用户: Solution/ 补充: 数论基础

1一些交换代数: Dedekind 整环与分式理想

Dedekind 整环

习题 1.1. 若整环 $D$ 满足任意非零理想可唯一分解为一些素理想的乘积, 则 $D$ 是 Dedekind 整环.

证明.

证明. 待补充.

$\square$

习题 1.2. 只具有有限多个素理想的 Dedekind 整环是 PID. 可以举出一个例子嘛?

证明.

证明. 待补充.

$\square$

习题 1.3. 证明: 对于 Dedekind 整环, UFD 与 PID 等价.

习题 1.4. 对于 Dedekind 整环 $D$ 及其非零理想 $I⊲D$, $D/I$ 是 PIR (未必是整环) . 由此证明 $D$ 的任何理想至多双生成 (即可由至多两个元素生成) .

证明.

证明. 待补充.

$\square$

习题 1.5 (Dedekind 整环上的模).

(1)	在 Dedekind 整环上, 平坦模与无挠模等价. 更一般地, 在 Prüfer 整环上 (注意到 Dedekind 即为诺特 Prüfer 环) , 平坦与无挠等价.
(2)	Dedekind 整环 $D$ 上的有限生成挠模皆同构于 ${⨁}_{i=1}^{n}D/{\mathfrak{p}}_i^{n_i}$, 其中 ${\mathfrak{p}}_i\in \mathrm{Spec}(D),\forall i$.

证明.

证明. 待补充.

$\square$

分式理想

习题 1.6. 环 $R$ 中的任何可逆分式理想都是投射 $R$-模.

习题 1.7. Dedekind 整环中的任一理想类都可由一个整理想作为代表元.

2整数环

幂整基

习题 2.1. 令 $\alpha \in \mathbb{C}$ 满足方程 $x^3-x^2-2x-8=0$. 考虑 $K=\mathbb{Q}(\alpha )$.

(1)	证明: ${\mathcal{O}}_K=\mathbb{Z}+\mathbb{Z}\alpha +\mathbb{Z}\frac{4}{\alpha }$.
(2)	证明: 对于任意 $\omega \in {\mathcal{O}}_K$, ${\mathcal{O}}_K\ne \mathbb{Z}[\omega ]$.

纯三次域的整基

习题 2.2. 对于 $K=\mathbb{Q}(\sqrt[3]{n})$, 其中 $n\in \mathbb{Z}$ 无三次因子. 设 $n=a{b}^2$, 其中 $a,b\in \mathbb{Z}$, 且 $a$ 无平方因子, 则 ${\mathcal{O}}_K$ 的一组整基为

$$\begin{array}{r}{\mathcal{O}}_K:=\{\begin{array}{ll}\mathbb{Z}+\mathbb{Z}\sqrt[3]{n}+\mathbb{Z}\frac{\sqrt[3]{n^2}}{b},& \text{若 }{m}^2\not\equiv 1\mathrm{mod}9,\\ \mathbb{Z}+\mathbb{Z}\sqrt[3]{n}+\mathbb{Z}\frac{b^2+b^2\sqrt[3]{n}+\sqrt[3]{n^2}}{3b},& \text{若 }m\equiv \pm 1\mathrm{mod}9.\end{array}\end{array}$$

习题 2.3. 证明: $Q(\sqrt[3]{175})$ 的一组整基为 $\{1,\sqrt[3]{175},\sqrt[3]{245}\}$.

分圆域

习题 2.4. 若 ${\zeta }_n$ 是 $\mathbb{Q}$ 上的 $n$ 次本原单位根, 则 $\mathbb{Q}[{\zeta }_n+{\zeta }_n^{-1}]$ 的整数环为 $\mathbb{Z}[{\zeta }_n+{\zeta }_n^{-1}]$.

差分理想

习题 2.5. 考虑 $n$ 次单扩张 $K=\mathbb{Q}(\alpha )$, 且整数环恰为 $\mathbb{Z}[\alpha ]$. 令 $f(x)$ 为 $\alpha$ 在 $\mathbb{Q}$ 上的极小多项式. 令 $f(x)=(x-\alpha )(b_0+b_{1}x+\cdots +b_{n-2}{x}^{n-2}+b_{n-1}{x}^{n-1})$, 则 $\{1,\alpha ,\cdots ,{\alpha }^{n-1}\}$ 的对偶基为$$\{\frac{b_0}{f^{\prime }(\alpha )},\cdots ,\frac{b_{n-2}}{f^{\prime }(\alpha )},\frac{1}{f^{\prime }(\alpha )}\}.$$从而 ${\mathcal{D}}^{-1}=\frac{1}{f^{\prime }(\alpha )}(\mathbb{Z}+\mathbb{Z}{b}_0+\cdots +\mathbb{Z}{b}_{n-2})$.

习题 2.6. 若 $K=\mathbb{Q}(\alpha )$, 且整数环恰为 $\mathbb{Z}[\alpha ]$. 令 $f(x)$ 为 $\alpha$ 在 $\mathbb{Q}$ 上的极小多项式. 则 $\mathcal{D}=(f^{\prime }(\alpha ))$.

由此计算 $\mathbb{Q}(\sqrt{d})$ 与 $\mathbb{Q}[{\zeta }_p]$ 的差分理想, 其中 $d$ 为无平方因子整数, 而 ${\zeta }_p$ 为 $p$ 次单位根.

判别式与理想类群

习题 2.7. 计算下列域的整数环与理想类群:

•	$\mathbb{Q}(\sqrt{14})$.
•	$\mathbb{Q}(\sqrt{105})$.
•	$\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})$.
•	$\mathbb{Q}(\alpha )$, 其中 $\alpha$ 为 $x^5-x+1=0$ 的一根.

习题 2.8. 若素数 $p\equiv 11\mathrm{mod}12$, 则 $\mathrm{Cl}(\mathbb{Q}(\sqrt{-p}))$ 中含有大于 ${\log }_3(p)$ 的元.

习题 2.9. 给定正整数 $d_K$, 则只能找到有限多个数域, 使得其判别式为 $d_K$. 从而数域 (对于 $\mathbb{Q}$) 的扩张次数趋于 $\infty$ 时, 判别式 $d_K$ 也趋于 $\infty$.

习题 2.10. 若数域 $K/\mathbb{Q}$ 的判别式无平方因子, 则 $K$ 无非平凡子域.

3数的几何化初步: Minkowski

Dirichlet 单位定理

4局部域

有关 ${\mathbb{Q}}_p$

习题 4.1. 证明: $\mathrm{Aut}({\mathbb{Q}}_p)=1$.

习题 4.2. 证明: ${\mathbb{Q}}_p\cong {\mathbb{Q}}_q$ 当且仅当 $p=q$, 且 ${\mathbb{Q}}_p$ 与 $\mathbb{R}$ 都不同构.

完备性

习题 4.3. 对于非阿域 $K$, 其可分闭包 $K_{\mathrm{sep}}$ 在 $K$ 中稠密.

习题 4.4. 若 $K$ 是完备非阿域, 而 $L/K$ 是无限次代数扩张, 则 $L$ 在 $K$ 的赋值的延拓下不完备.

习题 4.5. 若 $L$ 是完备非阿域, 而子域 $K$ 余维有限 (即 $[L:K]<\infty$) , 则 $K$ 也完备.

Krasner 引理

习题 4.6 (根与系数的连续性). 设 $K$ 为域, 而 $f,g\in K[x]$ 次数皆为 $n$. 若 $\alpha \in K^{\mathrm{al}}$ 为 $f$ 一根, 则存在 $g$ 的一根 $\beta \in K^{\mathrm{al}}$, 满足 $|\alpha -\beta |\le \sqrt[n]{|f-g|}|f|$.

这里 $|f|$ 指对系数取最大绝对值.

习题 4.7. 若 $K$ 为完备非阿域, 而 $p(x)\in K[x]$ 是 $n$ 次首一不可约多项式, 且有 $n$ 个不同的根 ${\alpha }_1,\cdots ,{\alpha }_n$, 那么若 $n$ 次多项式 $q(x)\in K[x]$ 与 $p(x)$ 足够接近 (即, 各项系数足够接近) , 则 $q(x)$ 也不可约. 在此假设下, 若 $q(x)$ 的根为 ${\beta }_1,\cdots ,{\beta }_n$, 则在差一个重排的意义下, $K({\alpha }_i)=K({\beta }_i)$.

习题 4.8. 若 $K/{\mathbb{Q}}_p$ 是 $n$ 次扩张域扩张, 则存在数域 $E$ 以及 $E$ 上的一个绝对值, 使得 $\hat{E}\cong K$.

习题 4.9. 若 $K$ 是特征零完备非阿代数闭域, 则 $\hat{K}$ 也代数闭. 换句话说, 特征零非阿完备化保持代数闭. (一般地, 非阿完备化保持可分闭.)

习题 4.10.

(1)	${\mathbb{Q}}_p$ 的 $n$ 次非分歧扩张在同构意义下唯一.
(2)	${\mathbb{Q}}_p$ 的 $n$ 次扩张在同构意义下只有有限多个.

非分歧、温分歧与蛮分歧

习题 4.11. 若 $K$ 是非阿局部域, 且剩余类域有限, 则 $K$ 的任何有限非分歧扩张都 Galois.

习题 4.12. ${\mathbb{Q}}_p$ 的任何有限扩张都可解.

习题 4.13. 若 $L/{\mathbb{Q}}_p$ 是有限非分歧扩张, 而 $K/L$ 是有限温分歧 Galois 扩张, 则 $L/{\mathbb{Q}}_p$ 是 Galois 扩张.

5Galois 表示初步

p 进域

设 $K$ 是 ${\mathbb{Q}}_p$ 的有限扩张, 整数环为 ${\mathcal{O}}_K$, $G_K=\mathrm{Gal}(\overline{K}/K)$ 是 $K$ 的绝对 Galois 群, 带有 Krull 拓扑.

习题 5.1. 证明: 任何连续同态 $G_K\to {\mathrm{GL}}_n(\mathbb{C})$ 的像均有限.

习题 5.2. 设 $l$ 是素数, ${\mathbb{Q}}_l^n$ 中的一个格是一个秩为 $n$ 的 ${\mathbb{Z}}_l$ 子模 $\Lambda$, 满足自然同态 $\Lambda {\otimes }_{{\mathbb{Z}}_l}{\mathbb{Q}}_l\to {\mathbb{Q}}_l^n$ 是同构.
(1) 证明: 若 ${\Lambda }_1,\cdots ,{\Lambda }_m$ 是 ${\mathbb{Q}}_l^n$ 中的一些格, 则 ${\sum }_{i=1}^m{\Lambda }_i$ 也是 ${\mathbb{Q}}_l^n$ 中的一个格.
(2) 证明: 给定连续同态 $\rho :G_K\to {\mathrm{GL}}_n({\mathbb{Q}}_l)$, 存在 ${\mathrm{GL}}_n({\mathbb{Q}}_l)$ 中的元素 $g$, 使得有分解 $g\rho g^{-1}:G_K\to {\mathrm{GL}}_n({\mathbb{Z}}_l)\hookrightarrow {\mathrm{GL}}_n({\mathbb{Q}}_l)$.

注:
1. 这个结果使得我们可以讨论一个 $l$-adic Galois 表示的 $\mathrm{mod}l$ 约化. 感兴趣的读者可以思考 $\mathrm{mod}l$ 约化后的 Galois 表示和习题 (2) 中 $g$ 的选取的关系.
2. 事实上可以证明 ${\mathrm{GL}}_n({\mathbb{Z}}_l)$ 是 ${\mathrm{GL}}_n({\mathbb{Q}}_l)$ 的一个极大紧子群, 且 ${\mathrm{GL}}_n({\mathbb{Q}}_l)$ 的极大紧子群均共轭于 ${\mathrm{GL}}_n({\mathbb{Z}}_l)$. (感兴趣的读者可以先思考如何证明 ${\mathrm{O}}_n(\mathbb{R})$ 是 ${\mathrm{GL}}_n(\mathbb{R})$ 的一个极大紧子群, 此时习题 (1) 的类比是什么? )

数域

以下取定 $\mathbb{Q}$ 的一个代数闭包 $\overline{\mathbb{Q}}$.

定义 5.3 (Dirichlet 密度). 设 $\mathcal{P}$ 是 $\mathbb{Z}$ 中所有素数的集合, $\mathcal{S}\subset \mathcal{P}$. 如果极限 ${\lim }_{s\to 1+}\frac{{\sum }_{p\in \mathcal{S}}{p}^{-s}}{{\sum }_{p\in \mathcal{P}}{p}^{-s}}$ 存在, 则称其为 $\mathcal{S}$ 的 Dirichlet 密度, 记作 ${\delta }_{\mathcal{S}}$.

定理 5.4 (Chebotarev 密度定理). 设 $K/\mathbb{Q}$ 是有限扩张, $S\subset \mathcal{P}$ 是在 $K$ 中分歧的那些素数. 则对 $p\in \mathcal{P}-S$, ${\mathrm{Frob}}_p\subset \mathrm{Gal}(K/\mathbb{Q})$ 是良定的共轭类. 对 $\mathrm{Gal}(K/\mathbb{Q})$ 中的一个共轭类 $C$, 记 ${\mathcal{Q}}_C=\{p\in \mathcal{P}-S:{\mathrm{Frob}}_p=C\}$, 则$${\delta }_{{\mathcal{Q}}_C}=\frac{|C|}{|G|}.$$

习题 5.5. 设 $S\subset \mathcal{P}$ 是有限集, ${\mathbb{Q}}^S$ 是 $\mathbb{Q}$ 在 $\overline{\mathbb{Q}}$ 中所有在 $S$ 外非分歧的扩张的复合, 记 $G_S=\mathrm{Gal}({\mathbb{Q}}^S/\mathbb{Q})$.
承认定理 5.4, 证明: ${\bigcup }_{p\in \mathcal{P}-\mathcal{S}}{\mathrm{Frob}}_p$ 在 $G_S$ 中稠密. (读者最好先思考如何定义 ${\mathrm{Frob}}_p$.)
注: 此习题告诉我们 $G_S$ 的一个连续表示由它在 Frobenius 上的取值决定.

下面的习题告诉我们在半单情形, “$G_S$ 的一个连续表示由其在 Frobenius 上的取值决定” 有更加定量的描述.

定义 5.6 (半单化). 设 $k$ 是一个域, $V$ 是 $k$ 上的一个有限维线性空间, 带有群 $G$ 的 $k$-线性作用, 从而可以视为一个 $k[G]$-模. 由 Jordan–Hölder 定理, V 存在合成列: $$0=V_0⊊V_1\cdots ⊊V_m=V,$$其中 $V_{i+1}/V_i,i=0,\cdots ,m-1$ 是单的 $k[G]$ 模. 定义 $V$ 的半单化为 $V^{\mathrm{ss}}={⨁}_{i=0}^{m-1}{V}_{i+1}/V_i$.

习题 5.7. 设 ${\rho }_1,...,{\rho }_r$ 是群 $G$ 在域 $k$ 上一些互不同构的有限维不可约表示.
(1) 设 $R=\mathrm{Im}(k[G]\to \oplus {\mathrm{End}}_k(V_i))$, 证明: $R$ 是 $k$ 上的有限维半单代数.
(2) 假设下列条件之一成立:

•	$\mathrm{char}k=0$ 或 $\mathrm{char}k>{\max }_{1\le i\le r}\dim {\rho }_i$;
•	$k$ 是有限域或代数闭域.

则存在 $e_i\in k[G],i=1,\cdots ,r$, 使得 $\mathrm{Tr}({\rho }_i(e_j))={\delta }_{i,j}$.
提示: 对 $R$ 使用 Artin–Wedderburn 定理.

习题 5.8 (Brauer–Nesbitt 定理). 设 $\rho ,{\rho }^{\prime }:G\to {\mathrm{GL}}_n(k)$ 是群 $G$ 在域 $k$ 上的两个有限维表示.
假设下列条件之一成立:

•	$\mathrm{char}k=0$ 或 $\mathrm{char}k>n$, 且对任意 $g\in G$, 成立 $\mathrm{Tr}(\rho (g))=\mathrm{Tr}({\rho }^{\prime }(g))$;
•	$k$ 是有限域或代数闭域, 且对任意 $g\in G$, $\rho (g)$ 和 ${\rho }^{\prime }(g)$ 的特征多项式相同.

证明: ${\rho }^{\mathrm{ss}}\cong {\rho }^{\prime \mathrm{ss}}$.

注:
1. 现在可以思考在习题 5.5 后说的那句话是什么意思. (注意到 $\rho ({\mathrm{Frob}}_p))$ 的迹和特征多项式均相同.)
2. 定理的同构只能确定到半单化, 但如果本来就是半单表示 (证明这点通常高度非平凡) , 则这个定理就能够直接建立一些唯一性. 读者能找到一些半单或者不半单的 Galois 表示的例子吗?

例子

待补充.