用户: Solution/ 习题: 泛函分析 附录

附录 C: Stone–Weierstrass 定理

附录 D: 弱拓扑中的一些定理

习题 1. 设 $X$ 是 Banach 空间, $\gamma ⩾0$, $f_1,\cdots ,f_n$ 是 $X$ 上的 $n$ 个有界线性泛函, ${\alpha }_1,\cdots ,{\alpha }_n$ 是 $n$ 个给定的数. 那么对于任意的 $\epsilon >0$, 存在 $x_{\epsilon }\in X$ 使得: $$f_i(x_{\epsilon })={\alpha }_i(i=1,2,\cdots ,n),\text{以及}\Vert x_{\epsilon }\Vert ⩽\gamma +\epsilon$$的充要条件是不等式$$\left|\sum _{i=1}^n{\beta }_i{\alpha }_i\right|⩽\gamma \Vert \sum _{i=1}^n{\beta }_i{f}_i\Vert$$对于任意的 $n$ 个数 ${\beta }_1,\cdots ,{\beta }_n$ 都成立.

证明. 设前一条件成立, 那么对于任意的 $\epsilon >0$, $$\left|\sum _{i=1}^n{\beta }_i{\alpha }_i\right|=\left|\right(\sum _{i=1}^n{\beta }_i{f}_i)(x_{\epsilon })|⩽(\gamma +\epsilon )\Vert \sum _{i=1}^n{\beta }_i{f}_i\Vert ,$$令 $\epsilon \to 0^{+}$ 即得.

先假定 $f_1,\cdots ,f_n$ 线性无关. 设前一条件不成立, 即存在 $\epsilon >0$ 使得 $\alpha$ 不属于 $f(B_{\gamma +\epsilon })$, 其中 $\alpha =({\alpha }_1,\cdots ,{\alpha }_n)\in {\mathbb{R}}^n$, $f=(f_1,\cdots ,f_n):X\to {\mathbb{R}}^n$. 那么存在一个超平面分离 $\alpha$ 与 $f(B_{\gamma +\epsilon })$, 换言之存在非零的 $({\beta }_1,\cdots ,{\beta }_n)\in {\mathbb{R}}^n$ 使$$|\sum _{i=1}^n{\beta }_i{f}_i(x)|⩽\left|\sum _{i=1}^n{\beta }_i{\alpha }_i\right|$$对所有 $\Vert x\Vert ⩽\gamma +\epsilon$ 成立, 故有$$(\gamma +\epsilon )\Vert \sum _{i=1}^n{\beta }_i{f}_i\Vert ⩽\left|\sum _{i=1}^n{\beta }_i{\alpha }_i\right|.$$由于 $\Vert \sum _{i=1}^n{\beta }_i{f}_i\Vert >0$, 后一条件不成立.

对一般的情况, 取 $f_1,\cdots ,f_n$ 的一个极大的线性无关子集即可.

$\square$

习题 3. 若赋范线性空间 $X$ 的单位球 $B_1(X)$ 是弱紧的, 证明: 自然映射 $J:X\to X^{\ast \ast }$ 是满射, 即 $X$ 是自反的.

证明. 见 2.5 节习题 9.

$\square$

附录 E: 局部凸空间

附录 F: Lomonosov 不变子空间定理

 As regards the invariant subspace problem …, explain why the problem is (a) trivial in ${\mathbb{C}}^n$, (b) different in ${\mathbb{R}}^n$, (c) uninteresting if $X$ is not separable.

—— [Rudin] p.274

习题 1. 设 $X$ 是不可分 Banach 空间, $T\in \mathfrak{B}(X)$. 证明: 存在 $X$ 的一个非平凡闭子空间 $M$ 使得 $TM\subseteq M$.

证明. 设 $x$ 是 $X$ 的任何非零元素, 令 $M$ 为 $\{x,Tx,T^{2}x,\cdots \}$ 生成的子空间的闭包.

$\square$

注: 事实上, $T$ 不存在非平凡闭不变子空间当且仅当对所有的 $x$, $\{x,Tx,T^{2}x,\cdots \}$ 生成的子空间稠密.

习题 2. 叙述 $X={\mathbb{C}}^n$ 时的定理 F.1, 并给出直接的证明.

定理 F.1${}^{\prime }$ 设 $T$ 是 ${\mathbb{C}}^n$ 上的非零算子. 那么, 存在 ${\mathbb{C}}^n$ 的一个非平凡子空间 $M$, 对于每个与 $T$ 交换的算子 $S$ 都有: $S(M)\subset M$.

证明. 取 $T$ 的一个特征子空间 $\ker (T-\lambda I)$ 为 $M$ 即可, 对 $x\in M$, $(T-\lambda I)Sx=S(T-\lambda I)x=0$, 即 $Sx\in M$.

$\square$

习题 3. 设 $R(\{x_1,x_2,\cdots \})=\{0,x_1,x_2,\cdots \}$ 是 $l^2$ 上的右移位算子, $T$ 是 $l^2$ 上的紧算子. 若 $TR=RT$, 证明: $T=0$.

证明. 根据 [Halmos] 问题 148 (pp.79, 271) , $T$ 是一列 $R$ 的多项式 $T_m$ 的强算子极限.

用对角线法构造收敛序列, 记 $e_n=(\underset{n个}{\underbrace{0,\cdots ,0}},1,0,\cdots )$, $\{e_n\}$ 是 $l^2$ 的有界序列, 设 $\{T{e}_n\}$ 的子列 $\{T{e}_{n_k}\}$ 收敛于 $f$, 接着取大的 $m_k$ 使得$$\Vert T_{m_k}{e}_{n_k}-T{e}_{n_k}\Vert ⩽\frac{1}{k},$$$T_{m_k}{e}_{n_k}$ 亦收敛于 $f$. 由于 $T_{m_k}{e}_{n_k}$ 的前 $n_k$ 位都是 $0$, $f=0$. 那么对任意的 $n$, $\Vert T{e}_n\Vert =\underset{k\to \infty }{\lim }\Vert T{e}_{n_k}\Vert =\Vert f\Vert =0$, 从而 $T=0$.

$\square$

附录 F: $C^{\ast }$ 代数与正规算子谱理论

习题 2. 对于单位元的 Banach 代数 $\mathcal{A}$, 若 $\mathcal{A}$ 的极大理想空间能分离 $\mathcal{A}$ 中元素: 若 $a\ne b$, 则有可乘线性泛函 $\varphi$ 使得 $\varphi (a)\ne \varphi (b)$. 证明 $\mathcal{A}$ 是交换 Banach 代数.

证明. 重述一下条件: 若对所有的可乘线性泛函 $\varphi$ 都有 $\varphi (a)=\varphi (b)$, 则 $a=b$. 既然如此, 对任意的 $x,y\in \mathcal{A}$, 由于对所有的可乘线性泛函 $\varphi$ 都有 $\varphi (xy)=\varphi (yx)$, 那么 $xy=yx$.

$\square$

习题 6. 设 $\mathcal{A}$ 是带单位元的 Banach 代数. 若 $x,y\in \mathcal{A}$, $xy=yx$, 证明: $${\sigma }_{\mathcal{A}}(x+y)\subset {\sigma }_{\mathcal{A}}(x)+{\sigma }_{\mathcal{A}}(y),{\sigma }_{\mathcal{A}}(xy)\subset {\sigma }_{\mathcal{A}}(x){\sigma }_{\mathcal{A}}(y).$$

证明. [Rudin] Theorem 11.23 (p.293).

$\square$

习题 7. 设 $\mathcal{A}$ 是一个带单位元的交换 Banach 代数, $\mathcal{B}$ 是一个半单的带单位元的交换 Banach 代数. 证明: 任一同态 $\phi :\mathcal{A}\to \mathcal{B}$ 是连续的.

证明. [Rudin] Theorem 11.10 (pp.281–2).

$\square$

习题 13. 设 $N$ 是 Hilbert 空间上的紧正规算子. 若 $f\in C(\sigma (N))$, $f(0)=0$, 证明: $f(N)$ 也是紧的.

证明. [Rudin] Theorem 12.31 (b) (pp.329–30).

$\square$

参考文献

[Halmos]	P. R. Halmos. A Hilbert Space Problem Book. Graduate Texts in Mathematics 19. Springer, 1982.
[Rudin]	W. Rudin. Functional Analysis. International Series in Pure and Applied Mathematics. McGraw–Hill, Inc, 1991.