用户: Solution/ 笔记: 现代代数学II 表示论

定义 1. $k$ 是域, $V$ 为 $k$ -向量空间, $G L (V) = {f : V \to V 是 k - 线性同构}$ , $n = dim_{k} V$ .

取 $V$ 的一组基 ${e_{1}, \dots, e_{n}}$ , 则 $G L (V) ≅ G L_{n} (k)$ .

定义 2. 群表示

$G$ 为群, $k, V$ 同上, $G$ 在 $k$ 上的线性表示 (linear representation) 指群同态 $ρ : G \to G L (V)$ , 称 $V$ 为表示空间, $n$ 为表示次数.

例 3. $ρ : G \to G L (V)$ , $ρ (g) = 1_{V}, \forall g \in G$ .

例 4. 一次表示

$dim V = 1$ , $G L (V) ≅ k^{*}$ , $f \mapsto λ_{f}$ , 其中 $λ_{f} \cdot e_{1} = f (e_{1})$ (与基的选取无关) .

$ρ : G \to k^{*}$ 群同态, 则 $G / Ker ρ ≅ Im ρ$ 是 Abel 群, 因此 $Ker ρ \supset [G, G]$ , 其中 $[G, G] = {g_{1} g_{2} g_{1}^{- 1} g_{2}^{- 1} ∣ g_{1}, g_{2} \in G}$ 是 $G$ 的换位子群.

例 5. 置换表示

$X$ 非空, $G$ 左作用在 $X$ 上, $G \times X \to X$ , $(g, x) \mapsto g \cdot x$ 满足

$\circ$	$1 \cdot x = x, \forall x \in X$ ,
$\circ$	$(g_{1} g_{2}) \cdot x = g_{1} \cdot (g_{2} x), \forall x \in X, g_{1}, g_{2} \in G$ .

考虑以 ${e_{x} : x \in X}$ 为基的 $k$ -向量空间 $V_{X}$ , 定义 $ρ : G \to G L (V_{X})$ , $ρ (g) (e_{x}) = e_{g \cdot x}, \forall x \in X, g \in G$ .

定义 6. 子表示

$(ρ, V)$ 是表示, $W \subset V$ 称为一个子表示 (或 $G$ -不变子空间). 若

1. $W$ 是子空间,

2. $\forall g \in G$ , $ρ (g) (W) \subset W$ .

定义 7. 商表示

设 $W$ 是 $V$ 的一个子表示, 定义商表示: $\tilde{ρ} : G \to G L (V / W)$ , $\tilde{ρ} (g) (v + W) = ρ (g) (v) + W$ .

练习 8. $\tilde{ρ}$ 是 $G$ 的一个表示.

例 9. 正则表示

$V_{G} = ⟨ e_{g} ⟩_{g \in G}$ , $ρ_{G} : G \to G L (V_{G})$ , $ρ (g) (e_{a}) = e_{g a}$ .

例 10. $W = {0}$ 为平凡子表示.

定义 11. 不可约表示

$(ρ, V)$ 为 $G$ 的表示, 称它为不可约表示, 若它只有 ${0}$ 和 $V$ 两个子表示.

定义 12. 完全可约表示

称 $(ρ, V)$ 为完全可约表示, 若 $V = i \in I ⨁ V_{i}$ , $V_{i}$ 是不可约表示.

练习 13. 一次表示都是不可约的.

定义 14. $G$ -同态

$(ρ_{1}, V_{1}), (ρ_{2}, V_{2})$ 为 $G$ 的表示, 称映射 $f : V_{1} \to V_{2}$ 为 $G$ -同态, 若

1. $f$ 为 $k$ -向量空间同态.

2. $\forall g \in G$ , $f \circ ρ_{1} (g) = ρ_{2} (g) \circ f$ .

称 $f$ 是 $G$ -同构, 若 $f$ 是双射且 $f, f^{- 1}$ 均为 $G$ -同态.

练习 15. $f : V_{1} \to V_{2}$ 是 $G$ -同态, 则 $Ker f$ 是 $V_{1}$ 的子表示, 且 $f$ 诱导出 $G$ -同构 $\tilde{f} : V / Ker f ≅ Im f$ .

定义 16. $G$ 为群, $k$ 为域, $k [G] = {g \in G \sum λ_{g} \cdot g ∣ ∣ λ_{g} \in k, λ_{g} = 0 除有限个 g 以外}$ .

命题 17. 群表示和模.

1. $k [G]$ -模 $\leftrightarrow$ $ρ$ 在 $k$ 上的表示.

2. 子模, 商模, 模同态 $\leftrightarrow$ 子表示, 商表示, $G$ -同态.

3. 单模, 半单模 $\leftrightarrow$ 不可约表示, 完全可约表示.

证明. $(ρ, V)$ 是表示, 定义 $V$ 的 $k [G]$ 模结构如下: $\forall x = \sum_{g \in G} λ_{g} g \in k [G], xv = \sum_{g \in G} λ_{g} ρ (g) (v)$ .

反之,

T

是

k [G]

模, 则

T

可看作

k

-向量空间,

\forall t \in T, λ \in k, λ t = (λ 1_{G}) t

. 定义

ρ : G \to G L (T), ρ (g) (t) = (1_{k} g) (t) .

$□$

引理 18 (Schur). $(ρ_{1}, V_{1})$ 为不可约表示, $(ρ_{2}, V_{2})$ 为表示,

1. 设 $f \in Hom_{G} (V_{1}, V_{2})$ , 则 $f$ 单或者 $f = 0$ .

2. 设 $g \in Hom_{G} (V_{2}, V_{1})$ , 则 $g$ 满或者 $g = 0$ .

3. $End_{G} (V_{1})$ 是可除环.

4. 若 $k$ 是代数闭域, $dim_{k} V < \infty$ , 则 $End_{G} (V_{1}) = {λ I_{V_{1}} ∣ λ \in k} ≅ k$ 作为 $k$ -代数.

证明.

\forall λ \in k, λ \cdot 1_{V} \in End_{k [G]} (V)

. 设

f \in End_{k [G]} (V)

, 由

k

是代数闭域和

dim_{k} V < + \infty

知

f

在

k

上有特征值

λ

. 存在

0 \neq = v_{0} \in V

, 使得

f (v_{0}) = λ v_{0}

. 则

f - λ \cdot 1_{V} \in End_{k [G]} (V)

但

f - λ \cdot 1_{V}

不是同构, 所以

f - λ \cdot 1_{V} = 0, f = λ \cdot 1_{V}

.

$□$

命题 19. 设 $G$ 为有限群, $(ρ, V)$ 是不可约表示, 则 $dim_{k} V \leq ∣ G ∣$ .

证明. 取 $v_{0} \neq = 0 \in V, G = {g_{1}, \dots, g_{n}}$ , 令 $W$ 是 ${ρ (g_{i}) (v_{0}) ∣1 \leq i \leq n}$ 生成的 $k$ -子空间.

下证

W

是子表示.

\forall g \in G, ρ (g) ρ (g_{i}) (v_{0}) = ρ (g g_{i}) (v_{0}) \in W

, 则

W

是子表示, 则由不可约性

V = W, dim V = dim W \leq n

.

$□$

定理 20 (Maschke).

设 $G$ 为有限群, $k$ 为域, 且 $char k = 0$ 或 $p$ , 其中 $p$ 是一个不整除 $∣ G ∣$ 的素数, 则 $k [G]$ 是半单环.

证明. $V$ 是 $k [G]$ 子模, 则 $V$ 是 $k$ -线性空间, 由基延拓, 存在 $k$ -线性空间 $W$ , 使得 $V \oplus W = k [G]$ 作为 $k$ -线性空间.

定义 $π : k [G] \to V$ 为投影映射, 由 $char k ∤ n$ 知道 $n$ 可逆, 记作 $\frac{1}{n}$ .

定义 $p : k [G] \to k [G], p (x) = \frac{1}{n} \sum_{g \in G} g π g^{- 1} (x)$ . 验证 $p$ 为 $k [G]$ 模同态, 只需验证 $\forall h \in G, x \in k [G], p (h x) = h p (x) .$ 而 $p (h x) = \frac{1}{n} \sum_{g \in G} g π g^{- 1} (h x) = \frac{1}{n} \sum_{g \in G} h g^{- 1} π g (x) = h p (x) .$

再证明 $p^{2} = p$ . $\forall x \in k [G], p^{2} (x) = \frac{1}{n ^{2}} \sum_{g_{1} \in G} \sum_{g_{2} \in G} g_{1} g_{2} π g_{2}^{- 1} g_{1}^{- 1} (x) = \frac{1}{n} \sum_{g \in G} g π g^{- 1} (x) = p (x)$ .

再证明 $Im p = V .$ 一方面 $π g^{- 1} (x) \in V$ , 则由 $V$ 是 $k [G]$ 子模知 $g π g^{- 1} (x) \in V, p (x) \in V$ , 从而 $Im p \subset V$ . 另一方面 $\forall v \in V, p (v) = \frac{1}{n} \sum_{g \in G} g π g^{- 1} (v) = \frac{1}{n} \sum_{g \in G} g g^{- 1} (v) = v$ , 知 $V \subset Im p$ .

综合以上,

k [G] = Im p \oplus Ker p = V \oplus Ker p

且

Ker p

为

k [G]

子模, 由此知

k [G]

半单.

$□$

引理 21. $R$ 是环, $M$ 是 $R$ -模, $p \in End_{R} (M)$ , 且 $p^{2} = p$ , 则 $M = Ker p \oplus Im p$ .

例 22. 无限群 $(Z, +)$ , $ρ : Z \to G L_{2} (R)$ , $V = R^{2}$ , $ρ (n) = (10 n 1)$ .

设 $W$ 是 $R^{2}$ 的一维子表示, $W = ⟨ (x_{0} y_{0}) ⟩$ , 则 $ρ (n) (x_{0} y_{0}) \in W$ 对于任意整数 $n$ 成立.

故有 $(x_{0} + n y_{0} y_{0}) = λ (x_{0} y_{0})$ , 进而 $W = {(x 0) : x \in R}$ .

因为 $R^{2}$ 只有一个一维子表示, 故不存在一维子表示 $T$ , 使得 $R^{2} = W \oplus T$ , 故 $(ρ, R^{2})$ 不是半单的.

例 23. 对于素数 $p$ , $F_{p} = (Z / p Z, +)$ , $ρ : Z / p Z \to G L_{2} (F_{p})$ , $ρ (\overline{a}) = (\overline{1} 0 \overline{a} \overline{1})$ .

练习: 这只有一个一维子表示.

定义 24. 设 $G$ 是有限群, $k [G]$ 是半单环, $R = k [G]$ 是 $k$ -代数, 则 $End_{R} (_{R} R) ≅ R^{op}$ .

命题 25. $_{R} R = M_{1} \oplus \dots \oplus M_{s}$ , 其中 $M_{i}$ 是单子模 (极小左理想). 设 $M_{1}, \dots, M_{l}$ 是 $M_{i}$ 中两两不同构的, 则 $_{R} R ≅ n_{1} M_{1} \oplus \dots \oplus n_{l} M_{l}$ .

若 $M$ 是不可约表示, 则存在 $i_{0}$ 使得 $M ≅ M_{i_{0}}$ .

命题 26. $End_{R} (_{R} R) ≅ i = 1 \prod l End_{R} (n_{i} M_{i}) = i = 1 \prod l M_{n_{i}} (D_{i}),$ 其中 $D_{i} = End_{R} (M_{i})$ .

则 $R ≅ i = 1 \prod l M_{n_{i}} (D_{i}^{op})$ , 作为 $k$ 代数. 进而 $∣ G ∣ = i = 1 \sum n n_{i}^{2} dim_{k} D_{i}$ .

命题 27. 设 $k$ 是代数闭域, 则 $D_{i} ≅ k$ , 进而 $∣ G ∣ = i = 1 \sum l n_{i}^{2}$ .

$n_{1} M_{1}$ 是 $M_{n_{1}} (D_{1})$ -模, $M_{n_{1}} (D_{1})$ 的单模 $≅ D_{1}^{n_{1}}$ , 故 $i = 1 \prod l M_{n_{i}} (D_{i})$ 在同构意义下有 $l$ 个单模 $D_{i}^{n_{i}}$ .

命题 28. 对于 $D_{i}^{n_{i}}$ , $\forall r_{j} \in n_{j} M_{j}$ , $r_{j} D_{i}^{n_{i}} = 0$ 若 $i \neq = j$ . 因此 $D_{i}^{n_{i}} ≆ M_{j}$ 对于 $i \neq = j$ .

故 $M_{i} ≅ D_{i}^{n_{i}}$ , 进而 $dim_{k} M_{i} = n_{i} dim_{k} D_{i}$ , $∣ G ∣ = i = 1 \sum l n_{i}^{2} dim_{k} D_{i} = i = 1 \sum l n_{i} dim_{k} M_{i}$ .

推论 29. $k$ 是代数闭域, $k [G]$ 是半单模. 由 Schur 引理, $D_{i} ≅ k$ . 若 $k [G] ≅ n_{1} M_{1} \oplus \dots \oplus n_{l} M_{l}$ , 则 $dim_{k} M_{i} = n_{i}$ , 且 $∣ G ∣ = i = 1 \sum l n_{i}^{2}$ .

命题 30. $k$ 是域, $G$ 是有限群, $Z (k [G]) = {x \in k [G] ∣ x y = y x, \forall y \in k [G]}$ 是一个子代数, 称为 $k [G]$ 的中心. $dim_{k} Z (k [G]) = l$ , 其中 $l$ 是 $G$ 的共轭类个数.

证明. 1. $α_{i} \in Z (k [G]) .\forall h \in k [G], α_{i} h = \sum_{g \in C_{i}} g h = \sum_{g \in C_{i}} h (h^{- 1} g h) = \sum_{\tilde{g} \in C_{i}} h \tilde{g} = h α_{i} .$

$\forall x = \sum_{h \in G} λ_{h} h, α_{i} x = α_{i} \sum_{h \in G} λ_{h} h = \sum_{h \in G} λ_{h} α_{i} h = \sum_{h \in G} λ_{h} h α_{i} = (\sum_{h \in G} λ_{h} h) α_{i} = x α_{i} .$

2. $α_{1}, \dots, α_{t}$ 线性无关. $\sum_{i = 1}^{t} λ_{i} α_{i} = 0, λ_{i} \in k \to \sum_{i = 1}^{t} (\sum_{g \in C_{i}} λ_{i} g) = 0 \in k [G]$ . 注意到 $G = C_{1} \cup \dots \cup C_{t}$ 为无交并, 则 $λ_{i} = 0.$

3. 设 $x = \sum_{h \in C_{i}} λ_{h} h \in Z (k [G]) \to xg = gx, \forall g \in G \to g^{- 1} xg = x \to g^{- 1} xg = \sum_{h \in C_{i}} λ_{h} g^{- 1} h g = x .$

令 $u = g^{- 1} h g \to h = gu g^{- 1} \to g^{- 1} xg = \sum_{u \in C_{i}} λ_{gu g^{- 1}} u = x = \sum_{u \in C_{i}} λ_{u} u \to λ_{gu g^{- 1}} = λ_{u}$ , 记 $λ_{i} = λ_{g_{i}}, \forall g_{i} \in C_{i} \to x = \sum_{i = 1}^{t} λ_{i} α_{i} \to dim_{k} Z (k [G]) = t$ .

$□$

推论 31. 设 $k$ 是代数闭域, $k [G]$ 半单, 则在同构意义下 $k [G]$ 恰好有 $l$ 个单模, 其中 $l$ 是 $G$ 的共轭类个数.

证明. 作为

k

-代数,

k [G] ≅ M_{n_{1}} (\tilde{D_{1}}) \times \dots \times M_{n_{l}} (\tilde{D_{l}})

, 那么

Z (k [G]) ≅ Z (M_{n_{1}} (\tilde{D_{1}})) \times \dots \times Z (M_{n_{l}} (\tilde{D_{l}}))

, 而

Z (M_{n_{i}} (\tilde{D_{i}})) = {λ I_{n_{i}} ∣ λ \in Z (\tilde{D_{i}})} ≅ Z (\tilde{D_{i}})

, 得

t = \sum_{i = 1}^{l} dim_{k} Z (\tilde{D_{i}}) = l

.

$□$

定义 32. 特征

设 $ρ : G \to G L (V)$ 是有限维表示, 定义 $χ_{ρ} : G \to k$ , $χ_{ρ} (g) = tr (ρ (g))$ , 称为 $ρ$ 的特征 (character) .

例 33. 一次表示即是它的特征.

例 34. 置换表示的特征

群 $G$ 作用在 $X = {1, \dots, n}$ 上, $V_{X} = {e_{1}, \dots, e_{n}}$ , $ρ (g) (e_{i}) = e_{g \cdot i}$ . 设 $A_{g} = (a_{ij})$ 是 $ρ (g)$ 的表示矩阵, 则 $a_{ij} = 1$ 当且仅当 $g i = i$ .

$\forall g \in G$ , $Fix (g) := {i \in X : g i = i}$ , 则 $χ_{ρ} (g) = ∣ Fix (g) ∣$ .

特别地, 对于正则表示 $ρ_{G}$ , 记 $χ_{G} = χ_{ρ_{G}}$ , 则 $χ_{G} (g) = {0, ∣ G ∣, g \neq = 1 g = 1$ .

定义 35. 设 $(ρ, V)$ 是表示, $V^{G} := {v \in V ∣ gv = v, \forall g \in G}$ 是一个 $G$ -不变子空间. 记 $m = dim_{k} V^{G}$ , $ρ_{1} : G \to k$ , $ρ_{1} (g) = 1, \forall g \in G$ . 则 $V^{G} ≅ ρ_{1} \oplus \dots \oplus ρ_{1}$ , 共 $m$ 个.

命题 36. $char k = 0$ , $ρ : G \to G L (V)$ 是表示, $χ$ 是 $ρ$ 的特征, 则 $dim_{k} V^{G} = \frac{1}{∣ G ∣} g \in G \sum χ (g)$ .

证明. 易见 $V^{G}$ 是 $V$ 作为左 $k G$ -模的一个子模, 并且 $char k = 0$ 使得可构造满 $k G$ -模同态 $p : V \to V^{G}, x \mapsto \frac{1}{∣ G ∣} g \in G \sum gx$ 使得对标准嵌入 $i : V^{G} \to V$ 有 $p i = id_{V^{G}}$ , 因此 $p$ 是 $V$ 在直和因子 $V^{G}$ 上的投射. 我们把 $p$ 视作 $V$ 上线性变换 $\tilde{p} : V \to V$ 并设 $dim_{k} V^{G} = t$ , 那么可取 $V$ 的一个基 $B$ 使得 $\tilde{p} : V \to V$ 在 $B$ 下的表示矩阵为 $(I_{t} 0 00),$ 所以 $tr (\tilde{p}) = dim_{k} V^{G}$ . 另一方面, 由 $p$ 的定义可以看出 $\tilde{p} = (1/∣ G ∣) g \in G \sum ρ (g)$ , 对该等式两边取迹得 $\tilde{p} = \frac{1}{∣ G ∣} g \in G \sum χ_{ρ} (g) .$ $□$

定义 37. 设 $(ρ_{1}, V_{1}), (ρ_{2}, V_{2})$ 是两组表示, $ρ_{1} \oplus ρ_{2} : G \to G L (V_{1} \oplus V_{2})$ , $(ρ_{1} \oplus ρ_{2}) (g) (v_{1}, v_{2}) = (ρ_{1} (g) (v_{1}), ρ_{2} (g) (v_{2}))$ .

命题 38. $χ_{ρ_{1} \oplus ρ_{2}} = χ_{ρ_{1}} + χ_{ρ_{2}} .$

定义 39. 设 $(ρ_{1}, V_{1}), (ρ_{2}, V_{2})$ 是域 $k$ 上的两组表示, 定义 $ρ_{1} \otimes ρ_{2} : G \to G L (V_{1} \otimes_{k} V_{2})$ , $(ρ_{1} \otimes ρ_{2}) (g) = ρ_{1} (g) \otimes ρ_{2} (g)$ 是线性同构.

命题 40. 记 $χ_{1}, χ_{2}$ 分别是 $(ρ_{1}, V_{1}), (ρ_{2}, V_{2})$ 的特征, $χ_{1} \otimes χ_{2}$ 是 $(ρ_{1} \otimes ρ_{2}, V_{1} \otimes V_{2})$ 的特征, 则 $χ_{1} \otimes χ_{2} = χ_{1} \cdot χ_{2}$ .

证明. $e_{i} \otimes f_{j}$ 是 $V_{1} \otimes_{k} V_{2}$ 的一组基, $g \in G$ .

设

ρ_{1} (g) (e_{l}) = \sum_{r = 1}^{n} a_{l r} e_{r}, ρ_{2} (g) (f_{t}) = \sum_{s = 1}^{n} b_{t s} f_{s}

.

ρ_{1} \otimes ρ_{2} (g) (e_{l} \otimes f_{t}) = ρ_{1} (g) (e_{l}) \otimes ρ_{2} (g) (f_{t}) = \sum_{r = 1}^{n} a_{l r} e_{r} \otimes \sum_{s = 1}^{n} b_{t s} f_{s} = \sum_{r = 1}^{n} a_{l r} \sum_{s = 1}^{n} b_{t s} (e_{r} \otimes f_{s})

. 当

r = l, s = t

时, 对角线上的值为

a_{ll} b_{tt} \to χ_{1} \otimes χ_{2} (g) = \sum_{l = 1}^{n} a_{ll} \sum_{t = 1}^{n} b_{tt} = χ_{1} (g) χ_{2} (g) .

$□$

定义 41. $\forall g \in G, α \in Hom_{k} (V_{1}, V_{2})$ , 定义 $g \cdot α : V_{1} \to V_{2}$ , $g \cdot α (v) = ρ_{2} (g) \circ α \circ ρ_{1} (g^{- 1}) (v)$ , 则 $Hom_{k} (V_{1}, V_{2})$ 是 $k [G]$ -模.

证明. 1. $g f \in Hom (V_{1}, V_{2})$ .

2.

((g_{1} g_{2}) f) (v) = g_{1} g_{2} f ((g_{1} g_{2})^{- 1} v)

,

g_{1} (g_{2} f) v = g_{1} ((g_{2} f) g_{1}^{- 1} v) = g_{1} g_{2} f ((g_{1} g_{2})^{- 1} v) .

$□$

定义 42. 对偶表示

设 $(ρ, V)$ 是表示, $k$ 为 $G$ 的平凡一次表示: $\forall g \in G, x \in k, g \cdot x = x$ . 称 $V^{*} = Hom_{k} (V, k)$ 是 $V$ 的对偶表示.

$\forall g \in G, α \in V^{*}, g \cdot α (v) = α \circ ρ (g^{- 1}) (v)$ , $ρ^{*} (g) (α) := g \cdot α$ .

命题 43. 设 $χ$ 是 $(ρ, V)$ 的特征, $χ^{*}$ 是 $(ρ^{*}, V^{*})$ 的特征, 则 $χ^{*} (g) = χ (g^{- 1}), \forall g \in G$ .

证明. 取 $V$ 的一组基为 ${e_{1}, \dots, e_{n}}$ , 对偶基为 ${e_{1}^{*}, \dots, e_{n}^{*}}$ . $e_{i}^{*} (e_{j}) = δ_{i}^{j} . ρ^{*} (g) (e_{l}^{*}) (e_{s}) = e_{l}^{*} (ρ (g^{- 1})) (e_{s})$ .

设 $(ρ (g^{- 1})) (e_{s}) = \sum_{t = 1}^{n} a_{s t} (g^{- 1}) e_{t} . ρ^{*} (g) (e_{l}^{*}) (e_{s}) = e_{l}^{*} (\sum_{t = 1}^{n} a_{s t} (g^{- 1}) e_{t}) = a_{s l} (g^{- 1}) .$

由

f = \sum_{i = 1}^{n} f (e_{i}) e_{i}^{*} \to ρ^{*} (g) (e_{l}^{*}) = \sum_{s = 1}^{n} a_{s l} (g^{- 1}) e_{s}^{*} \to χ_{ρ^{*}} (g) = \sum_{l = 1}^{n} a_{ll} (g^{- 1}) = χ_{ρ} (g^{- 1}) .

$□$

命题 44. 设 $V, W$ 是 $k [G]$ -模, $n = dim_{k} V$ , 则有 $k [G]$ -模同构 $Hom_{k} (V, W) ≅ V^{*} \otimes_{k} W$ .

证明. $α_{0} : V_{1}^{*} \times V_{2} \to Hom_{k} (V_{1}, V_{2}), (f, w) \to α_{0} (f, w) (v) = f (v) w$ . $α_{0}$ 为 $k$ -双线性映射, 则存在唯一 $k$ -模同态 $α : V_{1}^{*} \otimes V_{2} \to Hom_{k} (V_{1}, V_{2}), f \otimes w \to α (f \otimes w) (v) = f (v) (w) .$

取 $V$ 的一组基为 ${e_{1}, \dots, e_{n}}$ , 对偶基为 ${e_{1}^{*}, \dots, e_{n}^{*}}$ . $e_{i}^{*} (e_{j}) = δ_{i}^{j} .$ 定义 $β : Hom_{k} (V_{1}, V_{2}) \to V_{1}^{*} \otimes V_{2}, f \to β (f) = \sum_{i = 1}^{n} e_{i}^{*} \otimes f (e_{i})$ . $β$ 为 $k$ -线性映射.

$α \circ β (f) = α (\sum_{i = 1}^{n} e_{i}^{*} \otimes f (e_{i})) = \sum_{i = 1}^{n} α (e_{i}^{*} \otimes f (e_{i})) .$ 设 $v = \sum_{i = 1}^{n} λ_{i} e_{i}$ . $α \circ β (f) (v) = \sum_{i = 1}^{n} e_{i}^{*} (v) f (e_{i}) = \sum_{i = 1}^{n} λ_{i} f (e_{i}) = f (v) \to α \circ β = 1.$

$β \circ α (f \otimes w) = β (α_{0} (f, w)) = \sum_{i = 1}^{n} e_{i}^{*} \otimes α_{0} (f, w) (e_{i}) = \sum_{i = 1}^{n} e_{i}^{*} \otimes f (e_{i}) w = (\sum_{i = 1}^{n} f (e_{i}) e_{i}^{*}) \otimes w = f \otimes w$ .

练习:

α

是

k [G]

模同构,

\forall h \in G, α (h (f \otimes w)) = h α (f \otimes w)

.

$□$

命题 45. $V, W$ 是同构的 $k [G]$ -模, 有 $χ_{V} = χ_{W}$ .

证明. 存在

k

-同构

α : V_{1} \to V_{2}

使得

\forall g \in G, ρ_{2} (g) α = α ρ_{1} (g)

. 此时,

ρ_{1} (g) = α^{- 1} ρ_{2} (g) α

, 取定一组基后,

tr (ρ_{1} (g)) = tr (α^{- 1} ρ_{2} (g) α) = tr (ρ_{2} (g))

.

$□$

命题 46. $χ$ 是 $(ρ, V)$ 的特征, 则 $\forall g, h \in G, χ (g h g^{- 1}) = χ (h) .$

命题 47. $V, W$ 是 $k [G]$ -模, 设 $χ$ 是 $Hom_{k} (V, W)$ 的特征, 则 $\forall g \in G$ , $χ (g) = χ_{V} (g^{- 1}) χ_{W} (g)$ .

命题 48. $Hom_{k} (V, W)^{G} = Hom_{G} (V, W)$ .

证明.

f \in Hom_{k} (V_{1}, V_{2})^{G} ⟺ \forall g \in G . g \cdot f = f ⟺ \forall v \in V, g f g^{- 1} (v) = f (v) ⟺ f g^{- 1} (v) = g^{- 1} f (v) ⟺ f g = g f ⟺ f \in Hom_{k [G]} (V_{1}, V_{2})

.

$□$

命题 49. $dim_{k} (Hom_{G} (V, W)) = dim_{k} (Hom_{k} (V, W)^{G}) = \frac{1}{∣ G ∣} g \in G \sum χ_{V} (g^{- 1}) χ_{W} (g) = \frac{1}{∣ G ∣} g \in G \sum χ_{V} (g) χ_{W} (g^{- 1}) .$

定义 50. $⟨ χ_{V}, χ_{W} ⟩ = dim_{k} (Hom_{G} (V, W)) = \frac{1}{∣ G ∣} g \in G \sum χ_{V} (g) χ_{W} (g^{- 1}) .$

命题 51. 设 $k$ 是代数闭域, $char k = 0$ , $V, W$ 是不可约表示, 则 $⟨ χ_{V}, χ_{W} ⟩ = {01 V ≆ W V ≅ W$ .

证明. 设

(ρ, V)

不可约, 由 Schur 引理

End_{k [G]} (V) ≅ k \to ⟨ χ_{V}, χ_{V} ⟩ = dim_{k} End_{k [G]} (V) = 1

, 若

V ≆ W, Hom_{k [G]} (V, W) = 0 \to ⟨ χ_{V}, χ_{W} ⟩ = 0

.

$□$

定理 52. 设 $k$ 是代数闭域, $char k = 0$ , $V$ 是有限维表示, 则 $V$ 不可约等价于 $⟨ χ_{V}, χ_{V} ⟩ = 1$ .

证明. 设

⟨ χ, χ ⟩ = 1

, 由

k [G]

半单,

V = n_{1} V_{1} \oplus \dots \oplus n_{s} V_{s}

.

⟨ χ, χ ⟩ = ⟨ \sum_{i = 1}^{s} n_{i} χ_{i}, \sum_{i = 1}^{s} n_{i} χ_{i} ⟩ = \sum_{i = 1}^{s} n_{i}^{2} = 1 \to n_{j} = 1, n_{k} = 0 (\forall k \neq = j) \to V ≅ V_{j}

不可约.

$□$

定义 53. 不可约特征

称特征 $χ$ 是不可约的, 若 $χ$ 是一个不可约表示的特征. 记不可约特征全体为 $Irr_{k} (G)$ .

命题 54. 设 $k$ 是代数闭域, $char k = 0$ , $V, W$ 是 $G$ 在 $k$ 上的有限维表示, $χ_{V}, χ_{W}$ 是对应特征, 则 $V ≅ W$ (作为 $k [G]$ -模) 等价于 $χ_{V} = χ_{W}$ .

证明. 设 $χ_{1} = χ_{2} .$ 由 $k$ 代数闭域, $k [G] = n_{1} I_{1} \oplus \dots \oplus n_{l} I_{l}$ , $V_{1}, V_{2}$ 是不可约表示, 则 $V_{1} ≅ m_{1} I_{1} \oplus \dots \oplus m_{l} I_{l}, V_{2} ≅ t_{1} I_{1} \oplus \dots \oplus t_{l} I_{l}$ .

$χ_{1} = m_{1} μ_{1} + \dots + m_{l} μ_{l}, χ_{2} = t_{1} μ_{1} + \dots + t_{l} μ_{l}$ , 其中 $μ_{i}$ 是 $I_{i}$ 特征.

m_{i} = ⟨ χ_{1}, μ_{i} ⟩ = ⟨ χ_{2}, μ_{i} ⟩ = t_{i} \to V_{1} ≅ V_{2}

.

$□$

定义 55. 类函数

称 $f : G \to k$ 是类函数 (class function) , 若 $f (a g a^{- 1}) = f (g), \forall a, g \in G$ . 记 $L_{k} (G)$ 是类函数全体, 则 $L_{k} (G)$ 是 $k$ -向量空间.

命题 56. 记 $Irr_{k} (G) = {χ_{1}, χ_{2}, \dots, χ_{l}}$ , $l$ 是 $G$ 的共轭类个数. 设 $C_{1}, \dots, C_{l}$ 是 $G$ 的所有共轭类, 取 $g_{i} \in C_{i}$ .

1. $⟨ χ_{i}, χ_{j} ⟩ = δ_{ij} = \frac{1}{∣ G ∣} s = 1 \sum l ∣ C_{s} ∣ χ_{i} (g_{s}) χ_{j} (g_{s}^{- 1})$ ,
$∣ C_{s} ∣ = (G : C_{G} (g_{s}))$ ( $C_{G} (g) = {a \in G : a g = g a}$ ).

2. $dim_{k} L_{k} (G) = l :$ $G$ 的共轭类个数, $Irr (G)$ 是 $L_{k} (G)$ 的一组基.

推论 57. 当 $g_{j} \neq = 1$ 时, $s = 1 \sum l χ_{s} (1) χ_{s} (g_{k}) = 0$ .

$s = 1 \sum l χ_{s} (a) χ_{s} (b^{- 1}) = {0, ∣ C_{G} (a) ∣, 如果 a, b 不共轭如果 a, b 共轭$ .

证明. 设 $α_{i} = \sum_{j = 1}^{l} λ_{ij} χ_{j}, α_{i} (g) = {10 g \in C_{i} g \in / C_{i}$

$⟨ α_{i}, χ_{r} ⟩ = ⟨ \sum λ_{ij} χ_{j}, χ_{r} ⟩ = λ_{i r} = \frac{1}{∣ G ∣} \sum_{g \in G} α_{i} (g) χ_{r} (g^{- 1}) = \frac{1}{∣ G ∣} ∣ C_{i} ∣ χ_{r} (a_{i}^{- 1}) = \frac{∣ C _{i} ∣}{∣ G ∣} χ_{r} (a_{i}^{- 1})$ .

α_{i} = \sum_{r = 1}^{l} \frac{∣ C _{i} ∣}{∣ G ∣} χ_{r} (a_{i}^{- 1}) χ_{r} .

\sum_{j = 1}^{l} χ_{j} (a_{i}^{- 1}) χ_{j} (a_{i}) = \frac{∣ G ∣}{∣ C _{i} ∣} = ∣ C_{G} (a_{i}) ∣, \sum_{j = 1}^{l} χ_{j} (a_{i}^{- 1}) χ_{j} (a_{r}) = 0

.

$□$

定义 58. 正则表示特征

设 $k [G] ≅ n_{1} M_{1} \oplus \dots \oplus n_{l} M_{l}$ , $n_{i} = χ_{i} (1)$ .

正则表示特征 $χ_{G} (g) = s = 1 \sum l n_{s} χ_{s} (g) = s = 1 \sum l χ_{s} (1) χ_{s} (g) = {0, ∣ G ∣, g \neq = 1 g = 1$ . 则 $∣ G ∣ = s = 1 \sum l n_{s}^{2}$ .

定义 59. 特征表

$χ \ G$	$g_{1} = 1$	$g_{2}$	$\dots$	$g_{l}$
$χ_{1} = 1$	$1$	$1$	$\dots$	$1$
$χ_{2}$	$χ_{2} (1)$	$\cdot$	$\dots$	$\cdot$
$⋮$	$⋮$	$⋮$	$⋱$	$⋮$
$χ_{l}$	$χ_{l} (1)$	$\cdot$	$\dots$	$\cdot$

例 60. $S_{3}$ 的特征表

$χ \ S_{3}$	$g_{1} = 1$	$g_{2} = (12)$	$g_{3} = (123)$
$χ_{1} = 1$	$1$	$1$	$1$
$χ_{2} = sgn$	$1$	$- 1$	$1$
$χ_{3}$	$2$	$0$	$- 1$

例 61. $A_{4}$ 的特征表

$χ \ A_{4}$	$g_{1} = 1$	$g_{2} = (12) (34)$	$g_{3} = (123)$	$g_{4} = (132)$
$χ_{1} = 1$	$1$	$1$	$1$	$1$
$χ_{2}$	$1$	$1$	$ω = e^{2 πi /3}$	$ω^{2}$
$χ_{3}$	$1$	$1$	$ω^{2}$	$ω$
$χ_{4}$	$3$	$- 1$	$0$	$0$

例 62. $8$ 阶非交换群 $G$ 的特征表 (无论是二面体群还是四元数群, 均得到该表)

$χ \ G$	$g_{1}$	$g_{2}$	$g_{3}$	$g_{4}$	$g_{5}$
$χ_{1} = 1$	$1$	$1$	$1$	$1$	$1$
$χ_{2}$	$1$	$- 1$	$1$	$- 1$	$1$
$χ_{3}$	$1$	$1$	$- 1$	$- 1$	$1$
$χ_{4}$	$1$	$- 1$	$- 1$	$1$	$1$
$χ_{5}$	$2$	$0$	$0$	$0$	$- 2$

这个例子说明特征表并不能唯一决定 $n$ 阶群.

例 63. $A_{5}$ 的特征表

$χ \ G$	$g_{1}$	$g_{2}$	$g_{3}$	$g_{4}$	$g_{5}$
$χ_{1} = 1$	$1$	$1$	$1$	$1$	$1$
$χ_{2}$	$4$	$0$	$1$	$- 1$	$- 1$
$χ_{3}$	$5$	$1$	$- 1$	$0$	$0$
$χ_{4}$	$3$	$- 1$	$0$	$ϵ + ϵ^{4} + 1$	$ϵ^{2} + ϵ^{3} + 1$
$χ_{5}$	$3$	$- 1$	$0$	$ϵ^{2} + ϵ^{3} + 1$	$ϵ + ϵ^{4} + 1$

其中 $ϵ = e^{2 πi /5}$ .

练习 64. 观察上述表格, 验证是否有以下的性质, 如有, 请给出一般情况下的证明:

1. 共轭类数等于表格的行数和列数 (不算表头行、列, 下同).

2. 第一行所有元素均为 $1$ .

3. 每列元素模长平方和等于群元素总数除以该共轭类中元素数.

4. 每行元素模长平方和乘以对应共轭类中元素数等于群元素总数.

5. 任意一列的元素乘以另一列元素的共轭之和等于 $0$ .

6. 任意一行的元素乘以另一行元素的共轭再乘以对应共轭类中元素数之和等于 $0$ .

7. 第一列中元素是群阶数的因数.

8. 第一列中为 $1$ 的元素个数等于群商掉交换子的商群中元素个数.

9. 第一列中的元素不大于群阶数与其极大 Abel 子群阶数的商.

定义 65. $G = G_{1} \times G_{2}$ , $(ρ_{1}, V_{1}), (ρ_{2}, V_{2})$ 是 $G_{1}, G_{2}$ 的表示, $V = V_{1} \otimes_{k} V_{2}$ .

定义 $ρ_{1} \otimes ρ_{2} : G \to G L (V)$ , $ρ_{1} \otimes ρ_{2} (g_{1}, g_{2}) = ρ_{1} (g_{1}) \otimes ρ_{2} (g_{2})$ , 则 $(ρ_{1} \otimes ρ_{2}, V_{1} \otimes_{k} V_{2})$ 是 $G$ 的表示.

命题 66. 设 $χ_{i}$ 是 $V_{i}$ 的特征, $χ_{1} \otimes χ_{2}$ 是 $ρ_{1} \otimes ρ_{2}$ 的特征, 则 $(χ_{1} \otimes χ_{2}) (g_{1}, g_{2}) = χ_{1} (g_{1}) χ_{2} (g_{2})$ .

证明. ${e_{1}, \dots, e_{m}}$ 是 $V_{1}$ 一组基, ${f_{1}, \dots, f_{n}}$ 是 $V_{2}$ 一组基. ${e_{i} \otimes f_{j}}$ 是 $V_{1} \otimes V_{2}$ 一组基.

$ρ_{1} (g_{1}) (e_{r}) = \sum_{l = 1}^{m} a_{r l} (g_{1}) e_{l}, ρ_{2} (g_{2}) (f_{s}) = \sum_{t = 1}^{n} b_{s t} (g_{2}) f_{t}$ .

$(ρ_{1} \otimes ρ_{2}) (g_{1}, g_{2}) (e_{i} \otimes f_{j}) = \sum_{l = 1}^{m} a_{i l} (g_{1}) e_{l} \otimes \sum_{t = 1}^{n} b_{j t} (g_{2}) f_{t} = \sum_{l = 1}^{m} \sum_{t = 1}^{n} a_{i l} (g_{1}) b_{j t} (g_{2}) e_{l} \otimes f_{t} .$

χ (g_{1}, g_{2}) = \sum_{i = 1}^{m} \sum_{j = 1}^{n} a_{ii} (g_{1}) b_{jj} (g_{2}) = χ (g_{1}) \cdot χ (g_{2}) .

$□$

命题 67. 设 $k$ 是代数闭域, $char k = 0$ , $G = G_{1} \times G_{2}$ , $Irr (G_{1}) = {χ_{1}, \dots, χ_{l}}$ , $Irr (G_{2}) = {\tilde{χ}_{1}, \dots, \tilde{χ}_{m}}$ , 则 $Irr (G_{1} \times G_{2}) = {χ_{i} \otimes \tilde{χ}_{j}}$ .

推论 68. 设 $k$ 是代数闭域, $char k = 0$ , $G$ 为有限 Abel 群. 若 $G$ 有 $∣ G ∣$ 个共轭类, 则它的不可约表示都是一次的.

$G ≅ Z / d_{1} Z \times \dots \times Z / d_{m} Z$ , $d_{1} ∣ \dots ∣ d_{m}$ . $ρ_{i} : Z / d_{i} Z \to k$ 共有 $d_{i}$ 种, 对应 $x^{d_{i}} - 1 = 0$ 的不同根. $ρ = ρ_{1} \otimes \dots \otimes ρ_{m}$ .

定义 69. $Z$ -整的

$Z$ 是整数环, $R$ 是含幺交换环, $Z \to R$ , $n \to n \cdot 1$ .

$a \in R$ , 称 $a$ 是 $Z$ -整的, 若存在首一多项式 $f (x) \in Z [x]$ , 使得 $f (a) = 0$ .

命题 70. 记号同上, 以下命题等价:

1. $r \in R$ 是 $Z$ -整的.

2. $Z [r] := {f (r) ∣ f \in Z [x]} = Im (Z [x] \to R, f (x) \mapsto f (r))$ 作为 $Z$ -模是有限生成的.

3. 存在 $R$ 的有限生成 $Z$ -子模 $M \supset Z [r]$ .

证明. (1) $\to$ (2) 作为 $Z$ -模, $Z [r]$ 由 ${1, r, \dots, r^{n} \dots}$ 生成. 设 $de g f (x) = m$ , $f (x)$ 首一且 $f (r) = 0$ , 则 $r^{m} \in ⟨ 1, r, \dots, r^{m - 1} ⟩_{Z}$ , 归纳可得 $Z [r] = ⟨ 1, r, \dots, r^{m - 1} ⟩_{Z}$ .

(2) $\to$ (3) 令 $M = Z [r]$ 即可.

(3)

\to

(1)

Z

是 PID,

M

有限生成, 则

Z [r]

有限生成. 设

f_{1} (r), \dots, f_{t} (r)

是

Z [r]

的一组生成元,

f_{i} (x) \in Z [x]

. 令

m = 1 \leq i \leq t max de g f_{i} (x)

, 则

{1, r, \dots, r^{m}}

是

Z [r]

作为

Z

-模的生成元. 此时,

r^{m + 1} \in ⟨ 1, r, \dots, r^{m} ⟩_{Z} \to r \in R [Z]

.

$□$

命题 71. $r_{1}, r_{2}$ 是 $Z$ -整的, 则 $r_{1} \pm r_{2}, r_{1} r_{2}$ 是 $Z$ -整的.

记 $R (Z) = {r \in R ∣ r 是 Z - 整的}$ , 则 $R (Z)$ 是一个子环.

证明. 设

a, b \in R [Z]

,

Z [a], Z [b]

有限生成, 则存在

m, n \in N

,

Z [a] = ⟨ 1, a, \dots, a^{m} ⟩_{Z}, Z [b] = ⟨ 1, b, \dots, b^{n} ⟩_{Z}

. 考虑

Z [a, b] = {f (a, b) ∣ f \in Z [x, y]}

是

R

的子环,

Z [a, b] = ⟨ a^{i} b^{j} ∣ i, j \geq 0 ⟩_{Z}

.

Z [a \pm b], Z [ab] \subset Z [a, b]

, 由性质 1(3) 得

a \pm b, ab \in R [Z]

.

$□$

命题 72. $f : R_{1} \to R_{2}$ 是环同态, 则 $α (R_{1} (Z)) \subset R_{2} (Z)$ .

证明.

r \in R_{1} (Z) \to r^{n} = a_{n - 1} r^{n - 1} + \dots + a_{0}, a_{i} \in Z \to f (r)^{n} = a_{n - 1} f (r)^{n - 1} + \dots + a_{0} \to f (r) \in R_{2} (Z)

.

$□$

定义 73. 称 $α \in C$ 是代数整数, 若 $α$ 是 $Z$ -整的. (则 $α$ 是代数数)

命题 74. $x \in Q$ 是代数整数, 等价于 $x \in Z$ .

证明.

0 \neq = r = \frac{b}{a} \in Q, g cd (a, b) = 1, a, b \in Z .

f (x) = x^{n} + \dots + a_{1} x + a_{0} \in Z [x], f (r) = 0 \to 0 = b^{n} + a_{n - 1} a b^{n - 1} + \dots + a_{0} a^{n}

,

a ∣ b^{n}

,

a = \pm 1

, 即

r \in Z

.

$□$

命题 75. 设 $k$ 是代数闭域, $char k = 0$ , $(ρ, V)$ 是 $G$ 的表示, $∣ G ∣ = n$ , $χ$ 是 $ρ$ 的特征.

•	1 $\forall g \in G$ , $ρ (g)$ 可对角化.
•	2 $\forall g \in G$ , $χ (g)$ 是 $Z$ -整的.
•	3 若 $k = C$ , 则 $\forall g \in G$ , $χ (g^{- 1}) = \overline{χ (g)}$ .

$Z (k [G]) = {\sum λ_{g} \cdot g ∣ ∣ λ_{a^{- 1} g a} = λ_{g}, \forall a, g \in G}$ , $dim_{k} Z (k [G]) = l$ 是 $G$ 的共轭类个数.

命题 76. 设 $x = \sum λ_{g} \cdot g \in Z (k [G])$ , 且 $λ_{g} \in k (Z), \forall g \in G$ , 则 $x$ 在 $Z (k [G])$ 中是 $Z$ -整的.

定义 77. 设 $x \in Z (k [G])$ , $k$ 是代数闭域, $char k = 0$ , $∣ G ∣ = N$ , $(ρ, V)$ 是 $G$ 的不可约表示, $χ$ 是 $ρ$ 的特征, 定义 $f : V \to V$ , $v \mapsto x \cdot v = g \in G \sum λ_{g} \cdot ρ (g) (v)$ .

命题 78. $f$ 是 $k [G]$ -模同态, 即 $f \in End_{G} (V) = {λ \cdot 1_{V} : λ \in k}$ (Schur 引理) . 则 $f (v) = λ v$ , $λ χ (1) = \sum λ_{g} χ (g)$ , $λ = \frac{1}{χ ( 1 )} \sum λ_{g} χ (g)$ .

命题 79. 记号同上, 定义 $α_{ρ} : Z (k [G]) \to k$ , $\forall x = \sum λ_{g} \cdot g$ , $α_{ρ} (x) = \frac{1}{χ ( 1 )} \sum λ_{g} χ (g)$ , 则

1. $α_{ρ}$ 是 $k$ -代数同态.

2. 若 $λ_{g} \in k (Z)$ , 则 $α_{ρ} (x) \in k (Z)$ .

证明. 容易验证 $α_{χ}$ 是 $C$ -线性的. $\forall u \in Z (C [G])$ , 定义 $f_{u} : V \to V, f_{u} (v) = uv = \sum_{g \in G} λ_{g} ρ (g) (v)$ . 由中心性质知 $f_{u} (gv) = ugv = guv = g f_{u} (v)$ , 即有 $f_{u} \in End_{C [G]} (V) ≅ C$ . $\exists λ_{u} \in C, f_{u} = λ_{u} \cdot 1_{V} \to tr (f_{u}) = λ_{u} χ (1) \to λ_{u} = \frac{1}{χ ( 1 )} \sum_{g \in G} λ_{g} χ (g) .$

$\forall u_{1}, u_{2} \in Z (C [G]), f_{u_{1} \cdot u_{2}} = λ_{u_{1} \cdot u_{2}} \cdot 1_{V} = u_{1} \cdot f_{u_{2}} = u_{1} λ_{u_{2}} \cdot 1_{V} \to λ_{u_{1} . u_{2}} = u_{1} λ_{u_{2}} \to α_{χ} (u_{1} u_{2}) = u_{1} α_{χ} (u_{2}) .$

α_{χ} : Z (C [G]) \to C

. 由以上性质, 只需证明

u \in Z (C [G]) [Z]

. 设

C_{1}, \dots, C_{l}

是

G

的共轭类, 取

g_{i} \in C_{i}, e_{i} = \sum_{g \in C_{i}} g \to u = \sum_{i = 1}^{l} λ_{g_{i}} e_{i} = \sum_{i = 1}^{l} (λ_{g_{i}} \cdot 1_{G}) e_{i}

. 注意到

λ_{g_{i}} \cdot 1_{G} \in Z (C [G]) [Z], e_{i} \in Z (C [G]) [Z]

即证.

$□$

推论 80. $χ (1)$ 整除 $∣ G ∣$ .

证明. 令

u = \sum_{g \in G} χ (g^{- 1}) g

,

\frac{1}{χ ( 1 )} \sum_{g \in G} χ (g^{- 1}) χ (g) \in C (Z), \frac{∣ G ∣}{χ ( 1 )} ⟨ χ, χ ⟩ = \frac{∣ G ∣}{χ ( 1 )} \in Q \cap C (Z) = Z \to χ (1) ∣ ∣ ∣ G ∣

.

$□$

命题 81. 设 $C$ 是 $G$ 的一个共轭类, $a \in C$ , $χ$ 是不可约特征, $k$ 是代数闭域, 则 $\frac{∣ C ∣ χ ( a )}{χ ( 1 )} \in k (Z)$ .

证明. 令

x = \sum_{g \in C} g \in Z (C [G]) \to \frac{∣ C ∣}{χ ( 1 )} χ (g_{0}) \in C [Z]

.

$□$

命题 82.

1	设 $z_{1}, \dots, z_{n} \in C$ , $∣ z_{i} ∣ = 1$ , $a = \frac{z _{1} + \dots + z _{n}}{n}$ . 若 $∣ a ∣ = 1$ , 则 $z_{1} = \dots = z_{n} = a$ .
2	设 $z_{1}, \dots, z_{n} \in C$ , $z_{i}^{N} = 1$ , $a = \frac{z _{1} + \dots + z _{n}}{n}$ . 若 $a \in C (Z)$ , 则 $a = 0$ 或 $a = z_{1} = \dots = z_{n}$ .

证明. 1 易证.2, 设 $a \neq = 0$ , 令 $K$ 是 $f (x) = x^{N} - 1$ 的分裂域, 可分多项式的分裂域是有限 Galois 扩张, $\forall σ \in Gal (K / Q), σ (a) = \frac{σ ( z _{1} ) + \dots + σ ( z _{n} )}{n} \in C [Z]$ .

令

b = \prod_{σ \in Gal (K / Q)} σ (a) \in C (Z)

. 此时

\forall τ \in Gal (K / Q), τ (b) = b \to b \in Q

. 即有

b \in Q \cap C (Z) = Z

. 注意到

σ (z_{i})

是

N

次单位根, 则

∣ σ (a) ∣ \leq 1 \to ∣ b ∣ \leq 1

且由

a \neq = 0 \to b \neq = 0

. 综上有

∣ b ∣ = 1

. 此时

\forall σ \in Gal (K / Q), ∣ σ (a) ∣ = 1

. 注意到

id \in Gal (K / Q), ∣ a ∣ = 1

. 由 1. 即证!

$□$

推论 83. $(ρ, V)$ 是 $C$ 上的表示, $χ$ 是特征, $g \in G$ , 若 $\frac{χ ( g )}{χ ( 1 )} \in C (Z)$ , 则 $ρ (g) = λ \cdot 1_{V}$ .

命题 84. $G$ 为有限群, $C$ 为 $G$ 的一个共轭类, $∣ C ∣ = p^{r}$ , $p$ 是素数, $r \geq 1$ , 则 $G$ 不是单群.

证明. $g_{0} \in / C (G) \to G$ 非 Abel, 设 $χ_{1}, \dots, χ_{l}$ 为 $G$ 在 $C$ 上的不可约特征, $χ_{1}$ 为一次平凡表示特征, 由正交关系, $\sum_{i = 1}^{l} χ_{i} (1) χ_{i} (g_{0}) = 0 \to - \frac{1}{p} = \sum_{i = 2}^{l} \frac{χ _{i} ( 1 ) χ _{i} ( g _{0} )}{p} \in / C (Z) \to \exists i_{0}, \frac{χ _{i_{0}} ( 1 ) χ _{i_{0}} ( g _{0} )}{p} \in / C (Z) \to p ∤ χ_{i_{0}} (1), χ_{i_{0}} (g_{0}) \neq = 0 \to g cd (∣ C ∣ = p^{r}, χ_{i_{0}} (1)) = 1$ . 由性质 $ρ (g_{0}) = λ_{0} \cdot 1_{V}$ . 考虑 $Ker ρ$ 为 $G$ 的正规子群, 下证 $Ker ρ$ 非平凡.

若 $Ker ρ = G$ , 则 $ρ$ 为平凡一次表示, 矛盾!

若

Ker ρ = {1}

, 则

ρ

单射, 由

ρ (g_{0})

为标量矩阵,

\forall h \in G, ρ (h g_{0}) = ρ (g_{0} h) \to h g_{0} = g_{0} h \to g_{0} \in C (G)

, 矛盾!

$□$

命题 85. $∣ G ∣ = p^{a} q^{b}$ , $p \neq = q$ 是素数, $a, b \in N$ , 且 $a + b \geq 2$ , 则 $G$ 不是单群.

证明. $b = 0$ , $∣ G ∣ = p^{a}$ 为 $p$ 群, 则中心 $C (G) \neq = {1}$ , 若 $C (G) = G$ , 则 $G$ 是 $A b e l$ 群, 任取 $p$ 阶子群即为正规子群, 若 $C (G) \neq = G$ , $C (G)$ 为非平凡正规子群. 若 $a = 0$ 同理可证.

下设 $a > 0, b > 0$ . 设 $H$ 是 $G$ 的 Sylow $p$ 子群, 则 $C (H) \neq = {1}$ , 设 $1 \neq = h \in C (H)$ . 考虑 $C_{G} (h) = {g \in G ∣ g h = h g}$ . $H \subseteq C_{G} (h) \to ∣ C_{G} (h) ∣ = p^{a} q^{t}, 0 \leq t \leq b$ . 若 $t = b$ , 则 $h \in C (G) \to ∣ C (G) ∣ \neq = 1$ , 同样讨论知 $G$ 非单.

若

t < b

, 设

C

是

h

所在共轭类,

∣ C ∣ = (G : C_{G} (h)) = q^{b - t}

, 即知

G

非单群.

$□$

定义 86. 可解群

称群 $G$ 是可解群, 若 $G$ 有正规群列 ${1} = G_{0} ⊲ G_{1} ⊲ \dots ⊲ G_{r} = G$ 使得每个商因子 $G_{i} / G_{i - 1}$ 交换.

$G^{(1)} = [G, G], G^{(2)} = [G^{(1)}, G^{(1)}], \dots, G^{(i)} = [G^{(i - 1)}, G^{(i - 1)}], \dots$

$G$ 可解等价于, 存在 $m \in N$ , 使得 $G^{(m)} = {1}$ .

$N ⊲ G$ , 且 $G / N$ 可交换, 则 $N \supset [G, G]$ . 若 $N ⊲ G$ , 且 $N$ 和 $G / N$ 都是可解群, 则 $G$ 是可解群.

定理 87. Burnside 定理

$∣ G ∣ = p^{a} q^{b}$ , $p, q$ 是素数, $a, b \in N$ , $a + b \geq 1$ , 则 $∣ G ∣$ 是可解群.

证明. 归纳证明, $a + b = 1$ 容易证明, 假设 $a + b < n$ 时已经证明, 下设 $2 \leq a + b = n$ .

由 $G$ 非单群, 存在非平凡正规子群 $N$ , 对 $N, G / N$ 使用归纳假设, 则 $N, G / N$ 可解, 则 $G$ 可解.

G

有限群.

C [G] ≅ n_{1} I_{1} \otimes \dots \otimes n_{l} I_{l}

.

(ρ_{i}, I_{i}), ρ_{i} : G \to G L (I_{i}), χ_{i}

是

(ρ_{i}, I_{i})

的特征, 定义

ρ_{i} (g) (t) = g t, \forall t \in I_{i} .

$□$

定义 88. 诱导表示

设 $(ρ, V)$ 是 $G$ 的表示, $H \leq G$ , $ρ_{H} : H \to G \to G L (V)$ .

${(ρ, V) ∣ G 的表示} \to {(ρ_{H}, V) ∣ H 上的表示} .$

证明. $H$ 是 Abel 群, 则 $H$ 在 $C$ 上的不可约表示都是 $1$ 次的, 进而存在 $V$ 的 $C [H]$ 子模 $W = ⟨ w_{0} ⟩, w_{0} \neq = 0.$ 设 $G / H = {g_{1} H, \dots, g_{s} H}, V_{0} = ⟨ ρ (g_{1}) w_{0}, \dots, ρ (g_{s}) (w_{0})⟩$ . 断言, $V_{0}$ 是 $C [G]$ 子模.

\forall g \in G, ρ (g) (ρ (g_{i}) w_{0}) = ρ (g g_{i}) w_{0} = ρ (g_{g_{i}}) ρ (h_{i}) (w_{0}) = ρ (g_{g_{i}}) λ w_{0} \subset V_{0}

. 其中

g g_{i} = g_{g_{i}} h_{i}

, 由

W_{0}

是

C [H]

一维子模,

ρ (h_{i}) (w_{0}) = λ_{i} w_{0}

. 且易知,

V_{0} \neq = 0

, 由

V

不可约知

V_{0} = V \to dim V = dim V_{0} \leq s = (G : H)

.

$□$

命题 89. 若 $ρ_{H}$ 在 $H$ 上不可约, 则 $ρ$ 在 $G$ 上不可约.

命题 90. 设 $H$ 是 $G$ 的一个 Abel 子群, $n = (G : H)$ , $(ρ, V)$ 是 $G$ 的不可约表示, 则 $dim_{k} V \leq n$ .

例 91. 二面体群 $D_{n}$

$∣ D_{n} ∣ = 2 n$ , $σ :$ 逆时针旋转 $\frac{2 π}{n}$ , $τ :$ 关于对称轴反射.

$H_{n} = ⟨ σ ⟩$ 是 Abel 子群, 且 $(D_{n} : H_{n}) = 2$ , 故 $D_{n}$ 的不可约表示的次数为 $1$ 或 $2$ .

定义 92. $H \leq G$ , $W$ 为左 $k [H]$ -模, $k [H]$ 为 $k [G]$ 的子代数, 故 $k [G]$ 是 $(k [G], k [H])$ -双模.

定义 $Ind_{H}^{G} (W) := k [G] \otimes_{k [H]} W$ 为由 $W$ 诱导的 $k [G]$ -模.

命题 93. 作为右 $k [H]$ -模, $k [G]$ 是自由的. 记 $G / H = {g_{i} H ∣ i \in I}$ , 则 ${g_{i} ∣ i \in I}$ 为一组基.

证明. 1. 设 $g = g_{i, g} h_{g}$ , $x = \sum_{g \in G} λ_{g} g = \sum_{g \in G} λ_{g} g_{i, g} h_{g} = \sum_{g \in G} g_{i, g} (λ_{g} h_{g}) \in ⟨ g_{1}, \dots, g_{s} ⟩_{k [H]}$ .

设 $\sum_{i = 1}^{s} g_{i} y_{i} = 0$ , $y_{i} \in k [H], y_{i} = \sum_{h \in H} λ_{h, i} h$ . 则 $0 = \sum_{i = 1}^{s} g_{i} y_{i} = \sum_{i = 1}^{s} g_{i} (\sum_{h \in H} λ_{h, i} h) = \sum_{i = 1}^{s} \sum_{h \in H} λ_{h, i} (g_{i} h) \to λ_{h, i} = 0 \to y_{i} = 0$ . 这是因为 $g_{i} h_{i} = g_{j} h_{i} ⟺ g_{i} = g_{j}, h_{i} = h_{j}$ .

2.

Ind_{H}^{G} W = k [G] \otimes_{k [H]} W = \oplus (g_{i} k [H] \otimes_{k [H]} W) ≅ \oplus (g_{i} k [G] \otimes_{k [H]} W) ≅ (k [H] \otimes_{k [H]} W) ≅ \oplus W .

$□$

推论 94. $k [G] = i \in I ⨁ g_{i} \cdot k [H]$ .

则 $Ind_{H}^{G} (W) = k [G] ⨂_{k [H]} W ≅ i \in I ⨁ (g_{i} \cdot k [H] \otimes_{k [H]} W) ≅ i \in I ⨁ W$ 作为 $k$ -向量空间.

命题 95. 记号同上, $G$ 为有限群, $W$ 为有限维 $k$ -向量空间, 则

1. $dim_{k} Ind (W) = (G : H) dim_{k} W$ .

2. $G / H = {g_{i} H ∣ i \in I}$ , $W$ 有基 ${w_{1}, \dots, w_{m}}$ , 则 ${g_{i} \otimes w_{j}}$ 为 $Ind (W)$ 的一组 $k$ -基.

命题 96. 记号同上, 设 $χ_{W}$ 是 $W$ 的特征, $Ind_{H}^{G} (χ_{W})$ 为 $Ind_{H}^{G} (W)$ 的特征. $G / H = {g_{i} H}$ , $w_{1}, \dots, w_{m}$ 为 $W$ 的一组基, 则 $Ind_{H}^{G} (χ_{W}) (a) = i = 1 \sum r X_{W} (g_{i}^{- 1} a g_{i}) .$

命题 97. 设 $N \leq H \leq G$ , $W : k [G]$ -模, 则有自然的 $k [G]$ -模同构 $Ind_{H}^{G} (Ind_{N}^{H} (W)) ≅ Ind_{N}^{G} (W) .$

定义 98. $Ind$ 的函子性质: $H \leq G$ ,

${k [H] - 模} W Ind Res {k [G] - 模} \mapsto Ind_{H}^{G} (W)$

$Hom_{H} (W_{1}, W_{2}) f \to Hom_{G} (Ind_{H}^{G} (W_{1}), Ind_{H}^{G} (W_{2})) \mapsto Ind_{H}^{G} (f) := id \otimes f$

命题 99. $Ind (f \circ g) = Ind (f) \circ Ind (g)$ , $Ind (1_{W}) = 1_{Ind (W)}$ .

命题 100. 记号同上, 设 $W$ 为 $k [H]$ -模, $T$ 为 $k [G]$ -模, 则有作为 $k$ -模的自然同构 $Hom_{G} (Ind_{H}^{G} (W), T) ≅ Hom_{H} (W, Res_{H}^{G} (T)) .$

定义 101. 称 $Ind$ 与 $Res$ 相伴, 作为函子.

命题 102. $H \leq G$ , $char k = 0$ , $χ$ 为 $H$ 的特征, $ψ$ 为 $G$ 的特征, 则 $⟨ Ind (χ), ψ ⟩_{G} = ⟨ χ, Res (ψ) ⟩_{H} .$

命题 103. 设 $ρ : G \to G L (V)$ 是表示. 设 $V = i \in I ⨁ V_{i}$ 作为 $k$ -向量空间, 且 $G$ 置换作用在 $Γ = {V_{i} ∣ i \in I}$ 上, 即 $\forall V_{i}, \forall a \in G$ , $a V_{i} = ρ (A) (V_{i}) \in Γ$ , 且这个作用是可迁的. 取定 $i_{0} \in I$ , 令 $H = Stab (V_{i_{0}})$ , 则

1. $V_{i_{0}}$ 是 $H$ 的一个表示.

2. $V ≅ Ind_{H}^{G} (ρ_{H}, V_{i_{0}}) = k [G] \otimes_{k [H]} V_{i_{0}} .$

定义 104. 双陪集

设 $K, H \leq G$ , $s \in G$ , $KsH := {a s b ∣ a \in K, b \in H}$ 称为 $G$ 的一个双陪集 (double coset) .

称 $s \sim t$ , 若 $t \in KsH$ . $K \ G / H := {KsH ∣ s \in G}$ . $[s] := KsH = a \in K ⋃ a sH$ .

考虑作用 $K \times G / H \to G / H$ , $(a, g H) \mapsto (a g) H$ . 设 $K_{σ_{1}}, \dots, K_{σ_{l}}$ 是 $G / H$ 的所有不同轨道, $σ_{i} = s_{i} H$ , 则 ${K σ_{1}, \dots, K σ_{l}} \to K \ G / H$ 是双射.

$Stab (σ_{i}) = {a \in K : a s_{i} H = s_{i} H} = K \cap (s_{i} H s_{i}^{- 1})$ . $\forall s \in G$ , 记 $H_{s} = K \cap sH s^{- 1} = Stab (sH)$ .

记 $ρ^{s} : H_{s} \to G L (W)$ , $ρ^{s} (x) (w) = ρ (s^{- 1} x s) (w)$ , 则 $(ρ^{s}, W)$ 是 $H_{s}$ 的表示.

命题 105. 记号同上, 作为 $k [K]$ -模, $Res_{K}^{G} Ind_{H}^{G} ≅ s \in K \ G / H ⨁ Ind_{H_{s}}^{K} (ρ^{s}, W) .$

定义 106. 称 $G$ 的表示 $ρ_{1}, ρ_{2}$ 是不相交的, 若任意 $ρ_{1}$ 和 $ρ_{2}$ 的不可约子表示都不同构.

定理 107. Mackey 定理

$k$ 为特征 $0$ 的代数闭域, $G$ 为有限群, $H \leq G$ , $ρ : H \to G L (W)$ 是表示, 则 $Ind_{H}^{G} (W)$ 是不可约的, 等价于

1. $(ρ, W)$ 不可约;

2. $\forall s \in G - H$ , 记 $H_{s} = H \cap (sH s^{- 1})$ , $(ρ^{s}, H_{s})$ 与 $Res_{H_{s}}^{H} ρ$ 不相交.

推论 108. 若 $H ⊲ G$ , $(ρ, W)$ 是 $H$ 的不可约表示, 则 $Ind_{H}^{G} (W)$ 是不可约的, 等价于 $\forall s \in G - H$ , $ρ$ 与 $ρ^{s}$ 不相交.

推论 109. $H \leq G$ , $(ρ, W)$ 为 $H$ 的一次表示, 则以下三个命题等价:

1. $Ind_{H}^{G} (W)$ 是不可约的.

2. $\forall s \in G - H$ , $Res_{H_{s}}^{H} ρ$ 与 $ρ^{s}$ 不相交.

3. $ρ ∣_{H_{s}} \neq = ρ^{s}, \forall s \in G - H$ .

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用户: Solution/ 笔记: 现代代数学II 表示论