用户: Solution/ 习题: 泛函分析 (yyj)

2024 年秋泛函分析习题

1习题 1

1	分析 ${\mathcal{L}}^1([0,+\infty ))$ 和 ${\mathcal{L}}^2([0,+\infty ))$ 是否有包含关系, 说明理由.
2	列出一族 (无穷多个) 无限维线性空间 $V_0\supset V_1\supset V_2\supset \dots$, 满足: $1)V_{i+1}$ 是 $V_i$ 的真子空间; $2)\bigcap _{i\in \mathbb{N}}{V}_i=0$.
3	设 $a,b,p$ 是实数, 且 $p⩾1$. 证明不等式$$|ta+(1-t)b{|}^p⩽t|a{|}^p+(1-t)|b{|}^p$$对任意 $0⩽t⩽1$ 都成立.
4	证明: 有界实数列全体所构成的赋范线性空间 ${\ell }^{\infty }$ 和空间 $C[0,1]$ 的某个子空间之间存在一个等距的一一映射.
5	设 $f,g:(X,\mu )\to \mathbb{C}$ 是两个 $\mu$-可测函数. 证明, 对于 $p⩾1$, $$({\int }_X|f+g{|}^p\mathrm{d}\mu {)}^{\frac{1}{p}}⩽({\int }_X|f{|}^p\mathrm{d}\mu {)}^{\frac{1}{p}}+({\int }_X|g{|}^p\mathrm{d}\mu {)}^{\frac{1}{p}}.$$
6${}^{\ast }$	在自然数集 (或者正整数集) 上能否建立一个概率测度, 使得 “一个数被 $p$ 整除的概率是 $\frac{1}{p}$”?

2习题 2

1	试举例说明, 在实赋范线性空间中, 凸集的代数内点集与凸集的 (拓扑) 内点集可以是不同的.
2	设 $A$ 是 ${\mathbb{R}}^2$ 中有界闭凸集, $B$ 是 $A$ 在 $x$−轴上的投影. 证明, 存在两个 $B$ 上的凸函数 $f_1(x)$ 和 $f_2(x)$, 使得$$A=\{(x,y):-f_1(x)⩾y⩾f_2(x)\}$$
3	${\mathbb{R}}^n$ 中, 闭集的凸包是否一定是闭集?
4	(1) 设 $f:(a,b)\to \mathbb{R}$ 是一个有界可测函数, 且满足 $f\left(\frac{x+y}{2}\right)⩽\frac{f(x)+f(y)}{2}$. 取一列积分为 $1$ 的非负光滑函数 $\{j_n\}$, $\mathrm{supp}{j}_n\subset \left(-\frac{1}{n},\frac{1}{n}\right)$. 证明, 对于任意 $\delta >0$, 函数列 $\{j_n\ast f\}$ 在 $(a+\delta ,b-\delta )$ 上是等度连续的, 由此证明, $f$ 几乎处处等于一个连续函数. (2${}^{\ast }$) 你能把 $f$ 有界的条件去掉吗?
5	在测度空间 $(X,\mu )(\mu (X)<+\infty )$ 上, 非负函数 $g(x)$ 满足 ${\int }_{X}g(x)\mathrm{d}\mu =1$. (1) 对于有界可测函数 $F,G$, 定义$$\Psi (t;F,G,g)=\ln \left({\int }_X\text{exp}((1-t)F+tG)g\mathrm{d}\mu \right).$$证明, 对于固定的 $t_0$, $$\Psi (t+t_0;F,G,g)=\Psi (t;0,G-F,{\mathrm{e}}^{(1-t_0)F+t_{0}G}g)=\Psi (t_0;F,G,g)+\Psi (t;0,G-F,g^{\prime }),$$其中, $$g^{\prime }=\frac{{\mathrm{e}}^{(1-t_0)F+t_{0}G}g}{{\int }_X{\mathrm{e}}^{(1-t_0)F+t_{0}G}g\mathrm{d}\mu }.$$(2) 利用指数函数的凸性, 证明$$\Psi (t;0,G-F,g^{\prime })⩾\left({\int }_X(G-F)g^{\prime }\mathrm{d}\mu \right)\cdot t.$$由此证明, 对于固定的 $F,G,g$, $\Psi (t;F,G,g)$ 是 $t$ 的凸函数. (3) 对于 $p,q,r\in [1,+\infty ),\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=\frac{1}{r}$, 设 $f={\mathrm{e}}^{\frac{F}{p}},g={\mathrm{e}}^{\frac{G}{q}}$, 证明, $$\Vert fg{\Vert }_r⩽\Vert f{\Vert }_p\Vert g{\Vert }_q.$$(4) 由此推出上述 Hölder 不等式对于一般的 $f\in L^p,g\in L^q$ 都成立.

3习题 3

复线性空间中的凸锥

1	证明: 复线性空间中的凸集在复线性泛函 $f$ 映射下的像集是 $\mathbb{C}$ 中的凸集.
2	证明复线性空间上的 Hahn–Banach 定理: 设 $V_0$ 是复线性空间 $V$ 的子空间, $p$ 是 $V$ 上的齐次凸泛函, $f_0:V_0\to \mathbb{C}$ 是线性泛函, 且满足$$|f_0(x)|⩽p(x),\forall x\in V_0,$$则存在定义在全空间 $V$ 上的线性泛函 $f$, 满足条件$$f(x)=f_0(x),\forall x\in V_0,\text{ 且 }|f(x)|⩽p(x).$$
3	在一个线性空间中, 点集 $M$ 称为是均衡的, 当且仅当对于任意的 $x\in M$ 和 $|\alpha |⩽1$, $\alpha x\in M.$ 证明, 在一个赋范复线性空间 $V$ 中, 如果集合 $A$ 是一个均衡的凸开集, $B$ 是一个和 $A$ 不相交的非空凸集, 那么存在一个复线性泛函 $f$ 和 $c>0$, 使得在 $A$ 上 $|f(x)|<c$, 在 $B$ 上 $|f(x)|⩾c$.
4	在一个线性空间中, 一个锥 $C$ 是指一族过原点的射线的并集, 即 $v\in C\iff \lambda v\in C,\forall \lambda >0.$ 在 ${\mathbb{C}}^n$ 中, 包含 $\{(z,z^2,\dots ,z^n)\in {\mathbb{C}}^n,|z|⩽1\}$ 的最小凸锥记为 $X$. 证明, 如果 $\overline{X}\ne {\mathbb{C}}^n$, 那么存在一个非零复线性泛函 $f$, 使得 $f$ 在 $X$ 上的取值都是实部非负的复数.
5	接上题, 利用复数的指数形式证明, 上述 $f$ 在 $\{(z,z^2,\dots ,z^n)\in {\mathbb{C}}^n:|z|=1\}$ 上的取值的实部都是 $0$.
6	接上题, 利用复变函数的知识推出矛盾, 从而 $\overline{X}={\mathbb{C}}^n$.
7	证明, ${\mathbb{R}}^n$ 中的稠密凸集一定是全空间.
8	接 6, 证明, $X={\mathbb{C}}^n$.

包含对称凸集的最小椭球

  设 $V$ 是 ${\mathbb{R}}^3$ 中的一个关于原点对称的有界凸开集. 我们知道, $V$ 唯一对应到 ${\mathbb{R}}^3$ 的一个范数 ($N(V=\{x,N(x)<1\}$). 我们记三阶 (半) 正定阵全体为 $Q_{+}$, 对于 $q\in Q_{+}$, 它对应的 (可能退化的) 椭球为 $q(x,x)⩽1$, 包含 $V$ 的 (可能退化的) 椭球面 $E$ 对应的三阶对称阵全体就是$$K=\{q\in Q_{+},0⩽q(x,x)⩽(N(x){)}^2,\forall x\in {\mathbb{R}}^3\}.$$

1	证明, $K$ 作为 ${\mathbb{R}}^{3\times 3}$ (赋予欧氏距离拓扑) 中的子集是一个非空有界闭凸集．
2	我们记 $v(q)=$ 椭球 $\{q(x,x)⩽1\}$ 的体积. 证明, 存在 $q_N$, 使得 $v(q_N)$ 取到最小值．
3	对于 $q\in Q_{+}$, 定义$$I(q):=\iiint {\mathrm{e}}^{-q(x,x)}{\mathrm{d}}^{3}x,$$对于其它的对称阵 $q$, 定义 $I(q)=+\infty$ ．证明不等式$$I\left(\frac{q^{\prime }+q_N}{2}\right)⩽\frac{I(q^{\prime })+I(q_N)}{2}.$$从而说明, 上述 $q_N$ 是唯一的.
4	由此证明, 在所有关于原点对称且包含 $V$ 的椭球面 $E$ 中, 存在唯一一个 $E_0$, 使得其包围的体积取到最小值.
5	在椭球面 $E_0$ 上, 我们取一点使得 $N(x)$ 达到最大值的点 $a$. 证明, 椭球面 $E_0$ 在 $a$ 点处的切平面 $\Pi$ 与 $E_0$ 只有一个公共点 $a$.
6	我们定义 $H=\left\{y:q_N(a,y)=0\right\}$, 则 $\Pi =a+H$. 对于 $y\in H,t\in \mathbb{R}$, 定义 $\phi (t)=N(a+ty)$. 证明, $\phi$ 的最小值在 $t=0$ 时取到.
7	我们对于任意 $x\in {\mathbb{R}}^3$, 定义 (关于 $q_N$ 的) 向 $H$ 的正交投影 ${\pi }_H(x)$, 以及 ${\pi }_a(x)=x-{\pi }_H(x)$. 对于 $\epsilon ,\delta \in (0,1)$ 定义$$q(x,x)=(1+\epsilon )q_N({\pi }_a(x),{\pi }_a(x))+(1-\delta )q_N({\pi }_H(x),{\pi }_H(x)),$$证明, $q\in Q_{+}$, 且 $I(q)=(1+\epsilon {)}^{-1/2}(1-\delta {)}^{-1}I(q_N)$．
8	对于任意 $x\in {\mathbb{R}}^3$, 证明, $$q(x,x)⩽N^2(x)-\left[\delta -\frac{\delta +\epsilon }{N^2(a)}\right]N^2(x).$$
9	由此证明, $N(a)⩽\sqrt{3}$.
10	证明, $E_0\subset \sqrt{3}V$.

4习题 4

1	(1) 证明函数列 $\left\{\frac{1}{\sqrt{2}},\cos t,\sin t,\cdots ,\cos nt,\sin nt,\cdots \right\}$ 是 $L^2[0,2\pi ]$ 中的规范正交基, 其中 $L^2[0,2\pi ]$ 中的内积为: $$⟨f,g⟩=\frac{1}{\pi }{\int }_0^{2\pi }f(t)\overline{g(t)}\mathrm{d}t,\forall f,g\in L^2[0,2\pi ]$$(2) 利用函数 $f(t)=t$ 对应的 Parseval 等式, 证明: $$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^2}=\frac{{\pi }^2}{6}$$
2	不可分的 Hilbert 空间. 记 $X$ 为所有形如 $f(t)=\sum _{k=1}^n{c}_k{\mathrm{e}}^{i{\alpha }_{k}t}$ 的函数 $f:\mathbb{R}\to \mathbb{C}$ 构成的线性空间, $n\in \mathbb{N},c_k\in \mathbb{C},{\alpha }_k\in \mathbb{R},k=1,2,\dots ,n$. (1) 证明, 由$$⟨f,g⟩=\underset{A\to \infty }{\lim }\frac{1}{2A}{\int }_{-A}^{A}f(t)\overline{g(t)}\mathrm{d}t$$定义的映射 $⟨\cdot ,\cdot ⟩:X\times X\to \mathbb{C}$ 是 $X$ 上的一个内积． (2) 证明, 对于由内积 $⟨\cdot ,\cdot ⟩$ 导出的范数 $\Vert \cdot \Vert$, 如果 $X$ 中的向量 $f=\sum _{k=1}^n{c}_k{\mathrm{e}}^{i{\alpha }_{k}t}$, 其中对于任意 $k\ne j,{\alpha }_k\ne {\alpha }_j$, 那么 $\Vert f\Vert ={\left(\sum _{k=1}^n|c_k{|}^2\right)}^{1/2}$. (3) 证明, 由 $X$ 关于范数 $\Vert \cdot \Vert$ 做完备化得到的 Hilbert 空间 $H$ 不是可分的.
3	我们考虑 ${\ell }^2$ 的子空间$$V=\left\{(a_n)|\sum _{k=1}^{\infty }|a_k{|}^2<+\infty ,\text{只有有限项 }{a}_k\text{ 非零 }\right\}$$和向量$$v=\left(1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\dots \right).$$(1) 证明, $v$ 在 ${\ell }^2$ 中生成的线性子空间的正交补和 $V$ 的交集是 $V$ 的一个闭子空间. (2) 证明, 上述线性子空间在 $V$ 中不是完备的.
4	考虑 Hermite 多项式$$H_n(t)=(-1{)}^n{\mathrm{e}}^{t^2}\frac{d^n}{d{t}^n}{\mathrm{e}}^{-t^2},$$作$${\psi }_n(t)={\left(2^{n}n!\sqrt{\pi }\right)}^{-\frac{1}{2}}{\mathrm{e}}^{-\frac{t^2}{2}}{H}_n(t).$$证明, $\left\{{\psi }_n(t)\right\}$ 是 $L^2(\mathbb{R})$ 中的一族标准正交系.
5	(1) 考虑所有的 $n\times n$ 实矩阵全体 $M_n(\mathbb{R})$. 证明, 特殊正交阵全体构成 $M_n(\mathbb{R})$ (在任何范数拓扑下的) 非空闭子集, 但不是凸的. (2) 证明, $$\Vert T{\Vert }_F:={\left(\sum _{i,j=1}^n|t_{ij}{|}^2\right)}^{1/2}$$是 $M_n(\mathbb{R})$ 上的一个范数 (称为 Frobenius 范数) . (3) 写出方阵极分解 (polar decomposition) 的定义. (4) 设 $\det F>0$, 而 $R$ 是 $F$ 的极分解中出现的正交阵. 证明, $$\Vert F-R{\Vert }_F=\underset{S\in S{O}_n}{\inf }\Vert F-S{\Vert }_F.$$
6	设 $M$ 是 Hilbert 空间 $H$ 中的一个闭子空间, $P$ 是 $M$ 对应的正交投影. 设 $\lambda \notin \{0,1\}$, 证明, $\lambda I-P:H\to H$ 是一个连续双射, 且其逆映射也是连续的.

5习题 5

1	设 $Y$ 是实 Hilbert 空间 $H$ 的非空凸闭子集, $b\notin Y$. 证明, 存在 $a\in H$, $\alpha \in \mathbb{R}$, 使得对于任意的 $y\in Y$, 成立$$(b,a)<\alpha <(a,y).$$证明时不要用 Hahn–Banach 定理.
2	(1) 证明, 若 $f\in L^2([0,1])$ 满足, 对于任意 $[c,d]\subset [0,1]$, 都成立$${\int }_c^{d}f\mathrm{d}m=0,$$那么 $f=0\in L^2([0,1])$. (2) 证明, $L^2([0,1])$ 中的一个标准正交系 $\left\{{\phi }_n\right\}$ 是一个标准正交基, 当且仅当对于任意 $x\in [0,1]$, $$\sum _{n=1}^{\infty }{\left|{\int }_0^x{\phi }_n\mathrm{d}m\right|}^2=x.$$(3) 证明, $L^2([0,1])$ 中的一个标准正交系 $\left\{{\phi }_n\right\}$ 是一个标准正交基, 当且仅当对于任意 $x\in [0,1]$, $$\sum _{n=1}^{\infty }{\int }_0^1{\left|{\int }_0^x{\phi }_n\mathrm{d}m\right|}^{2}dx=\frac{1}{2}.$$
3	考虑区间 $(0,1)$ 上的一族光滑函数 $f_n\in C_0^{\infty }(0,1)$, 如果存在常数 $M>0$, 满足$${\int }_0^1|f_n(x){|}^2\mathrm{d}x+{\int }_0^1|f_n^{\prime }(x){|}^2\mathrm{d}x<M^2,\forall n.$$证明: (1) 对于任意 $x\in (0,1)$, $|f_n(x)|⩽M(n=1,2,\dots )$. (2) 存在 $\{f_n\}$ 的一个子列 $\{f_{n_k}\}$ 和一个 $f\in L^2(0,1)$, 使得对于任意的 $g\in$ $L^2(0,1)$, $\underset{k\to \infty }{\lim }(g,f_{n_k}{)}_{L^2(0,1)}=(g,f{)}_{L^2(0,1)}$. (3) 对于任意的 $\epsilon >0$, 取 $N$ 充分大, 使得 $2M^2/N^2<\epsilon$. 把 $(0,1)$ 区间 $N$ 等分, 记为 $I_1,I_2,\dots ,I_N$, 考虑这些区间的特征函数 ${\chi }_{I_m}$, 由于 ${\left({\chi }_{I_m},f_{n_k}\right)}_{L^2(0,1)}$ 是一个 Cauchy 序列, 证明, 存在 $K$, 使得当 $k,p⩾K$ 时, $${\left|{\int }_{I_m}(f_{n_k}-f_{n_p})(x)\mathrm{d}x\right|}^2⩽\frac{\epsilon }{2N^2},\forall m.$$(4) 接上题, 对于 $x,y\in I_m$, 把 $f(x)-f(y)={\int }_y^x{f}^{\prime }(t)\mathrm{d}t$ 两边取绝对值再平方, 再用 Cauchy 不等式, 证明$$\frac{2}{N}\Vert f_{n_k}-f_{n_p}{\Vert }_{L^2(I_m)}^2⩽2{\left|{\int }_{I_m}(f_{n_k}-f_{n_p})(x)\mathrm{d}x\right|}^2+\frac{1}{N^3}\Vert (f_{n_k}-f_{n_p}{)}^{\prime }{\Vert }_{L^2(I_m)}^2.$$(5) 由此证明 $\left\{f_{n_k}\right\}$ 是 $L^2$ 中的 Cauchy 序列, 从而收敛. [上传者注: 本题的目标是证明 $H^1(0,1)\hookrightarrow L^2(0,1)$ 是紧嵌入.]

6习题 6

1

(1) 设 $a<b<c<d$. 并设 $\mathbb{R}$ 上的 $C^{\infty }$ 函数 $f$ 在 $(a,c)$ 上是一个多项式, 在 $(b,d)$ 上也是一个多项式. 证明, $f$ 在 $(a,d)$ 上是一个多项式. (2) 对于 $\mathbb{R}$ 上的 $C^{\infty }$ 函数 $f$, 定义$$\Omega =\bigcup _{f\text{ 在 }(a,b)\text{ 上是一个多项式 }}(a,b).$$证明, $\Omega$ 是开集. (3) 现在设 $\mathbb{R}$ 上的 $C^{\infty }$ 函数 $f$ 还满足: 对于任意 $x\in \mathbb{R}$, 存在整数 $n_x$, 使得 $f^{(n_x)}(x)=0$. 记$$E_n=\left\{x,f^{(n)}(x)=0\right\}.$$证明, 对于任何非退化闭区间 $[a,b]$, 存在 $n$, 使得 $E_n\cap [a,b]$ 的内点集非空. (4) 证明, 对于任何非退化闭区间 $[a,b]$, $\Omega \cap [a,b]\ne \varnothing$. (5) 证明, $\overline{\Omega }=\mathbb{R}$. (6) 证明, $X=\mathbb{R}\setminus \Omega$ 没有孤立点. (7) 假设 $X\ne \varnothing$. 证明, 存在 $(a,b)$ 和 $n$, 使得 $\varnothing \ne X\cap (a,b)\subset X\cap E_n$. (8) 接上题, 证明, 对于 $\Omega$ 的任何一个构成区间 $\left(a_i,b_i\right)$, 只要 $\left(a_i,b_i\right)\cap (a,b)\ne \varnothing$, 那么在 $\left(a_i,b_i\right)$ 上就有 $f^{(n)}=0$, 从而推出矛盾. (9) 总结一下, 我们证明了什么? (10) 如果把 $C^{\infty }$ 换成 $C^{1000}$ 的话, (9) 中总结的命题还成立么?

2

对于正整数 $n$, 我们考虑 $[0,1]$ 中的 $n+1$ 个分点 $x_{n,k}=\frac{k}{n}(k=0,1,\dots ,n)$. (1) 对于 $[0,1]$ 上的连续函数 $f$, 写出对应于 $\left(x_{n,k},f(x_{n,k})\right)$ 的 Lagrange 插值多项式． (2) 记上述插值多项式为 $L_{n}f$, 证明 $f\mapsto L_{n}f$ 是 $C([0,1])$ 到 $C([0,1])$ 的连续线性算子, 并求其范数． (3) 证明, $\underset{n\to \infty }{\lim }\Vert L_n\Vert =+\infty$ ． (4) 由此说明, 存在连续函数 $f$, 多项式列 $L_{n}f$ 不一致收敛到 $f$.

7习题 7

1	对于整数 $n⩾0$, 考虑 $[0,1]$ 上所有 $n$ 阶连续可微的复值函数全体 $A_n$, 并定义$$\Vert f\Vert =\sum _{k=0}^n\frac{1}{k!}\underset{0⩽t⩽1}{\sup }|f^{(k)}(t)|.$$证明, $A_n$ 是一个有单位元的 Banach 代数, 且只有当 $n=m$ 时, 才会有 $A_n\simeq A_m$.
2	设 $A$ 是一个 Banach 代数, $b=\underset{x\ne 0}{\inf }\frac{\Vert x^2\Vert }{\Vert x{\Vert }^2}$. 证明, $$b⩽\underset{x\ne 0}{\inf }\frac{r(x)}{\Vert x\Vert }⩽\sqrt{b}.$$
3	设 $A$ 是一个 Banach 代数, $x,y\in A$. 证明, $r(xy)=r(yx)$.

证明.

证明.

1.	假设 $\varphi :A_n\stackrel{\sim }{⟶}{A}_m$ 是同构, 其中 $n>m$. $\varphi$ 把 $A_n$ 中的元素 $x$ 映成 $\varphi (x)$, 取不必是整数的 $\alpha$ 使得 $n>\alpha >m$, 则 $\varphi (x{)}^{\alpha }\in A_m$, 其原像为$${\varphi }^{-1}(\varphi (x{)}^{\alpha })={\varphi }^{-1}(\varphi (x){)}^{\alpha }=x^{\alpha },$$然而 $x^{\alpha }\notin A_n$, 不成立.
2.	由于 $\Vert x^2\Vert ⩾b\Vert x{\Vert }^2$, 对 $n$ 归纳可得 $\Vert x^{2^n}\Vert ⩾b^{2^n-1}\Vert x{\Vert }^{2^n}$, 从而$$r(x)=\underset{n\to \infty }{\lim }\Vert x^{2^n}{\Vert }^{1/2^n}⩾b\Vert x\Vert ,$$此即前半部分; 后半部分无非是 $r(x)⩽\Vert x^2{\Vert }^{1/2}$.
3.	注意 $r(xy)=\underset{n\to \infty }{\lim }\Vert x(yx{)}^{n-1}y{\Vert }^{1/n}⩽r(yx)$, 另一侧同理. $\square$

期中作业

1.	(1) 叙述 Baire 纲定理, 开映照定理, 共鸣定理中的两个. (2) 设 $1⩽p<q<+\infty$, 分别利用上面叙述的定理证明, $L^q([0,1])$ 是 $L^p([0,1])$ 中的第一纲集. 证明. 证明. ∘ 第一种办法是先证明 $B=\left\{f\in L^p([0,1]),{\int }_0^1|f(x){|}^q\mathrm{d}x⩽1\right\}$ 是一个闭集. 假设有 $B$ 中一列 $f_n$ 在 $L^p$ 范数下收敛到 $f$, 我们知道有一个子列 $f_{n_k}$ 几乎处处收敛到 $f$, 这样 ${\left|f_{n_k}\right|}^q$ 几乎处处收敛到 $|f{|}^q$. 由 Fatou 引理可知 $f\in B$. 然后再证明 $B$ 没有内点. 用反证法, 若不然, 可知 $B$ 包含了 $L^p$ 中的一个球, 由此可得 $L^p=L^q$, 矛盾. 这样 $B$ 是一个疏朗集, 而 $L^q={\cup }_{n}B$, 从而 $L^q$ 是第一纲的. ∘ 第二种证明是考虑函数 $g_n(x)=n\left(0⩽x⩽1/n^{q^{\prime }+1}\right)$, $=0$ (其他情况) . $g_n$ 有界, 从而有界线性泛函$${\phi }_n:f\mapsto {\int }_0^{1}f(x)g_n(x)\mathrm{d}x$$的范数 $\Vert {\phi }_n\Vert =n$. 对于 $L^q$ 中的函数 $f$, 由 Hölder 不等式可知 ${\phi }_n(f)⩽\frac{\Vert f{\Vert }_{L^q}}{n^{q^{\prime }}}$, 这些上界是收敛到 $0$ 的. 如果 $L^q$ 在 $L^p$ 中是第二纲的, 那么存在某个 $k$ 使得 $\{f\in L^p,{\sup }_n|{\phi }_n(f)|⩽k\}\cap L^q$ 在 $L^p$ 的某个开球中稠密, 从而闭集 $\left\{f\in L^p,{\sup }_n\left|{\phi }_n(f)\right|⩽k\right\}$ 在这个开球中稠密, 这样这个开球就在这个闭集中. 从而 (类似于讲义上共鸣定理的证法二) 可知对于每个 $f\in L^p$, ${\sup }_n|{\phi }_n(f)|⩽k\}\cap L^q$ 在 $L^p$ 的某个开球中稠密, 从而闭集 $\{f\in L^p,{\sup }_n\left|{\phi }_n(f)\right|<+\infty$, 由共鸣定理即得矛盾. ∘ 由 Hölder 不等式可知, 从 $L^q$ 到 $L^p$ 的恒等映射是连续的, 且映射的像为 ${\bigcup }_n\left\{f,\Vert f{\Vert }_{L^q}⩽n\right\}$. 这样如果映射的像不是第一纲的, 那么由开映照定理的证明可知像集应为全空间, 矛盾. $\square$
2.	设 $E$ 和 $F$ 是两个 Banach 空间, $\mathcal{L}(E,F)$ 是从 $E$ 到 $F$ 的有界线性算子全体. (1) 设 $E_1$ 是 $E$ 的一个有限维子空间, 证明, 存在 $E$ 的闭子空间 $E_2$, 使得 $E=$ $E_1+E_2$ 且 $E_1\cap E_2=\{0\}$. (2) 设 $T$ 是一个从 $E$ 到 $F$ 的有界线性满射. 证明, 存在 $k>0$, 使得 $\{y\in$ $F:\Vert y{\Vert }_F⩽1\}\subset \left\{Tx:x\in E,\Vert x{\Vert }_E⩽k\right\}$. (3) 以下固定一个满足 (2) 的 $k$．证明, 对于任意 $\ell \in F^{\ast }$, $k\Vert \ell \circ T\Vert ⩾\Vert \ell \Vert$. (4) 设 $S\in \mathcal{L}(E,F)$ 满足 $r:=k\Vert S-T\Vert <1$. 证明, 对于任意 $y\in F$, 存在 $x\in E$, 使得 $\Vert x{\Vert }_E⩽k\Vert y{\Vert }_F$ 且 $\Vert Sx-y{\Vert }_F⩽r\Vert y{\Vert }_F$ . (5) 证明, 可以找到 $E$ 中的一列 $\left\{x_n\right\}$ 和 $F$ 中的一列 $\left\{y_n\right\}$, 使得 $y_0=y,{\Vert x_n\Vert }_E⩽$ $k{\Vert y_n\Vert }_F$, 且 $y_{n+1}=y_n-S{x}_n$ 满足 ${\Vert y_{n+1}\Vert }_F⩽r{\Vert y_n\Vert }_F$. 由此证明 $S$ 是满射. (6) 证明, $\mathcal{L}(E,F)$ 中所有满射全体构成一个开集. (7) 对于自然数 $n$ , 定义$${\Omega }_n=\{T\in \mathcal{L}(E,F)\text{ 是满射, 且 }\dim \ker T⩾n\}.$$ 对于 $T\in {\Omega }_n$, 设 $E_1\subset \ker T$, $\dim E_1=n$, $E_2$ 如 (1) 所述. 证明, $\mathcal{L}(E,F)$ 中所有 “限制到 $E_2$ 上是满射” 的算子 $S$ 构成的集合是一个开集. 由此证明, ${\Omega }_n$ 是 $\mathcal{L}(E,F)$ 的开子集. 证明. 证明. (1) 把 $E_1$ 分解成 $\dim E_1$ 个一维子空间的直和: $E_1=L_1\oplus \cdots \oplus L_n$. 由 Hahn–Banach, 我们可以在 $E^{\ast }$ 中找到 ${\ell }_k$, 使得 $E=L_k+\ker {\ell }_k$ 且 $L_k\cap \ker {\ell }_k=\{0\}$. 取 $E_2={\cap }_k\ker {\ell }_k$ 即可. (2) 反设这样的 $k$ 不存在, 于是 $T\left\{\Vert x{\Vert }_E⩽1\right\}$ 没有内点, 从而是 $F$ 中的疏朗集. 由 $F={\cup }_{n}T\{\Vert x{\Vert }_E⩽n\}$ 和 $F$ 的完备性即得 (与 Baire 纲定理的) 矛盾. (3) 按线性泛函范数的定义, $$\begin{array}{rl}\Vert \ell \Vert & =\underset{\Vert y\Vert ⩽1}{\sup }\frac{|\ell (y)|}{\Vert y{\Vert }_F}=\underset{\Vert Tx{\Vert }_F⩽1}{\sup }\frac{|\ell \circ T(x)|}{\Vert Tx{\Vert }_F}=\underset{\Vert Tx{\Vert }_F⩽1}{\sup }\frac{|\ell \circ T(x)|}{\Vert x{\Vert }_E}\frac{\Vert x{\Vert }_E}{\Vert Tx{\Vert }_F}\\ & ⩽\underset{\Vert Tx{\Vert }_F⩽1}{\sup }\frac{|\ell \circ T(x)|}{\Vert x{\Vert }_E}\underset{\Vert Tx{\Vert }_F⩽1}{\sup }\frac{\Vert x{\Vert }_E}{\Vert Tx{\Vert }_F}⩽\Vert \ell \circ T\Vert \underset{\Vert Tx{\Vert }_F⩽1}{\sup }\frac{\Vert x{\Vert }_E}{\Vert Tx{\Vert }_F}⩽k\Vert \ell \circ T\Vert .\end{array}$$(4) 对于任意 $y\in F$, 存在 $x\in E$, 使得 $\Vert x{\Vert }_E⩽k\Vert y{\Vert }_F$ 且 $Tx=y$, 这样 $\Vert Sx-y{\Vert }_F=\Vert Sx-Tx{\Vert }_F⩽\Vert S-T\Vert \Vert x{\Vert }_E⩽r\Vert y{\Vert }_F$. (5) 我们取 $x_n$ 满足 $T{x}_n=y_n$, 这样可以定义出 $\{x_n\}$ 和 $\{y_n\}$. 我们要说明 $x_0+x_1+\cdots +x_n+\cdots$ 在 $E$ 中收敛 (其极限 $x_0$ 必定满足 $S{x}_0=y_0=y$) . 为此, 只需注意到$$\Vert x_n{\Vert }_E⩽k\Vert y_n{\Vert }_F⩽k{r}^n\Vert y_0{\Vert }_F.$$ (6) 对于 $T\in \mathcal{L}(E,F)$, 找出 (2) 中的 $k$. 由 (5) 即可得到, 以 $T$ 为心, $1/k$ 为半径的开球都是满射, 即得. (7) 设 $S_1\in \mathcal{L}(E,F)$ 满足 “限制到 $E_2$ 上是满射”. 注意到 $\Vert S_1-S_2\Vert ⩾\Vert S_1{|}_{E_2}-S_2{|}_{E_2}\Vert$, 因此取 $S_1$ 相对于 $E_2$ 的 $k$, 以 $S_1$ 为心, $1/k$ 为半径的开球中的元素限制到 $E_2$ 上都是满射. 这样对 ${\Omega }_n$ 中的任何一个 $T$, 先利用 (1) 找出 $E_2$, 再找出相应的 $k$, 那么以 $T$ 为心, $1/k$ 为半径的开球中的元素限制到 $E_2$ 上都是满射. 对于这样的映射, 其核空间一定是 $E_2$ 的补空间, 从而维数至少是 $n$. $\square$
3.	设 $H$ 是一个 Hilbert 空间. 我们称 $H$ 上的有界线性算子 $T$ 是一个正算子, 如果 $T=T^{\ast }$ 且对于任意 $x\in H,⟨Tx,x⟩⩾0$. (1) 设 $T$ 是一个正算子, 证明, 对于任意自然数 $n$, $T^n$ 是正算子 (规定 $T^0=I_H$) , 且对于任意 $S\in \mathcal{B}(H),S^{\ast }TS$ 是正算子. (2) 对于任意 $x,y\in H$, 证明, $|⟨Tx,y⟩{|}^2⩽⟨Tx,x⟩⟨Ty,y⟩$. (3) 如果 $I_H-T$ 也是正算子, 证明, 对于任意 $x\in H$ , 有 $⟨Tx,Tx⟩⩽⟨Tx,x⟩$. (4) 对于正算子 $T$, 证明, “$I_H-T$ 正”$⟹$“$T-T^2$ 正” $⟹$“$\Vert T\Vert ⩽1$”. 以下假设 $T$ 和 $I_H-T$ 都是正的. (5) 对于任意自然数 $n$, 证明, $T^n-T^{n+1}$ 是正的. (6) 对于任意 $x\in H$, 证明数列 $\{⟨T^{n}x,x⟩\}$ 收敛. (7) 对于任意 $x\in H$, 证明 $\left\{T^{n}x\right\}$ 是 $H$ 中的 Cauchy 列. (8) 设算子 $P$ 满足: $Px=\underset{n\to \infty }{\lim }{T}^{n}x(\forall x\in H)$. 证明, $P^{\ast }=P$ 且 $TP=P$. (9) 证明, $P$ 是一个投影算子 (提示: 考虑 $T$ 的不动点) . 证明. 证明. (1) 首先, $(T^n{)}^{\ast }=(T^{\ast }{)}^n=T^n$. 且$$\{\begin{array}{l}⟨T^{2n}x,x⟩=⟨T^{n}x,(T^n{)}^{\ast }x⟩=⟨T^{n}x,T^{n}x⟩⩾0,\\ ⟨T^{2n+1}x,x⟩=⟨T^{n+1}x,(T^n{)}^{\ast }x⟩=⟨T(T^{n}x),T^{n}x⟩⩾0.\end{array}$$ 类似地, $(S^{\ast }TS{)}^{\ast }=S^{\ast }{T}^{\ast }(S^{\ast }{)}^{\ast }=S^{\ast }TS$, 且 $⟨S^{\ast }TSx,x⟩=⟨T(Sx),Sx⟩⩾0$. (2) 我们在 $H$ 上定义了一个新的内积结构 $(x,y)=⟨Tx,y⟩$, 这就是对应的 Cauchy 不等式. (3) 由 $T$ 是正算子可以得到$$⟨T(I_H-T)x,(I_H-T)x⟩⩾0,$$由 $I_H-T$ 是正算子可以得到$$⟨(I_H-T)Tx,Tx⟩⩾0.$$求和即得. (4) 第一个蕴涵关系即 (3) . 对于第二个蕴涵关系, 如果 $\Vert T\Vert >1$, 那么存在 $\lambda \in \{\Vert T\Vert ,-\Vert T\Vert \}$ 是 $T$ 的特征值. 于是: 若 $Tx=-\Vert T\Vert x$, 则 $⟨Tx,x⟩=-\Vert T\Vert \Vert x{\Vert }^2<0$, 矛盾; 若 $Tx=\Vert T\Vert x$, 则 $⟨(T-T^2)x,x⟩=\Vert T\Vert (1-\Vert T\Vert )\Vert x{\Vert }^2<0$, 也矛盾. (5) 如果 $n=2k$, 那么 $T^n-T^{n+1}=(T^k{)}^{\ast }(I_H-T)T^k$; 如果 $n=2k+1$, 那么 $T^n-T^{n+1}=(T^k{)}^{\ast }(T-T^2)T^k$. (6) 首先, $⟨T^{n}x,x⟩$ 是一个有界数列, 从而有收敛子列. 而由 (5) 可知数列 $⟨T^{n}x,x⟩$ 是单调的, 从而整个数列收敛. (7) 注意到正算子的和还是正算子, 所以对于 $m<n$, 我们有$$\Vert (T^m-T^n)x{\Vert }^4={\left|⟨(T^m-T^n)x,(T^m-T^n)x⟩\right|}^2⩽⟨(T^m-T^n)x,x⟩⟨(T^m-T^n{)}^{2}x,(T^m-T^n)x⟩.$$最右边第二个因子是有界的 ($\Vert T^m-T^n\Vert ⩽2$), 第一个因子收敛到 $0$ (根据 (6)), 从而 $\{T^{n}x\}$ 是 $H$ 中的 Cauchy 列. (8) 由 $T^{\ast }=T$ 即可知 $P^{\ast }=P$, 而 $TPx=T\lim T^{n}x=\lim T^{n+1}x=Px$. (9) 容易看到, $T$ 的不动点也是 $P$ 的不动点, 从而由 (8) 的结论可知 $P^2=P$, 从而 $P$ 是投影算子. (事实上, $\mathrm{Ran}P=\ker (I_H-T)$. ) $\square$
4.	我们先来看两个定义: 定义 1. 设线性空间 $F$ 是它的子空间 $E_1$ 和 $E_2$ 的直和. $p_{E_1,E_2}:F\to F$ 是满足$$p_{E_1,E_2}(x)=\{\begin{array}{ll}x,& \text{ 若 }x\in E_1;\\ 0,& \text{ 若 }x\in E_2\end{array}$$的线性映射. 当 $F$ 是赋范线性空间时, 固定 $E_1$, 定义$$\pi (E_1,F)=\underset{E_2}{\inf }\Vert p_{E_1,E_2}\Vert .$$ 定义 2. 对于实数 $\lambda ⩾1$, 我们称赋范线性空间 $E$ 是 ${\mathcal{P}}_{\lambda }$ 型的, 若对于任意赋范线性空间 $H$ 和 $H$ 的任意线性子空间 $G$, 以及任意连续线性算子 $u:G\to E$, 都存在一个连续线性映射 $v:H\to E,{v|}_G=u$, 且 $\Vert v\Vert ⩽\lambda \Vert u\Vert$. 这样, Hahn–Banach 定理说的就是 “$\mathbb{R}/\mathbb{C}$ 是 ${\mathcal{P}}_1$ 型的”. (1) 我们考虑线性空间 ${\mathbb{R}}^3$, 它的一组基是 ${\vec{e}}_1=(1,0,0),{\vec{e}}_2=(0,1,0),{\vec{e}}_3=$ $(0,0,1)$. 考虑其上的范数 $\Vert \vec{x}{\Vert }_{\infty }=\underset{1⩽i⩽3}{\max }|x_i|$. 我们记 ${\ell }_3^{\infty }=\left({\mathbb{R}}^3,\Vert \cdot {\Vert }_{\infty }\right)$. 设线性映射 $T:{\ell }_3^{\infty }\to {\ell }_3^{\infty }$ 关于基 $\left\{{\vec{e}}_1,{\vec{e}}_2,{\vec{e}}_3\right\}$ 的矩阵表示是 $A=(a_{ij}{)}_{1⩽i,j⩽3}$. 证明, $\Vert T\Vert =\underset{1⩽i⩽3}{\max }\sum _{j=1}^3|a_{ij}|$. (2) 考虑由方程 $x_1+x_2+x_3=0$ 定义的超平面 $H$. 对于 $t\in \mathbb{R}$, 定义 $\phi (t)=|1-t|+2|t|$. a) 设三个实数 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$ 满足 ${\alpha }_1+{\alpha }_2+{\alpha }_3=1$, $D$ 是由向量 ${\alpha }_1{\vec{e}}_1+{\alpha }_2{\vec{e}}_2+{\alpha }_3{\vec{e}}_3$ 确定的直线. 证明, $\Vert p_{H,D}\Vert =\max (\phi ({\alpha }_1),\phi ({\alpha }_2),\phi ({\alpha }_3))$. b) 利用函数 $\phi$ 的凸性, 证明, $\Vert p_{H,D}\Vert ⩾\frac{4}{3}$. 试确定等号成立的条件. c) 计算 $\pi (H,{\ell }_3^{\infty })$. (3) 把 (1) 和 (2) 中的结果推广到一般的 ${\ell }_n^{\infty }$ 上去. (4) 设 $E$ 是一个 $n$ 维赋范线性空间, 且 $\psi$ 是一个给定的 $n$-线性反对称函数. $\left\{e_1,e_2,\dots ,e_n\right\}$ 是 $E$ 的一组使得 $\psi$ 取到最大值的基, $\Vert e_i\Vert =1$ $(i=1,2,\dots ,n)$. 设 $E^{\ast }$ 中的向量 $e_1^{\ast },e_2^{\ast },\dots ,e_n^{\ast }$, 满足 $e_i^{\ast }(e_j)={\delta }_{ij}(1⩽i,j⩽n)$. a) 证明, $\Vert e_i^{\ast }{\Vert }_{E^{\ast }}=1$. b) 证明, $E$ 是 ${\mathcal{P}}_n$ 型的. (5) 设 $E$ 是有限维赋范线性空间 $F$ 的子空间, 我们记 $E^{\perp }$ 为 $F^{\ast }$ 中所有在 $E$ 上限制为 $0$ 的那些元素构成的子空间. a) 证明, $\pi (E,F)-1⩽\pi (E^{\perp },F^{\ast })⩽\pi (E,F)+1$. b) 当 $E$ 是 $F$ 中的超平面时, 证明, $\pi (E,F)⩽2$. 你能把这个结果再改进一下么? (6) a) 证明, ${\ell }_n^{\infty }$ 是 ${\mathcal{P}}_1$ 型的. b) 对于一个非空集合 $X$ 上的有界函数全体 $\mathcal{B}(X,\mathbb{R})$, 在加上范数 $\Vert f\Vert =$ $\underset{x\in X}{\sup }|f(x)|$ 之后, 是 ${\mathcal{P}}_1$ 型的. c) 证明, 对于任意赋范线性空间 $E$, 都存在一个 ${\mathcal{P}}_1$ 型的赋范线性空间 $F$, 使得 $E$ 是 $F$ 的子空间. (7) 设 $E$ 是一个赋范线性空间, $\mu$ 是一个实数. 证明, 以下两条性质等价: (i) 存在一个 ${\mathcal{P}}_1$ 型的赋范线性空间 $F$, 使得 $E$ 是 $F$ 的子空间, 且 $\pi (E,F)=\mu$. (ii) $\underset{E\text{ 是 }{\mathcal{P}}_{\lambda }\text{ 型的 }}{\inf }\lambda =\mu$. 证明. 证明. 1) 由算子范数的定义, 容易得到 $\Vert T\Vert ⩽\underset{1⩽i⩽3}{\max }\sum _{j=1}^3\left|a_{ij}\right|$. 对于右边的 $i$, 取 $x_j=\mathrm{sgn}{a}_{ij}$ 即可. 2) a) 由 $\left\{{\ell }_3^{\infty }⩽1\right\}$ 的凸性与 $p_{H,D}$ 的线性, 可知为了计算算子范数, 只需考虑 $(\pm 1,\pm 1,\pm 1)$ 即可. b) 由 Jensen 不等式即得第一个结论. 为使得等号成立, 必须且只需 ${\alpha }_1=$ ${\alpha }_2={\alpha }_3=1/3$. c) 由 b) 即得所求为 $4/3$. 3) 对应的 ${\phi }_n(t)=|1-t|+(n-1)|t|$, 可得 $\Vert p_{H,D}\Vert =\max (\phi ({\alpha }_1),\dots ,\phi ({\alpha }_n))$, 于是 $\pi (H,{\ell }_n^{\infty })=(n+1)/n$. 4) a) 显然. b) 对于任意的 $H$ 和 $G$, 从 $G$ 到 $E$ 的线性映射 $T$ 等价于 $G$ 上的 $n$ 个线性泛函: $Tx=\sum {\ell }_i(x)e_i$. 由 Hahn–Banach, 其中每一个都可以保范延拓到 $H$ 上, 延拓后得到的 $\tilde{T}$ 满足: $$\Vert \tilde{T}\Vert ⩽\sum \Vert {\ell }_i\Vert ,$$而 $\Vert T\Vert ⩾\max e_i^{\ast }\circ T=\max \Vert {\ell }_i\Vert$, 即得. 5) a) 这里需要注意到这样一个事实: 设 $s$ 是 $F$ 中关于 $E$ 的一个对称变换 (即 $s$ 保持 $E$ 不变, 且 $x+s(x)\in E$), 那么对于满足 $(s^t)(f)=f\circ s\left(\forall f\in F^{\ast }\right)$ 的 $s^t,-s^t$ 是 $F^{\ast }$ 中关于 $E^{\ast }$ 的一个对称变换, 且上述映射实现了这两类对称变换的一个保范一一对应. 这样只要注意到, 任意 $p_{E,E_1}$ 都可以表达成 $\frac{I_F+s}{2}$ 的形式, 要证的不等式就是范数的三角形不等式的直接推论. b) 当 $E$ 是 $F$ 中的超平面时, $E^{\perp }$ 是 $F^{\ast }$ 中的 $1$ 维线性子空间, 于是由 Hahn–Banach 定理可知, $\pi (E^{\perp },F^{\ast })=1$, 从而 $\pi (E,F)⩽\pi (E^{\perp },F^{\ast })+1=2$. 6) a) 对于任意赋范线性空间 $H$ 和它的一个子空间 $G$, 任何 $u:G\to {\ell }_n^{\infty }$ 可以表达成$$u(x)=\sum _{k=1}^n{f}_k(x)e_k,$$其中 $f_k\in G^{\ast }$, $\{e_k\}$ 是 ${\ell }_n^{\infty }$ 的一组基. 这时 $\Vert u\Vert =\max \Vert f_k\Vert$. 由 Hahn–Banach, 我们可以把每一个 $f_k$ 保范地延拓到 $H$ 上, 即得结论. b) 根据 a) , $X$ 是有限集时命题成立. 满足$$\text{“}Y\subset X,(\mathcal{B}(X,\mathbb{R}),\Vert \cdot \Vert )\text{ 是 }{\mathcal{P}}_1\text{ 型的”}$$这一性质的 $Y$ 按照包含关系构成一个偏序集. 我们可以看到, 任何满足这一性质的集合的子集也满足这一性质 (可以用 $0$ 延拓的方式把映到小子集的线性映射延拓成映到大子集的映射) . 现在设有一列 $\{Y_n\}$ 均满足上述性质, 且 $Y_1\subset Y_2\subset \cdots$. 那么$$Y=\bigcup Y_n=\coprod (Y_n\setminus Y_{n-1})$$把 $u:G\to Y$ 分解成 $u_n:G\to Y_n\setminus Y_{n-1}$, 再分别保范延拓到 $H$ 上, 即可得到 $Y$ 也满足上述性质. 这样由 Zorn 引理, 存在一个极大的 $Y$, 而容易看到 $Y=X$. c) 由 Hahn–Banach 定理, 我们知道, 对于任意 $x\in E$, 存在 $E^{\ast }$ 中的单位向量 $x^{\ast }$, 使得 $x^{\ast }(x)=\Vert x\Vert$. 从而 $E$ 就可以嵌入到 $(\mathcal{B}(\{\Vert y{\Vert }_{E^{\ast }}=1\},\mathbb{R}),\Vert \cdot \Vert )$ 中, 而后者是 ${\mathcal{P}}_1$ 型的. 7) (i) $\Rightarrow$ (ii) : 首先, 由 $\pi (E,F)$ 的定义, 对于任意 $\epsilon >0$, $I_E:E\to E$ 有一个延拓 $\tilde{I}:F\to E$, 使得 $\Vert \tilde{I}\Vert ⩽\mu +\epsilon$. 我们同时记 $E$ 到 $F$ 的嵌入映射为 $I_{E,F}$. 现在对于任意 $u:G\to E$, 考虑 $I_{E,F}\circ u:G\to F$. 因为 $F$ 是 ${\mathcal{P}}_1$ 型的, 所以存在 $I_{E,F}\circ u$ 的保范延拓 $v:H\to F$, 这样 $\tilde{v}=\tilde{I}\circ v:H\to E$ 就满足 $\Vert \tilde{v}\Vert ⩽(\mu +\epsilon )\Vert I_{E,F}\circ u\Vert ⩽(\mu +\epsilon )\Vert u\Vert$. 因此 $\underset{E\text{ 是 }{\mathcal{P}}_{\lambda }\text{ 型的 }}{\inf }\lambda ⩽\mu$. 而 $\underset{E\text{ 是 }{\mathcal{P}}_{\lambda }\text{ 型的 }}{\inf }\lambda$ 也不可能严格小于 $\mu$. 若不然, $I_E:E\to E$ 有一个延拓 $\tilde{I}:F\to E$ 满足 $\Vert \tilde{I}\Vert <\mu$, 和 $\pi (E,F)$ 的定义矛盾. (ii) $\Rightarrow$ (i) : 对于任意 $\epsilon >0$, $E$ 是 $\mathcal{P}(\mu +\epsilon )$ 型的, 从而对于任意包含 $E$ 的赋范线性空间 $F$, 我们有 $\Vert {\pi }_{E,E_1}\Vert =\Vert {\pi }_{E,E_1}\circ I_{E,F}\Vert ⩽\mu +\epsilon$. 从而对于 6 c) 中的 $F$, 我们得到 $\pi (E,F)⩽\mu +\epsilon$, 所以 $\pi (E,F)⩽\mu$. 综上所述, 命题成立. $\square$

Grothendieck 的一个定理

 对于某个 $1⩽p<+\infty$, 我们考虑 $L^p([0,1])$ 的一个闭子空间 $E$. 假设 $E$ 同时也是 $L^{\infty }([0,1])$ 的一个子集.

1	证明, $E$ 是 $L^{\infty }([0,1])$ 的一个闭子空间.
2	证明, 存在常数 $M>0$, 使得对于任意 $f\in E$, 成立 $\Vert f{\Vert }_{L^{\infty }}⩽M\Vert f{\Vert }_{L^p}$.
3	对于 $1⩽p⩽2$, 证明, 对于任意 $f\in E$, 成立 $\Vert f{\Vert }_{L^p}⩽({\int }_0^1|f{|}^2\mathrm{d}x{)}^{\frac{1}{2}}$.
4	对于 $2<p<\infty$, 证明, 对于任意 $f\in E$, 成立 $\Vert f{\Vert }_{L^p}^p⩽({\int }_0^1|f{|}^2\text{d}x)\Vert f{\Vert }_{L^{\infty }}^{p-2}$.
5	证明, 存在一个常数 $A$, 使得对于任意 $f\in E$, 成立 $\Vert f{\Vert }_{L^{\infty }}⩽A\Vert f{\Vert }_{L^2}$.
6	设 $f_1,f_2,\dots ,f_n$ 是 $E$ 中一组向量, 满足$${\int }_0^1{f}_k(t)\overline{f_l(t)}\mathrm{d}m={\delta }_{kl}$$对于 ${\mathbb{C}}^n$ 中的长度不超过 $1$ 的向量 $a=(a_1,\dots ,a_n)$, 定义函数 $f_a(x)=\sum _{j=1}^n{a}_j{f}_j(x)$. 证明, 存在一个常数 $A$, 使得对于几乎所有的 $x$, 成立 $|f_a(x)|⩽A$.
7	接上问, 证明, 对于几乎所有的 $x$ 和所有的 $a$, 成立 $|f_a(x)|⩽A$.
8	证明, 对于几乎所有的 $x$, 都成立 $\sum _{j=1}^n|f_j(x){|}^2⩽A^2$.
9	(Grothendieck 定理) 证明, 这样的 $E$ 是有限维的.
10	证明, 题设中的 $L^{\infty }$ 不能换成一个 $L^q(q<\infty )$.