用户: Solution/ 笔记: 几何群论

1共合积 (Amalgam)

正向极限

定义 1.1. 设 $(G_i{)}_{i\in I}$ 是一族群. 对 $(i,j)\in I\times I$, $F_{ij}$ 由一些 $G_i\to G_j$ 的群同态构成. $(G_i)$ 的正向极限是一个群 $G=\underrightarrow{\lim }{G}_i$ 以及一族同态 $f_i:G_i\to G$, 使得对任何 $f\in F_{ij}$ 都有 $f_j\circ f=f_i$, 且满足如下的泛性质:

若群 $H$ 和 $h_i:G_i\to H$ 满足 $h_j\circ f=h_i$ 对任何 $f\in F_{ij}$, 那么存在 $h:G\to H$ 使得 $h_i=h\circ f_i$.

定义 1.2. 设有群 $G_1,G_2,A$ 以及群同态 $f_1:A\to G_1$, $f_2:A\to G_2$. 当 $A=\{1\}$, 定义自由积$$G_1\ast G_2=\left\{a_1\cdot b_1\cdot \dots \cdot a_n\cdot b_n\mid b_1,\dots ,b_{n-1}\ne e_{G_2},a_2,\dots ,a_n\ne e_{G_1}\right\}.$$

当 $A\ne \{1\}$ 时, 共合积 $G_1{\ast }_A{G}_2$ 的元素是 $G_1\ast G_2$ 中的元素商掉如下的等价关系:$$\left(a_1{f}_1(x)\right)\cdot b_1=a_1\cdot \left(f_2(x)b_1\right);\left(b_1{f}_2(x)\right)\cdot a_2=b_1\cdot \left(f_1(x)a_2\right),$$其中 $a_i\in G_1$, $b_i\in G_2$, $x\in A$.

类似地, 可以定义一族群的自由积或者共合积.

注 1.3. 自由积是群范畴中的余积, 直积是群范畴中的积, 请读者自行回忆它们满足的泛性质.

例 1.4 (Van Kampen 定理). 设 $X$ 是被开集 $U_1,U_2$ 覆盖的拓扑空间. 假设 $U_1,U_2,U_{12}=U_1\cap U_2\ne \varnothing$ 是道路连通的. 设 $x\in U_{12}$, 则基本群 ${\pi }_1(X;x)={\pi }_1(U_1;x){\ast }_{{\pi }_1(U_{12};x)}{\pi }_1(U_2;x)$.

共合积的结构

假设 $g=a_1{b}_1\dots a_n{b}_n\in G_1{\ast }_A{G}_2$, 考虑 $b_n=f_2(x_n)b_n^{\prime }$, 那么 $g=a_1{b}_1\dots (a_n{f}_1(x_n))b_n^{\prime }$. 同样设 $a_n{f}_1(x_n)=f_1(x_n^{\prime })a_n^{\prime }$ 并重复上述操作, 则有:

命题 1.5. $$G_1{\ast }_A{G}_2=\left\{x{a}_1{b}_1\dots a_n{b}_n\mid x\in A,a_i\in G_1\backslash f_1(A),b_i\in G_2\backslash f_2(A)\right\},$$这里 $a_1$ 和 $b_n$ 可以不出现.

假设诸 $f_i$ 是单射, 取定 $f_i(A)$ 在 $G_i$ 中的一组右陪集代表元系 $1\in S_i$ ($i=1,2$), 那么可以找到唯一的表达式$$x{a}_1{b}_1\dots a_n{b}_n,$$其中 $x\in A$, $a_i\in S_1\backslash \{1\}$, $b_i\in S_2\backslash \{1\}$ 且 $a_1,b_n$ 可以不出现. 对一般的共合积, 总结如下:

定理 1.6. 设群 $A$ 和一族群 $(G_i{)}_{i\in I}$, 有一族单射 $A\to G_i$ (因而 $A$ 可以视为诸 $G_i$ 的子群) . 取定 $A$ 在 $G_i$ 中的右陪集代表元系 $S_i$, 并记 $f$ 和 $f_i$ 分别是 $A$ 和 $G_i$ 映入 $({\ast }_A{G}_i)$ 中的典范映射. 那么对于 $({\ast }_A{G}_i)$ 中的任何元素 $g$, 均存在唯一的 $\vec{i}=(i_1,\dots ,i_n)$、$a\in A$、$s_m\in S_{i_m}\backslash \{1\}$, 使得 $g=f(a)f_{i_1}(s_1)\cdots f_{i_n}(s_n)$.

定义 1.7.

1.	对于 $g\in {\ast }_A{G}_i$, 定义 $g$ 的长度 $\ell (g)$ 为 $g$ 在 1.6 中表达式里的 $n$.
2.	对于 $g\in {\ast }_A{G}_i$ 使得 $\ell (g)⩾2$, 称 $g$ 是循环约化 (cyclic reduced) 的, 如果 $i_1\ne i_n$.

命题 1.8.

1.	${\ast }_A{G}_i$ 中的元素要么和 $G_i$ 中的某个元素共轭, 要么和某个循环约化元共轭.
2.	循环约化元生成一个无限循环群.

证明. 第二点容易直接验证.

对于第一点, 对 $\ell (g)$ 归纳. 若 $\ell (g)⩾2$ 且不是循环约化的, 设 $g$ 对应于 $\vec{i}=(i_1,\dots ,i_n)$ 且 $i_1=i_n$, $g=g_1\cdots g_n$, $g_m\in G_{i_m}\backslash \{1\}$. 那么 $g_1^{-1}g{g}_1=g_2\cdots g_n{g}_1$, 此时一定有 $\ell (g_1^{-1}g{g}_1)<n$, 因此与 $G_i$ 的某个元素或者某个循环约化元共轭, 从而 $g$ 亦然.

$\square$

推论 1.9. $({\ast }_A{G}_i)$ 中的有限阶元素一定与 $G_i$ 中的某个元素共轭.

证明. 否则其与循环约化元共轭, 而这与有限阶矛盾.

$\square$

推论 1.10. 若诸 $G_i$ 无挠, 则 $({\ast }_A{G}_i)$ 无挠.

证明. 假设有挠元, 其与 $G_i$ 中某挠元共轭, 又由无挠导出只能是单位元.

$\square$

命题 1.11. 设 $H_i$ 是 $G_i$ 的子群, 且 $B=H_i\cap A$ 与 $i$ 无关, 则由 $H_i\to G_i$ 诱导的 ${\ast }_B{H}_i\to {\ast }_A{G}_i$ 是单射.

推论 1.12. 若 $H_i\cap A=\{1\}$, 则在 $({\ast }_A{G}_i)$ 中由 $H_i$ 自由生成的子群是 $\ast H_i$.

自由群

记由 $n$ ($n⩾2$) 个元素生成的自由群是 $F_n$. 显然 $F_2$ 可以作为 $F_n$ 的子群; 之后我们会证明, $F_n$ 也可以看成 $F_2$ 的子群!

命题 1.13. 设 $A,B$ 是群, $R=\ker (A\ast B\to A\times B)$, 则 $R$ 是自由群, 以$$X=\left\{[a,b]\mid a\in A\backslash \{1\},b\in B\backslash \{1\}\right\}$$为生成元.

证明. TBA.

$\square$

推论 1.14. 两个有限群的自由积一定包含一个有限指标的自由子群.

证明. 设群是 $A,B$, 则前述定理中的 $R$ 满足 $[A\ast B:R]=|A\times B|<\infty$.

$\square$

例 1.15. 自由群的例子:

1.	无穷二面体群 (infinite dihedral group) $D_{\infty }\cong \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\ast \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$.
2.	特殊射影线性群 ${\mathrm{PSL}}_2(\mathbb{Z})={\mathrm{SL}}_2(\mathbb{Z})/\{\pm 1\}\cong \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\ast \mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$.

注 1.16. ${\mathrm{PSL}}_2(\mathbb{Z})$ 作为自由群的一组生成元是 $\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& 0\end{array}\right)$ ($2$ 阶) 与 $\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 1\end{array}\right)$ ($3$ 阶) . ${\mathrm{SL}}_2(\mathbb{Z})$ 只有四个有限子群: $$\{1\},\{\pm 1\},⟨\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& 0\end{array}\right)⟩,⟨\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 1\end{array}\right)⟩.$$

定义 1.17. 回忆半直积的概念. 设 $N⊲G$, $H<G$, 如果 $1\to N\to G\to H\to 1$ 正合, 则称 $G$ 是 $N$ 和 $H$ 的一个半直积, 记作 $G=N⋊H$ 或 $G=H⋉N$.

外半直积: 设群 $H$ 在群 $N$ 上有群作用 $\phi$, 在 $N\times H$ 上定义新的乘法: $(n_1,h_1)\cdot (n_2,h_2)=(n_1{\phi }_{h_1}(n_2),h_1{h}_2)$, 得到的群记为 $N⋊H$.

命题 1.18 (G. Higman, B.H. Neumann, H. Neumann, 1949). 设 $A<G$, $\theta :A\to G$ 是单同态 (不一定是嵌入) , 那么存在群扩张 $G<G^{\prime }$ 和 $s\in G^{\prime }$ 使得 $\theta (a)=sa{s}^{-1}$. 进一步, 如果 $G$ 可数 (或有限生成或无挠) , 那么可选取拥有相同性质的 $G^{\prime }$.

证明. 对任意 $n\in \mathbb{Z}$, 考虑 $A_n=A$ 和 $G_n=G$. 令 $H={\ast }_A{G}_n$, 这里的共合在 $(g_1\theta (a))\cdot g_2=g_1\cdot (a{g}_2)$ 的意义下. 考虑 $u_n:G_n\to G_{n+1}$ 是恒等映射, 则 $u_n$ 诱导了右平移映射 $u:H\to H$. 如果 $a\in A\subseteq G=G_0$, 则此时 $u(a)\in G_1=\theta (a)\in G_0$. 故 $u$ 延拓了 $\theta$. 考虑半直积 $G^{\prime }=H⋊\mathbb{Z}$, 其中 $\mathbb{Z}$ 在 $H$ 上的作用由 $u$ 给出. 此时不难验证 $s=(1_H,1)$ 满足上述性质. “进一步” 之后的命题由上述构造直接得到.

$\square$

注 1.19. 上述命题的 H-N-N 三人提出了如下问题: 若 $A,B$ 都是 $G$ 的子群, 那么是否存在群扩张 $G<H$ 以及 $h\in H$ 使得 $h^{-1}Ah=B$? 显然, 必要条件是 $A\cong B$. 非平凡的事情是, 三人证明了这也是充分条件.

2树

图

定义 2.1. 一个图 (graph) $\Gamma$ 由顶点集 $X=\mathrm{vert}\Gamma$、边集 $Y=\mathrm{edge}\Gamma$ 与映射$$Y\to X\times X,y\mapsto (o(y),t(y))$$和$$Y\to Y,y\mapsto \bar{y}$$构成, 它们满足: 对任何 $y\in Y$ 都有 $\overline{\stackrel{ˉ}{y}}=y$, $\bar{y}\ne y$ 以及 $o(y)=t(\bar{y})$.

直观地来看, 在此定义中, 一条边 $y\in Y$ 是有方向的, 以 $o(y)$ 为起点 (origin) , 以 $t(y)$ 为终点 (terminate) . $\bar{y}$ 则是将这条边的箭头反过来.

定义 2.2. 图 $\Gamma$ 的定向是 $Y$ 的一个分解 $Y=Y_{+}\bigsqcup {\bar{Y}}_{+}$.

在实际中, 我们用图表 (diagram) 来表示一个图 (graph) . 即, 通俗地说, 一个 graph 画在纸上叫作 diagram.

例 2.3. TBA

定义 2.4. 设 $\Gamma$ 是图, $X=\mathrm{vert}\Gamma$, $Y=\mathrm{edge}\Gamma$. 构造拓扑空间 $T=X\bigsqcup (Y\times [0,1])$, 这里 $X,Y$ 赋予离散拓扑. 图 $\Gamma$ 的实现是拓扑空间 $\mathrm{real}(\Gamma )=T/R$, 其中 $R$ 是由 $(y,0)=o(y),(y,1)=t(y)$ 以及 $(y,t)=(\bar{y},1-t)$ 确定的等价关系.

注 2.5. 其上具有一个至多 $1$ 维的 CW 复形结构.

定义 2.6. 图 $\Gamma$ 的重心重分是这样的一个图 ${\Gamma }^{\prime }$: $\mathrm{vert}\Gamma =X\cup \left\{\{y,\bar{y}\}\mid y\in Y\right\}$ (后者代表每条边的中点) ; $\mathrm{edge}{\Gamma }^{\prime }=Y\times \{0,1\}$, 其中 $\overline{(y,\epsilon )}=(\bar{y},1-\epsilon )$, $o(y,0)=o(y)$, $o(y,1)=\{y,\bar{y}\}$.

容易验证, $t(y,0)=\{y,\bar{y}\}$, $t(y,1)=t(y)$, 以及 $\mathrm{real}{\Gamma }^{\prime }$ 同胚于 $\mathrm{real}\Gamma$ 的重心重分.

定义 2.7. 图的范畴, 对象由图构成. 态射 $f:\Gamma \to {\Gamma }^{\prime }$ 由顶点的映射和边的映射构成, 且满足 $f(o(y))=o(f(y))$, $f(t(y))=t(f(y))$ 以及 $f(\bar{y})=\overline{f(y)}$.

定义 2.8. 图 ${\mathrm{Path}}_n$ 是 (TBA) . 图 $\Gamma$ 中长度为 $n$ 的路径是 ${\mathrm{Path}}_n$ 在 $\Gamma$ 中的像. 如果图 $\Gamma$ 中的任何两个点都有路径相连, 则称 $\Gamma$ 是连通图.

定义 2.9. 图 ${\mathrm{Circ}}_n$ 是 (TBA) . 图 $\Gamma$ 中长度为 $n$ 的环路是与 ${\mathrm{Circ}}_n$ 同构的一个子图. 一个长度为 $1$ 的环路称为环 (loop) . 不含 ${\mathrm{Circ}}_2$ 或环作为子图的图称为组合图 (combinatorial graph) .

图 $\Gamma (G,S)$

设 $G$ 是图, $S$ 是 $G$ 的子集.

定义 2.10. 定义图 $\Gamma -\Gamma (G,S)$ 如下: $\mathrm{vert}\Gamma =G$ (作为集合) , 定向 $(\mathrm{edge}\Gamma {)}_{+}=G\times S$, 满足 $o(g,s)=g$ 和 $t(g,s)=gs$.

$G$ 在 $G$ 上的左乘作用给出了 $G$ 在 $\Gamma$ 上的作用, 使得 $g\cdot h=gh$ 以及 $g(h,s)=(gh,s)$. 这是一个保持定向 ($g\cdot (\mathrm{edge}\Gamma {)}_{+}=(\mathrm{edge}\Gamma {)}_{+}$) 并且自由 (见 3.6) 的作用.

例 2.11. 考虑加法群 $G={\mathbb{Z}}^2$, $S=\{(0,1)\}$, 则 $\Gamma (G,S)$ 是 (TBA) .

命题 2.12.

1.	$\Gamma$ 连通 $⟺S$ 生成 $G$.
2.	$\Gamma$ 有环 $⟺1\in S$.
3.	$\Gamma$ 是组合图 $⟺S\cap S^{-1}=\varnothing$.

证明. 容易验证.

$\square$

树

定义 2.13. 树是一个非空无环路的连通图.

例 2.14. 考虑由 $S=\{x,y\}$ 生成的自由群 $G=F(S)$, $\Gamma (G,S)$ 是树.

图 TBA

命题 2.15. 在树 $\Gamma$ 中, 对任何两个顶点 $P,Q$, 存在唯一一条连接 $P,Q$ 的最短路径.

证明. 由连通性知存在连接 $P,Q$ 的路径. 这些路径一定是某 ${\mathrm{Path}}_n$ 的单射像, 否则 $\Gamma$ 中存在环路. 那么必存在长度最短的路径, 且无环路性保证了最短路径的唯一性.

$\square$

由上述命题, 在树中可以定义两点 $P,Q$ 的距离 $\ell (P,Q)$. 对顶点 $P$, 可以定义 $X_n=\{Q\mid \ell (P,Q)=n\}$.

命题 2.16. 树的几何实现是可缩空间.

证明. 连接 $P,Q$ 的最短路径同胚于 $[0,n]$, $F(x,t)=tx$ 实现 $[0,n]$ 到单点集的同伦, 进而可以有全空间到单点集的同伦.

$\square$

定义 2.17. 对图 $\Gamma$ 的顶点 $P$, 记 $Y_P=\{y\in Y\mid t(y)=P\}$. $P$ 的指标为 $n=♯Y_P$. 如果 $n=0$, 那么或者 $\Gamma$ 不连通, 或者 $\Gamma$ 只由一点构成且无边. 此时称 $P$ 是孤立点. 如果 $n⩽1$, 称 $P$ 是端点 (terminal vertex; pending vertex) .

例 2.18. 在 ${\mathrm{Path}}_n$ 中, 最边上的两个点是端点.

命题 2.19. 设 $P$ 是图 $\Gamma$ 非孤立的端点.

1.	$\Gamma$ 连通 $⟺\Gamma -P$ (顶点集为 $X-\{P\}$, 边集为 $Y-(Y_P\cup {\bar{Y}}_P$)) 连通.
2.	$\Gamma$ 中的任何环路不包含 $P$ (等价地, $\Gamma$ 的任何环路包含于 $\Gamma -P$) .
3.	$\Gamma$ 是树 $⟺\Gamma -P$ 是树.

证明. 此时指标 $n=1$. 如果 $\Gamma$ 连通, 那么对 $\Gamma -P$ 的任何顶点 $Q,Q^{\prime }$, 由 $\Gamma$ 的连通性知存在连接 $Q,Q^{\prime }$ 的路径; 而这条路径一定也在 $\Gamma -P$ 中. 反之假设 $\Gamma -P$ 连通, 则对任何顶点 $Q$ 来说, 首先有 $P$ 到某顶点 $Q^{\prime }$ 的路径, 再连接 $Q^{\prime }$ 和 $Q$ 即可.

任何包含 $P$ 的环路使得 $n⩾2$, 故不会有环路包含 $P$.

既然树是非空、不含环路的连通图, 前两条导出了第三条.

$\square$

命题 2.20. 设 $\Gamma$ 是直径为 $n<\infty$ 的树. (注意: 此时端点数未必有限) 那么:

1.	端点集 $t(\Gamma )$ 非空.
2.	若 $n⩾2$, 则 $\Gamma$ 去掉所有端点 (以及对应的边) 得到一棵直径为 $n-2$ 的树.
3.	若 $n=0$, 则 $\Gamma \bumpeq {\mathrm{Path}}_0$; 若 $n=1$, 则 $\Gamma \bumpeq {\mathrm{Path}}_1$.

证明. 第三条是显然的.

假设 $n⩾2$, 记去掉端点得到图 ${\Gamma }^{\prime }$. 取 $\Gamma$ 中长为 $n$ 的路径, 则其第一个和最后一个点一定是端点. 去掉它们后得到 ${\Gamma }^{\prime }$ 中长度为 $n-2$ 的路径. 说明 ${\Gamma }^{\prime }$ 的直径不小于 $n-2$. 另一方面, 任取 ${\Gamma }^{\prime }$ 的端点 $P,Q$, 记 $\ell (P,Q)=m$, 并取连接 $P,Q$ 的最短路径. 那么在 $\Gamma$ 中此路径可以向两端延展为一条长度为 $m+2⩽n$ 的路径, 表明 ${\Gamma }^{\prime }$ 的直径不超过 $n-2$, $2$ 证明完毕.

最后, $n=0,1$ 时由 $3.$ 知端点非空; $n⩾2$ 时, 如果端点为空, 则去掉所有端点后得到的树直径还是 $n$, 与 $2.$ 矛盾!

$\square$

推论 2.21.

1.	一棵偶直径的树存在一个在所有自同构下不变的顶点.
2.	一棵奇直径的树存在一条在所有自同构下不变的几何边.

证明. 图 ${\Gamma }^{\prime }$ 在 $\Gamma$ 的所有自同构下不变, 因此对 $\Gamma$ 的直径归纳即可.

$\square$

图的子树

设 $\Gamma$ 是非空图, 那么 $\Gamma$ 的子树全体在包含关系下构成非空偏序集. 不难验证此偏序集满足 Zorn 引理的条件, 那么 $\Gamma$ 有极大子树, 也就是子树集合中的极大元.

命题 2.22. 非空连通图 $\Gamma$ 的极大子树 $\Lambda$ 包含 $\Gamma$ 的全部顶点.

证明. 否则由连通性可取边 $y$ 使得其起点在 $\Lambda$ 中而终点 $P$ 不在. 此时图 ${\Lambda }^{\prime }$ (顶点集为 $\mathrm{vert}\Lambda \cup \{P\}$, 边集为 $\mathrm{edge}\Lambda \cup \{y,\bar{y}\}$) 是树 (因为 $\Lambda ={\Lambda }^{\prime }-P$ 是树) , 矛盾!

$\square$

3树和自由群

考虑群 $G$ 在图 $X$ 上的作用. 一个反转是元素 $g\in G$ 以及 $y\in \mathrm{edge}X$, 使得 $gy=\bar{y}$. 这等价于 $X$ 上存在一个被 $G$ 作用保持的定向. 如果 $G$ 的作用不包含反转, 可以定义商图 $G\backslash X$ 如下:

定义 3.1. $\mathrm{vert}G\backslash X=\mathrm{vert}X/\sim$, $\mathrm{edge}G\backslash X=\mathrm{edge}X/\sim$. 这里等价关系由 $G$ 的作用给出.

例 3.2. 考虑 $X={\mathbb{Z}}^2$, 每相邻两点连一条边, $G=\mathbb{Z}$, 作用 $m\cdot (m_1,m_2)=(m_1,m_2+m)$. 商图 $G\backslash X$ (TBA) .

命题 3.3. 设 $X$ 是连通图, 群 $G$ 在其上有不包含反转的作用. 那么 $G\backslash X$ 的子树可以提升为 $X$ 的子树.

定义 3.4. $X\mathrm{mod}G$ 的代表元树是 $G\backslash X$ 中的一棵极大子树的提升.

自由群的图

命题 3.5. 设 $X=\Gamma (G,S)$ 是群 $G$ 和子集 $S$ 决定的图, 那么以下等价:

1.	$X$ 是树.
2.	$G$ 是以 $S$ 为基的自由群.

证明. TBA

$\square$

树上的自由作用

定义 3.6. 称群 $G$ 在图 $X$ 上自由作用, 如果 $G$ 的作用不含反转且没有非平凡元素 $g$ 固定 $X$ 的某个顶点.

我们有:

定理 3.7. 自由作用在树上的群是自由群.

更严格地说,

定理 3.8. 设 $G$ 是在树 $X$ 上自由作用的群. 选取 $X\mathrm{mod}G$ 的代表元树 $T$ 以及被 $G$ 作用保持的一个定向 $Y_{+}$.

1.	设$$S=\{g\ne 1\mid \exists y\in Y_{+},o(y)\in T,t(y)\in gT\},$$那么 $S$ 是 $G$ 的一组基.
2.	如果 $X^{\ast }=G\backslash X$ 只有有限个顶点 ($s$ 个) 并且 $♯\mathrm{edge}{X}^{\ast }=2a$, 那么 $♯S-1=a-s$.

证明. TBA

$\square$

定理 3.9 (Schreier). 自由群的子群是自由群.

证明. 自由群的子群也在树上自由作用.

$\square$

推论 3.10 (Schreier index formula). 设 $G$ 是秩为 $r_G$ 的自由群, $H$ 是秩为 $r_H$ 的子群, $[G:H]=n<\infty$. 此时$$r_H-1=n(r_G-1).$$

证明. TBA

$\square$

命题 3.11. 设 $G$ 是以 $S$ 为基的自由群, $H$ 是 $G$ 的子群.

1.	可以选取 $H\backslash G$ 的代表元集 $T$, 满足如下条件: 如果 $t\in T$ 有如下的既约分解$$t=s_1^{{\epsilon }_1}\cdots s_n^{{\epsilon }_n},s_i\in S,{\epsilon }_i\in \{\pm 1\},s_i=s_{i+1}⟹{\epsilon }_i={\epsilon }_{i+1},$$那么 $1,s_1^{{\epsilon }_1},\dots ,s_1^{{\epsilon }_1}\cdots s_n^{{\epsilon }_n}$ 都在 $T$ 中.
2.	设 $W=\{(t,s)\in T\times S\mid ts\notin T\}$. 对 $(t,s)\in W$, 置 $h_{t,s}=ts{u}^{-1}$, 其中 $u\in T$ 使得 $Hts=Hu$. 此时$$R=\{h_{t,s}\mid (t,s)\in W\}$$是 $H$ 的一组基.

证明. TBA

$\square$

4树和共合积

定义 4.1. 假设 $G$ 在图 $X$ 上有不含反转的作用. $X\mathrm{mod}G$ 的一个基本区域是指 $X$ 的子图 $T$, 使得 $T\to G\backslash X$ 是同构.

例 4.2. 在 ${\mathbb{R}}^2$ 上考虑 $\mathbb{R}$ 的作用 $r\cdot (x,y)=(x+r,y+\lambda r)$, 其中 $\lambda \in \mathbb{R}$. 此时 ${\mathbb{R}}^2/\mathbb{R}\cong \mathbb{R}$. 考虑环面 ${\mathbb{R}}^2/{\mathbb{Z}}^2={\mathbb{T}}^2={\mathbb{S}}^1\times {\mathbb{S}}^1$. $\mathbb{R}$ 在 ${\mathbb{R}}^2$ 上的作用诱导了 $\mathbb{R}$ 在 ${\mathbb{T}}^2$ 上的作用. 如果 $\lambda =1$, 则 ${\mathbb{T}}^2/\mathbb{R}\cong {\mathbb{S}}^1$; 反之, 如果 $\lambda$ 是无理数, 则任意一点出发的轨道是稠密的, 基本区域会很糟糕.

显然, 如果 $G\backslash X$ 是树, 则由 3.3 知基本区域确实存在. 如果 $X$ 是树, 则反过来也是对的:

命题 4.3. 设 $X$ 是树, $G$ 作用在 $X$ 上. 那么基本区域存在当且仅当 $G\backslash X$ 是树.

证明. 一边不需证明. 假设存在基本区域 $T$, 由 $G\backslash X$ 连通且非空导出 $T$ 亦然. $X$ 没有环路推出 $T$ 亦然, 因此 $T$ 是树, 故 $G\backslash X$ 亦然.

$\square$

接下来我们考虑一类特殊的图: segment (注: 课上未给出中文译名, 笔者也未找到较通用的译名, 故保留) .

定义 4.4. 一个同构于 ${\mathrm{Path}}_1$ 的图称为 segment.

以下假设 $G\backslash X$ 是 segment, $T$ 是 $X\mathrm{mod}G$ 的基本区域. 我们考虑树和共合积的关系.

定理 4.5. 设$$G_P=\{g\in G\mid gP=P\},G_Q=\{g\mid gQ=Q\},$$$$G_y=\{g\mid gy=y\}=G_P\cap G_Q\},$$则如下等价:

1.	$X$ 是树;
2.	$G_P{\ast }_{G_y}{G}_Q\to G$ 是同构.

证明. 是 4.8 和 4.9 的直接推论.

$\square$

反过来, 任何两个群的共合积在一个以 segment 为基本区域的树上作用.

定理 4.6. 设 $G=G_1{\ast }_A{G}_2$ 是群的共合积. 那么存在 (同构意义下唯一的) 树 $X$, 使得 $G$ 在其上有一个以 $T$ 为基本区域的作用; 此外, $G_P=G_1$, $G_Q=G_2$ 以及 $A=G_y=G_1\cap G_2$.

证明. $X$ 在同构意义下只能是如下的图: $$\mathrm{vert}X=(G/G_1)\bigsqcup (G/G_2),\mathrm{edge}X=(G/A)\bigsqcup \overline{(G/A)},$$在定向 $G/A$ 上映射 $o:G/A\to G/G_1;t:G/A\to G/G_2$. 基本区域 $T$ 由 $P=1\cdot G_1,Q=1\cdot G_2$ 以及 $y=1\cdot A$ 确定. 最后, 4.5 确保 $X$ 是树.

$\square$

注 4.7. 这是一种二部图 (bipartite graph) , 每个顶点 $G_1{g}_1$ 引出 $[G_1:A]$ 条边, 每个顶点 $G_2{g}_2$ 引出 $[G_2:A]$ 条边.

引理 4.8. $X$ 连通当且仅当 $G$ 由 $G_P\cup G_Q$ 生成.

证明. TBA

$\square$

引理 4.9. $X$ 不包含环路当且仅当 $G_P{\ast }_{G_y}{G}_Q\to G$ 是单射.

证明. TBA

$\square$

例 4.10. 考虑 $G={\mathrm{SL}}_2(\mathbb{Z})$. 熟知, $G$ 在上半平面 $\mathbb{H}=\{z=x+iy\mid y>0\}$ 上有作用$$\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right):z\mapsto \frac{az+b}{cz+d}.$$令$$P=e^{\pi i/3},Q=i,y=e^{i\theta }\left(\frac{\pi }{3}⩽\theta ⩽\frac{\pi }{2}\right).$$又记 $X$ 是 $G$ 在 $\stackrel{⌢}{\mathrm{PQ}}$ 上作用得到的弧线的并. 此时 $X$ 是以 $\stackrel{⌢}{\mathrm{PQ}}$ 为基本区域的树, 并且$$G_P=\mathbb{Z}/6\mathbb{Z},G_Q=\mathbb{Z}/4\mathbb{Z},G_y=\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}.$$因此有同构$${\mathrm{SL}}_2(\mathbb{Z})\cong (\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}){\ast }_{\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}}(\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}).$$

命题 4.11. 假设 $\Gamma <G_1{\ast }_A{G}_2$. 那么$$\Gamma \cap g_1{G}_1{g}_1^{-1}=\Gamma \cap g_2{G}_2{g}_2^{-1}=\{1\}$$对任何 $g_1\in G_1,g_2\in G_2$, 等价于 $\Gamma$ 在 $X$ 上的作用是自由的 (因此, $\Gamma$ 是自由群) .

证明. $\Gamma$ 在 $X$ 上的作用不自由等价于某个顶点有非平凡的稳定化子, 不妨设 $G_1{g}_1$ 在 $h\ne 1$ 的作用下不变.

$\Gamma \cap g_1{G}_1{g}_1^{-1}=\{1\}$ 对任何 $g_1\in G_1$ 的反面是存在 $h\ne 1$ 和 $g_1\in G_1$ 使得 $h\in \Gamma \cap g_1{G}_1{g}_1^{-1}$. 直接验证等价性即可.

$\square$

定理 4.12. $G_1{\ast }_A{G}_2$ 的有界 ($\ell (\Sigma )$ 有界) 子群 $\Sigma$ 一定在 $G_1$ 或 $G_2$ 的共轭像中.

证明. 设 $G_1=G_P$, $G_2=G_Q$, $A=G_y$. 对于 $g\in G_1\cup G_2$, 则 $T$ 和 $gT$ 有公共顶点. 那么对任何有界子集 $\Sigma$ 都有 $\Sigma \cdot (\mathrm{vert}T)$ 有界. 因此由 4.14 知存在顶点 $P$ 在 $\Gamma$ 的作用下不变, 故 $\Sigma$ 包含于 $G_1$ 或 $G_2$ 的一个共轭像中.

$\square$

推论 4.13. $G_1{\ast }_A{G}_2$ 的有限子群 $\Sigma$ 一定在 $G_1$ 或 $G_2$ 的共轭像中.

命题 4.14. 设 $\Gamma$ 是在树 $X$ 上作用的群. TFAE:

(a)	对 $\mathrm{vert}X$ 的任何有界子集 $A$, $\Gamma \cdot A$ 有界;
(b)	存在 $P\in \mathrm{vert}X$ 使得 $\Gamma \cdot P$ 有界;
(c)	存在 $P\in \mathrm{vert}X$ 使得 $P$ 在 $\Gamma$ 的作用下稳定.

证明. $(a)⟹(b),(c)⟹(a)$ 平凡, 只需验证 $(b)⟹(c)$. 取 $\Gamma \cdot P$ 生成的子树 $Y$, 它有界并且在 $\Gamma$ 的作用下稳定. 由 2.21 知存在不变顶点或者不变边. 如果存在不变边 $\{y,\bar{y}\}$, $\Gamma$ 的作用只能使 $y$ 不变 (因为我们的假设是没有反向作用) , 故也使得 $y$ 的始终点不变.

$\square$

群树的极限

定义 4.15. 群图 (graph of groups) $(G,T)$ 由图 $T$、$\{G_P\mid P\in \mathrm{vert}T\}$ 以及 $\{G_y\mid y\in \mathrm{edge}T\}$ 构成, 使得对每个 $G_y$, 都有 $G_y=G_{\bar{y}}$ 以及一个单同态 $G_y⟶G_{t(y)},a\mapsto a^y$.

如果 $T$ 是树, 那么称 $(G,T)$ 是树图 (tree of groups) .

定义 4.16. 正向极限$$G_T:=\underrightarrow{\lim }(G,T)$$是诸 $G_P$ 沿着 $G_y$ 的共合积.

例 4.17. $T={\mathrm{Path}}_1$ 时, $G_T$ 就是两个群的共合积.

共合积与基本区域

定理 4.18. 设 $(G,T)$ 是树图. 那么存在包含 $T$ 的图 $X$ 以及 $G_T$ 在 $X$ 上的作用, 满足:

1.	$T$ 是 $X\mathrm{mod}{G}_T$ 的基本区域;
2.	对任何 $P\in \mathrm{vert}T$ ($y\in \mathrm{edge}T$) , $P$ ($y$) 的稳定化子是 $G_P$ ($G_y$) ;
3.	$X$ 是树.

证明. 必须有$$\mathrm{vert}X=\bigsqcup (G_T/G_P);\mathrm{edge}X=\bigsqcup (G_T/G_y).$$此时 $G_T$ 在 $X$ 上自然有作用, 并且满足第二条. 以下证明 $X$ 是树. 由于无限树可以视为其有限子树的极限, 只需证明 $T$ 有限的情况.

对 $n=♯\mathrm{vert}T$ 归纳. 如 $n=1$, 那么 $X=T$. 假设 $n>1$, 考虑 $y\in \mathrm{edge}T$ 使得 $P=t(y)$ 是端点. 那么 $T^{\prime }=T\backslash \{P,y\}$ 是树且 $G_T=G_{T^{\prime }}{\ast }_{G_y}{G}_P$.

记 $X^{\prime }=G_{T^{\prime }}{T}^{\prime }\subset X$, 则 $X^{\prime }$ 是 $(G,T^{\prime })$ 对应的图, 由归纳假设是树. 此外, 对于 $g\in G_T/G_{T^{\prime }}$, 诸 $g{X}^{\prime }$ 两两不交. 令 $\tilde{X}$ 是将所有 $g{X}^{\prime }$ 缩成一点得到的图. 此时 $G_T$ 在 $\tilde{X}$ 上作用, 并且具有基本区域 $T/T^{\prime }$, 是由 $(T^{\prime }),y,P$ 组成的 segment. 此时 $(T^{\prime }),y,P$ 的稳定化子分别是 $G_{T^{\prime }}.G_y,G_P$. 由于 $G_{T^{\prime }}{\ast }_{G_y}{G}_P\to G_T$ 是同构, $\tilde{X}$ 是树, 进而 $X$ 也是.

$\square$

假设 $G$ 作用在 $X$ 上, 基本区域 $T$ 是树. 考虑树图 $(G,T)$, 其中 $G_P=\mathrm{Stab}(P)<G$, $G_y=\mathrm{Stab}(y)<G$. 记 $G_T=\underrightarrow{\lim }(G,T)$. 那么包含映射 $G_P\to G$ 延拓为同态 $G_T\to G$. 如果 $X$ 连通, 则事实是 $G_T\twoheadrightarrow G$.

又令 $\tilde{X}$ 是和 $(G,T)$ 关联的树 (如前定义) , 则单位映射 $T\to T$ 唯一地延拓为 $\tilde{X}\to X$.

定理 4.19. 约定同上, 以下等价:

1.	$X$ 是树;
2.	$\tilde{X}\to X$ 是同构;
3.	$G_T\to G$ 是同构.