert$. 这个结果说明了 Banach 空间吸收的闭凸子集的什么性质?

证明. 令 $\left|\left|\left|x\right|\right|\right|=\Vert x\Vert +\underset{\theta }{\sup }p(e^{\mathrm{i}\theta }x)$, $p$ 的性质说明 $\Vert \cdot {\Vert }_1$ 是一个范数, 比如说$$\begin{array}{rl}\left|\left|\left|0\right|\right|\right|& =p(0)⩽\underset{n\to \infty }{\underline{\lim }}p(x/n)=\underset{n\to \infty }{\underline{\lim }}p(x)/n=0,\\ \left|\left|\left|\alpha x\right|\right|\right|& =\Vert \alpha x\Vert +\underset{\theta }{\sup }p(e^{\mathrm{i}\theta }\alpha x)=|\alpha |\Vert x\Vert +|\alpha |\underset{\theta }{\sup }p(e^{\mathrm{i}\theta }x)=|\alpha |\left|\left|\left|x\right|\right|\right|.\end{array}$$接下来说明 $X$ 关于 $\left|\left|\left|\cdot \right|\right|\right|$ 完备. 设 $\{x_n\}$ 是 $\left|\left|\left|\cdot \right|\right|\right|$ 的 Cauchy 列, 则也是 $\Vert \cdot \Vert$ 的 Cauchy 列, 记 $\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n=x$, 那么当 $n\to \infty$ 时, 由条件有$$p(e^{\mathrm{i}\theta }(x_n-x))⩽\underset{m\to \infty }{\underline{\lim }}p(e^{\mathrm{i}\theta }(x_n-x_m)),$$推出$$\underset{\theta }{\sup }p(e^{\mathrm{i}\theta }(x_n-x))⩽\underset{m\to \infty }{\underline{\lim }}\underset{\theta }{\sup }p(e^{\mathrm{i}\theta }(x_n-x_m))\to 0,$$得 $\left|\left|\left|x_n-x\right|\right|\right|\to 0$. 故由范数等价定理, 存在 $M$ 使得 $\left|\left|\left|x\right|\right|\right|⩽M\Vert x\Vert$, 更有 $p(x)⩽M\Vert x\Vert$.

对吸收的闭凸子集 $N$, Minkowski 泛函 $p_N(x)$ 符合题中条件, 于是 $p_N(x)=\underset{\begin{array}{c}\alpha >0,\\ {\alpha }^{-1}x\in N\end{array}}{\inf }\alpha ⩽M\Vert x\Vert$, 得 $x/(M\Vert x\Vert )\in N$, 也就是 $B(0,1/M)\subset N$, 即 $0$ 是 $N$ 的内点.

$\square$

习题 20. 设 $C_{2\pi }$ 是直线上周期为 $2\pi$ 的连续函数全体组成的 Banach 空间. 对于任意的 $x(t)\in C_{2\pi }$, 令 $a_n=\frac{1}{\pi }{\int }_0^{2\pi }x(t)\cos nt\mathrm{d}t$, $b_n=\frac{1}{\pi }{\int }_0^{2\pi }x(t)\sin nt\mathrm{d}t(n=0,1,2,\cdots )$, 则 $x(t)$ 有 Fourier 展开: $$x(t)\sim \frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }(a_n\cos nt+b_n\sin nt).$$记部分和 $S_n(x)(t)=\frac{a_0}{2}+\sum _{k=1}^n(a_k\cos kt+b_k\sin kt)$, 证明:

(i)	$S_n(x)(s)=\frac{1}{2\pi }{\int }_0^{2\pi }x(t)\frac{\sin [(2n+1)\frac{t-s}{2}]}{\sin \frac{t-s}{2}}\mathrm{d}t$.
(ii)	$S_n$ 是从 $C_{2\pi }$ 到 $C_{2\pi }$ 的有界线性算子, 并且 $\Vert S_n\Vert =\frac{1}{\pi }{\int }_0^{\pi }\left|\frac{\sin (2n+1)t}{\sin t}\right|\mathrm{d}t$.
(iii)	$\underset{n\to \infty }{\lim }\Vert S_n\Vert =+\infty$.
(iv)	存在连续周期函数, 其 Fourier 级数不是一致收敛的.
(v)	将 $S_n$ 看成从 $L^1[0,2\pi ]$ 到 $L^1[0,2\pi ]$ 的线性算子, 利用同样的方法证明: 存在可积函数, 其 Fourier 级数在 $L^1[0,2\pi ]$ 中不是收敛的.

证明.

(i)	代入 $a_k,b_k$ 运算即可. $$\begin{array}{rl}& S_n(x)(s)=\frac{a_0}{2}+\sum _{k=1}^n(a_k\cos ks+b_k\sin ks)\\ & =\frac{1}{2\pi }{\int }_0^{2\pi }x(t)\mathrm{d}t+\sum _{k=1}^n\left(\frac{1}{\pi }{\int }_0^{2\pi }x(t)\cos kt\mathrm{d}t\cos ks+\frac{1}{\pi }{\int }_0^{2\pi }x(t)\sin kt\mathrm{d}t\sin ks\right)\\ & =\frac{1}{2\pi }{\int }_0^{2\pi }x(t)\left(1+\sum _{k=1}^{n}2\cos k(t-s)\right)\mathrm{d}t\\ & =\frac{1}{2\pi }{\int }_0^{2\pi }x(t)\left(1+\sum _{k=1}^n\frac{\sin (k+\frac{1}{2})(t-s)-\sin (k-\frac{1}{2})(t-s)}{\sin \frac{t-s}{2}}\right)\mathrm{d}t\\ & =\frac{1}{2\pi }{\int }_0^{2\pi }x(t)\frac{\sin (n+\frac{1}{2})(t-s)}{\sin \frac{t-s}{2}}\mathrm{d}t.\end{array}$$
(ii)	$$\Vert S_n(x){\Vert }_{\infty }⩽\frac{1}{2\pi }\Vert x{\Vert }_{\infty }{\int }_0^{2\pi }\left|\frac{\sin (n+\frac{1}{2})(t-s)}{\sin \frac{t-s}{2}}\right|\mathrm{d}t,$$当 $x(t)=\mathrm{sgn}\frac{\sin (n+\frac{1}{2})(t-s)}{\sin \frac{t-s}{2}}$ 时是等号, 那么$$\Vert S_n\Vert =\frac{1}{2\pi }{\int }_0^{2\pi }\left|\frac{\sin (n+\frac{1}{2})(t-s)}{\sin \frac{t-s}{2}}\right|\mathrm{d}t=\frac{1}{\pi }{\int }_0^{\pi }\left|\frac{\sin (2n+1)t}{\sin t}\right|\mathrm{d}t.$$
(iii)	注意 $\frac{1}{t}-\frac{1}{\sin t}$ 是 $[0,\frac{\pi }{2}]$ 上的有界函数, 于是$$\begin{array}{rl}\Vert S_n\Vert & =\frac{1}{\pi }{\int }_0^{\pi }\left|\frac{\sin (2n+1)t}{\sin t}\right|\mathrm{d}t\\ & =\frac{2}{\pi }{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\left|\frac{\sin (2n+1)t}{\sin t}\right|\mathrm{d}t\\ & =\frac{2}{\pi }{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\left|\frac{\sin (2n+1)t}{t}\right|\mathrm{d}t+O(1)\\ & =\frac{2}{\pi }{\int }_0^{(n+\frac{1}{2})\pi }\left|\frac{\sin t}{t}\right|\mathrm{d}t+O(1)\\ & =\frac{2}{\pi }\sum _{k=1}^n\frac{1}{k\pi }{\int }_0^{\pi }\sin t\mathrm{d}t+O(1)\\ & =\frac{4}{{\pi }^2}\log n+O(1)\to \infty .\end{array}$$
(iv)	不然对所有 $x(t)\in C_{2\pi }$, $\{S_n(x){\}}_{n⩾1}$ 一致收敛从而一致有界, 则 $\{\Vert S_n\Vert {\}}_{n⩾1}$ 一致有界, 与 (iii) 矛盾.
(v)	$S_n:L^1[0,2\pi ]\to L^1[0,2\pi ]$ 的范数还是 $\frac{1}{\pi }{\int }_0^{\pi }\left|\frac{\sin (2n+1)t}{\sin t}\right|\mathrm{d}t$, 后面不变. $\square$

习题 21. 在习题 2.5 第 6 题与习题 2.5 第 15 题中证明了 Fourier 级数 $f\mapsto \{\hat{f}(n){\}}_{n\in \mathbb{Z}}$ 是从 $L^1([0,2\pi ])$ 到 $c_0(\mathbb{Z})$ 的单射, 证明这个映射不是满射.

证明. 搬运自 [Ru] Theorem 5.15.

对任意的 $n\in \mathbb{Z}$, $|\hat{f}(n)|⩽\Vert f{\Vert }_1$, 也就是 $\Vert \hat{f}(n){\Vert }_{\infty }⩽\Vert f{\Vert }_1$, 即这是个范数不大于 $1$ 的有界映射. 现有这个映射是单的, 假设其还是满的, 则逆算子定理说明存在 $c>0$ 使得$$\Vert \hat{f}(n){\Vert }_{\infty }⩾c\Vert f{\Vert }_1.$$为了推出矛盾, 考虑 Dirichlet 核$$D_N(\theta )=\sum _{n=-N}^N{e}^{\mathrm{i}n\theta }.$$一方面, 其 Fourier 级数从 $-N$ 项至 $N$ 项均为 $1$, 其余项为 $0$, 有 $\Vert {\hat{D}}_N{\Vert }_{\infty }=1$; 另一方面, 注意到$$D_N(\theta )(e^{\mathrm{i}\frac{\theta }{2}}-e^{-\mathrm{i}\frac{\theta }{2}})=e^{\mathrm{i}(N+\frac{1}{2})\theta }-e^{-\mathrm{i}(N+\frac{1}{2})\theta },$$从而$$D_N(\theta )=\frac{\sin (N+\frac{1}{2})\theta }{\sin \frac{\theta }{2}},$$上一题的 (iii) 是说 $\underset{N\to \infty }{\lim }\Vert D_N{\Vert }_1=\infty$.

$\square$

习题 23. 设 Hilbert 空间 $H$ 上有界线性算子列 $\{A_n\},\{B_n\}$ 分别强算子收敛于 $A,B$. 证明: 算子列 $\{A_n{B}_n\}$ 强算子收敛于 $AB$. 在弱算子收敛下, 相应的结论是否成立? 并说明理由.

解答. 证明是很简单的, 拆成$$\Vert A_n{B}_{n}x-ABx\Vert ⩽\Vert A_n\Vert \Vert B_{n}x-Bx\Vert +\Vert (A_n-A)(Bx)\Vert \to 0$$即可. 弱算子收敛下不成立, 如 $L^2(\mathbb{R})$ 上令 $A_n$ 为乘 $e^{\mathrm{i}nx}$, $B_n$ 为乘 $e^{-\mathrm{i}nx}$, 则 $A_n{B}_n$ 均为恒等算子, 而 $A_n,B_n$ 都弱算子收敛于 $0$, 理由如下: 对 $f\in L^2(\mathbb{R})$, $g\in L^2(\mathbb{R}{)}^{\ast }\simeq L^2(\mathbb{R})$, 有 $fg\in L^1(\mathbb{R})$, 则由 Riemann–Lebesgue 引理 (习题 1.4 第 14 题) 有$$⟨f{e}^{\pm \mathrm{i}nx},g⟩={\int }_{\mathbb{R}}f(x)g(x)e^{\pm \mathrm{i}nx}\mathrm{d}x\to 0.$$$\square$

继续思考: 改成 $\{A_n\}$ 弱算子收敛于 $A$, $\{B_n\}$ 强算子收敛于 $B$, 是否有 $\{A_n{B}_n\}$ 弱算子收敛于 $AB$? 若 $\{A_n\}$ 强算子收敛于 $A$, $\{B_n\}$ 弱算子收敛于 $B$, 情况又如何?

解答.

解答. 前者成立, 证明很简单从略; 后者不对, 取 $A_n,B_n$ 为 $l^2$ 上的左、右位移 $n$ 位的算子, 不难验证 $\{A_n\}$ 强算子收敛于 $0$, $\{B_n\}$ 弱算子收敛于 $0$.

$\square$

习题 25 (Toeplitz). 对于一个无穷阶数值矩阵 $A=(a_{ij}{)}_{1⩽i,j<\infty }$, 可引入 $A$-求和法: 令 $s_n=x_1+\cdots +x_n$ 为数项级数 $\sum _{n=1}^{\infty }{x}_n$ 的部分和. 若 Cauchy 和$${\sigma }_n=a_{n1}{s}_1+a_{n2}{s}_2+\cdots \text{\hspace{1em}(3.4)}$$都存在, 且 $\underset{n\to \infty }{\lim }{\sigma }_n$ 收敛, 则称其极限 $\sigma$ 为数项级数 $\sum _{n=1}^{\infty }{x}_n$ 按求和矩阵 $A$ 的广义和, 记为 $A-\sum _{n=1}^{\infty }{x}_n$. 证明下面两个条件是等价的:

(i)	$A$-求和法是正则的, 即: 若 $\sum _{n=1}^{\infty }{x}_n$ 收敛, 则 $A-\sum _{n=1}^{\infty }{x}_n$ 存在且与 $\sum _{n=1}^{\infty }{x}_n$ 相等.
(ii)	$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_{nj}=0$, $\underset{n\to \infty }{\lim }\sum _{j=1}^{\infty }{a}_{nj}=1$, 且 $b\stackrel{\text{def}}{=}\underset{n}{\sup }\sum _{j=1}^{\infty }|a_{nj}|<\infty$.

同时证明: 由 (3.4) 式定义的线性变换 $T(\{s_n\})=\{{\sigma }_n\}$ 是 $c$ 上的有界线性算子, 且 $\Vert T\Vert =b$.

证明. 见 [Xia] §5.4 例 4 定理 5.4.9 (pp.169–72).

$\square$

习题 26 (Grothendieck). 设 $1⩽p<\infty$, $E$ 是 $L^p[0,1]$ 的闭线性子空间, 且 $E$ 是 $L^{\infty }[0,1]$ 的子集.

(i)	证明: $E$ 也是 $L^{\infty }[0,1]$ 的一个闭线性子空间.
(ii)	证明: 存在 $C>0$ 使得 $\Vert f{\Vert }_{\infty }⩽C\Vert f{\Vert }_p$.
(iii)	证明: 存在 $A>0$ 使得 $\Vert f{\Vert }_{\infty }⩽A\Vert f{\Vert }_2$.
(iv)	固定 $E$ 中的一个标准正交系 $\{f_1,f_2,\cdots ,f_n\}$. 证明: 存在常数 $A$ 以及 $[0,1]$ 中的 Lebesgue 可测集 $H$, $m(H)=1$, 使得对满足 $|a_1{|}^2+|a_2{|}^2+\cdots +|a_n{|}^2=1$ 的数组 $(a_1,a_2,\cdots ,a_n)$ 和 $x\in H$, 有$$|a_1{f}_1(x)+a_2{f}_2(x)+\cdots +a_n{f}_n(x)|⩽A.$$
(v)	固定 $E$ 中的一个标准正交系 $\{f_1,f_2,\cdots ,f_n\}$. 证明: 存在常数 $B$, 使得对几乎处处的 $x\in [0,1]$, 都有 $\sum _{i=1}^n|f_i(x){|}^2⩽B^2$.
(vi)	证明: $E$ 是有限维的.

证明.

(i)	对 $E$ 的序列 $f_n\stackrel{L^{\infty }}{⟶}f\in L^p[0,1]$, 有 $f_n\stackrel{L^p}{⟶}f$, 从而 $f\in E$.
(ii)	$\mathrm{id}:(E,L^p)\to (E,L^{\infty })$ 是一一的, 所以是有界的.
(iii)	$p⩽2$ 时 $\Vert f{\Vert }_{\infty }⩽C\Vert f{\Vert }_p⩽C\Vert f{\Vert }_2$; $p>2$ 时 $\Vert f{\Vert }_{\infty }⩽C\Vert f{\Vert }_p⩽C\Vert f{\Vert }_2^{\frac{2}{p}}\Vert f{\Vert }_{\infty }^{1-\frac{2}{p}}$, 那么 $\Vert f{\Vert }_{\infty }⩽C^{\frac{p}{2}}\Vert f{\Vert }_2$.
(iv)	$\Vert a_1{f}_1+\cdots +a_n{f}_n{\Vert }_{\infty }⩽A\Vert a_1{f}_1+\cdots +a_n{f}_n{\Vert }_2⩽A$.
(v)	令 $a^{(j)}=(a_1^{(j)},\cdots ,a_n^{(j)})$ 是可数个在单位球面 $|a|=1$ 上稠密的数组, 得$$|a_1^{(j)}{f}_1(x)+\cdots +a_n^{(j)}{f}_n(x)|⩽A\text{对 }x\in H_j,$$其中 $m(H_j)=1$. 由连续性, 对单位球面上的所有 $a=(a_1,\cdots ,a_n)$, $$|a_1{f}_1(x)+\cdots +a_n{f}_n(x)|⩽A$$对 $x\in \bigcap _j{H}_j:=H$ 成立. 取 $a_i=\overline{f_i(x)}/(\sum _{i=1}^n|f_i(x){|}^2{)}^{\frac{1}{2}}$, 得到 $(\sum _{i=1}^n|f_i(x){|}^2{)}^{\frac{1}{2}}⩽A$.
(vi)	取 $L^2$ 范数有 $n⩽A^2$. $\square$

注: (I) 容易发现 $[0,1]$ 可换成任何有限测度空间.

  (II) 把 $L^{\infty }[0,1]$ 改为任何 $L^q[0,1](q<\infty )$ 后结论不再成立.

3.3 共轭算子

习题 7. 设 $T$ 是复 Hilbert 空间 $H$ 上的有界算子. 证明: $T$ 是自伴算子当且仅当对任意 $x\in H$, $⟨Tx,x⟩$ 都是实值的.

证明. 当 $T$ 是自伴算子, $⟨Tx,x⟩=⟨T^{\ast }x,x⟩=⟨x,Tx⟩=\overline{⟨Tx,x⟩}$, 即 $⟨Tx,x⟩$ 是实数.

当 $⟨Tx,x⟩$ 都是实数, $⟨Tx,x⟩=\overline{⟨Tx,x⟩}=⟨x,Tx⟩=⟨T^{\ast }x,x⟩$, 用极化恒等式得 $T=T^{\ast }$.

$\square$

习题 9. 若 $\{U_n\},U$ 都是 Hilbert 空间 $H$ 上的酉算子. 证明: $U_n$ 强算子收敛于 $U$ 当且仅当 $U_n$ 弱算子收敛于 $U$.

证明. 前推后显然, 后推前是$$\underset{n\to \infty }{\lim }\Vert U_{n}x-Ux{\Vert }^2=\underset{n\to \infty }{\lim }\Vert U_{n}x{\Vert }^2+\Vert Ux{\Vert }^2-⟨U_{n}x,Ux⟩-⟨Ux,U_{n}x⟩=2\Vert x{\Vert }^2-2\Vert Ux{\Vert }^2=0.$$$\square$

习题 11. 证明推论 3.3.1.

证明. 设 $T$ 可逆, 则 $(T^{-1}{)}^{\ast }$ 就是 $T^{\ast }$ 的逆算子. 设 $T^{\ast }$ 可逆, 闭值域定理的 (iii), (iv) 分别推出 $T$ 是满射和单射, 故 $T$ 可逆; 亦可直接证明, 过程如下: 由开映射定理, 存在 $\delta >0$ 使得 $B_{X^{\ast }}(0,\delta )\subset T^{\ast }{B}_{Y^{\ast }}(0,1)$, 那么对 $x\in X$, $$\begin{array}{rl}\Vert Tx\Vert & =\sup \{f(Tx):f\in B_{Y^{\ast }}(0,1)\}\\ & =\sup \{(T^{\ast }f)(x):f\in B_{Y^{\ast }}(0,1)\}\\ & ⩾\sup \{g(x):g\in B_{X^{\ast }}(0,\delta )\}\\ & =\delta \Vert x\Vert ,\end{array}$$于是 $T$ 是单射, 且 $\mathfrak{R}(T)$ 是闭的; 再用 $\ker (T^{\ast })=\mathfrak{R}(T{)}^{\perp }$ 得出 $\mathfrak{R}(T)$ 稠密, 从而 $T$ 是满射.

$\square$

习题 12. 设 $X,Y$ 是 Banach 空间, $T\in \mathfrak{B}(X,Y)$. 证明: $T$ 是满射当且仅当 $T^{\ast }$ 是下有界的, 即存在正数 $c$ 使得对任意 $y^{\ast }\in Y^{\ast }$, 有 $\Vert T^{\ast }{y}^{\ast }\Vert ⩾c\Vert y^{\ast }\Vert$.

证明. 后推前用引理 3.3.2 就行; 前推后如下: $$T\text{ 满}⟹\left\{\begin{array}{ccc}{}^{\perp }\ker (T^{\ast })\text{ 是全空间}& ⟹& T^{\ast }\text{ 单}\\ & & \\ \mathfrak{R}(T)\text{ 闭}& ⟹& \mathfrak{R}(T^{\ast })\text{ 闭}\end{array}\right\}⟹T^{\ast }\text{ 下有界},$$左边的推导是用 $\mathfrak{R}(T){=}^{\perp }\ker (T^{\ast })$, 中间下面的推导用的也是闭值域定理, 右边的推导用的是定理 3.2.4.

$\square$

习题 13. 举例说明: 存在 Banach 空间 $X$ 上的有界线性算子 $T$, 使得 $T$ 是单射, 但是 $T^{\ast }$ 的值域在 $X^{\ast }$ 中不稠密.

例子. 令算子 $T:l^1\to l^1,(a_n)\mapsto (a_n/n)$, 则 $T^{\ast }:l^{\infty }\to l^{\infty },(a_n)\mapsto (a_n/n)$, $\mathfrak{R}(T^{\ast })\subset c_0$ 不在 $l^{\infty }$ 中稠密.

$\square$

参考文献

[Ca]	N. L. Carothers. A Short Course on Banach Space Theory. London Mathematical Society Student Texts 64. Cambridge University Press, 2004.
[Gr]	L. Grafakos. Classical Fourier Analysis. Graduate Texts in Mathematics 249. Springer, 2014.
[KT]	P. Komjáth and V. Totik. Problems and Theorems in Classical Set Theory. Springer, 2006.
[Ox]	J. C. Oxtoby. Measure and Category. Graduate Texts in Mathematics 2. Springer, 1980.
[Ru]	W. Rudin. Real and Complex Analysis. International Series in Pure and Applied Mathematics. McGraw–Hill, Inc, 1987.
[Xia]	夏道行 等. 实变函数论与泛函分析 (下册) . 现代数学基础 17. 高等教育出版社, 2010.