用户: Solution/ 习题: 现代代数学I

124 年习题

   序号是周数+题号. 其中 2 是分析题, 11.1 是代数数论题, 13.2 是代数几何题.

2	求证 Liouville 定理: 对于任何 $n$ 次有非有理根 $\alpha$ 的整系数多项式 $f$, 求证: 存在只与多项式有关的常数 $c_f>0$, 使得 $|\frac{p}{q}-\alpha |\ge \frac{c_f}{q^n}$ 对任意 $p,q\in \mathbb{Z}$ 成立.
3.1	令 $E/F$ 是代数扩张, $E_{\text{sep}}:=\{\alpha \in E|\alpha$ 为 $F$ 上可分元 $\}$, 求证: $E_{\text{sep}}$ 是包含 $F$ 的 $E$ 的子域.
3.2	设 $E/F$ 是有限扩张, $\Omega$ 是 $E$ 的代数闭包. 求证:$$\left|S_F^{E\to \Omega }\right|=[E:F{]}_s=[E_{\text{sep}}:F].$$
3.3	设 $L/E/F$ 是有限扩张, 求证:$$[L:F{]}_s=[L:E{]}_s[E:F{]}_s.$$
4.1	$\xi =e^{2\pi i/7}$, $\mathbb{Q}[\xi ]/\mathbb{Q}$ 有两个非平凡的中间域, 请具体写出这两个中间域.
4.2	接上题, $p$ 是素数, 令 $E/\mathbb{Q}$ 是 $x^n-p\in \mathbb{Q}[x]$ 的分裂域. 求证: $\mathrm{Gal}(E/\mathbb{Q})$ 非交换.
4.3	${\xi }_n$ 是 $\mathbb{Q}$ 的 $n$ 次单位素根, ${\Phi }_n(x)$ 是 ${\xi }_n$ 的极小多项式, 由课上已知 $\mathrm{deg}{\Phi }_n(x)=\phi (n)$. 求证: $$\begin{array}{r}{\Phi }_n(x)=\prod _{d|n}(x^{n/d}-1{)}^{\mu (d)}\end{array}$$其中: $$\mu (k)=\{\begin{array}{cc}(-1{)}^r& k=p_1\dots p_r\\ 0& p^2|k\\ 1& k=1\end{array}$$
4.4	设 $f(x)=x^3+bx+c$ 且 $\mathrm{char}(F)\ne 3$, 求证: $$\begin{array}{r}D(f)=-4b^3-27c^2.\end{array}$$
5.1	$f(x)=x^4-2$, 具体写出 $E_f/\mathbb{Q}$ 的所有中间域.
5.2	给定不可约多项式 $f(x)=x^4+a{x}^2+b\in F[x]$, 通过分析 $a,b$ 来判断 $G_f$.
5.3	计算 $x^4-2x^3-8x-3\in \mathbb{Q}[x]$ 的 Galois 群.
5.4	计算 ${\mathbb{F}}_p[x]$ 上的 $n$ 次不可约多项式个数.
5.5	找一个 $6$ 次多项式 $f(x)\in \mathbb{Q}[x]$ 使得 $G_f\cong S_6$.
5.6	$f(x)=a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+\dots +a_0\in F[x]$ 的根在其分裂域中是 ${\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_n$, $g(x)=b_m{x}^m+b_{m-1}{x}^{m-1}+\dots +b_0\in F[x]$ 的根在其分裂域中是 ${\beta }_1,\dots ,{\beta }_m$. 求证: $$\det \left[\begin{array}{ccccccc}{a}_n& a_{n-1}& \cdots & a_0& & & \\ & a_n& a_{n-1}& \cdots & a_0& & \\ & & \ddots & \ddots & & \ddots & \\ & & & a_n& a_{n-1}& \cdots & a_0\\ b_m& b_{m-1}& \cdots & \cdots & b_0& & \\ & \ddots & \ddots & & & \ddots & \\ & & b_m& b_{m-1}& \cdots & \cdots & b_0\end{array}\right]=a_n^m{b}_m^n\prod _{\begin{array}{c}1\le i\le n\\ 1\le j\le m\end{array}}({\alpha }_i-{\beta }_j).$$
6.1	取 $G=\{\mathrm{id},\sigma \}\cong C_2$, 考虑 $G$-模 $\mathbb{Z}$, 其中 $\sigma (n)=-n$. 容易发现 ${\mathbb{Z}}^G=\{0\}$. 考虑短正合列: $$\begin{array}{r}0⟶\mathbb{Z}\stackrel{n\mapsto an}{⟶}\mathbb{Z}\stackrel{自然}{⟶}\mathbb{Z}/a\mathbb{Z}⟶0\end{array}$$写出它对应的长正合列: $$\begin{array}{r}0⟶{\mathbb{Z}}^G⟶{\mathbb{Z}}^G⟶(\mathbb{Z}/a\mathbb{Z}{)}^G⟶H^1(G,\mathbb{Z})⟶H^1(G,\mathbb{Z})⟶H^1(G,\mathbb{Z}/a\mathbb{Z})⟶0\end{array}$$
6.2	$f(x)=x^5+ax+b\in \mathbb{Q}[x]$, 求证: $$G_f\cong D_5⟺\{\begin{array}{rl}& f(x)不可约\\ & f(x)根式可解\\ & \mathrm{disc}(f)是平方数\end{array}$$
7.1	分别写出满足 $G_f\cong C_5$ 和 $G_f\cong \mathrm{AGL}(1,5)$ 的 $5$ 次不可约多项式 $f(x)\in \mathbb{Q}[x]$.
8.1	${\mu }_n=⟨\xi ⟩\subseteq F$, $\xi$ 为 $n$ 次单位根, $E/F$ 是 Galois 扩张, 且 $G=\mathrm{Gal}(E/F)$ 是指数为 $n$ 的有限 Abel 群. $$\begin{array}{r}\delta :B(E)=E^{\ast n}\cap F^{\ast }⟶\mathrm{Hom}(G,{\mu }_n)\end{array}$$任意 $a\in B(E)$, ${\alpha }^n=a$, $\alpha \in E^{\ast }$, $$\begin{array}{r}\delta (a)=(\sigma \to \sigma (\alpha ){\alpha }^{-1})\end{array}$$根据课上内容, $\delta$ 诱导了 $B(E)/F^{\ast }$ 到 $\mathrm{Hom}(G,{\mu }_n)$ 的同构, 事实上, 可以直接不妨让 $\delta$ 是 $B(E)/F^{\ast }$ 到 $\mathrm{Hom}(G,{\mu }_n)$ 的同构. 求证: $$\begin{array}{r}\{\mathrm{Hom}(G,{\mu }_n)的子群\}\stackrel{1-1}{⟷}\left\{G的商群\right\}\end{array}$$
8.2	记 $[E:F]=n$. 设 $F$ 是有限域, $E/F$ 是有限扩张, 则 ${\mathrm{Tr}}_{E/F}:E\to F$ 和 ${\mathrm{Nm}}_{E/F}:E^{\ast }\to F^{\ast }$ 都是满射.
9.1	求证可分闭包的存在性.
9.2	求证: $F$ 的可分闭包在 $F$-同构意义下唯一.
11.1	设 $E/\mathbb{Q}$ 是 $n$ 次分圆扩张, $E=\mathbb{Q}[{\zeta }_n]$, ${\zeta }_n$ 是 $n$ 次单位素根, 且 $n=p^{m}q$, $q$ 和 $p$ 互素. 承认 $R=\mathbb{Z}[{\zeta }_n]$ 是 $\mathbb{Z}$ 在 $E$ 上的整闭包, 由课上内容, 设: $$\begin{array}{r}pR=P_1^{a_1}\dots P_r^{a_r}\end{array}$$求 $r$ 和 $a_1,\dots ,a_r$.
12.1	$\Omega /F$ 是 Galois 扩张, $G=\mathrm{Gal}(\Omega /F)$, $G(x)=\{\sigma \in G:\sigma (x)=x\}$. 求证: $\{G(x):x\in \Omega \}$ 能形成 $e$ 的一组邻域基.
13.1	令 $f\in F[x_1,\dots ,x_n]$ 是不可约多项式, 则 $R=F[x_1,\dots ,x_n]/(f)$ 是一个整环, 计算 $\mathrm{trdeg}(\mathrm{Frac}(R)/F)$.
13.2	令 $P\subseteq F[x_1,\dots ,x_n]$ 为素理想, 且设 $P$ 由多项式 $f_1,\dots ,f_m$ 生成, 且满足上述 $m$ 的最小性 (防止类似 $f_1=f_2$ 的情况出现) , $R=F[x_1,\dots ,x_n]/P$, 求证: $\mathrm{trdeg}(\mathrm{Frac}(R)/F)⩾n-m$, 并给出等号不成立的例子.
13.3	设 $A\subseteq \Omega$ 是 $\Omega /F$ 的一个超越基, 求证: 任意一个别的超越基 $B$, 总有 $A$ 和 $B$ 的势相同.
13.4	求 $\mathrm{trdeg}(\mathbb{C}/\mathbb{Q})$ 及 $\#\mathrm{Aut}(\mathbb{C}/\mathbb{Q})$.
14.1	$R$ 是一个整环, $D$ 是 $R$ 上的一个 derivative. $K=\mathrm{Frac}(R)$. $D$ 延拓到 $K$ 上形成 $D_K$: $$\begin{array}{r}{D}_K:K\to K:\frac{f}{g}\mapsto \frac{fDg-gDf}{g^2}\end{array}$$其中 $f,g\in R$. 验证: $D_K$ 是良定的, 且确实为 $K$ 上的 derivative.
14.2	设 $L/F$ 是有限可分生成的域扩张 (即存在一组有限可分超越基) , 则: $$\begin{array}{r}{\dim }_F{\mathcal{D}}_{L/F}=\mathrm{trdeg}(L/F)\end{array}$$并且 $t_1,\dots ,t_r$ 构成 $L/F$ 的一组可分超越基当且仅当 $d{t}_1,\dots ,d{t}_r$ 构成 ${\mathcal{D}}_{L/F}^{\ast }$ 的一组基. (记号 $\mathcal{D}$ 参考 Serge Lang 上关于 derivative 的内容)

222 年习题

   序号是周数+题号.

4.1	考虑 $\mathbb{C}(X)$ 的自同构: $\sigma :X\to \frac{X+i}{X-i},\tau :X\to \frac{iX-i}{X+1}$. 证明 $\sigma$ 和 $\tau$ 在 $\mathrm{Aut}(\mathbb{C}(X)/\mathbb{C})$ 中生成的子群同构于 $A_4$, 并给出其固定域.
4.2	令 $E=\mathbb{C}(X,Y)$ 为复数域两个变量的多项式环的分式域. 其自同构群 $\mathrm{Aut}(E/\mathbb{C})$ 称为 Cremona 群. A) 对于任一 $3\times 3$ 复可逆矩阵 $A=(a_{ij}{)}_{1\le i,j\le 3}$, 映射$${\phi }_M:X\to \frac{a_{11}X+a_{12}Y+a_{13}}{a_{31}X+a_{32}Y+a_{33}};Y\to \frac{a_{21}X+a_{22}Y+a_{23}}{a_{31}X+a_{32}Y+a_{33}}$$构成了 $E$ 的一个自同构, 并证明 ${\mathrm{PGL}}_3(\mathbb{C})\subset \mathrm{Aut}(E/\mathbb{C})$. B) 举例说明上面的包含关系是严格的.
5.1	设 $E/F$ 为有限扩张, 证明 $\mathrm{Aut}(E/F)$ 的阶整除 $[E:F]$.
5.2	计算如下多项式的判别式: $X^3+pX+q;X^4+pX+q$.
5.3	设 $E/F$ 为 Galois 扩张且 $\mathrm{Gal}(E/F)\simeq {\mathbb{Z}}_2\times {\mathbb{Z}}_{12}$. 则有多少中间域 $L$ 使得 $[L:F]=4$? 有多少中间域 $L$ 使得 $\mathrm{Gal}(E/L)\simeq {\mathbb{Z}}_4$?
5.4	设 $E/F$ 为 Galois 扩张且 $\mathrm{Gal}(E/F)\simeq A_4$. $E/F$ 有多少中间域? 其中有多少为 $F$ 的 Galois 扩张?
5.5	设 $f(X)\in \mathbb{Q}[X]$ 为 $3$ 次不可约多项式且其 Galois 群为 $S_3$. 计算 $(X^3-1)f(X)$ 在 $\mathbb{Q}$ 上分裂域 $E$ 可能的 Galois 群 $\mathrm{Gal}(E/\mathbb{Q})$.
6.1	计算形如 $X^4+aX+b$ 的多项式的判别式和结式.
6.2	计算 $X^4+8X+12,X^4+X+1,X^4+4X^2+2\in \mathbb{Q}[X]$ 在 $\mathbb{Q}$ 上的 Galois 群.
6.3	(较难) 考虑 $f(X)=X^5+aX+b\in \mathbb{Q}[X]$ 在 $\mathbb{Q}$ 上的 Galois 群 $G_f$. 证明 $G_f\simeq D_5$ 当且仅当 (1) $f(X)\in \mathbb{Q}[X]$ 不可约; (2) 判别式 $D(f)$ 是平方数; (3) $f(X)$ 根式可解.
7.1	考虑 ${\xi }_7\in \mathbb{C}$ 为本原 $7$ 次单位根. 计算如下元素在 $\mathbb{Q}$ 上的次数: $\xi +{\xi }^5,{\xi }^3+{\xi }^4,{\xi }^3+{\xi }^5+{\xi }^6$.
7.2	令 $p>0$ 为素数, 计算方程 $X^5-p^{2}X-p\in \mathbb{Q}[X]$ 在 $\mathbb{Q}$ 上的 Galois 群. 此方程根式可解吗?
7.3	列出 $\mathbb{Q}$ 上五次不可约但根式可解的方程的 Galois 群的可能性.
8.1	设 $E/F$ 为有限 Galois 扩张, 令 $F(T_1,T_2,\cdots ,T_n)$ 为 $n$ 个变量的多元多项式环的分式域. 证明 $E(T_1,\cdots ,T_n)/F(T_1,\cdots ,T_n)$ 也为 Galois 扩张, 且其 Galois 群同构于 $\mathrm{Gal}(E/F)$. (此题用于 Dedekind 关于 Galois 群计算的定理的证明中)
8.2	计算如下多项式的 Galois 群: $X^5+X^2+1,X^5-55X+88\in \mathbb{Q}[X]$.
8.3	给出一有限域扩张的例子 $E/F$, 使得 $\mathrm{Gal}(E/F)\simeq S_6$. 进一步, 有 $F=\mathbb{Q}$ 的例子吗?
8.4	证明 $\mathbb{Q}$ 的任一有限扩张 $E$ 都只包含有限多个单位根.
9.1	给定有限 Abel 群 $G$, 证明存在无穷多个 $\mathbb{Q}$ 的 Galois $G$-扩张.
9.2	证明存在无穷多个非零整数 $a,b$ 使得 $-4a^3-27b^2$ 为 $\mathbb{Z}$ 中平方数.
9.3	令 $E/F$ 为循环扩张, 令 $G=⟨\sigma ⟩$ 为其 Galois 群. 设域的特征为 $p>0$, 且 $[E:F]=p^{m-1},m\ge 2$. 令 $\beta \in E$ 使得 ${\mathrm{Tr}}_{E/F}(\beta )=1$. 证明存在 $\alpha \in E$ 使得 $\sigma (\alpha )-\alpha ={\beta }^p-\beta$. 证明 $X^p-X-\alpha \in E[X]$ 是不可约的. 设 $\theta$ 为此方程的一个根, 证明 $F[\theta ]/F$ 为 $p^m$ 阶循环扩张, 且存在 ${\sigma }^{\prime }\in \mathrm{Gal}(F[\theta ]/F)$ 使得 ${\sigma }^{\prime }(\theta )=\theta +\beta$.
10.1	令 $a\ge 2$ 为无平方因子的正整数. 对素数 $p>1$, 令 $E_p\subset \mathbb{C}$ 为 $X^p-a\in \mathbb{Q}[X]$ 的分裂域. 证明 $[E_p:\mathbb{Q}]=p(p-1)$. 对于无平方因子的正整数 $m\ge 2$, 令 $K_m\subset \mathbb{C}$ 为所有 $E_p,p|m$ 生成的域. 证明当 $m$ 为奇数时, $[K_m:\mathbb{Q}]=\prod _{p|m}[E_p:\mathbb{Q}]$. 当 $m$ 为偶数时, 讨论 $[K_m:\mathbb{Q}]$ 的值.
12.1	令 $p$ 为素数, 令 $\Omega \subset \mathbb{C}$ 为有理数域加上所有 $p^m,m\ge 1$ 次单位根生成的子域. 证明 $\Omega /\mathbb{Q}$ 为 Galois 扩张且 $\mathrm{Gal}(\Omega /\mathbb{Q})\simeq ({\mathbb{Z}}_p{)}^{\ast }=(\underset{\overleftarrow{m\ge 1}}{\lim }\mathbb{Z}/p^m\mathbb{Z}{)}^{\ast }$.
12.2	令 $p$ 为素数, 令 $\Omega /{\mathbb{F}}_p$ 为代数闭包. 描述 $\mathrm{Gal}(\Omega /{\mathbb{F}}_p)$.
13.1	令 $F$ 为域, 证明 $\mathrm{Aut}(F(X)/F)\simeq {\mathrm{PGL}}_2(F)$. 列出 ${\mathbb{F}}_2(X)/{\mathbb{F}}_2$ 的所有中间域 $E$ 使得 ${\mathbb{F}}_2(X)/E$ 为有限 Galois 扩张.
13.2	找到 $\mathrm{Aut}(\mathbb{C}/\mathbb{Q})$ 中与复共轭交换的元素.
13.3	设 $F/\mathbb{Q}$ 为有限生成的域扩张. 证明存在域嵌入 $F\to \mathbb{C}$.

对个答案.

对个答案.

5.1	$F\subseteq E^{\mathrm{Aut}(E/F)}$, 故 $|\mathrm{Aut}(E/F)|=[E:E^{\mathrm{Aut}(E/F)}]|[E:F]$.
5.2	$-4p^3-27q^2,-27p^4+256q^3$.
5.3	$3$ 个, $2$ 个.
5.4	$10$ 个, $3$ 个 (含 $E,F$) .
5.5	$S_3$ 或 $S_3\times {\mathbb{Z}}_2$.
6.1	$D=R=256b^3-27a^4$.
6.2	$A_4,S_4,{\mathbb{Z}}_4$.
6.3	关键的引理: $A_5$ 的子群阶数不超过 $12$.
7.1	$6,3,2$.
7.2	$S_5$, 不可解.
7.3	${\mathbb{Z}}_5,D_5,F_{20}$.
8.2	$S_5,A_5$.
8.4	不然 $E$ 含 $n$ 任意大的 ${\xi }_n$, 则 $\phi (n)=[\mathbb{Q}({\xi }_n):\mathbb{Q}]|[E:\mathbb{Q}]$. 对 $(p,\alpha )\ne (2,1)$, 成立 $\phi (p^{\alpha })=p^{\alpha -1}(p-1)⩾\sqrt{p^{\alpha }}$, 得 $\phi (n)=\prod \phi (p^{\alpha })⩾\prod \sqrt{p^{\alpha }}/2=\sqrt{n}/2\to \infty$, 矛盾.
9.2	取 $a=-3k^2,b=k^3$ ($k\in {\mathbb{Z}}_{\ne 0}$), 有 $-4a^3-27b^2=81k^6$.
10.1	$[K_m:\mathbb{Q}]=\{\begin{array}{ll}\frac{m\phi (m)}{2},& \sqrt{a}\in K_{m/2}\\ m\phi (m),& \sqrt{a}\notin K_{m/2}\end{array}$.
12.2	$\underset{\overleftarrow{m\ge 1}}{\lim }\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}$.
13.2	恒等与复共轭. $\square$

3Miscellaneous

1.	设域扩张 $E/F$, $\mathrm{char}F=p$, $\alpha \in E$. 证明 $\alpha$ 在 $F$ 上可分当且仅当 $F(\alpha )=F({\alpha }^p)$.
证明.	设 $\alpha$ 在 $F$ 上可分, 只需证明 $\alpha \in F({\alpha }^p)$. 假设 $\alpha \notin F({\alpha }^p)$, 则 $\min (\alpha ,F({\alpha }^p))=X^p-{\alpha }^p$, 于是 $\min (\alpha ,F)|X^p-{\alpha }^p$, 这表明要么 $\alpha \in F$, 要么 $\alpha$ 在 $F$ 上不可分, 矛盾. 设 $\alpha$ 在 $F$ 上不可分, 则 $\min (\alpha ,F)$ 形如 $f(X^p)$, 其中 $f(X)$ 在 $F[X]$ 中不可约, 于是有 $\min ({\alpha }^p,F)=f(X)$, 那么 $[F({\alpha }^p):F]=\mathrm{deg}f(X)<\mathrm{deg}f(X^p)=[F(\alpha ):F]$, 即 $F({\alpha }^p)⊊F(\alpha )$.
2.	(1) 设 $\alpha$ 在 $F$ 上可分, $\beta$ 在 $F(\alpha )$ 上可分, 证明 $\beta$ 在 $F$ 上可分. (2) 设 $E/F$ 为代数扩张, $E$ 的子集 $S$ 的元素均在 $F$ 上可分, 证明 $F(S)/F$ 为可分扩张.
证明.	(1) 只需考虑 $\mathrm{char}F=p$ 的情况. 设 $\min (\alpha ,F(\beta ))=f(X)$, 则 $f(X{)}^p\in F({\beta }^p)[X]$, 又设 $\min (\alpha ,F({\beta }^p))=g(X)$, 由 $f(\alpha {)}^p=0$ 得 $f(X)|g(X)|f(X{)}^p$, 故 $g(X)=f(X{)}^t$ (因 $f(X)$ 在 $F(\beta )[X]$ 中不可约) . 但 $\alpha$ 在 $F$ 上更在 $F({\beta }^p)$ 上可分, 只能 $g(X)=f(X)$, 由此得到 $[F(\beta )(\alpha ):F(\beta )]=\mathrm{deg}f(X)=\mathrm{deg}g(X)=[F({\beta }^p)(\alpha ):F({\beta }^p)]$. 根据上一题, $\beta$ 在 $F(\alpha )$ 上可分说明 $F(\alpha )(\beta )=F(\alpha )({\beta }^p)$, 从而 $F(\beta )=F({\beta }^p)$, 再根据上一题得到 $\beta$ 在 $F$ 上可分. (2) 对 $\alpha \in F(S)$, 存在 $s_1,\cdots ,s_n\in S$ 使得 $\alpha \in F(s_1,\cdots ,s_n)$. 由于 $s_n$ 在 $F(s_1,\cdots ,s_{n-1})$ 上可分, 且 $\alpha$ 在 $F(s_1,\cdots ,s_{n-1})(s_n)$ 上可分, 由 (1) 得 $\alpha$ 在 $F(s_1,\cdots ,s_{n-1})$ 上可分. 重复这一过程, 得到 $\alpha$ 在 $F$ 上可分.
3.	证明或否定: (1) 若 $L/E,E/F$ 均为可分扩张, 则 $L/F$ 为可分扩张.         (2) 若 $L/F$ 为可分扩张, 则 $L/E,E/F$ 均为可分扩张.
证明.	(1) 对 $\beta \in L$, 设 $\min (\beta ,E)=X^n+a_{n-1}{X}^{n-1}+\cdots +a_0$, $\beta$ 实际上在包含了其系数的扩域 $F(a_0,\cdots ,a_{n-2})(a_{n-1})$ 上已经可分, 又 $a_{n-1}\in E$ 在 $F(a_0,\cdots ,a_{n-2})$ 上可分, 由上一题得 $\beta$ 在 $F(a_0,\cdots ,a_{n-2})$ 上可分. 重复这一过程, 得到 $\beta$ 在 $F$ 上可分. (2) 显然正确.
4.	证明或否定: (1) 若 $L/E,E/F$ 均为正规扩张, 则 $L/F$ 为正规扩张.         (2) 若 $L/F$ 为正规扩张, 则 $L/E,E/F$ 均为正规扩张.
证明.	(1) 未必正规. 例如 $\mathbb{Q}(\sqrt[4]{2})/\mathbb{Q}(\sqrt{2}),\mathbb{Q}(\sqrt{2}),\mathbb{Q})$ 均正规, 但 $\mathbb{Q}(\sqrt[4]{2})/\mathbb{Q}$ 不正规. (2) $L/E$ 未必正规. 例如 $\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2},\omega )/\mathbb{Q}$ 正规, 而 $\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})/\mathbb{Q}$ 不正规, $\omega$ 是 $3$ 次本原单位根.    $E/F$ 一定正规, 这是因为设 $L$ 是 $F[X]$ 中一些多项式 $\{f_i\}$ 在 $F$ 上的分裂域, 则 $L$ 也是 $\{f_i\}$ 在 $E$ 上的分裂域.
5.	设 $a_1,\cdots ,a_n\in {\mathbb{Z}}^{+}$ 不全是完全平方数, 证明 $\sqrt{a_1}+\cdots +\sqrt{a_n}$ 是无理数.
证明.	对于域扩张 $\mathbb{Q}(\sqrt{a_1},\cdots ,\sqrt{a_n})/\mathbb{Q}$, 任取其 Galois 群一元素 $\sigma \ne \mathrm{id}$, $\sigma$ 把一部分 $\sqrt{a_i}$ 变成了 $-\sqrt{a_i}$, 所以 $\sigma (\sqrt{a_1}+\cdots +\sqrt{a_n})<\sqrt{a_1}+\cdots +\sqrt{a_n}$, 故 $\sqrt{a_1}+\cdots +\sqrt{a_n}\notin \mathbb{Q}$. 这个问题有初等的解法. 设 $\sqrt{a_1}\notin \mathbb{Q}$, 注意到 $p(X)=\prod (X\pm \sqrt{a_2}\pm \cdots \pm \sqrt{a_n})\in \mathbb{Z}[X]$. 假设 $\alpha =\sqrt{a_1}+\cdots +\sqrt{a_n}\in \mathbb{Q}$, 则 $p(\alpha +\sqrt{a_1})=a+b\sqrt{a_1},p(\alpha -\sqrt{a_1})=a-b\sqrt{a_1}$ ($a,b\in \mathbb{Q}$), 但 $p(\alpha +\sqrt{a_1})>0$ 而 $p(\alpha -\sqrt{a_1})=0$, 矛盾.