现代分析基础 I 概要

1Fourier 级数

基本性质

命题 [Grafakos, gtm249, 命题 3.1.2]

Dirichlet 和, Cesàro 和, Abel 和

定义. Dirichlet 和$$S_N(f):=\sum _{|k|\le N}\hat{f}(k)e^{2\pi ikx}.$$Cesàro 和$${\sigma }_N(f)=\frac{{\sum }_{k=0}^N{S}_k(f)}{N+1}.$$Abel 和$$A_r(f)(x)=\sum _{k\in \mathbb{Z}}\hat{f}(k)r^{|k|}{e}^{2\pi ikx},0<r<1.$$

引理. [Grafakos, gtm249, 3.1] (i) $S_N(f)=D_N\ast f$, 其中$$D_N(x)=\sum _{|k|\le N}{e}^{2\pi ikx}=\frac{\sin (2N+1)\pi x}{\sin \pi x}.$$(ii) ${\sigma }_N(f)=F_N\ast f$, 其中$$F_N(x)=\frac{{\sum }_{k=0}^N{D}_k(f)}{N+1}=\frac{1}{N+1}{\left(\frac{\sin (N+1)\pi x}{\sin \pi x}\right)}^2.$$(iii) $A_r(f)=P_r\ast f$, 其中$$P_r(x)=\sum _{k\in \mathbb{Z}}{r}^{|k|}{e}^{2\pi ikx}=\frac{1-r^2}{1-2r\cos (2\pi x)+r^2}.$$

定义. 称 $\{K_N{\}}_{N\in \mathbb{N}}$ 为逼近恒等, 若

(i) $\int K_N=1,\forall N\in \mathbb{N}$; (ii) ${\sup }_N\Vert K_N{\Vert }_{L^1}<\infty$; (iii) $\forall \eta >0,{\int }_{|x|>\eta }|K_N(x)|\mathrm{d}x\to 0,N\to \infty$.

称 $\{K_{\epsilon }{\}}_{\epsilon >0}$ 为逼近恒等, 若

(i) $\int K_{\epsilon }=1,\forall \epsilon >0$; (ii) ${\sup }_{\epsilon >0}\Vert K_{\epsilon }{\Vert }_{L^1}<\infty$; (iii) $\forall \eta >0,{\int }_{|x|>\eta }|K_N(x)|\mathrm{d}x\to 0,\epsilon \to 0$.

命题. (Minkowski 不等式) [Grafakos, gtm249, 定理 1.2.10]: $1\le p\le \infty ,f\in L^p({\mathbb{R}}^n),g\in L^1({\mathbb{R}}^n)$, 则 $f\ast g$ 几乎处处有定义, 且$$\Vert f\ast g{\Vert }_{L^p}\le \Vert f{\Vert }_{L^p}\Vert g{\Vert }_{L^1}.$$

定理. [Grafakos, gtm249, 定理 1.2.19]: 若 $K_{\epsilon }$ 为逼近恒等, 则 (i) $1\le p<\infty$, 则$$\Vert K_{\epsilon }\ast f-f{\Vert }_{L^p({\mathbb{R}}^n)}\to 0,\epsilon \to 0.$$(ii) $f$ 在 $E$ 上有界且一致连续, 则在 $E$ 上 $K_{\epsilon }\ast f$ 一致收敛到 $f$. 特别地, 若 $f$ 在 $x_0$ 连续, 则$$K_{\epsilon }\ast f(x_0)\to f(x_0).$$

注: 上述定理对于局部紧群上的逼近恒等也成立, 如 $\mathbb{T}$.

点态收敛

定理: $\{F_N{\}}_{N\in \mathbb{N}}$ 是逼近恒等.

练习: $\{D_N{\}}_{N\in \mathbb{N}}$ 不是逼近恒等.

定理: 三角多项式在 $C(\mathbb{T})$ 中稠密.

引理 (Riemann–Lebesgue) 对 $f\in L^1(\mathbb{T})$, $\hat{f}(k)\to 0,k\to \infty .$

推论: 对 $f\in C^{\alpha }(\mathbb{T})$, 我们有 $\hat{f}(k)=o(|k{|}^{-\alpha })$.

命题: $f,g\in L^1(\mathbb{T})$, 若 $\hat{f}=\hat{g}$, 则 $f=g,a.e.$

命题: $f\in L^1(\mathbb{T}),\sum |\hat{f}(k)|<\infty$, 则 $\sum \hat{f}(k)e^{2\pi ikx}=f,a.e.$

命题: $f\in C^2(\mathbb{T}),$ 则 $\sum \hat{f}(k)e^{2\pi ikx}=f,a.e.$

范数收敛与 $L^2$ 可和性

定理 [Grafakos, gtm249, 命题 3.2.7]: (i) (Plancherel 等式)$$\Vert f{\Vert }_{L^2(\mathbb{T})}^2=\sum _{k\in \mathbb{Z}}|\hat{f}(k){|}^2.$$

(ii) ${\sum }_{|k|\le N}\hat{f}(k)e^{2\pi ikx}$ 在 $L^2$ 中收敛到 $f$.

(iii)$${\int }_{\mathbb{T}}f(x)\overline{g(x)}=\sum _{k\in \mathbb{Z}}\hat{f}(k)\overline{\hat{g}(k)}.$$

(iv) $\mathcal{F}:f\mapsto \{\hat{f}(k){\}}_{k\in \mathbb{Z}}$ 是 $L^2(\mathbb{T})$ 到 $l^2(\mathbb{Z})$ 的等距同构.

(v)$$\widehat{fg}(k)=\sum _{m\in \mathbb{Z}}\hat{f}(k-m)\hat{g}(m).$$

定理: 设 $f\in L^1(\mathbb{T}),f$ 在 $x_0$ 可微, 则$$S_N(f)(x_0):=D_N\ast f(x_0)\to f(x_0).$$

推论: $f\in C^1(\mathbb{T})$, 则 $S_N(f)(x)\to f(x),x\in \mathbb{T}.$

推论: $f,g\in L^1(\mathbb{T}),f,g$ 在 $x_0$ 的小邻域相等, 则 $S_N(f)(x_0)-S_N(g)(x_0)\to 0.$

定理: 存在 $f\in C(\mathbb{T}),$ 使得 ${\mathrm{limsup}}_{N\to \infty }|S_N(f)(0)|=\infty$.

Hardy–Littlewood 极大函数

定义: 中心极大函数 (字体更接近于 𝓜$(f)$, 公式里打不出来) $$\mathcal{M}(f)(x)=\underset{r>0}{\sup }\frac{1}{|B(x,r)|}{\int }_{B(x,r)}|f(y)|\mathrm{d}y=\underset{r>0}{\sup }{A}_r(|f|)(x).$$非中心极大函数$$M(f)(x)=\underset{x\in B}{\sup }\frac{1}{|B|}{\int }_B|f(y)|\mathrm{d}y.$$定理 [Grafakos, gtm249, 定理 2.1.6]: $1<p\le \infty$, 则 $M,\mathcal{M}$ 在 $L^p({\mathbb{R}}^n)$ 上有界, 在 $L^1({\mathbb{R}}^n)$ 上弱有界.
定理的证明需要用到引理 [Grafakos, gtm249, 引理 2.1.5]: (Vitali) $\{B_1,\dots ,B_k\}$ 为 ${\mathbb{R}}^n$ 中 $i$ 个球, 则存在一个两两不交的子族 $\{B_{i_1},\dots ,B_{i_l}\}$ 使得$$\sum _{j=1}^l|B_{i_j}|\ge 3^{-n}|{\cup }_{i=1}^k{B}_i|.$$及定理 (Marcinkiewicz 插值定理) [Grafakos, gtm249, 定理 1.3.2].

定理: $\phi (x):=(1+|x|{)}^{-n-1},{\phi }_{\epsilon }(x)={\epsilon }^{-n}\phi ({\epsilon }^{-1}x)$, 则对 $f\in L_{\text{loc}}^1({\mathbb{R}}^n)$,$$T_{\ast }(f)(x):=\underset{\epsilon >0}{\sup }|({\phi }_{\epsilon }\ast f)(x)|\le CM(f)(x).$$定理: $0<p,q<\infty ,T_{\epsilon }(f)(x):=({\phi }_{\epsilon }\ast f)(x),$ 设存在 $B>0$, 使得$$\Vert T_{\ast }(f){\Vert }_{L^{q,\infty }}\le B\Vert f{\Vert }_{L^p},\forall f\in L^p.$$$D$ 为 $L^p$ 的一个稠子空间, 满足对 $f\in D$, $$\underset{\epsilon \to 0}{\lim }{T}_{\epsilon }(f)=T(f)$$存在且几乎处处有限, 则对于任意 $f\in L^p$, 上述极限存在, 且几乎处处有限, 且定义了一个 $L^p$ 上的算子 $T$, 满足$$\Vert T(f){\Vert }_{L^{q,\infty }}\le B\Vert f{\Vert }_{L^p}.$$

定理 (Lebesgue 微分定理)

定理: 对于 $f\in L^1(\mathbb{T})$, $\mathcal{H}(f)={\sup }_{N\in {\mathbb{Z}}^{+}}|f\ast F_N|$. 则 $\mathcal{H}$ 弱 $(1,1)$ 有界, 强 $(p,p)$ 有界. 从而, 对 $f\in L^1(\mathbb{T}),$ 当 $N\to \infty$, $F_N\ast f\to f,a.e.$

Fourier 变换

定义: Schwartz 空间及其拓扑.

性质: Fourier 变换的基本性质.

定义: Fourier 逆变换.

命题: Fourier 变换可延拓到 $L^2({\mathbb{R}}^n)$ 上, 从而延拓到 $L^p({\mathbb{R}}^n)$ 上, $1<p<2$.

命题 (Hausdorff–Young 不等式): 对 $f\in L^p({\mathbb{R}}^n),1\le p\le 2,$ 我们有$$\Vert \hat{f}{\Vert }_{L^{p^{\prime }}}\le \Vert f{\Vert }_{L^p}.$$

定义: 缓增分布.

命题: 缓增分布的半范数刻画. [Grafakos, gtm249, 命题 2.3.4]

例: Dirac 分布的 Fourier 变换是 $1$; $L^p\subseteq {\mathcal{S}}^{\prime }$.

定义: 分布的导数及卷积.

性质: [Grafakos, gtm249, 命题 2.3.22].

Poisson 求和公式

定理 [Grafakos, gtm249, 定理 3.2.8]: $f$ 为 ${\mathbb{R}}^n$ 上的连续函数, 满足存在 $C,\delta >0$,$$|f(x)|\le C(1+|x|{)}^{-n-\delta },x\in {\mathbb{R}}^n,$$且它的 Fourier 变换在 ${\mathbb{Z}}^n$ 上的限制满足$$\sum _{m\in {\mathbb{Z}}^n}|\hat{f}(m)|<\infty .$$则$$\sum _{m\in {\mathbb{Z}}^n}\hat{f}(m)e^{2\pi im\cdot x}=\sum _{k\in {\mathbb{Z}}^n}f(x+k),$$特别地$$\sum _{m\in {\mathbb{Z}}^n}\hat{f}(m)=\sum _{k\in {\mathbb{Z}}^n}f(k).$$

范数收敛性

定理: $1\le p<\infty$, 则以下等价: (i) $S_N(f)$ 在 $L^p({\mathbb{T}}^n)$ 中收敛到 $f$; (ii) ${\sup }_{N\in {\mathbb{Z}}^{+}}\Vert S_N{\Vert }_{L^p\to L^p}<\infty .$

注: $S_N(f)$ 在 $C({\mathbb{T}}^n)$ 中收敛到 $f$ 当且仅当 ${\sup }_N\Vert S_N{\Vert }_{C({\mathbb{T}}^n)\to C({\mathbb{T}}^n)}<\infty$.

推论: Dirichlet 核在 $C({\mathbb{T}}^n)$ 与 $L^1({\mathbb{T}}^n)$ 中不收敛.

2乘子的转移

[Grafakos, gtm249, 2.5; 4.3]

定义: 对定义在 ${\mathbb{T}}^n$ 上的函数 $f$, 记$$S_N(f)=\sum _{k\in {\mathbb{Z}}^n}{\chi }_{B(0,N+1)}(k)\hat{f}(k)e^{2\pi ik\cdot x},$$$${\sigma }_N(f)=\sum _{k\in {\mathbb{Z}}^n}(1-\frac{|k|}{N+1}{)}_{+}\hat{f}(k)e^{2\pi ik\cdot x}.$$

定义: 对于 $b=\{b_k{\}}_{k\in {\mathbb{Z}}^n}$, 记$$S_b(f)(x):=\sum _{k\in {\mathbb{Z}}^n}{b}_k\hat{f}(k)e^{2\pi ik\cdot x}.$$称 $b$ 为 ${\mathbb{T}}^n$ 上的 $L^p$-乘子, 若$$\Vert S_b{\Vert }_{L^p({\mathbb{T}}^n)\to L^p({\mathbb{T}}^n)}<\infty .$$并将 $L^p$-乘子全体记作 ${\mathcal{M}}_p({\mathbb{Z}}^n)$.

定理: $1<p<\infty ,\frac{1}{p}+\frac{1}{p^{\prime }}=1.$ 则 (i) $b\in {\mathcal{M}}_p({\mathbb{Z}}^n)\iff b\in {\mathcal{M}}_{p^{\prime }}({\mathbb{Z}}^n)$; (ii) $b\in {\mathcal{M}}_p({\mathbb{Z}}^n)\Rightarrow b\in l^{\infty }({\mathbb{Z}}^n)$; (iii) $b\in {\mathcal{M}}_2({\mathbb{Z}}^n)\iff b\in l^{\infty }({\mathbb{Z}}^n)$.

定义:$$T_m(f)(x):={\int }_{{\mathbb{R}}^n}m(\xi )\hat{f}(\xi )e^{2\pi ix\cdot \xi }\mathrm{d}\xi .$$称 $m$ 为 ${\mathbb{R}}^n$ 上 $L^p$-乘子, 若$$\Vert m{\Vert }_{{\mathcal{M}}_p({\mathbb{R}}^n)}:=\Vert T_m{\Vert }_{L^p({\mathbb{R}}^n)\to L^p({\mathbb{R}}^n)}<\infty .$$

定理: $1<p<\infty ,\frac{1}{p}+\frac{1}{p^{\prime }}=1$, 则 (i) $b\in {\mathcal{M}}_p({\mathbb{R}}^n)\iff b\in {\mathcal{M}}_{p^{\prime }}({\mathbb{R}}^n)$; (ii) $b\in {\mathcal{M}}_2({\mathbb{R}}^n)\iff b\in L^{\infty }({\mathbb{R}}^n)$; (iii) $b\in {\mathcal{M}}_p({\mathbb{R}}^n)\Rightarrow b\in {\mathcal{M}}_2({\mathbb{R}}^n)$.

定理: $1<p<\infty ,m\in {\mathcal{M}}_p({\mathbb{R}}^n)$ 连续, 则 $\{m(k){\}}_{k\in {\mathbb{Z}}^n}\in {\mathcal{M}}_p({\mathbb{Z}}^n)$ 且$$\Vert \{m(k){\}}_{k\in {\mathbb{Z}}^n}{\Vert }_{{\mathcal{M}}_p({\mathbb{Z}}^n)}\le \Vert m{\Vert }_{{\mathcal{M}}_p({\mathbb{R}}^n)}.$$

定义: 称有界函数 $b$ 在 $x_0$ 正则, 若$$\underset{\epsilon \to 0}{\lim }\frac{1}{{\epsilon }^n}\int (b(x_0+t)-b(x_0))\mathrm{d}t=0.$$

注: 上述定理的条件可以减弱到 $m$ 在格点处正则.

定理: $1<p<\infty ,m\in C({\mathbb{R}}^n)$, $A={\sup }_{\epsilon >0}\Vert \{m(\epsilon k){\}}_{k\in {\mathbb{Z}}^n}{\Vert }_{{\mathcal{M}}_p({\mathbb{Z}}^n)}<\infty$. 则 $m\in {\mathcal{M}}_p({\mathbb{R}}^n),\Vert m{\Vert }_{{\mathcal{M}}_p({\mathbb{R}}^n)}\le A$.

注: 上述命题在 $m$ 有界且局部 Riemann 可积的条件下也成立.

推论: $1<p<\infty ,$ 则 $S_N(f)$ 在 $L^p$ 中收敛到 $f$ 当且仅当 ${\chi }_{B(0,1)}\in {\mathcal{M}}_p({\mathbb{R}}^n)$.

定理: 当 $n=1$, 上述推论的结论成立.

Bochner–Riesz 平均

定义: $f\in L^1({\mathbb{T}}^n)$ 的 Bochner–Riesz 平均为$$B_R^{\lambda }(f)(x):=\sum _{k\in {\mathbb{Z}}^n}(1-\frac{|k{|}^2}{R^2}{)}_{+}^{\lambda }\hat{f}(k)e^{2\pi ik\cdot x}.$$

推论: $1<p<\infty ,\lambda \ge 0,(1-{\left|\xi \right|}^2{)}_{+}^{\lambda }\in {\mathcal{M}}_p({\mathbb{R}}^n)\iff B_R^{\lambda }(f)$ 在 $L^p({\mathbb{T}}^n)$ 中收敛到 $f$.

注: $1<p<\infty ,\lambda \ge 0$, 则 $(1-{\left|\xi \right|}^2{)}_{+}^{\lambda }\in {\mathcal{M}}_p({\mathbb{R}}^n)\iff (1-\left|\xi \right|{)}_{+}^{\lambda }\in {\mathcal{M}}_p({\mathbb{R}}^n)$.

此命题的证明可能需要用到 [Grafakos, gtm249, 6.2.3 节] 的内容, 即 $(1+\left|\xi \right|{)}^{\pm \lambda }\psi (\xi )$ 为 Hörmander 乘子, 其中 $\psi$ 紧支光滑.

定义: $1<p<\infty ,\lambda >\frac{n-1}{2}$, 重新定义$$B_R^{\lambda }(f)(x)=(K_R^{\lambda }\ast f)(x),$$其中 $K_R^{\lambda }(\xi )=((1-\frac{|\xi {|}^2}{R^2}{)}_{+}^{\lambda }{)}^{\vee }$, 则 $B_R^{\lambda }(f)\to f,a.e.,\forall f\in L^p({\mathbb{R}}^n)$.

证明需要用到引理: $|K^{\lambda }(x)|\lesssim ⟨x{⟩}^{-\frac{n+1}{2}-\lambda }$, 其中 $K^{\lambda }=K_1^{\lambda }$.

引理的证明可以参考 [Grafakos, gtm249, 附录 B.5]. 这里给出一个另外的证明:

利用积分的球对称性并将重积分化为累次积分, 不难得到$$K^{\lambda }(x)=C{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}(\sin \theta {)}^{n+2\lambda }{e}^{-2\pi i\cos \theta |x|}\mathrm{d}\theta ,$$再利用振荡积分的知识可以得到相应的衰减估计.

Bochner–Riesz 猜想: $\lambda >0,p\in (\frac{2n}{n+1+2\lambda },\frac{2n}{n-1-2\lambda })$, 则 $\Vert B_1^{\lambda }f{\Vert }_{L^p}\lesssim \Vert f{\Vert }_{L^p}.$

定理: 若 Bochner–Riesz 猜想的结论成立, 则必有 $p\in (\frac{2n}{n+1+2\lambda },\frac{2n}{n-1-2\lambda })$.

3圆盘乘子

[主要参考 Stein, Harmonic Analysis, P434 起]

Kakeya 针问题与 Kakeya 集

定理: $l$ 为 ${\mathbb{R}}^2$ 中的单位线段, 则 $\forall \epsilon >0$, 存在包含 $l$ 的集合 $F$, $|F|<\epsilon$, 使得我们可以通过在 $F$ 中的连续运动来反转 $l$.

定义: 称 ${\mathbb{R}}^n$ 中紧集 $K$ 为 Kakeya 集, 若它包含任意方向的单位线段.

定理: ${\mathbb{R}}^2$ 中存在零测 Kakeya 集.

定理的证明需要用到引理: 对任一 Kakeya 集 $E,\epsilon ,\delta >0$, 存在 Kakeya 集 $F$, $|F|<\delta$, 使得$$F\subseteq E(\epsilon ):=\{y:\exists x\in E,|y-x|<\epsilon \}.$$

球乘子

定理 (Fefferman,1971): 当 $n\ge 2$, ${\chi }_{B(0,1)}\in {\mathcal{M}}_p({\mathbb{R}}^n)\iff p=2$.

定理的证明需要用到 [Stein, Harmonic Analysis, P434] Besicovitch 集的构造, 及一系列引理, 完整证明可参考 [The multiplier problem for the ball, Charles Fefferman, Annals of Mathematics, Second Series, Vol. 94, No. 2 (Sep., 1971), pp. 330-336, access].

4不确定性原理

定理 [Grafakos, gtm249, Theorem 2.3.21]: $f\ne 0\in C_c^{\infty }({\mathbb{R}}^n)$, 则 $\hat{f}$ 不是紧支的.

定理: $f\in \mathcal{S}(\mathbb{R})$, $x_0,{\xi }_0\in \mathbb{R}$, 则$$\Vert f{\Vert }_{L^2(\mathbb{R})}^2\le 4\pi \Vert (\cdot -x_0)f{\Vert }_{L^2(\mathbb{R})}\cdot \Vert (\cdot -{\xi }_0)\hat{f}{\Vert }_{L^2(\mathbb{R})},$$等号成立当且仅当 $f(x)=A{e}^{2\pi i{\xi }_{0}x-B\pi (x-x_0{)}^2}.$

定理: $f\in L^2({\mathbb{R}}^n),\mathrm{supp}\hat{f}\subseteq B(0,R)$, 则 $f\in C^{\infty }$, $$\Vert D^{\alpha }f{\Vert }_{L^2({\mathbb{R}}^n)}\le (2\pi R{)}^{|\alpha |}\Vert f{\Vert }_{L^2({\mathbb{R}}^n)}.$$

以下主要参考 [Thomas H. Wolff: Lectures on Harmonic Analysis (2003), Chapter 5] 引理: 存在 $\phi \in \mathcal{S}({\mathbb{R}}^n)$ 满足, 对于满足 $\mathrm{supp}\hat{f}\subseteq B(0,R)$ 的 $f\in L^1+L^2$, 都有 $f={\phi }_{R^{-1}}\ast f$, 其中 ${\phi }_{R^{-1}}(x)=R^n\phi (Rx).$

定理: 在上述引理的条件下, 我们有 (i) $\forall \alpha \in {\mathbb{N}}^n,p\in [1,\infty ]$, 则 $\Vert D^{\alpha }f{\Vert }_{L^p}{\lesssim }_{\alpha }{R}^{|\alpha |}\Vert f{\Vert }_{L^p}$; (ii) $1\le p\le q\le \infty ,\Vert f{\Vert }_{L^q}\lesssim R^{n(\frac{1}{p}-\frac{1}{q})}\Vert f{\Vert }_{L^p}$.

定义: ${\mathbb{R}}^n$ 中的标准正交基为 $\{e_j{\}}_{j=1}^n$, ${\mathbb{R}}^n$ 中的椭球 $E=\{x:{\sum }_j\frac{|(x-a)\cdot e_j{|}^2}{r_j^2}\le 1\}$, 其对偶 $E^{\ast }=\{x:{\sum }_j|(x-a)\cdot e_j{|}^2{r}_j^2\le 1\}$.

命题: $f\in L^1+L^2,\mathrm{supp}\hat{f}\subseteq E$, 则 $\Vert f{\Vert }_{L^q}\lesssim |E{|}^{\frac{1}{p}-\frac{1}{q}}\Vert f{\Vert }_{L^p}.$

定理 (简单版本): $f\in L^1+L^2,\mathrm{supp}\hat{f}\subseteq B(0,1)$, 则对于 $z\in E$, $|f(z)|\lesssim \int |f(x)|(1+|x|{)}^{-N}.$

5振荡积分

单变量情形

命题:$$I(\lambda )={\int }_a^b{e}^{i\lambda \phi (x)}\psi (x)\mathrm{d}x,$$$\phi \in C^{\infty }(a,b),{\phi }^{\prime }\ne 0,\psi \in C_c^{\infty }(a,b),$ 则 $I(\lambda )=O({\lambda }^{-N}),\lambda \to \infty ,\forall N>0$.

引理 (Vander Corput): ${\phi }^{(k)}(x)\ge 1,x\in [a,b]$, 则$$I(\lambda )={\int }_a^b{e}^{i\lambda \phi (x)}\mathrm{d}x{\lesssim }_k{\lambda }^{-\frac{1}{k}}$$当 $k=1$ 且 ${\phi }^{\prime }(x)$ 单调, 或 $k\ge 2$.

推论: 在上述引理的条件下, $$|{\int }_a^b{e}^{i\lambda \phi (x)}\psi (x)\mathrm{d}x|{\lesssim }_k{\lambda }^{-\frac{1}{k}}(|\psi (b)|+{\int }_a^b|{\psi }^{\prime }(x)|\mathrm{d}x).$$

定义: $x_0$ 称为 $\phi$ 的奇点, 若 ${\phi }^{\prime }(x_0)=0$. 进一步, 若 $\phi$ 为实值函数, 则称 $x_0$ 是稳定的.

定理: $k\ge 2,\phi (x_0)={\phi }^{\prime }(x_0)=\cdots ={\phi }^{(k-1)}(x_0)=0,{\phi }^{(k)}(x_0)\ne 0$, $\psi$ 支撑在 $x_0$ 的充分小的邻域内, 则$$I(\lambda )\sim {\lambda }^{-\frac{1}{k}}\sum _j{a}_j{\lambda }^{-\frac{j}{k}},$$在此意义下: $$\left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}{)}^r\right(I(\lambda )-{\lambda }^{-\frac{1}{k}}\sum _j{a}_j{\lambda }^{-\frac{j}{k}})=O({\lambda }^{-r-\frac{N+2}{k}}),$$这里 $a_j=0$, 若 $\frac{j}{2}\notin \mathbb{Z}$.

注: 在上述渐近展开中, $a_0=(\frac{2\pi }{-i{\phi }^{\prime \prime }(x_0)}{)}^{\frac{1}{2}}\psi (x_0)$.

多元情形

命题: $I(\lambda )=\int e^{i\lambda \phi (x)}\psi (x)\mathrm{d}x,\phi \in C^{\infty }({\mathbb{R}}^n,\mathbb{R})$, $\phi$ 在 $\mathrm{supp}\psi$ 中无奇点, $\psi \in C_c^{\infty }({\mathbb{R}}^n)$, 则 $I(\lambda )=O({\lambda }^{-N}),\lambda \to \infty ,\forall N>0$.

定理: 设 $\psi \in C_c^{\infty }({\mathbb{R}}^n),\mathrm{supp}\psi \subseteq B(0,1),\phi \in C^{\infty }({\mathbb{R}}^n,\mathbb{R})$, 使得 $\exists \alpha ,k=|\alpha |>0,|{\partial }_x^{\alpha }\phi (x)|\ge 1,x\in \mathrm{supp}\phi$, 则$$\int e^{i\lambda \phi (x)}\psi (x)\mathrm{d}x{\lesssim }_{k,\phi }{\lambda }^{-\frac{1}{k}}(\Vert \psi {\Vert }_{L^{\infty }}+\Vert \nabla \psi {\Vert }_{L^1}).$$

定义: 称 $\phi$ 的奇点 $x_0$ 非退化, 若 $\det ({\nabla }^2\phi )(x_0)\ne 0.$

定理: $\phi (x_0)=0,x_0$ 为非退化奇点, $\psi$ 支撑在 $x_0$ 的小邻域内, 则$$I(\lambda )\sim {\lambda }^{-\frac{n}{2}}\sum _{j=0}^{\infty }{a}_j{\lambda }^{-j}.$$

6限制性定理

介绍

定义: 记 $R(p\to q)$, 若对 $f\in \mathcal{S},\Vert \hat{f}{\Vert }_{L^q(S^{n-1})}\lesssim \Vert f{\Vert }_{L^p({\mathbb{R}}^n)}$.

定义: 对于定义在 $S^{n-1}$ 上的函数 $g$, 记 $g$ 的扩张$$E(g)(x):=g^{\vee }\ast \widehat{\mathrm{d}\sigma }(x)={\int }_{S^{n-1}}g(\xi )e^{2\pi ix\cdot \xi }\mathrm{d}\sigma (\xi ).$$

定义: 记 $R^{\ast }(p\to q)$, 若 $\Vert E(g){\Vert }_{L^q({\mathbb{R}}^n)}\lesssim \Vert g{\Vert }_{L^p(S^{n-1})}$.

命题: $R(p\to q)\iff R^{\ast }(q^{\prime }\to p^{\prime })$.

定理: (Knapp 例子) 若 $R(p\to q)$, 则 $p^{\prime }\ge \frac{n+1}{n-1}q$.

命题: 若 $R(p\to q)$, 则 $p<\frac{2n}{n+1}.$

命题的证明需要用到引理: $\widehat{\mathrm{d}\sigma }(x)\sim |x{|}^{-\frac{n-1}{2}}$. [参考 Stein, Harmonic Analysis, Chapter 8, 1.4]

限制性猜想: 若 $q>\frac{2n}{n-1},q\ge \frac{n+1}{n-1}{p}^{\prime }$, 则 $R^{\ast }(p\to q)$ 成立.

限制性定理

命题: 以下等价: (i) $R(p\to 2)$; (ii) $R^{\ast }(2\to p^{\prime })$; (iii) $\Vert f\ast \widehat{\mathrm{d}\sigma }{\Vert }_{L^{p^{\prime }}({\mathbb{R}}^n)}\lesssim \Vert f{\Vert }_{L^p({\mathbb{R}}^n)}.$

定理: (Stein–Tomas) 若 $q>\frac{2n+2}{n-1},$ 则 $R^{\ast }(2\to q)$ 成立.

定理: 在 ${\mathbb{R}}^2$ 中, $q>4,q\ge 3p^{\prime }$, 则 $R^{\ast }(p\to q)$ 成立.

限制性定理能导出 Bochner–Riesz 猜想

[参考 Tao, Lecture notes 3 for 254B, https://www.math.ucla.edu/～tao/254b.1.99s/]

定理: $1\le p<2,$ 若 $R(p\to 2)$ 成立, 则当 $\frac{1}{p}-\frac{1}{2}<\frac{2\lambda +1}{2n}$ 时 Bochner–Riesz 平均在 $L^p({\mathbb{R}}^n)$ 有界. 特别地, 由 Stein–Tomas 定理, Bochner–Riesz 猜想在 $\lambda >\frac{n-1}{2n+2}$ 时成立.

7Kakeya 猜想

基本事实

Kakeya 猜想: ${\mathbb{R}}^n$ 中的 Kakeya 集的 Hausdorff 维数为 $n$.

定义: $0\le s<\infty ,\epsilon >0,E\subseteq {\mathbb{R}}^n$,$$H_{\epsilon }^s(E):=\inf \{\sum _{j=1}^{\infty }\alpha (s)(\frac{\mathrm{diam}(A_j)}{2}{)}^s:E\subseteq \bigcup _j{A}_j,\mathrm{diam}(A_j)<\epsilon \},$$其中 $\alpha (s)=\frac{{\pi }^{\frac{s}{2}}}{\Gamma (\frac{s}{2}+1)}$.

定义: $H^s(E):={\lim }_{\epsilon \to 0}{H}_{\epsilon }^s(E)$ 为 $E$ 的 $s$ 维 Hausdorff 测度.

命题: 对 $s_1<s_2$, 若 $H^{s_2}(E)>0$, 则 $H^{s_1}(E)=\infty$; 若 $H^{s_1}(E)=0$, 则 $H^{s_2}(E)=0$.

记 $E$ 的 Hausdorff 维数$${\dim }_H(E)=\sup \{s:H^s(E)=\infty \}=\inf \{s:H^s(E)=0\}.$$

定义: Kakeya 极大函数: 给定 $\delta >0,f\in L_{\text{loc}}^1({\mathbb{R}}^n),e\in S^{n-1}$, 我们定义$$f_{\delta }^{\ast }(e)=\underset{T_{\delta }\parallel e}{\sup }\frac{1}{|T_{\delta }|}{\int }_{T_{\delta }}|f(x)|\mathrm{d}x,$$这里 $T_{\delta }$ 为半径 $\delta$, 长度 $1$, 母线平行于 $e$ 的圆柱, $T_{\delta }$ 也称作 $\delta$-管子.

定理: 若 $\Vert f_{\delta }^{\ast }{\Vert }_{L^p(S^{n-1})}\lesssim {\delta }^{-\alpha }\Vert f{\Vert }_{L^1({\mathbb{R}}^n)}$, 则每个 Kakeya 集的 Hausdorff 维数不小于 $n-p\alpha$.

猜想 (Kakeya 极大函数): $\forall \epsilon >0,\Vert f_{\delta }^{\ast }{\Vert }_{L^n}{\lesssim }_{\epsilon }{\delta }^{-\epsilon }\Vert f{\Vert }_{L^n}.$

定义: $\Omega$ 为 $S^{n-1}$ 的子集, $\Omega$ 的 $\delta$-覆盖是一族 $\{B(e_j,\delta )\}$, 满足 $\Omega \subseteq \cup B(e_j,\delta )$. 称 $\{e_j\}$ 为 $\delta$-分离的, 若 $\Vert e_j-e_k\Vert \ge \delta ,\forall j\ne k$. 一个 $\delta$-覆盖称为极小的, 若其任一真子覆盖不构成 $\delta$-覆盖.

定理: $\forall f\in L^2({\mathbb{R}}^n),\epsilon >0$, 则 $\Vert f_{\delta }^{\ast }{\Vert }_{L^2}{\lesssim }_{\epsilon }{\delta }^{-\epsilon }\Vert f{\Vert }_{L^2}.$

猜想 (Kakeya tube): $\Omega \subseteq S^{n-1}$ 为 $\delta$-分离的, 对 $w\in \Omega ,T_w$ 为平行于 $w$ 的 $\delta$-管子, 则对 $1\le p\le \frac{n}{n-1},\forall \epsilon >0$,$$\Vert \sum _{w\in \Omega }{\chi }_{T_w}{\Vert }_{L^p}{\lesssim }_{\epsilon }{\delta }^{-\epsilon }(\sum _w|T_w|{)}^{\frac{1}{p}}.$$

剩下的内容考试不考.