解析数论笔记

1Week 1

解析数论基础

注 1.1. 本课程中 $\mathbb{N}=\{1,2,\dots \}$, 即 $0$ 不视为自然数.

定义 1.2. 称函数 $\psi :\mathbb{N}\to \mathbb{C}$ 为算术函数. $\psi$ 称为积性函数, 如果:

1.	$\psi (1)=1$;
2.	对互素的两个数 $m,n$, 成立 $\psi (mn)=\psi (m)\psi (n)$.

例 1.3. 以下诸函数皆为积性函数:

•	欧拉函数 $\phi (n):=♯\{k\in [n]\mid (k,n)=1\}$.
•	莫比乌斯函数 $\mu (n)=\{\begin{array}{ll}1,& n=1;\\ (-1{)}^s,& n=p_1{p}_2\cdots p_s,p_i\text{两两互异};\\ 0,& \text{否则}.\end{array}$
•	$\delta (n)=\{\begin{array}{ll}1,& n=1;\\ 0,& n>1.\end{array}$
•	$1(n)\equiv 1$.
•	$j(n)=n$.

定义 1.4. 对积性函数 $\psi$, 形式定义 ${\zeta }_{\psi }(s)=\sum _{n=1}^{\infty }\frac{\psi (n)}{n^s}$.

定义 1.5. 对积性函数 ${\psi }_1,{\psi }_2$, 卷积$${\psi }_1\ast {\psi }_2(n)=\sum _{d\mid n}{\psi }_1(d){\psi }_2\left(\frac{n}{d}\right)=\sum _{d_1{d}_2=n}{\psi }_1(d_1){\psi }_2(d_2).$$

定义 1.6. 对积性函数 ${\psi }_1,{\psi }_2$, ${\zeta }_{{\psi }_1}\cdot {\zeta }_{{\psi }_2}:={\zeta }_{{\psi }_1\ast {\psi }_2}$. 这个定义是合理的.

引理 1.7. 积性函数 ${\psi }_1,{\psi }_2$ 的卷积 ${\psi }_1\ast {\psi }_2$ 还是积性函数.

证明.

$\square$

推论 1.8. 积性函数在卷积运算下构成以 $\delta$ 为幺元的半群.

命题 1.9. $\mu \ast 1=\delta$.

推论 1.10. $\sum _{d\mid n}\mu (d)=\{\begin{array}{ll}1,& n=1;\\ 0,& n>1.\end{array}$

推论 1.11. $\zeta (s)={\zeta }_1(s)$; ${\zeta }^{-1}(s)={\zeta }_{\mu }(s)$.

引理 1.12. $\phi =\mu \ast j$.

推论 1.13. $$\phi (n)=\sum _{d\mid n}\mu (d)\frac{n}{d}=n\sum _{d\mid n}\frac{\mu (d)}{d}.$$

求和

定理 1.14. $$\Phi (x)=\sum _{n⩽x}\phi (n)=\frac{3x^2}{{\pi }^2}+O(x\log x).$$

证明. $$\begin{array}{rl}\Phi (x)& =\sum _{n⩽x}n\sum _{d\mid n}\frac{\mu (d)}{d}=\sum _{n⩽x}\sum _{d_1{d}_2=n}\mu (d_1)d_2=\sum _{d_1{d}_2⩽x}\mu (d_1)d_2\\ & =\sum _{d_1⩽x}\mu (d_1)\sum _{d_2⩽\frac{x}{d_1}}{d}_2=\sum _{d_1⩽x}\mu (d_1)\left(\frac{1}{2}\left[\frac{x}{d_1}\right]\left(1+\left[\frac{x}{d_1}\right]\right)\right)\\ & =\sum _{d_1⩽x}\mu (d_1)\left(\frac{x^2}{2d_1^2}+O\left(\frac{x}{d_1}\right)\right)\\ & =\frac{x^2}{2}\sum _{d_1⩽x}\frac{\mu (d_1)}{d_1^2}+x\sum _{d_1⩽x}O\left(\frac{1}{d_1}\right)\\ & =\frac{x^2}{2}{\zeta }_{\mu }(2)-\frac{x^2}{2}\sum _{d_1>x}\frac{\mu (d_1)}{d_1^2}+O(x\log x)\\ & =\frac{3x^2}{{\pi }^2}+O(x\log x).\end{array}$$最后一个等号是因为 ${\zeta }_{\mu }={\zeta }^{-1}$ 以及 $\sum _{d_1>x}\frac{\mu (d_1)}{d_1^2}=O\left(\frac{1}{x}\right)$.

$\square$

注 1.15. 从平均的意义上来讲, $\phi (n)$ 的表现 “类似于 $n$”.

2Week 2

$\mathbb{Q}$ 上丢番图逼近的研究

回忆: 对任意 $x\in \mathbb{R}$, $|qx-p|<\frac{1}{q}$ 有无穷组解. 问题是: 是否能够改进这个命题?

考虑任何一个函数 $\psi :\mathbb{N}\to {\mathbb{R}}_{⩾0}$.

定义 2.1. $$W(\psi )=\left\{x\in \mathbb{R}\mid |qx-p|<\psi (q)\text{i.o.}\right\}$$称为 $\psi$-良逼近集合, $$B(\psi )=\left\{x\in \mathbb{R}\mid |qx-p|<\psi (q)\text{f.o.}\right\}$$称为 $\psi$-劣逼近集合.

立刻注意到 $\mathbb{R}=W(\psi )\cup B(\psi )$. 一个研究方向是 $0-1$ 律. 我们希望对任何 $\mathbb{R}$ 上 “具有良好结构” 的概率测度 $\lambda$, 去证明 $\lambda (W(\psi ))=0$ 或者 $\lambda (B(\psi ))=0$.

例 2.2. $\lambda$ 是 $[0,1]$ 上的勒贝格测度.

1.	$\psi =1/q$ 和 $\psi =1/(q\log q)$ 时, $\lambda (W(\psi ))=1$.
2.	$\psi =1/(q^{1+\epsilon })$ 和 $\psi =1/(q{\log }^{1+\epsilon }q)$ 时, $\lambda (W(\psi ))=0$.

事实上, 以上例子由如下的 Khintchine 定理保证.

定理 2.3 (Khintchine 1926). 假设 $q\psi (q)$ 是单调 (不必严格) 下降的, 那么:

1.	如果 $\sum _{q=1}^{\infty }\psi (q)=\infty$, 那么 $\lambda (W(\psi ))=1$;
2.	如果 $\sum _{q=1}^{\infty }\psi (q)<\infty$, 那么 $\lambda (W(\psi ))=0$.

注 2.4. 证明用到了 Borel–Cantelli 和其逆命题.

人们猜测对任何 “具有良好结构” 的 $\lambda$ 都有 Khintchine 定理. 例如, $\lambda$ 是 $\frac{1}{2k+1}$-Cantor 测度.

猜想 2.5. $k⩾1$, $\lambda$ 是 $\frac{1}{2k+1}$-Cantor 测度, 那么 Khintchine 定理成立.

定理 2.6 (2023, Inno). $k⩾2$ 时证明出了.

定理 2.7 (2024, preprint). $k=1$ 时证明出了.

另一个方向则是去除 Khintchine 定理中的单调条件, 而这很遗憾是做不到的.

引理 2.8. $\psi$ 如 Khintchine 定理. 那么:

1.	$x\in \mathbb{R}\backslash \mathbb{Q}$, 那么 $|qx-p|<\psi (q)$ i.o. 当且仅当 $|qx-p|<\psi (q)$ i.o. 对于约化的 $(p,q)$ 成立.
2.	$\sum _q\psi (q)=\infty ⟺\sum _q\psi (q)\frac{\phi (q)}{q}=\infty$.

证明. (1) 注意到 $\psi (q)$ 单减趋于 $0$ 即可, 因此如果 $x\in \mathbb{R}\backslash \mathbb{Q}$, 且 $x$ 仅有有限组约化解, 那么每一组约化解对应的非约化解是有限的, 因而全体解有限.

(2) "$\Rightarrow$": 由 $\phi (q)\le q$ 即得;

"$\Leftarrow$": 记 $S_n=\sum _{q\le n}\frac{\phi (q)}{q}$, 则: $$\begin{array}{rl}\sum _{q\le n}\psi (q)\cdot \frac{\phi (q)}{q}& =\sum _{q\le n}\psi (q)(S_q-S_{q-1})\\ & =\sum _{q\le n-1}{S}_q(\psi (q)-\psi (q+1))+\psi (n)S_n.\end{array}$$由于$$S_q=\frac{6}{{\pi }^2}q+O({\log }^{2}q)\ge \frac{1}{2}q,$$因而$$\begin{array}{rl}\sum _{q\le n}\psi (q)\cdot \frac{\phi (q)}{q}& \ge \sum _{q\le n-1}\frac{1}{2}q(\psi (q)-\psi (q+1))+\frac{\psi (q)}{2}\cdot q\\ & =\frac{1}{2}\sum _{q\le n}\psi (q)+C_0.\end{array}$$故得证!

$\square$

定理 2.9 (Koukoulopoulos–Maynard).

记 $A(q)=\bigcup _{1\le p\le q,(p,q)=1}(\frac{p}{q}-\frac{\psi (p)}{q},\frac{p}{q}+\frac{\psi (p)}{q})$, 则对于无理数 $x$, $$|qx-p|<\psi (q)\text{ i.o.}⟺x\in A(q)\text{ i.o.}$$

证明. $$\mu (A(q))\le 2\frac{\psi (q)}{q}\cdot \phi (q),$$因此

$$\sum _q\frac{\psi (q)}{q}\cdot \phi (q)\le +\infty \stackrel{\text{Borel–Cantelli 定理}}{⟹}x\in A(q),\text{ f.o.}$$

而要验证反向箭头, 只需要验证 $\{A(p)\}$ 是两两独立事件.

$\square$

定义 2.10. 称 $x\in \mathbb{R}$ 是劣态逼近 (badly approximable) 的, 如果:

$\exists c>0,s.t.|qx-p|<\frac{c}{q}$ 没有 (或者只有有限) 整数解.

反之, 如果对任何 $c>0$, 上述方程都有无穷整数解, 则称其为良态逼近 (well approximable) 的.

将 $\mathbb{R}$ 的劣态逼近点的集合记为 $BA$, 良态逼近点的集合记为 $WA$.

容易验证: $WA=\mathbb{R}-BA=\bigcap _{c>0}W\left(\frac{c}{q}\right)=\bigcap _{c\in \mathbb{N}}W\left(\frac{c}{q}\right)$, 因此由 Khintchine 定理可知 $\mu (BA)=0$.

进一步地, 我们有如下定理 (证明略):

定理 2.11. BA 有满的 Hausdorff 维度.

一些代数数论相关

命题 2.12. $\alpha \in \mathbb{R}$ 是二次整数, 则 $\alpha \in BA$.

证明. 设 $\alpha$ 的 $\mathbb{Z}$-极小多项式是 $f(x)=a{x}^2+bx+c$, 并设 $\beta$ 是另一个根. 则$$1\le |q^2\cdot f(\frac{p}{q}\left)\right|=\left|a\right(\frac{p}{q}-\alpha \left)\right(\frac{p}{q}-\beta \left)\right|,$$因此$$1\le a\left(\right|\frac{p}{q}-\alpha |+|\frac{p}{q}-\beta \left|\right)\cdot |q\alpha -p|\cdot q,$$不妨设 $|\frac{p}{q}-\alpha |\le 1$, 那么$$|q\alpha -p|\cdot q\ge \frac{1}{\alpha (1-|\alpha -\beta |)},$$因此 $\alpha \in BA$.

$\square$

这里有一个延申的问题: 如果 $\alpha$ 是三次整数, 那么 $\alpha \in BA$ 还是 $\in WA$?

定理 2.13 (Roth, 1955). 设 $\alpha \in \mathbb{R}$ 是一个次数大于等于 $2$ 的代数整数, 那么 $\alpha \in B\left(\frac{1}{q^{1+ϵ}}\right),\forall ϵ>0$.

证明. 证明见 Schmidt, Chapter V.

$\square$

猜想 2.14 (S.Lang). 设 $\alpha \in \mathbb{R}$ 是一个次数大于等于 $2$ 的代数整数, 那么:

•	$\alpha \in B\left(\frac{1}{q{\log }^{1+ϵ}(q)}\right),\forall ϵ>0$;
•	如果进一步要求 $[\mathbb{Q}(\alpha ):\mathbb{Q}]\ge 3$, 那么 $\alpha \in W\left(\frac{1}{q{\log }^{1-ϵ}(q)}\right),\forall ϵ>0$.

3Week 3

连分数和最佳逼近

定义 3.1. 设 $\theta \in \mathbb{R}$, $(p,q)\in \mathbb{Z}\times \mathbb{N}$ 是 $\theta$ 的最佳逼近 (best approximation), 如果$$\begin{array}{rl}|q\theta -p|<|q^{\prime }\theta -p^{\prime }|,& \forall 1\le q^{\prime }<q\\ |q\theta -p|\le |q\theta -p^{\prime }|,& \forall p^{\prime }\end{array}$$(第二行条件的是为了防止出现 $\mathbb{Z}+0.5$ 的情形)

只考虑 $\theta \in \mathbb{R}\backslash \mathbb{Q}$ 的情形,

对于 $\theta =a_0+\{\theta \}$, 取最小的 $q_1\in \mathbb{N}$, 使得 $d(q_1\theta ,\mathbb{Z})<\{\theta \}$, 并记对应的整数为 $p_1$, 满足 $|q_1\theta -p_1|<\{\theta \}$. 然后再取最小的 $q_2\in \mathbb{N},q_2>q_1$, 使得 $d(q_2\theta ,\mathbb{Z})<|q_1\theta -p_1|$, 并记对应的整数为 $p_2$, 满足 $|q_2\theta -p_2|<|q_1\theta -p_1|$, 以此类推.

那么由于无理数的 Dirichlet 定理, 该过程可以无限进行, 因此得到一列 $\{(p_n,q_n)\}$, 则易见 $\{(p_n,q_n)\}$ 恰为所有的对 $\theta$ 的最佳逼近.

接下来给出 $\{(p_n,q_n)\}$ 的一些性质:

引理 3.2.

1.	$q_{n+1}\theta -p_{n+1}$ 和 $q_n\theta -p_n$ 异号;
2.	若 $\theta \in \mathbb{R}\backslash \mathbb{Q}$, 则 $\frac{p_n}{q_n}\to \theta$;
3.	$p_{n+1}{q}_n-q_{n+1}{p}_n=(-1{)}^n$;
4.	$q_n|q_{n+1}\theta -p_{n+1}|+q_{n+1}|p_n\theta -q_n|=1$.

证明. 1. 由$$|(q_n\theta -p_n)-(q_{n+1}\theta -p_{n+1})|=|(q_{n+1}-q_n)\theta -(p_{n+1}-p_n)|<|q_n\theta -p_n|$$即得;

3. $$\begin{array}{rl}{p}_{n+1}{q}_n-q_{n+1}{p}_n& =q_{n+1}(q_n\theta -p_n)-q_n(q_{n+1}\theta -p_{n+1})\\ & =(-1{)}^n(|q_n\theta -p_n|q_{n+1}+q_n|q_{n+1}\theta -p_{n+1}|)\\ & =(-1{)}^n(由于(|RHS|\le \frac{q_{n+1}}{q_{n+1}}+\frac{q_n}{q_{n+2}}<2)).\end{array}$$

2. 由 3 即得;

4. 由 1,3 即得.

$\square$

引理 3.3. 存在一列 $\{a_n{\}}_{n\ge 1}\subseteq \mathbb{N}$, 使得

1.	$q_n=a_n{q}_{n-1}+q_{n-2};$
2.	$p_n=a_n{p}_{n-1}+p_{n-2}$;
3.	$|q_{n-2}\theta -p_{n-2}|=a_n|q_{n-1}\theta -p_{n-1}|+|q_n\theta -p_n|$.

证明. 由于 $p_n{q}_{n-1}-p_{n-1},q_n(p_n-p_{n-2})=p_{n-1}(q_n-q_{n-2})$, 且 $\gcd (p_{n-1},q_{n-1})=1$, 因此 $\exists !a_n\in \mathbb{N}$, 使得$$\{\begin{array}{l}{p}_n-p_{n-2}=a_n{p}_{n-1}\\ q_n-q_{n-2}=a_n{q}_{n-1}\end{array}.$$

将上式乘 $\theta$ 减掉下式得到: $$q_n\theta -p_n=a_n(q_{n-1}\theta -p_{n-1})+(q_{n-2}\theta -p_{n-2}),$$$$\Rightarrow a_n=\frac{|q_n\theta -p_n|-|q_{n-2}\theta -p_{n-2}|}{|q_{n-1}\theta -p_{n-1}|},$$因此如果记 ${\theta }_n=\frac{|q_n\theta -p_n|}{|q_{n-1}{q}_{n-1}\theta -p_{n-1}|},0<{\theta }_n<1$,

那么 $\frac{1}{{\theta }_{n-1}}=a_n+{\theta }_n,a_n=[\frac{1}{{\theta }_{n-1}}],{\theta }_0=\{\theta \}$, $$\begin{array}{rlr}\theta & =a_0+{\theta }_0& \\ & =a_0+\frac{1}{{\theta }_0^{-1}}& \\ & =a_0+\frac{1}{a_1+{\theta }_1}& =\cdots :=[a_0;a_1,\cdots ,a_N].\end{array}$$

由已经得到的结论,$\left[\begin{array}{cc}{p}_n& p_{n-1}\\ q_n& q_{n-1}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{p}_{n-1}& p_{n-2}\\ q_{n-1}& q_{n-2}\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}{a}_n& 1\\ 1& 0\end{array}\right],$

假设已有 $\frac{p_{n-1}}{q_{n-1}}=[a_0;a_1,\cdots ,a_{n-1}]$,

那么由于 $[a_0;a_1,\cdots ,a_n]=a_0+\frac{1}{[a_1;a_2,\cdots ,a_n]}=a_0+\frac{q_{n-1}}{p_{n-1}}=\frac{a_0{p}_{n-1}+q_{n-1}}{p_{n-1}}$, 对比系数得到 $\frac{p_n}{q_n}=[a_0;a_1,\cdots ,a_n],$ 完成归纳过渡.

因此我们如此构造得到的 $\{a_n\}\subseteq \mathbb{N}$ 确实满足条件.

$\square$

进一步地, 当 $\theta \in \mathbb{R}\backslash \mathbb{Q}$ 时,$q_n$ 将以指数的速度增长, 具体地,

$q_n=a_n{q}_{n-1}+q_{n-2}\ge 2q_{n-2}\Rightarrow q_n\ge 2^{\frac{n-1}{2}}.$

定理 3.4. $\forall \theta \in \mathbb{R}\backslash \mathbb{Q},\theta =\underset{n\to +\infty }{\lim }[a_0;a_1,\cdots ,a_n]\stackrel{\delta }{=}[a_0;a_1,a_2,\cdots ],相反地,\forall a_0\in \mathbb{Z},a_1,\cdots ,a_n\in \mathbb{N},$ $[a_0;a_1,a_2,\cdots ]=\theta \in \mathbb{R}\backslash \mathbb{Q}$.

证明. 前半部分由最佳逼近性即得, 对于后半部分, 由于只需要研究收敛性, 故不妨假设 $a_0>0$, 由于 $|\frac{p_n}{q_n}-\frac{p_{n-1}}{q_{n-1}}|=\frac{1}{q_n{q}_{n+1}},$ 并且 $|\sum _{j=n}^{\infty }\frac{(-1{)}^{n+1}}{q_j{q}_{j-1}}|\le \sum _{j=n}^{\infty }{2}^{-j}\to 0$, 因此收敛性得证! 并且由于有理数的最佳逼近列一定有限, 故 $\theta \notin \mathbb{Q}$.

$\square$

命题 3.5. 我们有一个 $\mathbb{R}\backslash \mathbb{Q}$ 和 $\mathbb{Z}\times {\mathbb{N}}^{\mathbb{N}}$ 之间的双射:$\theta \leftrightsquigarrow [a_0;a_1,a_2,\cdots ].$

4Week 4

数的几何

我们考虑赋予 Lebesgue 测度的欧氏空间 $({\mathbb{R}}^n,\mu )$, 在上面依 Lebesgue 测度定义体积.

定义 4.1. ${\mathbb{R}}^n$ 的一个离散且余紧 (cocompact, 商空间为紧集) 的子群 $\Lambda$ 被称为格点 (lattice).

命题 4.2. 任何一个格点都可以有形式 $g{\mathbb{Z}}^n=\{gv|v\in {\mathbb{Z}}^n\},g\in G{L}_n(\mathbb{R})$.

定义 4.3. $\Lambda \subseteq {\mathbb{R}}^n$ 是一个格点, 如果一个 Borel 可测集 $F\subseteq {\mathbb{R}}^n$ 满足 ${\mathbb{R}}^n={\bigsqcup }_{v\in \Lambda }(F+v)$, 那么称其为基本区域 (fundamental domain).

例如, 格点 ${\mathbb{Z}}^n$ 的基本格点可以是 $[0,1)\times [0,1)$, 或者以 $(1,1),(1,0)$ 张成的半开平行四边形.

定义 4.4. 称格点的任何一个基本区域 $F$ 的体积 (在 Lebesgue 测度意义下) 为 $d(\Lambda )$.

命题 4.5. 上述定义良定 (即不依赖基本区域的选取).

证明. 设 $F_1,F_2$ 为 $\Lambda$ 的两个基本区域, 那么: $$F_2=F_2\cap {\mathbb{R}}^n=F_2\cap ({\bigsqcup }_{v\in \Lambda }(F_1+v))={\bigsqcup }_{v\in \Lambda }(F_2\cap (F_1+v)).$$故得到: $$vol(F_2)=\sum _{v\in \Lambda }vol(F_2\cap (F_1+v))=\sum _{v\in \Lambda }vol((F_2-v)\cap F_1)=vol(F_1).$$

$\square$

定理 4.6 (Blichfeldt 1914). $E\subseteq {\mathbb{R}}^n$ 是 Borel 可测集,$\Lambda \subseteq {\mathbb{R}}^n$ 是格点, 那么如果 $vol(E)>m\cdot d(\Lambda ),m\in \mathbb{N}$, 或者 $vol(E)=m\cdot d(\Lambda ),E紧$, 则 $E$ 中有 $m+1$ 个不同的点 $\{x_0,x_1,\cdots ,x_m\}$ 使得 $x_1-x_0,\cdots ,x_m-x_0\in \Lambda \backslash 0$.

证明. 对于第一种情形,

$$\begin{array}{rl}{\int }_E\sum _{v\in \Lambda }{1}_E(x+v)\mathrm{d}vol(x)& =\sum _{v\in \Lambda }{\int }_F{1}_E(x+v)\mathrm{d}vol(x)\\ & =\sum _{v\in \Lambda }{\int }_{E+v}{1}_E(x)\mathrm{d}vol(x)\\ & ={\int }_{{\mathbb{R}}^n}{1}_E(x)\mathrm{d}vol(x)\\ & =vol(E)>m\cdot d(\Lambda )\end{array}$$因此存在 $x\in F,{\sum }_{v\in \Lambda }{1}_E(x+v)\ge m+1$,

这可以得到:$x+v_i\stackrel{△}{=}{x}_i\in E,0\le i\le m$.

对于第二种情形,

$\forall ϵ>0,(1+ϵ)E$ 是紧集, 且体积大于 $m\cdot d(\Lambda )$, 可以取 $(1+ϵ)E$ 中的 $(m+1)$ 个不同的点 $\{(1+ϵ)x_0,\cdots ,(1+ϵ)x_m)\},s.t.(1+ϵ)(x_{\delta ,i}-x_{\delta ,0})\in \Lambda$,

$E$ 是紧集 $\Rightarrow$ 每一个 $\{x_{\delta ,i}\}$ 都有一个子列趋于一个 $x_i\in E$, 因此可以不妨设每个 $\{x_{\delta ,i}\}$ 均趋于 $x_i$.

那么由 $x_i-x_0={\lim }_{ϵ\to 0}(1+ϵ)(x_{ϵ,i}-x_{ϵ,0})\in \Lambda$, 知这样选出来的 $\{x_i\}$ 符合题意.

$\square$

Minkowski 凸体定理

定理 4.7 (Minkowski 第一凸体定理). 如果 $E\subseteq {\mathbb{R}}^n$ 是一个凸且中心对称的区域,$vol(E)>m\cdot 2^{n}d(\Lambda )$, 或者 $E$ 是凸且中心对称的闭区域,$vol(E)\ge m\cdot 2^{n}d(\Lambda )$, 那么可以找到 $m$ 对不同的且不为 $0$ 的点对 $\{(u_i,-u_i)\}\subseteq E\cap \Lambda$.

证明. 对 $\frac{1}{2}E$ 用 Blichfeldt 定理, 我们可以找到 $(m+1)$ 对点 $\frac{1}{2}{x}_0,\cdots ,\frac{1}{2}{x}_m\in \frac{1}{2}E$,

对 $\{x_i\}$ 用字典序排序 (例如按照欧式坐标), 我们可以得到一个序关系: $$x_0<x_1<\cdots <x_n,$$那么 $\pm \frac{1}{2}(x_j-x_0)$ 为两两不同的点对.

$\square$

定理 4.8 (Approximation Theorem). 设 $g=(g_{ij})\in {\mathrm{SL}}_n(\mathbb{R})$, 则对于任意的实数组 $a_1,\cdots ,a_n,a_1{a}_2\cdots a_n=1$, 存在一个向量 $\mathbf{x}=(x_1,\cdots ,x_n{)}^T\in {\mathbb{Z}}^n$, 使得 $l_i(\mathbb{x})=|g\mathbf{x}\text{的第i分量}|<a_i$.

证明. 定义 $E_{ϵ}=\{\mathbf{x}\in {\mathbb{R}}^n,l_i(\mathbf{x})<a_i,\forall 1\le i\le n-1,|l_n(x)|\le a_n(1+ϵ)\}$, 则 $vol(E_{ϵ})=|\det g|\cdot a_1\cdots a_n(1+ϵ)\cdot 2^n=2^n(1+ϵ)$. 使用 Minkowski 第一凸体定理, 可以找到 ${\mathbf{x}}_{ϵ}\in ({\mathbb{Z}}^n\backslash 0)\cap E_{ϵ}$, 并且 $g{\mathbf{x}}_{ϵ}$ 是有界的. 利用欧式空间中有界闭集的紧性, 存在一列子列 $\{{\mathbf{x}}_{{ϵ}_k}{\}}_k$, 使得 $\underset{k\to \infty }{\lim }{\mathbf{x}}_{{ϵ}_k}=\mathbf{x},\underset{k\to \infty }{\lim }{ϵ}_k=0$.

那么由于 $l_i$ 具有连续性, 知 $l_i(\mathbf{x})=\underset{k\to \infty }{\lim }{l}_i({\mathbf{x}}_{{ϵ}_k})<a_i,\forall 1\le i\le n-1,$ $l_n(\mathbf{x})\le a_n$.

如果等号不取到, 则已经得证, 下面设 $l_n(\mathbf{x})=a_n$,

不妨记这个 $\mathbf{x}$ 为 ${\mathbf{x}}_{\mathbf{n}}=(x_{n,1},\cdots ,x_{n,n}{)}^T$, 同理可以得到 ${\mathbf{x}}_1,\cdots ,{\mathbf{x}}_{\mathbf{n}-1}$, 容易发现 ${\mathbf{x}}_1,\cdots ,{\mathbf{x}}_{\mathbf{n}}$ 是 $\mathbb{Z}-$(或者 $\mathbb{Q}-$) 线性无关的,

否则可以设 ${\mathbf{x}}_{\mathbf{n}}=q_1{\mathbf{x}}_1+\cdots +q_{n-1}{\mathbf{x}}_{\mathbf{n}-1}$, 则 $l_n({\mathbf{x}}_{\mathbf{n}})<a_n$, 已经得证.

因此如果记矩阵 $X=[x_{i,j}{]}_{1\le i,j\le n}$, 则 $\det (X)\ne 0$, 任取素数 $p$ 整除 $\det (X)$, 则在域 ${\mathbb{F}}_p$ 当中方程 $(c_1,\cdots ,c_n)X=0$ 有非零整数解,

那么记 $\mathbf{y}=c_1{\mathbf{x}}_1+\cdots +c_n{\mathbf{x}}_{\mathbf{n}}$, 有 $\mathbf{y}\ne 0$ 并且 $p$ 整除 $\mathbf{y}$ 的每一个分量, 则 $\frac{\mathbf{y}}{p}$ 符合要求.

$\square$

定理 4.9 (推广版 Dirichlet 定理). 记 $\theta =[{\theta }_{i,j}]\in {\mathbb{R}}^{m\times n},Q>1$, 则存在向量 $(\mathbf{p},\mathbf{q})=(p_1,\cdots ,p_m,q_1,\cdots ,q_n)$, 使得

$\{\begin{array}{l}|{\theta }_{i,1}{q}_1+\cdots +{\theta }_{i,n}{q}_n+p_i|\le \frac{1}{Q},1\le i\le m,\\ 1\le max(|q_1|,\cdots ,|q_n|)<Q^{\frac{m}{n}}.\end{array}$

证明. 取 $u(\theta )=\left[\begin{array}{c}{1}_{m}0\\ 01_n\end{array}\right]$, 并且取 $a_1=a_2=\cdots =a_m=\frac{1}{Q},a_{m+1}=\cdots =a_n=Q^{\frac{m}{n}}$, 然后使用定理 4.8 即可.

$\square$

定义 4.10. 称 $\theta =[{\theta }_{i,j}]\in {\mathbb{R}}^{m\times n}$ 是劣态逼近的, 如果存在 $c>0,$ 使得 $\forall (p,q)\in {\mathbb{Z}}^{m+n},q\ne 0,$ 都有 $|\theta q+p{|}^m|q{|}^n\ge c$, 否则, 称为良态逼近的.

定理 4.11 (Dani Theorem). 如果 $a_t=diag(e^{\frac{t}{m}},\cdots ,e^{\frac{t}{m}},e^{-\frac{t}{n}},\cdots ,e^{-\frac{t}{n}}),\{a_t\cdot u(\theta )|t\ge 0\}$ 在 $G/\Lambda$ 中有界, 则 $\theta \in BA$.

定理 4.12. 设 $k$ 是一个数域,$1,{\theta }_1,\cdots ,{\theta }_n\in \mathbb{R}$ 是 $k/\mathbb{Q}$ 的一组基, 则 $({\theta }_1,\cdots ,{\theta }_n)$ 是劣态逼近的.

证明. $\forall (p,q)\in \mathbb{Z}\times {\mathbb{Z}}^n\backslash \{0\}$, 由于当 $(p,q)$ 为整向量的时候,

$N_{k/\mathbb{Q}}({\theta }_1{q}_1+\cdots +{\theta }_n{q}_n+p)$ 相当于计算一个形如 $\left[\begin{array}{ccccc}& a_{11}{q}_1& a_{12}{q}_2& \cdots & a_{1n}{q}_n\\ & a_{21}{q}_1& a_{22}{q}_2& \cdots & a_{2n}{q}_n\\ & ⋮& ⋮& & ⋮\\ & a_{n1}{q}_1& a_{n2}{q}_2& \cdots & a_{nn}{q}_n\end{array}\right]$ 的行列式, 其中 $a_{ij}\in \mathbb{Q}$, 则因为行列式不等于 $0$, 故其绝对值有最小值, 这个最小值仅和基 $\theta$ 的选取有关, 记为 $C_1(\theta )$.

而另一方面, 由 $N_{k/\mathbb{Q}}$ 的计算公式, 有$$\begin{array}{rl}|N_{k/\mathbb{Q}}({\theta }_1{q}_1+\cdots +{\theta }_n{q}_n+p)|& =\prod _{\sigma \in \mathrm{Gal}(k/\mathbb{Q})}|\sigma ({\theta }_1{q}_1+\cdots +{\theta }_n{q}_n+p)|\\ & =|{\theta }_1{q}_1+\cdots +{\theta }_n{q}_n+p|\cdot \prod _{\sigma \ne \mathrm{id}}|(\sigma ({\theta }_1)q_1+\cdots +\sigma ({\theta }_n)q_n+p)|\\ & \le |{\theta }_1{q}_1+\cdots +{\theta }_n{q}_n+p|\cdot \prod _{\sigma \ne \mathrm{id}}(|q{|}_{\sup }|\sigma (\theta ){|}_{\sup }\cdot n+|p|)\\ & \le |{\theta }_1{q}_1+\cdots +{\theta }_n{q}_n+p||q{|}^{n-1}\cdot C_2(\theta )\end{array}$$因此 $\exists c>0,s.t.|q_1{\theta }_1+\cdots +q_n{\theta }_n+p|\cdot |q{|}^n\ge c|q|$,

亦即 $\exists c^{\prime }>0,s.t.|q_1{\theta }_1+\cdots +q_n{\theta }_n+p|\cdot |q{|}^n\ge c^{\prime }$, 因此 $\theta$ 是劣态逼近的.

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逐次极小值 (Successive Minima)

定义 4.13 (逐次极小值 (Successive Minima)). 设 $\Lambda \subseteq {\mathbb{R}}^n$ 是格点,$K$ 是一个凸体 (中心对称, 内点非空的凸集合), 那么: $${\lambda }_i(K,\Lambda )\stackrel{\mathrm{def}}{=}\inf \{\lambda >0|{\dim }_{\mathbb{R}}({\mathrm{Span}}_{\mathbb{R}}(\lambda K\cap \Lambda ))\ge i\}$$被称为 $\Lambda$ 的第 i 个逐次极小值 (i-th successive minima).

注 4.14.

1.	存在 $c>0$, 使得 $\Lambda$ 包含一组基 $v_1,\cdots ,v_n$ 且 $|v_i|\le c{\lambda }_i(K,\Lambda )$,
2.	$\Lambda$ 有一组基 $v_1,\cdots ,v_n$, 使得 $v_i\in {\lambda }_{i}K$.

定理 4.15 (Minkowski 第二凸体定理). $\Lambda \subseteq {\mathbb{R}}^n$ 是格点,$K$ 是凸体, 那么:$$\frac{2^n}{n!}d(\Lambda )\le \lambda \cdot \cdots \cdot vol(K)\le 2^{n}d(\Lambda ).$$

证明. 对于不等式的左端:

取一组无关的 $v_i\in {\lambda }_{i}K\cap \Lambda$, 考虑如下的映射: $g:v_i\mapsto {\lambda }_i^{-1}{v}_i\in K$, 则 $g\in G{L}_n(\mathbb{R})$, 并记 $y_i=g{v}_i$,

定义 $E=\{t_1{y}_1+\cdots t_n{y}_n|\sum _{i=1}^n|t_i|\le 1\}\subseteq K$, 那么$$vol(E)=|det(y_1,y_2,\cdots ,y_n)|\cdot vol(\{\sum |t_i|\le 1\})$$$$=d(\sum _{i=1}^n\mathbb{Z}{y}_i)\cdot \frac{2^n}{n!}={\lambda }_1^{-1}\cdots {\lambda }_n^{-1}d(\sum _{i=1}^n\mathbb{Z}{\lambda }_i)\cdot \frac{2^n}{n!}$$$$\ge {\lambda }_1^{-1}\cdots {\lambda }_n^{-1}\cdot d(\Lambda )\cdot \frac{2^n}{n!}.$$结合 $vol(E)\le vol(K)$ 知不等式左端得证.

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为了证明不等式的右端, 我们需要一些前置知识.

定义 4.16. 称子空间 $L\subseteq {\mathbb{R}}^n$ 是 $\mathbf{\Lambda }$-有理型 ($\mathbf{\Lambda }$-rational), 如果 $L\cap \Lambda$ 是 $L$ 中的一个格点 (即要求 $L\cap \Lambda$ 完备).

引理 4.17. $L_1\subseteq L_2\subseteq L_3\subseteq \cdots \subseteq L_n={\mathbb{R}}^n$ 是一列 $\Lambda$-有理型的 ${\mathbb{R}}^n$ 的子空间, 并且 $\dim (L_m)=m$, 那么存在一组 $\Lambda$ 的基 $x_1,\cdots ,x_n,x_i\in L_i$, i.e. 对任何的 $i$,$x_1,\cdots ,x_i$ 是 $L_i\cap \Lambda$ 的一组基.

证明. $L_1\cap \Lambda$ 是 $L_1$ 的格点, 那么由于维度为 1, 必须为 $L_1\cap \Lambda =\mathbb{Z}{x}_1,\exists x_1\in \Lambda \cap L_1$, 下面用归纳法证明原结论.

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