用户: Solution/ 习题: 陈维桓 微分流形/第三章 切向量场

2.	$\forall p\in M$, $\forall h\in C_p^{\infty }$, 我们有: $$\begin{array}{rl}(1)& [aX+bY,Z](h)\\ & =(aX+bY)\circ Z(h)-Z\circ (aX+bY)(h)\\ & =aX\circ Z(h)-aZ\circ X(h)+bY\circ Z(h)-bZ\circ Y(h)\\ & =a[X,Z](h)+b[Y,Z](h)\\ & =(a[X,Z]+b[Y,Z])(h);\\ (2)& [X,Y](h)\\ & =X\circ Y(h)-Y\circ X(h)\\ & =-(Y\circ X(h)-X\circ Y(h))\\ & =-[Y,X](h);\\ (3)& ([X,[Y,Z]]+[Y,[Z,X]]+[Z,[X,Y]])(h)\\ & =X\circ Y\circ Z(h)-X\circ Y\circ (h)-Y\circ Z\circ X(h)+Z\circ Y\circ X(h)\\ & +Y\circ Z\circ X(h)-Y\circ X\circ Z(h)-Z\circ X\circ Y(h)+X\circ Z\circ Y(h)\\ & +Z\circ X\circ Y(h)-Z\circ Y\circ X(h)-X\circ Y\circ Z(h)+Y\circ X\circ Z(h)\\ & =0.\end{array}$$
4.	我们只需要在局部上证明. 必要性: 设 $M$ 为 $m$ 维光滑流形, 在 $p$ 处取局部坐标系 $(U,\phi )$, 则切向量场 $X$ 可以局部表示为$$X{|}_U=X^i\frac{\partial }{\partial x^i},X^i\in C^{\infty }(U)(\forall i=1,\cdots ,m).$$从而 $X(f){|}_U=X^i\frac{\partial f}{\partial x^i}\in C^{\infty }(U),\forall f\in C^{\infty }(U)$. 充分性: 设 $M$ 为 $m$ 维光滑流形, 在 $p$ 处取局部坐标系 $(U,\phi )$, 则切向量场 $X$ 可以局部的表示为$$X{|}_U=X^i\frac{\partial }{\partial x^i},$$则只要证$$X^i\in C^{\infty }(U),\forall i=1,\cdots ,m.$$而 $\forall x\in U$, $$(X(f))(x)=X^i(x)\cdot \frac{\partial f}{\partial x^i}(x),$$其中$$\frac{\partial f}{\partial x^i}(x)=\frac{\partial (f\circ {\phi }^{-1})}{\partial x^i}{|}_{\varphi (x)},$$则只需要依次取 $f=x^i(i=1,\cdots ,m)$ 即可得到命题成立.
5.	复习: 给定微分流形 $M$ 以及光滑函数 $f\in C^{\infty }(M)$, 切向量场 $X,\tilde{X}\in \mathcal{X}(M)$ 是 $f$- 相关的当且仅当 $f_{\ast }{X}_p={\tilde{X}}_{f(p)},\forall p\in M$. (1) 由于 $\forall h,g\in C^{\infty }(M)$, $\alpha \in \mathbf{R}$, $$\begin{array}{rl}(\text{a})& f_{\ast }X(h+g)\\ & =X((h+g)\circ f)\circ f^{-1}\\ & =X(h\circ f)\circ f^{-1}+X(g\circ f)\circ f^{-1}\\ & =f_{\ast }X(h)+f_{\ast }X(g),\\ (\text{b})& f_{\ast }X(\alpha h)\\ & =X(\alpha h\circ f)\circ f^{-1}\\ & =\alpha X(h\circ f)\circ f^{-1}\\ & =\alpha f_{\ast }X(h),\\ (\text{c})& f_{\ast }X(h\cdot g)\\ & =X((h\circ f)\cdot (g\circ f))\circ f^{-1}\\ & =(g\circ f)X((h\circ f)\circ f^{-1}+(h\circ f)X((g\circ f)\circ f^{-1}\\ & =h\cdot f_{\ast }X(g)+g\cdot f_{\ast }X(h),\\ (\text{d})& f_{\ast }X(g)=X(g\circ f)\circ f^{-1}\in C^{\infty }(M).\end{array}$$则由定理 2.3 (P129) , $f_{\ast }X$ 是 $N$ 上的光滑切向量场. 又 $\forall p\in N$, $\forall g\in C^{\infty }(N)$, $$\begin{array}{rl}& (f_{\ast }X{)}_{f(p)}(g)\\ & =X(g\circ f)\circ f^{-1}(f(p))\\ & =X(g\circ f)(p),\\ & =f_{\ast }{X}_p(g),\end{array}$$可见 $f_{\ast }X$ 与 $X$ 是 $f$- 相关的. (2) 结合 (1) 与定理 2.6 (P133) 结论告诉我们, $f_{\ast }$ 保持 Poisson 括号积, 我们只需要证明其是线性的双射. 线性在 (1)(b) 中已经证明, 下证其为双射: 由 (1)(c) 知 $f_{\ast }(0)=0$ 故 $f_{\ast }$ 是单射, 又对 $N$ 上任意的光滑切向量场 $Y$ 有$$\begin{array}{rl}& (f_{\ast }((f^{-1}{)}_{\ast }Y))(g)\\ & =((f^{-1}{)}_{\ast }Y)(g\circ f)\circ f^{-1}\\ & =Y(g\circ f\circ f^{-1})\circ f^{-1}\circ f\\ & =Y(g),\end{array}$$因此 $f_{\ast }$ 是满射.
7.	假设存在这样的光滑切向量场 $Y=y\frac{d}{dt}$, 其中 $y\in C^{\infty }(\mathbf{R})$, 则 $\forall t_0\in \mathbf{R}$, $f\in C^{\infty }(\mathbf{R})$, $$\begin{array}{rl}& {\Phi }_{\ast }(\frac{d}{dt}{|}_{t=t_0})(f)=Y{|}_{t=t_0^2}(f)\\ & \Rightarrow \frac{df(t^2)}{dt}{|}_{t=t_0}=y\frac{df(t)}{dt}{|}_{t=t_0^2}\\ & \Rightarrow y(t_0^2)=2t_0,\end{array}$$从而 $y(t)=2\sqrt{t},\forall t\ge 0$, 那么 $y$ 在 $t=0$ 处不光滑, 假设不成立.
10.	未必存在, 下一题就是一个反例. 错误示例: 如果 $\phi$ 是满射的话就存在这样的光滑切向量场 $Y$. $\forall p\in N$, 令$$Y_p={\phi }_{\ast }{X}_{{\phi }^{-1}(p)}.$$因为 $\phi (p)=\phi (q)$ 时$${\phi }_{\ast p}X(p)={\phi }_{\ast q}X(q),$$这样的定义是合理的, 利用定理 2.3 容易验证这样定义出的 $Y$ 是光滑切向量场, 则根据定义易见 $Y$ 和 $X$ 是 $\phi$- 相关的. (原作者注: 确实, 利用定理 2.3 是无法验证向量场的光滑性的, 草率了, 感谢同学指正)
11.	为使记号方便, 我们用 $f$ 来表示题目中的 $\phi$, 再沿用第二章 $\S$1 例 2 中的记号 (P58) , 则$$\psi \circ f\circ {\phi }^{-1}:\mathbf{R}\to \mathbf{R},$$$$\psi \circ f\circ {\phi }^{-1}(x)=x^3,$$于是 $f$ 是 $C^{\infty }$- 映射. 类似于第 10 题, 假设存在这样的光滑切向量场 $Y=y\frac{d}{dt}$, 其中 $y\in C^{\infty }(\mathbf{R})$, 则 $\forall t_0\in \mathbf{R}$, $g\in C^{\infty }(\mathbf{R})$, $$\begin{array}{rl}& f_{\ast }(\frac{d}{dt}{|}_{t=t_0})(g)=Y{|}_{t=t_0}(g)\\ & \Rightarrow \frac{dg(t^3)}{dt}{|}_{t=t_0}=y\frac{dg}{dt}{|}_{t=t_0^2}\\ & \Rightarrow y(t_0^3)=3t_0^2,\end{array}$$于是 $y$ 在 $t_0=0$ 处不光滑, 假设不成立.
12.	计算得$$\begin{array}{rl}[X,Y]& =x\frac{\partial }{\partial z}-z\frac{\partial }{\partial x},\\ [Y,Z]& =-\frac{\partial }{\partial y}+\frac{\partial }{\partial z},\\ [X,Z]& =-\frac{\partial }{\partial y}+\frac{\partial }{\partial x}.\end{array}$$
13.	先计算向量场经过点 $p=(x_0,y_0)$ 的积分曲线 ${\gamma }_p(t)$. 设 ${\gamma }_p(t)=(x(t),y(t))$, 则$$\frac{d}{dt}{\gamma }_p(t)=(y(t),-x(t)),$$得到方程组$$\{\begin{array}{l}\frac{dx}{dt}=y,\\ \frac{dy}{dt}=-x,\end{array}$$ 代入初始点 ${\gamma }_p(0)=(x_0,y_0)$ 得到积分曲线$${\gamma }_p(t)=\sqrt{x_0^2+y_0^2}(\cos (t_0-t),\sin (t_0-t)),$$其中 $t_0$ 满足$$\sqrt{x_0^2+y_0^2}(\cos (t_0),\sin (t_0))=p=(x_0,y_0).$$因此 $X$ 所生成的单参数变换群为$$\phi (t,p)=\sqrt{x_0^2+y_0^2}(\cos (t_0-t),\sin (t_0-t)).$$
14.	设向量场 $Y$ 经过点 $p$ 的积分曲线为 $\gamma (t)$ 满足 $\gamma (t_0)=p$. 因为$$f_{\ast }(\frac{d}{dt}\gamma (t){|}_{t=t_0})=X{|}_{f(p)}=\frac{d}{dt}f\circ \gamma (t){|}_{t=t_0},$$所以 $f\circ \gamma$ 是 $X$ 的积分曲线.
15.	验证其是单参数变换群是容易的. $$\frac{\partial \phi }{\partial t}=(\lambda x{e}^{\lambda t},\mu y{e}^{\mu t}),$$由此可知单参数变换群诱导的切向量场为 $\lambda x\frac{\partial }{\partial x}+\mu y\frac{\partial }{\partial y}$.
16.	(i) $$\theta (0,x,y)=(x,y),$$$$\begin{array}{rl}\theta (s,\theta (t,x,y))& =\theta (s,x\cos \lambda t+y\sin \lambda t,-x\sin \lambda t+y\cos \lambda t)\\ & =(x\cos \lambda (s+t)+y\sin \lambda (s+t),-x\sin \lambda (s+t)+y\cos \lambda (s+t))\\ & =\theta (s+t,x,y),\end{array}$$故 $\theta$ 是单参数变换群. (ii) 计算可知, $$\frac{\partial }{\partial t}\theta (t,x,y){|}_{t=0}=(\lambda y,-\lambda x),$$故诱导切向量场为 $X_{(x,y)}=\lambda y\frac{\partial }{\partial x}-\lambda x\frac{\partial }{\partial y}$.
17.	(i) $$\theta (0,A)=I\cdot A=A,$$$$\begin{array}{rl}\theta (s,\theta (t,A))& =\left[\begin{array}{ccc}1& & s\\ 0& & 1\end{array}\right]\cdot \theta (t,A)\\ & =\left[\begin{array}{ccc}1& & s\\ 0& & 1\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{ccc}1& & t\\ 0& & 1\end{array}\right]\cdot A\\ & =\left[\begin{array}{ccc}1& & s+t\\ 0& & 1\end{array}\right]\cdot A\\ & =\theta (s+t,A),\end{array}$$故 $\theta$ 是单参数变换群. (ii) 计算可知, $$\frac{\partial }{\partial t}\theta (t,A){|}_{t=0}=\left[\begin{array}{ccc}1& & 1\\ 0& & 1\end{array}\right]\cdot A,$$故诱导切向量场为 $X=(x_{11}+x_{21})\frac{\partial }{\partial x_{11}}+(x_{12}+x_{22})\frac{\partial }{\partial x_{12}}+x_{21}\frac{\partial }{\partial x_{21}}+x_{22}\frac{\partial }{\partial x_{22}}$.
18.	我们有微分方程$$\{\begin{array}{l}\frac{\partial }{\partial t}\phi (t,x){|}_{t=0}=\phi (t,x{)}^2,\\ \phi (0,x)=x,\end{array}$$解得 $\phi (t,x)=\frac{x}{1-xt}$. 通过初始点选取恰当的定义域即可.
19.	本问题仅为计算题, 以下直接给出答案: (i) $X=x\frac{\partial }{\partial x}+y\frac{\partial }{\partial y}$, $\phi (t,x,y)=(x{e}^t,y{e}^t).$ (ii) $X=-x\frac{\partial }{\partial x}-y\frac{\partial }{\partial y}$, $\phi (t,x,y)=(x{e}^{-t},y{e}^{-t}).$ (iii) $X=-y\frac{\partial }{\partial x}+x\frac{\partial }{\partial y}$, $\phi (t,x,y)=(x\cos t-y\sin t,x\sin t+y\cos t).$ (iv) $X=(x^2-y^2)\frac{\partial }{\partial x}+2xy\frac{\partial }{\partial y}$, $\phi (t,x,y)=(\frac{x-t{x}^2-t{y}^2}{(1-tx{)}^2+(ty{)}^2},\frac{y}{(1-tx{)}^2+(ty{)}^2}).$ (v) $X=-x\frac{\partial }{\partial x}+y\frac{\partial }{\partial y}$, $\phi (t,x,y)=(x{e}^{-t},y{e}^t).$ (vi) $X=(y^2-x^2)\frac{\partial }{\partial x}+2xy\frac{\partial }{\partial y}.$
20.	充分性: 对等式两边关于 $t$ 求偏导, 得到$$\begin{array}{rl}{F}_{\ast }(X_p)& =F_{\ast }\circ \frac{\partial \phi }{\partial t}(0,p)\\ & =\frac{\partial }{\partial t}F\circ \phi (t,x){|}_{t=0,x=p}\\ & =\frac{\partial }{\partial t}\psi (t,F(x)){|}_{t=0,x=p}\\ & =Y_{F(p)},\end{array}$$故 $Y$ 和 $X$ 是 $F$- 相关的. 必要性: 由第 14 题可直接推出. $Y$ 和 $X$ 是 $F$- 相关的, 且 $\phi (t,p)$ 在固定 $p$ 时为 $X$ 的积分曲线, 故由第 14 题可知 $F\circ \phi (t,p)$ 为 $Y$ 的积分曲线. 注意到 $\psi (t,F(p))$ 也为 $Y$ 的积分曲线, 由积分曲线的唯一性可知 $F\circ {\phi }_t={\psi }_t\circ F$.
21.	由定理 3.5 (P145) , ${\mathcal{L}}_{\tilde{X}}\tilde{Y}=[\tilde{X},\tilde{Y}]$, ${\mathcal{L}}_{X}Y=[X,Y]$. 由定理 2.6 (P133) , $[\tilde{X},\tilde{Y}]$ 和 $[X,Y]$ 是 $f$- 相关的. 故 ${\mathcal{L}}_{\tilde{X}}\tilde{Y}$ 和 ${\mathcal{L}}_{X}Y$ 是 $f$- 相关的.
22.	$\forall Z\in \mathcal{X}(M)$, 有$$\begin{array}{rl}{\mathcal{L}}_{[X,Y]}Z& =[[X,Y],Z]\\ & =[X,Y]\circ Z-Z\circ [X,Y]\\ & =X\circ Y\circ Z-Y\circ X\circ Z-Z\circ X\circ Y+Z\circ Y\circ X.\end{array}$$ 另一方面, $$\begin{array}{rl}({\mathcal{L}}_X\circ {\mathcal{L}}_Y-{\mathcal{L}}_Y\circ {\mathcal{L}}_X)Z& ={\mathcal{L}}_X[Y,Z]-{\mathcal{L}}_Y[X,Z]\\ & =[X,[Y,Z]]-[Y,[X,Z]]\\ & =X\circ (Y\circ Z-Z\circ Y)-(Y\circ Z-Z\circ Y)\circ X\\ & -Y\circ (X\circ Z-Z\circ X)+(X\circ Z-Z\circ X)\circ Y\\ & =X\circ Y\circ Z-Y\circ X\circ Z-Z\circ X\circ Y+Z\circ Y\circ X,\end{array}$$故 ${\mathcal{L}}_{[X,Y]}={\mathcal{L}}_X\circ {\mathcal{L}}_Y-{\mathcal{L}}_Y\circ {\mathcal{L}}_X$.
23.	$$\begin{array}{rl}{\mathcal{L}}_{X}Y& =[X,Y]=[X,Y^j{e}_j]\\ & =X(Y^j)e_j+Y^j[X,e_j]\\ & =X(Y^j)e_j+Y^j[X^i{e}_i,e_j]\\ & =X(Y^j)e_j+X^i{Y}^j[e_i,e_j]-Y^j{e}_j(X^i)e_i\\ & =X(Y^j)e_j+X^i{Y}^j{c}_{ij}^k{e}_k-Y^j{e}_j(X^i)e_i\\ & =(X(Y^i)+(X^k{c}_{kj}^i-e_j(X^i))Y^j)e_i\\ & =(X(Y^i)-a_j^i{Y}^j)e_i.\end{array}$$
24.	(i) $${\mathcal{L}}_{X+Y}Z=[X+Y,Z]=[X,Z]+[Y,Z]=({\mathcal{L}}_X+{\mathcal{L}}_Y)Z,$$故有 ${\mathcal{L}}_{X+Y}={\mathcal{L}}_X+{\mathcal{L}}_Y$. (ii) $${\mathcal{L}}_{f\cdot X}Y=[f\cdot X,Y]=f[X,Y]-Y(f)X=f{\mathcal{L}}_{X}Y-Y(f)X.$$
25.	首先, 通过计算得到$$\begin{array}{rl}{\mathcal{L}}_{X}Y& =[X,Y]=X\circ Y-Y\circ X\\ & =x^2\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}-(2x\frac{\partial }{\partial x}+x^2\frac{{\partial }^2}{\partial x^2})\\ & =-2x\frac{\partial }{\partial x}.\end{array}$$代入 $u=x$, $v=x+y$, 得到$$\begin{array}{rl}{\mathcal{L}}_{X}Y& =-2x\frac{\partial }{\partial x}\\ & =-2u(\frac{\partial u}{\partial x}\frac{\partial }{\partial u}+\frac{\partial v}{\partial x}\frac{\partial }{\partial v})\\ & =-2u(\frac{\partial }{\partial u}+\frac{\partial }{\partial v}).\end{array}$$
26.	在 $\mathbf{R}$ 上, 取 $p=0$, 以及$$X=0,\tilde{X}=x\frac{\partial }{\partial x},Y=\frac{\partial }{\partial x},$$则在 $p$ 点成立 $X(p)=0=\tilde{X}(p)$. 但经过计算, 我们分别得到$${\mathcal{L}}_{X}Y(p)=0,{\mathcal{L}}_{\tilde{X}}Y(p)=\frac{\partial }{\partial x},$$两者并不相等.
27.	根据定理 $2.7$ (P134) , $f_{\ast }$ 保 Poisson 括号积, 故成立$$f_{\ast }{\mathcal{L}}_{X}Y=f_{\ast }[X,Y]=[f_{\ast }X,f_{\ast }Y]={\mathcal{L}}_{f_{\ast }X}{f}_{\ast }Y.$$
28.	由于 $L^h$ 是 $U$ 上的 $h$ 维光滑分布, 存在 $p$ 的某个邻域 $V\subset U$, 以及定义在 $V$ 上的 $h$ 个处处线性无关的向量场, 记为 $X_1,\cdots ,X_h$, 满足 $L^h{|}_V=\mathrm{span}\{X_1,\cdots ,X_h\}$. 那么 $v$ 可以表示为 $v=c_1{X}_1(p)+\cdots +c_h{X}_h(p)$, 其中 $c_i\in \mathbf{R}$. 那么 $X:=c_1{X}_1+\cdots +c_h{X}_h$ 为属于光滑分布 $L^h{|}_V$ 的光滑切向量场. 由定理 $4.1$ (P147) 可知, 存在 $p$ 的一个局部坐标系 $(W;y^i)$, $W\subset V$, 使得 $X{|}_W=\frac{\partial }{\partial y^1}$. 那么 $X$ 有积分曲线 $y=(y^1,0,\cdots ,0)$, 满足 $y(0)=p$, $y^{\prime }(0)=v$. 因为 $X\in L^h{|}_V$, 这也是 $L^h$ 的一条积分曲线.
30.	假设 $\{{\phi }_t\}$ 与 $\{{\psi }_s\}$ 在 $M$ 上的作用可交换. 对任意的 $t$, 因为 ${\phi }_t:M\to M$ 为局部光滑同胚, 所以根据推论 $3.4$ (P144) , 有 $({\phi }_t{)}_{\ast }Y=Y$. 进而在局部上, 根据定理 $3.5$ (P145) , 成立$$[X,Y]=\underset{t\to 0}{\lim }\frac{Y-({\phi }_t{)}_{\ast }Y}{t}=\underset{t\to 0}{\lim }0=0.$$于是在 $M$ 上, $[X,Y]=0$ 恒成立. 假设 $[X,Y]\equiv 0$. 根据推论 $3.4$, 只要证明 $({\phi }_t{)}_{\ast }Y=Y$ 对所有 $t$ 成立. 由于 $t=0$ 时命题成立, 我们希望证明 $({\phi }_t{)}_{\ast }Y$ 关于 $t$ 不变. 对任意的 $g\in C^{\infty }(M)$ 和 $t_0\in \mathbf{R}$, 根据定理 $3.5$, 我们有$$\begin{array}{rl}{\frac{d}{dt}|}_{t=t_0}[({\phi }_t{)}_{\ast }Y(g)]& ={\frac{d}{dt}|}_{t=t_0}[Y(g\circ {\phi }_t)]\\ & =\underset{s\to 0}{\lim }\frac{Y(g\circ {\phi }_{t_0+s})-Y(g\circ {\phi }_{t_0})}{s}\\ & =\underset{s\to 0}{\lim }\frac{({\phi }_s{)}_{\ast }Y(g\circ {\phi }_{t_0})-Y(g\circ {\phi }_{t_0})}{s}\\ & =\underset{s\to 0}{\lim }\frac{({\phi }_s{)}_{\ast }Y-Y}{s}(g\circ {\phi }_{t_0})\\ & =[X,Y](g\circ {\phi }_{t_0})=0.\end{array}$$所以对任意的 $t$, 成立 $({\phi }_t{)}_{\ast }Y(g)=({\phi }_0{)}_{\ast }Y(g)=Y(g)$, 也即 $({\phi }_t{)}_{\ast }Y=Y$.
31.	每个 $X_i$ 在 $p$ 的某个邻域 $V_i$ 上生成了一个局部单参数变换群, 记为 $\{{\phi }_t^{(i)}\}$. 令 $V=\cap V_i$, 则 $V$ 仍是 $p$ 的邻域. 任取 $V$ (或更小的邻域) 上的一个坐标系 $(V;x^i)$, 其中 $1\le i\le n:=\dim M$. 在 $V$ 上, 由线性无关性, $\mathrm{span}\{X_1,\cdots ,X_h\}$ 是一个 $h$ 维的线性空间. 所以可以假设$$X_1,\cdots ,X_h,\frac{\partial }{\partial x^{h+1}},\cdots ,\frac{\partial }{\partial x^n}$$线性无关, 进而构成了 $\mathcal{X}(V)$ 上的一组基. 由上一题的结论, 因为 $[X_i,X_j]=0$, ${\phi }_t^{(i)}$ 与 ${\phi }_s^{(j)}$ 可交换. 定义$$\phi (y^1,\cdots ,y^n):={\phi }_{y^1}^{(1)}\circ \cdots \circ {\phi }_{y^h}^{(h)}(0,\cdots ,0,y^{h+1},\cdots y^n),$$则 ${\phi }^{-1}$ 给出了一个 $V$ 上的坐标系, 且满足 $X_i=\frac{\partial }{\partial y^i},\forall 1\le i\le h$.
32.	(1) 在每个分量 $\frac{\partial }{\partial x^{i_{\alpha }}}$ 或 $d{x}^{j_{\beta }}$ 上, 分别有 $({\phi }_{-(t+s)}{)}_{\ast }=({\phi }_{-t}{)}_{\ast }\circ ({\phi }_{-s}{)}_{\ast }$, 以及 $({\phi }_{-(t+s)}{)}^{\ast }=({\phi }_{-t}{)}^{\ast }\circ ({\phi }_{-s}{)}^{\ast }$. 根据 $(5.14)$ 的定义, 就有 ${\Phi }_{t+s}={\Phi }_t\circ {\Phi }_s$. 同理, ${\Phi }_{t+s}={\Phi }_s\circ {\Phi }_t$. (2) 我们首先有$${\frac{d}{dt}|}_{t=s}{\Phi }_t\tau =\underset{t\to 0}{\lim }\frac{{\Phi }_{t+s}\tau -{\Phi }_s\tau }{t}.$$利用上一小问的两个等式和定义 $5.2$ (P163) , 我们分别得到$${\frac{d}{dt}|}_{t=s}{\Phi }_t\tau =\underset{t\to 0}{\lim }\frac{{\Phi }_t({\Phi }_s\tau )-{\Phi }_s\tau }{t}={\mathcal{L}}_X({\Phi }_s\tau ),$$以及$$\begin{array}{rl}{\frac{d}{dt}|}_{t=s}{\Phi }_t\tau & =\underset{t\to 0}{\lim }\frac{{\Phi }_s({\Phi }_t\tau )-{\Phi }_s\tau }{t}\\ & ={\Phi }_s\left(\underset{t\to 0}{\lim }\frac{{\Phi }_t\tau -\tau }{t}\right)\\ & ={\Phi }_s{\mathcal{L}}_X(\tau ).\end{array}$$
33.	我们用 $t_0$ 表示确定的实数 $t$, 以示区别. 边界条件显然成立. 为了凑 $X^i(x)$ 这一项, 考虑 $f_{t_0}:=g\circ {\phi }_{t_0}\circ \phi$, 有 $f(t+t_0,x)\equiv f_{t_0}(t,x)$. 所以$$\begin{array}{rl}\frac{\partial f}{\partial t}(t_0,x)& =\frac{\partial f_{t_0}}{\partial t}(0,x)=X_x(g\circ {\phi }_{t_0})\\ & =\sum _{i=1}^n{X}^i(x)\frac{\partial (g\circ {\phi }_{t_0})}{\partial x^i}(x).\end{array}$$而 $g\circ {\phi }_{t_0}(x)=f(t_0,x)$, 故$$\frac{\partial f}{\partial t}(t_0,x)=\sum _{i=1}^n{X}^i(x)\frac{\partial f}{\partial x^i}(t_0,x).$$
34.	这里 $X=(X_1,X_2)=(y,-x)$, 它生成的局部单参数变换群为$${\phi }_t(r\sin \theta ,r\cos \theta )=(r\sin (\theta +t),r\cos (\theta +t)).$$由第 33 题, 由 $g(x,y)=y\sin x$, $$f(t,\mathbf{x})=g(\phi (t,\mathbf{x}))=r\cos (\theta +t)\sin (r\sin (\theta +t)).$$
35.	考虑另一个局部坐标系 $(V,y^i)$, 设 $\frac{\partial }{\partial x^i}=a_i^j\frac{\partial }{\partial y^j}$, 则 $d{y}^j=a_i^{j}d{x}^i$. $$\begin{array}{rl}({\Phi }_t(\tau ))(\mathbf{x})& ={\tau }_{j_1\cdots j_q}^{i_1\cdots i_p}({\gamma }_{\mathbf{x}}(t))({\phi }_{-t}{)}_{\ast }(\frac{\partial }{\partial x^{i_1}}{|}_{{\gamma }_{\mathbf{x}}(t)})\otimes \cdots \otimes ({\phi }_t{)}^{\ast }(d{x}^{j_q}{|}_{{\gamma }_{\mathbf{x}}(t)})\\ & ={\tau }_{j_1\cdots j_q}^{i_1\cdots i_p}({\gamma }_{\mathbf{x}}(t))({\phi }_{-t}{)}_{\ast }(a_{i_1}^{s_1}\frac{\partial }{\partial y^{s_1}}{|}_{{\gamma }_{\mathbf{x}}(t)})\otimes \cdots \otimes ({\phi }_t{)}^{\ast }(a_{l_q}^{j_q}d{y}^{l_q}{|}_{{\gamma }_{\mathbf{x}}(t)})\\ & ={\tau }_{j_1\cdots j_q}^{i_1\cdots i_p}({\gamma }_{\mathbf{x}}(t))a_{i_1}^{s_1}\cdots a_{i_p}^{s_p}\cdot a_{l_1}^{j_1}\cdots a_{l_q}^{j_q}({\phi }_{-t}{)}_{\ast }(\frac{\partial }{\partial y^{s_1}}{|}_{{\gamma }_{\mathbf{x}}(t)})\otimes \cdots \otimes ({\phi }_t{)}^{\ast }(d{y}^{l_q}{|}_{{\gamma }_{\mathbf{x}}(t)})\\ & ={\tau }_{l_1\cdots l_q}^{s_1\cdots s_p}({\gamma }_{\mathbf{x}}(t))({\phi }_{-t}{)}_{\ast }(\frac{\partial }{\partial y^{s_1}}{|}_{{\gamma }_{\mathbf{x}}(t)})\otimes \cdots \otimes ({\phi }_t{)}^{\ast }(d{y}^{l_q}{|}_{{\gamma }_{\mathbf{x}}(t)}).\end{array}$$
36.	若函数 $f_1$, $f_2$, $\cdots$, $f_r$ 可以作为点 $p\in U$ 的某个邻域内的坐标函数 $F$ 的组成部分, 即存在函数 $g_{r+1}$, $\cdots$, $g_n$ 使得 $F={\left(\begin{array}{c}{f}_1,\cdots ,f_r,g_{r+1},\cdots ,g_n\end{array}\right)}^t$ 是坐标函数. 则有 $dF={\left(\begin{array}{c}d{f}_1,\cdots ,d{f}_r,d{g}_{r+1},\cdots ,d{g}_n\end{array}\right)}^t$ 满秩, 因此有 $d{f}_1$, $\cdots$, $d{f}_r$ 线性无关. 另一方面, 若 $d{f}_1$, $\cdots$, $d{f}_r$ 线性无关, 我们用自然坐标扩充该线性无关组, 得到坐标函数 $F={\left(\begin{array}{c}{f}_1,\cdots ,f_r,x^{i_{r+1}},\cdots ,x^{i_n}\end{array}\right)}^t$, 则函数 $f_1$, $f_2$, $\cdots$, $f_r$ 可以作为点 $p\in U$ 的邻域 $U$ 内的这个坐标函数 $F$ 的组成部分.
37.	若关于 $a$, $b$ 的方程 $0=a{\omega }^1+b{\omega }^2=(a{x}^1+b{x}^2)d{x}^1+(a{x}^2+b{x}^1)d{x}^2$ 只有零解, 即 $\left(\begin{array}{cc}{x}^1& x^2\\ x^2& x^1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}a\\ b\end{array}\right)=0$ 只有零解 $⟺$ $\left|\begin{array}{cc}{x}^1& x^2\\ x^2& x^1\end{array}\right|\ne 0$, 即 $(x^1{)}^2\ne (x^2{)}^2$, 由此得到区域$$U={\mathbf{R}}^2\setminus (\{y=x\}\cup \{y=-x\}).$$ $\{\begin{array}{l}{\omega }^1=x^{1}d{x}^1+x^{2}d{x}^2\\ {\omega }^2=x^{2}d{x}^1+x^{1}d{x}^2\end{array}$ $\Rightarrow$ $\{\begin{array}{l}\frac{\partial }{\partial x^1}=x^1{\delta }_1+x^2{\delta }_2\\ \frac{\partial }{\partial x^2}=x^2{\delta }_1+x^1{\delta }_2\end{array}$ $\Rightarrow$ $\{\begin{array}{l}{\delta }_1=\frac{1}{(x^1{)}^2-(x^2{)}^2}(x^1\frac{\partial }{\partial x^1}-x^2\frac{\partial }{\partial x^2})\\ {\delta }_2=\frac{1}{(x^1{)}^2-(x^2{)}^2}(-x^2\frac{\partial }{\partial x^1}+x^1\frac{\partial }{\partial x^2})\end{array}.$
38.	设有 $2$ 重 $C^{\infty }(M)$- 线性映射 $\Phi$: $\mathcal{X}(M)\times \mathcal{X}(M)\to C^{\infty }(M)$, 我们要在 $M$ 上定义一个光滑的 $(0,2)$ 型张量场 $\tilde{\Phi }$, 使得在每一点 $p\in M$, 有$$\tilde{\Phi }(p)(X(p)\otimes Y(p))=\Phi (X,Y)(p),\forall X,Y\in (M).$$ (1) 首先注意到, 映射 $\Phi$: $\mathcal{X}(M)\times \mathcal{X}(M)\to C^{\infty }(M)$ 有局部性. 若 $(X,Y)$, $(X_1,Y_1)\in \mathcal{X}(M)\times \mathcal{X}(M)$, 且在开子集 $U\subset M$ 上有 $(X,Y){|}_U=(X_1,Y_1){|}_U$, 我们证明有 $\Phi (X,Y){|}_U=\Phi (X_1,Y_1){|}_U\in C^{\infty }(U)$. 事实上, $\forall p\in U$, 存在 $p$ 的邻域 $V$, 使得 $\overline{V}$ 紧致, 且 $p\in V\subset \overline{V}\subset U$. 且存在函数 $f\in C^{\infty }(M)$ 使得 $f{|}_V\equiv 1$, $f{|}_{M\setminus U}\equiv 0$. 于是 $f\cdot (X-X_1)$ 是 $M$ 上的零向量场. 而 $\Phi (0,Y)=\Phi (0,Y)+\Phi (0,Y)=2\Phi (0,Y)$ $\Rightarrow$ $\Phi (0,Y)=0$, 故有$$0=\Phi (f\cdot (X-X_1),Y)=f\Phi (X-X_1,Y)=f(\Phi (X,Y)-\Phi (X_1,Y)).$$特别地, 在 $p$ 点, 有 $\Phi (X,Y)(p)=\Phi (X_1,Y)(p)$, 故有 $\Phi (X,Y){|}_U=\Phi (X_1,Y){|}_U$. 同理可证 $\Phi (X,Y){|}_U=\Phi (X,Y_1){|}_U$, 则由 $2$ 重 $C^{\infty }(M)$- 线性知, $\Phi (X,Y){|}_U=\Phi (X_1,Y_1){|}_U$. (2) 由 $\Phi$ 的局部性, 对于 $M$ 上的任意开子集 $U$, $\Phi {|}_U$ 是 $2$ 重 $C^{\infty }(M)$ - 线性映射: $\mathcal{X}(U)\times \mathcal{X}(U)\to C^{\infty }(U)$. (3) 设 $(U,x^i)$ 是 $p$ 点的任意一个局部坐标系, 又设 $\mathbf{w}$, $\mathbf{v}\in \mathcal{X}(U)$, 且有局部表示 $\mathbf{w}=w^i\frac{\partial }{\partial x^i}$, $\mathbf{v}=v^j\frac{\partial }{\partial x^j}$. 特别地, 我们有: $$\Phi (\mathbf{w},\mathbf{v})(p)=w^i{v}^j\Phi (\frac{\partial }{\partial x^i},\frac{\partial }{\partial x^j})(p),$$$\Phi (\mathbf{w},\mathbf{v})(p)$ 线性地依赖于切向量场 $\mathbf{w}$, $\mathbf{v}$ 在 $p$ 点处的分量, 与 $\mathbf{w}$, $\mathbf{v}$ 在 $p$ 以外的值无关. 现在可以在每一个点 $p\in M$ 定义 $(0,2)$ 型张量场 $\tilde{\Phi }\in T_p^{\ast }M\otimes T_p^{\ast }M$ 如下: 任取 ${\mathbf{w}}_0$, ${\mathbf{v}}_0\in T_{p}M$, 作 ${\mathbf{w}}_0$, ${\mathbf{v}}_0$ 在 $p$ 点邻域 $U$ 内的任意光滑扩张 $\mathbf{w}$, $\mathbf{v}\in \mathcal{X}(U)$, 使得 $(\mathbf{w},\mathbf{v})(p)=({\mathbf{w}}_0,{\mathbf{v}}_0)(p)$. 令 $(\tilde{\Phi }(p))({\mathbf{w}}_0,{\mathbf{v}}_0)=\Phi (\mathbf{w},\mathbf{v})(p)$, 由上式知此式有意义, 即 $(\tilde{\Phi }(p))({\mathbf{w}}_0,{\mathbf{v}}_0)$ 的值与光滑扩张 $\mathbf{w}$, $\mathbf{v}\in \mathcal{X}(U)$ 的选取无关. 这样, 我们便得到了光滑流形 $M$ 上的 $(0,2)$ 型张量场 $\tilde{\Phi }$ (光滑性是显然的) .
39.	定义 $\tilde{\phi }(X,\alpha )=\alpha (\phi (X))$, 容易验证这是一个 $2$ 重线性映射, 且对每个自变量都是 $C^{\infty }(M)$- 线性的, 由定理 5.1 (P159) 知命题成立.
40.	$\forall f,g\in C^{\infty }(M)$, $Y,Z\in \mathcal{X}(M)$, $$\begin{array}{rl}{\mathcal{L}}_X\phi (fY+gZ)& =[X,\phi (fY+gZ)]-\phi ([X,fX+gZ])\\ & =[X,f\phi (Y)+g\phi (Z)]-\phi (f[X,Y]+g[X,Z])\\ & =f[X,\phi (Y)]+g[X,\phi (Z)]-f\phi ([X,Y])-g\phi ([X,Z])\\ & =f{\mathcal{L}}_X\phi (Y)+g{\mathcal{L}}_X\phi (Z).\end{array}$$