用户: Solution/ 笔记: 二阶椭圆型方程

1调和函数

平均值性质

Green 函数及应用

Perron 方法与 Dirichlet 问题

定义 1.1. 对 $u\in C(\Omega )$, 若对任意球 $B\subset \subset \Omega$, 及满足 $\Delta h(x)=0,x\in B;h(x)\ge u(x),x\in \partial B$ 的 $h$, 均成立 $h(x)\ge u(x),x\in B$, 则称 $u$ 在 $\Omega$ 下调和.

命题 1.2. 对定义在 $\partial \Omega$ 上的函数 $\phi$, 考虑 $S_{\phi }:=\{v\mid v\text{ 下调和},v\in C(\Omega ),v(x)\le \phi (x),x\in \partial \Omega \}$, 则 $u:=\underset{v\in S_{\phi }}{\sup }v$ 调和.

定义 1.3. 对于区域 $\Omega ,x_0\in \Omega ,w\in C(\overline{\Omega })$ 是 $\Omega$ 上的调和函数, 满足 $w(x_0)=0,w(x)>0,\forall x\in \overline{\Omega }\backslash \{x_0\}$, 则称 $w(x)$ 为 $x_0$ 处的一个闸函数.

命题 1.4. 对于区域 $\Omega ,x_0\in \partial \Omega$ 连续, 且存在 $x_0$ 处的一个闸函数 $w(x)$, 则有 $u=\underset{v\in S_{\phi }}{\sup }v$ 在 $x_0$ 连续.

定理 1.5. 对 $\phi \in C(\partial \Omega )$,$\partial \Omega$ 上的点均存在闸函数, 则相应的 Dirichlet 问题可解.

参考文献: Qing Han, and Fanghua Lin - Elliptic Partial Differential Equations - American Mathematical Society (2000).

2极值原理

对于 ${\mathbb{R}}^n$ 中的有界区域 $\Omega$, 考虑算子 $L$, 对于 $u\in C^2(\Omega )\cap C(\overline{\Omega })$, $$Lu:=a_{ij}(x){\partial }_{ij}u+b_i(x){\partial }_{i}u+c(x)u.$$我们总是假设 $a_{ij},b_i,c$ 在 $\overline{\Omega }$ 上连续, 且 $L$ 在 $\Omega$ 中一致椭圆, 即存在 $\lambda >0$, 使得$$a_{ij}(x){\xi }_i{\xi }_j\ge \lambda |\xi {|}^2,\forall x\in \Omega ,\forall \xi \in {\mathbb{R}}^n.$$

引理 2.1. $u\in C^2(\Omega )\cap C(\overline{\Omega })$, 满足 $Lu(x)>0,c(x)\le 0,x\in \Omega$. 若 $u$ 在 $\overline{\Omega }$ 上取到非负最大值, 则此最大值不能在内部取到 (即只能在边界取到).

注 2.2. 若 $c(x)=0,x\in \Omega$, 则非负的条件可以去掉.

定理 2.3. (弱极值原理) 设 $u\in C^2(\Omega )\cap C(\overline{\Omega })$ 满足 $Lu(x)\ge 0,c(x)\le 0,x\in \Omega$. 若 $\underset{\overline{\Omega }}{\sup }u(x)\ge 0$, 则 $u$ 在 $\partial \Omega$ 取到非负极大值. 即$$\underset{\overline{\Omega }}{\sup }u\le \underset{\overline{\partial \Omega }}{\sup }u.$$

引理 2.4. (Hopf 引理) $B$ 为 ${\mathbb{R}}^n$ 中的开球, $x_0\in \partial B$. 设 $u\in C^2(B)\cap C(B\cup \{x_0\})$, 满足 $Lu(x)\ge 0,c(x)\le 0,x\in B$. 若进一步, $u(x)<u(x_0),\forall x\in B$ 且 $u(x_0)\ge 0$. 则对任意指向外的向量 $v$(即 $v\cdot n(x_0)>0$), 我们有$$\underset{t\to 0^{+}}{\mathrm{liminf}}\frac{1}{t}(u(x_0)-u(x_0-tv))>0.$$

定理 2.5. (强极值原理) 设 $u\in C^2(\Omega )\cap C(\overline{\Omega })$ 满足 $Lu(x)\ge 0,c(x)\le 0,x\in \Omega$. 则 $u$ 在 $\overline{\Omega }$ 的非负最大值只能在 $\partial \Omega$ 取到, 除非 $u$ 是常数.

推论 2.6. (比较原理) 设 $u\in C^2(\Omega )\cap C(\overline{\Omega })$ 满足 $Lu(x)\ge 0,c(x)\le 0,x\in \Omega$. 若 $u(x)\le 0,x\in \partial \Omega$, 则 $u(x)\le 0,x\in \Omega$. 更进一步, 要么 $u(x)<0,x\in \Omega ,$ 要么 $u(x)=0,x\in \Omega$.

推论 2.7. 设 $\Omega$ 满足内球条件, $u\in C^2(\Omega )\cap C(\overline{\Omega })$ 满足 $Lu(x)\ge 0,c(x)\le 0,x\in \Omega$. 若 $u$ 在 $x_0\in \partial \Omega$ 取到非负极大值, 则对于任意指向外的向量 $v$, 我们有$$\frac{\partial u}{\partial v}(x_0)>0,$$除非 $u$ 是常数.

命题 2.8. 设 $\Omega$ 满足内球条件, 考虑如下的边值问题$$\begin{array}{rl}Lu(x)& =f(x),x\in \Omega \\ \frac{\partial u}{\partial n}(x)+\alpha (x)u(x)& =\phi (x),x\in \partial \Omega .\end{array}$$其中 $f\in C(\overline{\Omega })$ 且 $\phi \in C(\partial \Omega )$. 假设 $c(x)\le 0,x\in \Omega ,\alpha (x)\ge 0,x\in \partial \Omega$. 则当 $a,c$ 至少一者不恒为 $0$, 此边值问题存在唯一解 $u\in C^2(\Omega )\cap C(\overline{\Omega })$; 当 $a=c=0,$ 此边值问题在模掉常数的意义下存在唯一解 $u\in C^2(\Omega )\cap C(\overline{\Omega })$.

定理 2.9. 设 $u\in C^2(\Omega )\cap C(\overline{\Omega })$ 满足 $Lu(x)\ge 0$. 若 $u(x)<0,x\in \Omega ,$ 则要么 $u(x)<0,x\in \Omega$, 要么 $u(x)=0,x\in \Omega .$

命题 2.10. 设存在 $w\in C^2(\Omega )\cap C^1(\overline{\Omega })$ 满足 $Lw(x)\le 0,x\in \Omega ,w(x)>0,x\in \Omega$. 若 $u\in C^2(\Omega )\cap C(\overline{\Omega })$ 满足 $Lu(x)\ge 0$, 则 $\frac{u}{v}$ 不能在 $\Omega$ 中取到非负最大值, 除非 $\frac{u}{w}$ 为常数. 进一步, 若 $u$ 在 $x_0\in \partial \Omega$ 取到非负极大值且 $\frac{u}{w}$ 不恒为常数, 则对于任意指向外的向量 $v$, $$\frac{\partial }{\partial v}\left(\frac{u}{w}\right)(x_0)>0.$$

命题 2.11. (窄区域极值原理) 设 $d>0,e$ 为单位向量, 满足 $|(y-x)\cdot e|<d,\forall x,y\in \Omega$. 则存在只依赖于 $\lambda ,\sup b_i,\sup c^{+}$ 的 $d_0>0$, 使得当 $d\le d_0$ 时, 上述定理的条件成立.

先验估计

在本节中, 我们对 $L,\Omega$ 的定义同上一节.

设 $\underset{\Omega }{\sup }|a_{ij}|+\underset{\Omega }{\sup }|b_i|\le \Lambda$.

命题 2.12. 设 $u\in C^2(\Omega )\cap C(\overline{\Omega })$ 满足$$\begin{array}{rl}Lu(x)& =f(x),x\in \Omega \\ u(x)& =\phi (x),x\in \partial \Omega .\end{array}$$

其中 $f\in C(\overline{\Omega }),\phi \in C(\partial \Omega )$, 若 $c(x)\le 0,$ 则$$|u(x)|\le \underset{\partial \Omega }{\sup }|\phi |+C_{\lambda ,\Lambda ,\mathrm{diam}(\Omega )}\underset{\Omega }{\sup }|f|,x\in \Omega .$$

命题 2.13. 设 $u\in C^2(\Omega )\cap C^1(\overline{\Omega })$ 满足$$\begin{array}{rl}Lu(x)& =f(x),x\in \Omega \\ \frac{\partial u}{\partial n}(x)+\alpha (x)u(x)& =\phi (x),x\in \partial \Omega .\end{array}$$这里 $n$ 为区域的外法向, 若 $c(x)\le 0,x\in \Omega ,\alpha (x)\ge {\alpha }_0>0,x\in \partial \Omega ,$ 则$$|u(x)|\le C_{{\alpha }_0,\lambda ,\Lambda ,\mathrm{diam}(\Omega )}(\underset{\partial \Omega }{\sup }|\phi |+\underset{\Omega }{\sup }|f|),x\in \Omega .$$

梯度估计

在本节中我们将考虑如下形式的方程$$a_{ij}(x){\partial }_{ij}u+b_i(x){\partial }_{i}u=f(x,u).$$其中 $u\in C^2(\Omega ),f\in C(\Omega \times \mathbb{R})$. 我们仍假设 $a_{ij},b_i$ 在 $\overline{\Omega }$ 连续, 且方程一致椭圆, 即存在 $\lambda >0$, 使得$$a_{ij}(x){\xi }_i{\xi }_j\ge \lambda |\xi {|}^2,\forall x\in \Omega ,\forall \xi \in {\mathbb{R}}^n.$$

命题 2.14. 设 $u\in C^3(\Omega )\cap C^1(\overline{\Omega })$ 满足$$a_{ij}(x){\partial }_{ij}u+b_i(x){\partial }_{i}u=f(x,u)，x\in \Omega .$$其中 $a_{ij},b_i\in C^1(\overline{\Omega })$, 且 $f\in C^1(\overline{\Omega \times \mathbb{R}})$. 则$$\underset{\Omega }{\sup }|\nabla u|\le \underset{\partial \Omega }{\sup }|\nabla u|+C.$$其中 $C>0$, 且 $C$ 只依赖于 $\lambda ,\mathrm{diam}(\Omega ),\Vert a_{ij}{\Vert }_{C^1(\overline{\Omega })},\Vert b_i{\Vert }_{C^1(\overline{\Omega })},M=\Vert u{\Vert }_{L^{\infty }(\Omega )},\Vert f{\Vert }_{C^1(\overline{\Omega \times [-M,M]})}$.

3Schauder 估计和 Dirichlet 问题解的存在性

Laplace 方程的 Schauder 估计

一致椭圆方程的 Schauder 估计

Dirichlet 问题解的存在性

4$W^{2,p}$ 估计

Marcinkiewicz 插值定理和 Calderon-Zygmund 分解

Laplace 方程的 $W^{2,p}$ 估计