Riemann 几何 课堂习题

  2024 春, 丁琪在课堂上布置的习题.

1.	Let $F:M^n\to {\mathbb{R}}^N$ be an immersion. $F$ induces a metric $F^{\ast }(d{s}^2)$ on $M$, as well as a connection $${\nabla }_Y^{M}X:=\sum _{i=1}^n⟨{\nabla }_{Y}X,e_i⟩e_i$$on $M$, where $e_1,\cdots ,e_n$ is a unitary frame on $M$. Verify that ${\nabla }^M$ is the Levi-Civita connection on $M$.
Pf.	The problem is a special case of Exercise 3 of Chapter 2, of which we use the notation and provide a proof here. That is mainly to check (i) let $f\in C^{\infty }(M)$ be extended arbitrarily to $\overline{M}$, using $\overline{X}f=Xf$, then $${\nabla }_X^{\top }(fY)=({\overline{\nabla }}_{\overline{X}}(f\overline{Y}){)}^{\top }=(f{\overline{\nabla }}_{\overline{X}}\overline{Y}{)}^{\top }+(\overline{X}f)\overline{Y}=f{\nabla }_X^{\top }Y+(Xf)Y.$$(ii) ${\nabla }^{\top }$ is also symmetric, i.e. (the last equality is since $[X,Y]$ is tangent to $M$ as long as $X,Y$ are) $${\nabla }_X^{\top }Y-{\nabla }_Y^{\top }X=({\overline{\nabla }}_{\overline{X}}\overline{Y}-{\overline{\nabla }}_{\overline{Y}}\overline{X}{)}^{\top }=[\overline{X},\overline{Y}{]}^{\top }=[X,Y].$$(iii) ${\nabla }^{\top }$ is compatible with the induced metric, i.e. $$\begin{array}{rl}X⟨Y,Z{⟩}_M& =\overline{X}⟨\overline{Y},\overline{Z}{⟩}_{\overline{M}}=⟨{\overline{\nabla }}_{\overline{X}}\overline{Y},\overline{Z}{⟩}_{\overline{M}}+⟨\overline{Y},{\overline{\nabla }}_{\overline{X}}\overline{Z}{⟩}_{\overline{M}}\\ & =⟨({\overline{\nabla }}_{\overline{X}}\overline{Y}{)}^{\top },Z{⟩}_M+⟨Y,({\overline{\nabla }}_{\overline{X}}\overline{Z}{)}^{\top }{⟩}_M\\ & =⟨{\nabla }_X^{\top }Y,Z{⟩}_M+⟨Y,{\nabla }_X^{\top }Z{⟩}_M.\end{array}$$
2.	Show that $R(X,Y)(fZ)=fR(X,Y)Z$.
Pf.	We have $$\begin{array}{rl}{\nabla }_Y{\nabla }_X(fZ)& ={\nabla }_Y(f{\nabla }_{X}Z+(Xf)Z)\\ & =f{\nabla }_Y{\nabla }_{X}Z+(Yf){\nabla }_{X}Z+(Xf){\nabla }_{Y}Z+(Y(Xf))Z.\end{array}$$Therefore, $${\nabla }_Y{\nabla }_X(fZ)-{\nabla }_X{\nabla }_Y(fZ)=f({\nabla }_Y{\nabla }_X-{\nabla }_X{\nabla }_Y)Z+((YX-XY)f)Z,$$hence $$\begin{array}{rl}R(X,Y)(fZ)& =f({\nabla }_Y{\nabla }_X-{\nabla }_X{\nabla }_Y)Z+([Y,X]f)Z\\ & +([X,Y]f)Z+f{\nabla }_{[X,Y]}Z=fR(X,Y)Z.\end{array}$$
3.	证明 [Xin] 第 7 章最后的附注 (p.45).
Pf.	见 [Jo] Theorem 5.5.2 (pp.231–3).
4.	验证 $B^3$ 在双曲度量下的截面曲率是 $-1$.
Pf.	见 [Xin] 命题 10.2 (pp.53–4), 最后一步用到了 [dC] Lemma 3.4 (p.96).
5.	在双曲空间的上半空间模型下, 计算它的截面曲率, 并确定它的测地线.
Pf.	见 [dC] Chapter 8 section 3 (pp.160–2).
6.	对于 [Xin] 第 11 章定义的 Laplace 算子 (p.65), 验证其局部表达式为 (记 $g=\det (g_{ij})$) $$△f=\frac{1}{\sqrt{g}}{\partial }_i(\sqrt{g}{g}^{ij}{\partial }_{j}f).$$
Pf.	(直接计算) 由于对 $X=X^i{\partial }_i,Y=Y^j{\partial }_j$, 有$$\begin{array}{rl}{\nabla }_{Y}X& =Y^j{\nabla }_{{\partial }_j}(X^i{\partial }_i)=Y^j({\partial }_j{X}^i{\partial }_i+X^i{\nabla }_{{\partial }_j}{\partial }_i)\\ & =Y^j({\partial }_j{X}^i{\partial }_i+X^i{\Gamma }_{ij}^k{\partial }_k)\\ & =Y^j({\partial }_j{X}^k+X^i{\Gamma }_{ij}^k){\partial }_k,\end{array}$$得到$$\begin{array}{rl}\mathrm{div}X& =\mathrm{tr}(Y\mapsto {\nabla }_{Y}X)\\ & ={\partial }_j{X}^j+X^i{\Gamma }_{ij}^j\\ & ={\partial }_j{X}^j+X^i{g}^{jk}{\partial }_i{g}_{jk}/2,\end{array}$$其中$$\begin{array}{rl}{\Gamma }_{ij}^j& =g^{jk}({\partial }_i{g}_{jk}+{\partial }_j{g}_{ik}-{\partial }_k{g}_{ij})/2\\ & =g^{jk}{\partial }_i{g}_{jk}/2.(\text{对称的 }j,k\text{ 消去})\end{array}$$用第 9 题, 进而有$$\begin{array}{rl}\mathrm{div}X& ={\partial }_j{X}^j+X^i{\partial }_i(\ln g)/2\\ & ={\partial }_j{X}^j+X^i{\partial }_i(\ln \sqrt{g})\\ & =(1/\sqrt{g}){\partial }_i(X^i\sqrt{g}).\end{array}$$接着, 为了 $Xf=⟨\mathrm{grad}f,X⟩$, 即$$X^j{\partial }_{j}f=g_{ij}(\mathrm{grad}f{)}^i{X}^j,$$得出$$\mathrm{grad}f=g^{ij}{\partial }_{j}f{\partial }_i.$$最后, 结合两表达式得$$△f=\mathrm{div}(\mathrm{grad}f)=(1/\sqrt{g}){\partial }_i(\sqrt{g}{g}^{ij}{\partial }_{j}f).$$ (对偶法) 幺正坐标系下, [Xin] 与上式均有 $△f=\sum {\partial }_{ii}f$, 故说明上式不取决于坐标系的选取即可. 这只需注意到, 对任何局部坐标区域 $U$, 对于测试函数 $\varphi \in C_c^{\infty }(U)$, $${\int }_U△f\varphi \sqrt{g}dx={\int }_U{\partial }_i(\sqrt{g}{g}^{ij}{\partial }_{j}f)\varphi dx=-{\int }_U{g}^{ij}{\partial }_{j}f{\partial }_i\varphi \sqrt{g}dx,$$ $g^{ij}{\partial }_i\otimes {\partial }_j$ 是 $g_{ij}d{x}^i\otimes d{x}^j$ 的对偶, 所以在不同坐标系下是相同的; $\sqrt{g}dx$ 亦同坐标系无关. 再用 Riesz 表示定理, 得 $△f$ 在 $U$ 上无关乎坐标系.
7.	设 $M$ 是完备单连通的 Riemann 流形, 其截面曲率 $\le \kappa$, $\kappa >0$. 设 $o\in M$, 距离函数 $\rho (x)=d(o,x)$, 那么 ${\rho }^2(x)$ 在 $B_{\frac{\pi }{\sqrt{\kappa }}}(o)$ 上是光滑凸的.
Pf.	基本是 [Xin] 定理 11.3 的证明, 除了改成$$L^{\prime \prime }(0)\ge {\int }_0^r|{\dot{U}}^{\perp }{|}^2-\kappa |U^{\perp }{|}^{2}dt.$$上式对 $r\le \frac{\pi }{\sqrt{\kappa }}$ 非负, 是用 $U^{\perp }(r)=0$ 与 Wirtinger 不等式, 后者见 [dC] Exercise 11.2 (p.250).
8.	设 Riemann 流形 $M$ 的截面曲率 $K$ 满足 $0<L\le K\le H$, 其中 $H$ 和 $L$ 是常数. 设 $\gamma$ 是 $M$ 中的测地线, 那么, $\gamma$ 上相邻共轭点沿着 $\gamma$ 的距离 $d$ 满足$$\frac{\pi }{\sqrt{H}}\le d\le \frac{\pi }{\sqrt{L}}.$$
Pf.	见 [dC] Chapter 10 Proposition 2.4 (p.218).
9.	设方阵 $A=(a_{ij}{)}_{1\le i,j\le n}$, 其元素 $a_{ij}$ 均是连续可微的 $t$ 的函数. 验证 ${\partial }_t\left(\ln \det A\right)=\sum _{i,j=1}^n{a}^{ij}{\partial }_t{a}_{ij}$.
Pf.	记 $n-1$ 阶方阵 $A_{ij}=(-1{)}^{k+l}(a_{kl}{)}_{k\ne i,l\ne j}$ 是 $a_{ij}$ 的代数余子式, 则$${\partial }_t(\det A)=\sum _{i,j=1}^n\det A_{ij}{\partial }_t{a}_{ij}=\sum _{i,j=1}^n\det A{a}^{ij}{\partial }_t{a}_{ij}.$$第一个等号是 Leibniz 法则, 第二个是由于 $A{A}^{\ast }=(\det A)I$ 说明 $A_{ij}=\det A{a}^{ij}$, 其中伴随矩阵 $A^{\ast }=(A_{ij}{)}_{1\le i,j\le n}$.
10.	所谓悬链面 (catenoid) , 是 ${\mathbb{R}}^3$ 中的曲面$$\Sigma =\{x_1^2+x_2^2={\cosh }^2{x}_3\}.$$(i) 证明 $\Sigma$ 是极小的. (ii) 计算 Gauss 曲率的积分 ${\int }_{\Sigma }KdV$. (iii) 证明 $\Sigma$ 上的正的上调和函数是常数. 注: $\cosh x=(e^x+e^{-x})/2$, $\sinh x=(e^x-e^{-x})/2.$
Pf.	(i) $\Sigma$ 是 $r(u,v)=(\cosh v\cos u,\cosh v\sin u,v)$ 的图像, 有$$\begin{array}{rl}{r}_u& =(-\cosh v\sin u,\cosh v\cos u,0),\\ r_v& =(\sinh v\cos u,\sinh v\sin u,1),\end{array}$$从而 $d{r}^2=Ed{u}^2+2Fdudv+Gd{v}^2$ 的分量为$$\begin{array}{rl}E& =|r_u{|}^2={\cosh }^{2}v,\\ F& =r_u\cdot r_v=0,\\ G& =|r_v{|}^2={\sinh }^{2}v+1={\cosh }^{2}v,\end{array}$$故 $r$ 是等温坐标. 由 [dC’] p.204 的 corollary, 其三个坐标分量都是调和函数表明 $\Sigma$ 是极小的. (ii) 对于 $2$ 维流形上的共形度量 $g={\rho }^2\tilde{g}$, 成立 Yamabe 方程$$K=[\tilde{K}-△(\ln \rho )]/{\rho }^2,$$其中 $\tilde{K}$ 为 $\tilde{g}$ 的 Gauss 曲率 (见 [YS] 第五章) . 由此, $$K=-[\ln (\cosh v){]}^{\prime \prime }/{\cosh }^{2}v=-{\cosh }^{-4}v.$$故$$\begin{array}{rl}& {\int }_{\Sigma }KdV=-2\pi {\int }_{\mathbb{R}}\frac{{\cosh }^{2}vdv}{{\cosh }^{4}v}\\ & =-2\pi {\int }_{\mathbb{R}}\frac{dv}{[(e^v+e^{-v})/2{]}^2}\\ & =-4\pi {\int }_0^{\infty }\frac{d(e^{2v})}{(e^{2v}+1{)}^2}=-4\pi .\end{array}$$ (iii) $r:{\mathbb{R}}^2\to \Sigma$ 诱导了 $\Sigma$ 上的 Riemann 度量 $d{r}^2={\cosh }^{2}v(d{u}^2+d{v}^2)$, 由此$${△}_{\Sigma }={\cosh }^{-2}v{△}_{{\mathbb{R}}^2}.$$故设 $f:\Sigma \to \mathbb{R}$ 是上调和函数, 则 $f\circ r:{\mathbb{R}}^2\to \mathbb{R}$ 同样是上调和函数. 由 Hadamard 三圆定理, 可以说明 ${\mathbb{R}}^2$ 上的正的上调和函数是常数.

Reference

[dC]	M.P. do Carmo. Riemannian Geometry. Mathematics: Theory & Applications. Boston: Birkhäuser, 1992.
[dC’]	M.P. do Carmo. Differential Geometry of Curves and Surfaces. Dover Publications Inc., 2016.
[Jo]	J. Jost. Riemannian Geometry and Geometric Analysis. Universitext. Springer, 2011.
[Xin]	忻元龙. 黎曼几何讲义. 研究生教学用书. 复旦大学出版社, 2010.
[YS]	丘成桐, 孙理察. 微分几何讲义. 高等教育出版社, 2018.