用户: Solution/ 习题: 陈维桓 微分流形/第四章 外微分式

2.	在 $S^n$ 上有标准 Riemann 度量, 该度量在对径映射下不变, ${\mathbf{RP}}^n$ 作为其在对径映射下的商空间, 可自然诱导出 ${\mathbf{RP}}^n$ 上的一个黎曼度量, 下面给出该度量的局部坐标: 只给出在 $U=\{[x_1,\dots ,x_{n+1}]\mid x_{n+1}>0,\sum (x_i{)}^2=1\},\varphi ([x_1,\dots ,x_{n+1}])=[x_1,\dots ,x_n]$ 的局部坐标下的黎曼度量, 其他一个局部坐标可类似给出. 局部上 $U$ 的黎曼度量与 $S^n$ 相同, 我们将 $S^n$ 视作 ${\mathbb{R}}^{n+1}$ 的子流形. 任意 $U$ 上的点 $p$, 该点处有切空间的一组基 $\{\frac{\partial }{\partial x_i}\mid i=1,\dots ,n\}$, 且有 $\frac{\partial }{\partial x_k}=(0,\cdots ,1,\cdots ,0,\frac{-x_k}{\sqrt{1-\sum x_i^2}})$, 故我们定义 $g_{kk}=1+\frac{x_k^2}{1-\sum x_i^2}$, 对于 $k=1,2,\cdots ,n$. $g_{ij}=0$, 对于 $i\ne j$. , 这样就给出了 $U$ 上的黎曼度量, 进而可给出全空间上的黎曼度量. 体积元素即流形上大范围定义的正的 $n$ 次外微分式 (不一定要用黎曼度量来定义) , 这等价于流形是可定向的 (定理 1.4, P178) , 故当且仅当 $n$ 为奇数时 ${\mathbf{RP}}^n$ 上能定义体积元素.
3.	(1) 由 $\phi$ 是反对称的 $r$ 重线性映射得 $i(X)\phi$ 是反对称的 $r-1$ 重线性映射, 且对每个 $X_i$ 是 $C^{\infty }(M)$ - 线性的, 故 $i(X)\phi \in A^{r-1}(M)$. (2) 同第一章第 44 题 (1). (3) 同第一章第 44 题 (2).
4.	(1) $$\begin{array}{rl}[(i(X)\circ d)(\omega )](Y_1,\dots Y_r)=& [i(X)(d\omega )](Y_1,\dots Y_r)\\ =& d\omega (X,Y_1,\cdots Y_r)\\ =& X(\omega (Y_1,\cdots ,Y_r))+\sum _{\lambda =1}^r(-1{)}^r{Y}_{\lambda }(\omega (X,Y_1,\cdots ,\widehat{Y_{\lambda }},\cdots ,Y_r))\\ & +\sum _{\lambda <\mu }(-1{)}^{\lambda +\mu +1}\omega (X,[Y_{\lambda },Y_{\mu }],Y_1,\dots ,\widehat{Y_{\lambda }},\cdots ,\widehat{Y_{\mu }},\cdots ，Y_r)\\ & +\sum _{\lambda =1}^{\lambda =r}(-1{)}^{\lambda }\omega ([X,Y_{\lambda }],Y_1,\cdots ,\widehat{Y_{\lambda }},\dots ,Y_r).\end{array}$$ 记 $i(X)(\omega )=\varphi \in A^{r-1}(M)$, $$\begin{array}{rl}[(d\circ i(X))(\omega )](Y_1,\dots Y_r)=& d\varphi (Y_1,\dots Y_r)\\ =& \sum _{\lambda =1}^r(-1{)}^{r+1}{Y}_{\lambda }(\varphi (Y_1,\dots ,\widehat{Y_{\lambda }},\dots ,Y_r))+\sum _{\lambda <\mu }(-1{)}^{\lambda +\mu }\varphi ([Y_{\lambda },Y_{\mu }],Y_1,\dots ,\widehat{Y_{\lambda }},\cdots ,\widehat{Y_{\mu }},\dots ，Y_r)\\ =& \sum _{\lambda =1}^r(-1{)}^{r+1}{Y}_{\lambda }(\omega (X,Y_1,\dots ,\widehat{Y_{\lambda }},\dots ,Y_r))+\sum _{\lambda <\mu }(-1{)}^{\lambda +\mu }\omega (X,[Y_{\lambda },Y_{\mu }],Y_1,\dots ,\widehat{Y_{\lambda }},\cdots ,\widehat{Y_{\mu }},\cdots ，Y_r)\end{array}$$ $$[(i(X)\circ d+d\circ i(X))(\omega )](Y_1,\cdots Y_r)=X(\omega (Y_1,\cdots ,Y_r))+\sum _{\lambda =1}^r(-1{)}^{\lambda }\omega ([X,Y_{\lambda }],Y_1,\cdots ,\widehat{Y_{\lambda }},\cdots ,Y_r)$$ $$({\mathcal{L}}_X(\omega ))=\underset{t\to 0}{\lim }\frac{({\Phi }_t{)}^{\ast }(\omega )-\omega }{t}.$$ 仿照定理 3.5 (P146) 即可证明. (2) ${\mathcal{L}}_X\circ d=(i(X)\circ d+d\circ i(X))\circ d=d\circ i(X)\circ d=d\circ (i(X)\circ d+d\circ i(X))=d\circ {\mathcal{L}}_X$. (3) ${\mathcal{L}}_X(\phi \wedge \psi )=(i(X)\circ d+d\circ i(X))(\phi \wedge \psi )$. 已知: $$d(\phi \wedge \psi )=(d\phi )\wedge \psi +(-1{)}^r\phi \wedge (d\psi ),$$$$i(X)(\phi \wedge \psi )=(i(X)\phi )\wedge \psi +(-1{)}^r\phi \wedge (i(X)\psi ),$$ $$\begin{array}{rl}(i(X)\circ d)(\phi \wedge \psi )& =(i(X))((d\phi )\wedge \psi +(-1{)}^r\phi \wedge (d\psi ))\\ & =[(i(X)\circ d)\phi ]\wedge \psi +(-1{)}^r(d\phi )\wedge (i(X)\psi )+(-1{)}^r(i(X)\phi )\wedge d\psi +\phi \wedge [(i(X)\circ d)\psi ]\end{array}$$ $$\begin{array}{rl}(d\circ i(X))(\phi \wedge \psi )& =d\circ ((i(X)\phi )\wedge \psi +(-1{)}^r\phi \wedge (i(X)\psi ))\\ & =[(d\circ i(X))\phi ]\wedge \psi +(-1{)}^r(i(X)\phi )\wedge d\psi +(-1{)}^r(d\phi )\wedge (i(X)(\psi ))+\phi \wedge [(d\circ i(X))\psi ]\end{array}$$ $$\begin{array}{rl}& {\mathcal{L}}_X(\phi \wedge \psi )\\ =& [(i(X)\circ d)\phi ]\wedge \psi +\phi \wedge [(i(X)\circ d)\psi ]+[(d\circ i(X))\phi ]\wedge \psi +\phi \wedge [(d\circ i(X))\psi ]\\ =& {\mathcal{L}}_X(\phi )\wedge \psi +\phi \wedge {\mathcal{L}}_X(\psi )\end{array}$$
5.	(1) $xdy\wedge dx-(1+z)dy\wedge dz.$ (2) $-2yzdz\wedge dy-2dx\wedge dz.$ (3) $(2x^2-x-xz-2x{y}^{2}z+2z)dx\wedge dy\wedge dz.$ (4) $f^{\ast }\omega =(6u^2+2uv+u^3{v}^2-9u^3-3u^{2}v)du+(u^{4}v-3u^3-u^{2}v)dv,$ $f^{\ast }(d\omega )=(2u^{3}v-2u-6u^2-2uv)du\wedge dv$.
6.	$\omega =x_{r+1}d{x}_1\wedge d{x}_2\cdots \wedge d{x}_r$ 在 $x_{r+1}=0$ 上某点为 $0$, 但该点 $d\omega \ne 0$.
7.	注意到 $\omega =d(\frac{1}{2}\ln (x^2+y^2))$, 即 $\omega$ 是恰当微分式, 于是也是闭微分式.
8.	(1) $d\omega =\sum _{i=1}^n\frac{\partial f_i}{\partial x^i}d{x}_1\wedge d{x}_2\cdots \wedge d{x}_n$ $=\frac{n-m}{(\sum _{i=1}^n(x^i{)}^2{)}^{\frac{m}{2}}}d{x}_1\wedge d{x}_2\cdots \wedge d{x}_n$. (2) 由 (1), $m=n$. (3) 假设 $\omega =df$, 则在平面 $x^3=x^4=\cdots =x^n=0$ 上, $\omega =\frac{x^{1}d{x}^2-x^{2}d{x}^1}{((x^1{)}^2+(x^2{)}^2{)}^{\frac{n}{2}}}\wedge d{x}^3\wedge \cdots \wedge d{x}^n$. 在无边子流形 $U=\{(\cos t,\sin t,x^3,\cdots ,x^n)\mid 0\le t\le 2\pi ,0\le x^k\le 1,k=3,4,\cdots ,n\}$ 上对 $\omega$ 积分, 计算知: $${\int }_{\gamma }\omega =2\pi \ne 0,$$ 由 Stokes 公式, 知与 $\omega$ 是恰当微分式矛盾.
9.	$\forall p$, 取 $p\in V\subseteq \overline{V}\subseteq W\subseteq \overline{W}\subseteq U$, 其中 $\overline{V}$ 是紧致的, 由第二章引理 2.2 (P63) , 存在函数 $\phi \in C^{\infty }(M):\phi {|}_V=1,\phi {|}_{M\setminus \overline{W}}=0$. 令 $\tilde{\omega }=\omega \cdot \phi (x)$ 便得到了想要的微分形式.
10.	(1) 不难验证 $|v|=1$. 又 $\forall w\in T_{p}M$ ($p=f(u^1,\dots ,u^n)$), $w=\frac{d}{dt}f(u^1(t),\dots ,u^n(t))$, 内积 $|⟨v,w⟩|=|\sum (-1{)}^{i+1}{A}^i\frac{d}{dt}{f}^i(u^1(t),\dots ,u^n(t))|$ $=|d\frac{1}{A}\det (M)|=0$. 其中 $M$ 是 $n+1$ 阶方阵, 后 $n$ 行为 $f$ 关于 $u_i$ 的 Jacobi 矩阵的转置, 第一行是 ${\sum }_{i=2}^{n+1}$ 第 i 行 $\cdot \frac{\partial u_{i-1}}{\partial t}$ (2) ${\mathbf{R}}^{n+1}$ 上的黎曼度量是 $\sum d{x}^i\otimes d{x}^i$, 其在 $M$ 上诱导度量为: $$g=\sum _{\alpha }\frac{\partial f^{\alpha }}{\partial u^i}\frac{\partial f^{\alpha }}{\partial u^j}d{u}^i\otimes d{u}^j.$$ (3) $g_{ij}=\sum _{\alpha }\frac{\partial f^{\alpha }}{\partial u^i}\frac{\partial f^{\alpha }}{\partial u^j}d{u}^i\otimes d{u}^j$, 所以矩阵 $(g_{ij}{)}_{n\times n}=(a_{ik}{)}_{n\times (n+1)}(a_{ik}{)}_{(n+1)\times n}^t$, 其中 $a_{ik}=\frac{\partial f^k}{\partial u^i}$, 由 Guass—Binet 公式计算知 $M$ 的单位元素为$$Ad{u}^1\wedge d{u}^2\wedge \cdots \wedge d{u}^n.$$ 现在用第 3 题 (3)] 来计算 $i(v)(d{x}^1\wedge \cdots \wedge d{x}^{n+1})$, 事实上原式$$\begin{array}{rl}=& \sum _{\alpha }(-1{)}^{\alpha +1}d{x}^1\wedge \dots i(v)(d{x}^{\alpha })\wedge \cdots \wedge d{x}^{n+1}\\ =& \sum _{\alpha }(-1{)}^{\alpha +1}d{x}^{\alpha }(v)d{x}^1\wedge \cdots \wedge d{x}^{n+1}\\ =& \sum _{\alpha }(-1{)}^{\alpha +1}{v}^{\alpha }{A}^{\alpha }d{u}^1\wedge \dots \widehat{d{u}^{\alpha }}\wedge \cdots \wedge d{u}^{n+1}\\ =& Ad{u}^1\wedge d{u}^2\wedge \cdots \wedge d{u}^n.\end{array}$$
11.	对于 ${\mathbf{R}}^{n+1}$ 中 $n+1$ 个线性无关向量 $v_1,\dots ,v_{n+1}，其中v_{n+1}$ 为其余 $n$ 个向量法向量, 若它们在标准基下表示矩阵行列式 $>0$, 称 $v_{n+1}$ 为前 $n$ 个向量的正法向量, 否则称为负法向量. 因此: $(f,M)$ 上存在光滑处处非零法向量 $v$, $\iff (f,M)$ 存在局部坐标系使得存在法向量 $v$, 相对于各点切空间的标准基嵌入 $\mathcal{R}$ 后得到的 $n$ 个向量处处为正法向量, $\iff (f,M)$ 存在局部坐标系使得转移函数 Jacobi 矩阵恒正, ($\Rightarrow :$ 是显然的; $\Leftarrow :$ 由单位法向量只有两个, 分别相对同一组向量为正、负法向量, $v$ 定义为该点相对局部坐标的正单位法向量; 可看出其良定性, 光滑性则由法向量是曲面方程的梯度得知) $\iff M$ 可定向.
13.	${\mathbf{RP}}^3=S^3{/}_{x-x}$, 且与 $S^3$ 为局部光滑同胚, 故可以在 $S^3$ 上构造后通过商映射诱导出 ${\mathbf{RP}}^3$ 上的 1 次微分, 并证明其良定性. $${\S }^3=\left\{(x_1,x_2,x_3,x_4)\mid \sum (x_i{)}^2=1\right\}，\omega (x_1,x_2,x_3,x_4)\triangleq x_{2}d{x}_1-x_{1}d{x}_2+x_{4}d{x}_3-x_{3}d{x}_4,$$只需验证 $\omega (x)=\omega (-x)$ 即得诱导微分形式的良定性, 诱导得到的 $\overline{\omega }$ 符合题意.
14.	见 $\S$2 例 2 (P194) . 然而在 $M$ 上存在函数 $f=-\arctan \frac{x}{y}$ 使 $df=\omega$, 故 $\omega$ 是恰当的.
15.	(1) 设 $\alpha$ 是 $r$ 次外微分式, 由 $d\alpha =d\beta =0$, 得 $d(\alpha \wedge \beta )=d\alpha \wedge \beta +(-1{)}^r\alpha \wedge d\beta =0$. (2) 设 $\alpha$ 是 $r$ 次外微分式, $\beta =d\gamma$, 由 $d\alpha =0$, 得 $d((-1{)}^r\alpha \wedge \gamma )=\alpha \wedge d\gamma =\alpha \wedge \beta$.
16.	$I$ 的线性从 $\omega$ 继承. $I$ 是单射, 因为若 $I(\zeta )=0$, 即 $\forall \eta \in T_{x}M$, $\omega (\zeta ,\eta )=(I(\zeta ))(\eta )=0$, 由 $\omega$ 非退化得 $\zeta =0$. 又 $\dim T_{x}M=\dim T_x^{\ast }M$, 故 $I$ 是同构.
17.	容易计算 $d\omega =0$. 在 ${\mathbf{R}}^{2n}$ 自然坐标系诱导的切空间的基底下, $\omega =\sum _{i}d{p}^i\wedge d{q}^i$ 的矩阵为 $\underset{i}{⨁}{I}_i$, $I_i$ 具有以下形式: $$\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& 0\end{array}\right)$$容易验证这个矩阵是非退化的.
18.	考虑 ${\wedge }^n\omega \in {\mathcal{A}}^{2n}$, 由 $\omega$ 的非退化性得到 ${\wedge }^n\omega \ne 0$ 点点成立.
19.	(1) $(i(X_f)\omega )(Y)=\omega (X_f,Y)=df(Y)$, 即 $i(X_f)\omega =df$. (2) $\frac{d}{dt}(f\circ {\gamma }_x(t))={\gamma }_x(f)=X_f(x)(f)=X_f(f)(x)=df(X_f)(x)=\omega (X_f,X_f)=0$. (3) ${\mathcal{L}}_{X_f}(\omega )=i(X_f)(d\omega )+d(i(X_f)(\omega ))=i(X_f)(d\omega )+d\circ df=i(X_f)(d\omega )$. 而 $[i(X_f)(d\omega )](Y,Z)=d\omega (X_f,Y,Z)=0$, 因此 $[{\mathcal{L}}_{X_f}(\omega )](Y,Z)=0$, $\forall Y,Z\in \mathcal{X}(M)$, 即 ${\mathcal{L}}_{X_f}(\omega )=0$.
20.	(1) 由于 $\{f,g\}=\omega (X_f,X_g)=-i(X_f)i(X_g)\omega =-i(X_f)dg={\mathcal{L}}_{X_g}f=-{\mathcal{L}}_{X_f}g.$ (2) 由于 $\{g\circ {\phi }_t\}={\mathcal{L}}_{X_f}(g\circ {\phi }_t)=X_f(g\circ {\phi }_t)=\frac{d}{dt}(g\circ {\phi }_t).$ (3) 首先, $C^{\infty }(M)$ 关于 Poisson 括号的封闭性显然. 线性与反交换性是简单的, 只验证 Jacobi 恒等式. 由第 19 题 (3) 知$$\begin{array}{rl}\{f,\{g,h\}\}& =X_f(\{g,h\})={\mathcal{L}}_{X_f}\{g,h\}={\mathcal{L}}_{X_f}(\omega (X_g,X_H))\\ & =({\mathcal{L}}_{X_f}\omega )(X_g,X_h)+\omega ({\mathcal{L}}_{X_f}{X}_g,X_h)+\omega (X_g,{\mathcal{L}}_{X_f}{X}_h)\\ & =0-\omega (X_h,[X_f,X_g])+\omega (X_g,[X_f,X_h])\\ & =\{g,\{f,h\}\}-\{h,\{f,g\}\}\}.\end{array}$$ (4) 只证封闭性: 令 $i_X\omega =df$, $i_Y\omega =dg$, $i_Z\omega =dh$, 则有$$\begin{array}{r}{i}_{X+cY}\omega =df+cdg=d(f+cg),\end{array}$$以及由第 19 题 (3) 知$$\begin{array}{rl}{i}_{[X,Y]}\omega & ={\mathcal{L}}_X(i_Y\omega )-i_Y({\mathcal{L}}_X\omega )={\mathcal{L}}_X(dg)-i_Y(0)\\ & =d({\mathcal{L}}_{X}g)=d(i_X(dg))=d(i_X(i_Y\omega ))=d(\omega (Y,X)).\end{array}$$而线性, 反交换律以及 Jacobi 恒等式直接继承向量场的李括号.
21.	由 Gauss 公式直接有$$\begin{array}{r}{\int }_{S^2(r_0)}\omega ={\int }_{r_0{B}^3}d\omega =\frac{1}{r_0^3}{\int }_{r_0{B}^3}3dx\wedge dy\wedge dz=\frac{1}{r_0^3}\cdot 3\cdot \frac{4}{3}\pi r_0^3=4\pi .\end{array}$$
22.	直接计算得 $f^{\ast }\omega (\frac{\partial }{\partial u},\frac{\partial }{\partial v})=v\cdot (-2u)+u(u^2+v^2+1)\cdot 2v=2uv(u^2+v^2)$. 那么$$\begin{array}{r}{\int }_D{f}^{\ast }\omega ={\int }_{D}2uv(u^2+v^2)dudv=\frac{1}{2}.\end{array}$$
23.	由于 $(-1{)}^k\omega \wedge d\eta +d\omega \wedge \eta =d(\omega \wedge \eta )$ 及 $M$ 无边知$$\begin{array}{r}{\int }_M(-1{)}^k\omega \wedge d\eta +d\omega \wedge \eta ={\int }_{M}d(\omega \wedge \eta )={\int }_{\partial M}\omega \wedge \eta =0,\end{array}$$而此即$$\begin{array}{r}{\int }_{M}d\omega \wedge \eta =(-1{)}^{k+1}{\int }_M\omega \wedge d\eta .\end{array}$$
24.	简便起见, 定义 $\tilde{A}={\int }_0^{1}tA(tx,ty,tz)dt$ 以及 ${\tilde{A}}_x={\int }_0^1{t}^2\frac{\partial A}{\partial x}(tx,ty,tz)$, 类似定义 ${\tilde{A}}_y$, ${\tilde{B}}_x$ 等. 由$$\begin{array}{rl}d(A(ydz-zdy))& =(y{\tilde{A}}_{x}dx+(y{\tilde{A}}_y+\tilde{A})dy)\wedge dz-(z{\tilde{A}}_{x}dx+(z{\tilde{A}}_z+\tilde{A})dz)\wedge dy\\ & =-z{\tilde{A}}_{x}dx\wedge dy+(y{\tilde{A}}_y+z{\tilde{A}}_z+2A)dy\wedge dz-y{\tilde{A}}_{x}dz\wedge dx\end{array}$$可得$$\begin{array}{rl}d\alpha =& (x{\tilde{C}}_x+y{\tilde{C}}_y+2\tilde{C}-z{\tilde{A}}_x-z{\tilde{B}}_y)dx\wedge dy+\\ & (y{\tilde{A}}_y+z{\tilde{A}}_z+2\tilde{A}-z{\tilde{B}}_y-x{\tilde{C}}_z)dy\wedge dz+\\ & (x{\tilde{B}}_x+z{\tilde{B}}_z+2\tilde{B}-y{\tilde{A}}_x-y{\tilde{C}}_z)dz\wedge dx.\end{array}$$逐一计算, 如$$\begin{array}{rl}& y{\tilde{A}}_y+z{\tilde{A}}_z+2\tilde{A}-z{\tilde{B}}_y-x{\tilde{C}}_z\\ =& {\int }_0^1{t}^{2}y\frac{\partial A}{\partial y}dt+{\int }_0^1{t}^{2}z\frac{\partial A}{\partial z}dt+{\int }_0^{1}2tAdt-{\int }_0^1{t}^{2}x\frac{\partial B}{\partial y}dt-{\int }_0^1{t}^{2}x\frac{\partial C}{\partial z}dt,\end{array}$$由 $\omega$ 闭知 $\frac{\partial A}{\partial x}+\frac{\partial B}{\partial y}+\frac{\partial C}{\partial z}=0$, 代入得上式即$$\begin{array}{r}{\int }_0^1{t}^2(x\frac{\partial A}{\partial x}+y\frac{\partial A}{\partial y}+z\frac{\partial A}{\partial z})dt+{\int }_0^{1}2tAdt={\int }_0^1\frac{\partial (t^{2}A)}{\partial t}dt=A,\end{array}$$同理得另两项, 合并则有 $d\alpha =Adx\wedge dy+Bdy\wedge dz+Cdz\wedge dx=\omega$. 注 0.1. 这是书上定理 2.5 计算过程的特例.