用户: Solution/ 讲义: 模空间与代数叠/Grothendieck拓扑与层

1从拓扑到景

Grothendieck 拓扑与景

我们先回顾拓扑空间上的层论. 记 $\mathrm{Top}(X)$ 为拓扑空间 $X$ 上的全体开集构成的范畴: 其中的对象为 $X$ 的开子集, 而态射为开集的嵌入. 给定范畴 $\mathcal{C}$, 拓扑空间上的一个预层指的是一个反变函子 $\mathcal{F}:\mathrm{Top}(X{)}^{\mathrm{op}}\to \mathcal{C}$. 这是说对于每个开集 $U\subseteq X$, 我们指定一个 $\mathcal{C}$ 中的对象; 而对于每一组开集的包含 $i:V\hookrightarrow U$, 在 $\mathcal{C}$ 中有限制态射 $\mathcal{F}(i):\mathcal{F}(U)\to \mathcal{F}(V)$. 且对于同构 $U\stackrel{\cong }{\to }U$, 其限制态射是恒等.

而一个预层 $\mathcal{F}$ 成为层的条件是如下粘结公理: 对于任何开覆盖 $\{U_i{\}}_{i\in I}$ (记嵌入 ${\sigma }_i:U_i\to U$) $$\mathcal{F}(U)\stackrel{{\prod }_{i\in I}\mathcal{F}({\sigma }_i)}{\to }{\prod }_i\mathcal{F}(U_i){\prod }_{i,j}\mathcal{F}(U_i\cap U_j){\prod }_{i,j\in I}\mathcal{F}({\pi }_{i,j}^1){\prod }_{i,j\in I}\mathcal{F}({\pi }_{i,j}^2)$$是等化子图表, 其中 ${\pi }_{i,j}^1:U_i\cap U_j\to U_i$, ${\pi }_{i,j}^2:U_i\cap U_j\to U_j$.

注意到 $U_i\cap U_j=U_i{\times }_U{U}_j$. 这个事实引导我们在一般的范畴上做拓扑时, 对于 “开集” 来说, 做交的正确对应是做纤维积. 另外, 从上面我们看到, 判定预层是否为层时, 真正重要的并不是开集本身, 而是开覆盖. 这些事实给了我们将 “拓扑” 推广到别的范畴上的范式:

定义 1.1. 范畴 $\mathcal{C}$ 上的一个 Grothendieck 拓扑是指满足如下条件的映射 $\mathrm{Cov}:\mathrm{Ob}(\mathcal{C})\to 2^{\mathrm{Mor}(\mathcal{C})}$:

(1)	对于每个对象 $X\in \mathcal{C}$, $X$ 的覆盖 $\mathrm{Cov}(X)$ 是幂集 $2^{\{U\to X:Y\in \mathcal{C}\}}$ 的子集;
(2)	(平凡覆盖) 若有同构 $U\stackrel{\cong }{\to }X$, 则 $\{U\stackrel{\cong }{\to }X\}\in \mathrm{Cov}(X)$;
(3)	(加细) 若 $\{U_i\to X{\}}_{i\in I}\in \mathrm{Cov}(X)$, 且 $\{V_{ij}\to U_i{\}}_{j\in J_i}\in \mathrm{Cov}(U_i)$, 那么 $\{V_{ij}\to U_i\to X{\}}_{i\in I,j\in J_i}\in \mathrm{Cov}(X)$;
(4)	(基变换) 若 $\{U_i\to X{\}}_{i\in I}$, 且有箭头 $Y\to X$, 那么诸纤维积 $Y{\times }_X{U}_i$ 存在, 且 $\{Y{\times }_X{U}_i\to Y{\}}_{i\in I}\in \mathrm{Cov}(Y)$.

定义 1.2. 一个景是指一个范畴 $\mathcal{C}$ 与其上的一个 Grothendieck 拓扑 $\mathrm{Cov}$ 构成的二元数据 $(\mathcal{C},\mathrm{Cov})$.

例 1.3. 我们尝试将古典的 Zariski 拓扑兼并入 Grothendieck 拓扑的框架下. 对于概形 $S$, 考虑俯范畴 ${\mathrm{Sch}}_S$. 定义 $S_{\mathrm{Zar}}$ 为 $({\mathrm{Sch}}_S,\mathrm{Cov})$, 其中 $\mathrm{Cov}$ 定义为$$\mathrm{Cov}([X\to S])=\{S-开浸入族\{{\sigma }_i:U_i\to X\}\}，且\bigcup _i|\sigma (U_i)|=X\}.$$该景称为大 Zariski 景. 这其实是将开子集这一概念同开浸入等同起来的结果.

几类态射的性质

定义 1.4. 一个概形态射 $X\to Y$ 如果是局部有限展示的忠实平坦态射, 则称其是 fppf 的.

2景上之层

预层、层与层化

例子

3代数空间

定义 3.1. 对于概形 $S$ 与俯范畴 ${\mathrm{Sch}}_S$ 上的一种 Grothendieck 拓扑 $\tau$, $\mathbf{S}$-空间是指 $({\mathrm{Sch}}_S{)}_{\tau }$ 上的一个层.

$S$-空间的态射即层的态射.

例 3.2 (概形视作层).

定义 3.3. 对于概形 $S$, 其上的代数空间 $\mathcal{X}$ 指的是 $({\mathrm{Sch}}_S{)}_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}$ 上满足如下两个条件的层:

(1)	对于任意两个概形 $X,Y$ 以及 $S$-空间态射 $s:X\to \mathcal{X}$ 与 $y:Y\to \mathcal{X}$, 层 $X{\times }_{\mathcal{X}}Y$ 可被概形表出;
(2)	存在一个概形 $U$ 以及一个平展满射 $p:Uto\mathcal{X}$, 即对于任何概形 $Y$, $U{\times }_{\mathcal{X}}Y\to Y$ 是概形间的平展满射. 该态射 $P:U\to \mathcal{X}$ 成为坐标卡.