代数拓扑 (H) 试卷

12024–2025 学年期末

复旦大学数学科学学院
2024$\sim$2025 学年第一学期本研合开课程期末考试试卷
$■$ $\mathrm{A}$ 卷 $\square$ $\mathrm{B}$ 卷 $\square$ $\mathrm{C}$ 卷

考试时间: $\underline{2024\mathbf{年}12\mathbf{月}19\mathbf{日}}$
本科生课程名称: $\underline{\text{代数拓扑（H）}}$ 课程代码: $\underline{\text{MATH130112h.01}}$
研究生课程名称: $\underline{\text{代数拓扑基础}}$  课程代码: $\underline{\text{MATH620001}}$

课程名称: $\underline{\mathbf{数学科学学院}}$ 考试形式: $\underline{\mathbf{闭卷}}$
姓 名: $\underline{}$ 学 号: $\underline{}$ 专 业: $\underline{}$

  提示: 请同学们秉持诚实守信宗旨, 谨守考试纪律, 摒弃考试作弊. 学生如有违反学校考试纪律的行为, 学校将按《复旦大学学生纪律处分条例》规定予以严肃处理.

题 目	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	总分
得 分

1.	(10 分, 5+5) $K_1,K_2$ 是单纯复形 $K$ 的子复形. (1) 证明: $K_1\cap K_2,K_1\cup K_2$ 仍然是单纯复形. (2) 证明: $\chi (K_1\cup K_2)+\chi (K_1\cap K_2)=\chi (K_1)+\chi (K_2)$, 这里 $\chi (\cdot )$ 是 Euler 数.
2.	(20 分, 10+10) (1) 证明: $\mathbb{R}{P}^n$ 每个维数 $p$ 有一个 $p$ 维胞腔, 并且 $\mathbb{R}{P}^n$ 的 $p$ 维骨架是 $\mathbb{R}{P}^p$. (2) $f:\mathbb{R}{P}^n\to \mathbb{R}{P}^n$ 是连续映射, $f$ 有不动点吗? 证明你的结论.
3.	(12 分, 6+6) $f:S^n\to S^n$ 是连续映射. (1) 写出映射度 $\mathrm{deg}f$ 的定义. (2) $g:S^n\to S^n$ 是连续映射, 且 $f(x)\ne g(x),\forall x\in S^n$, 给出 $\mathrm{deg}f,\mathrm{deg}g$ 之间满足的方程, 证明你的结论.
4.	(12 分, 6+6) $T:{\Delta }_p\to X$ 是奇异单形. (1) 给出 $\partial$ 的定义. (2) 证明 ${\partial }^2=0$.
5.	(10 分) 设 $q,r>p$, $X^p$ 是 CW 复形 $X$ 的 $p$ 维骨架, 证明: $H_p(X^q)\cong H_p(X^r)$. 下面开始本科生做第 1 题, 研究生 2 选 1
6.	(6-1, 12 分) 设 $0\to \mathcal{C}\to \mathcal{D}\to \mathcal{E}\to 0$ 是自由链复形, $\phi :\mathcal{C}\to \mathcal{D}$, 证明: 若 ${\phi }_{\ast }$ 是同构, 则 ${\phi }^{\ast }$ 亦是同构.
7.	(6-2, 12 分) 设 $h\in C(|K|,|L|)$, 其中 $K$ 是一个有限单纯复形. 求证: 存在正整数 $m$ 以及一个单纯映射 $\varphi :{\mathrm{sd}}^{m}K⟶L$, 使得对 ${\mathrm{sd}}^{m}K$ 的任意顶点 $v$ 满足$$h(\mathrm{Star}(v,{\mathrm{sd}}^{m}K))\subset \mathrm{Star}(\varphi (v),L).$$此时, 称 $\varphi$ 为 $h$ 的从 ${\mathrm{sd}}^{m}K$ 到 $L$ 的一个单纯逼近.
8.	(7-1, 12 分, 6+6) (1) 给出环面 $T^2,X=S^1\vee S^1\vee S^2$ 的上同调环结构. (2) 设 $f:X⟶T^2$ 是 $X$ 到 $2$ 维环面的一个连续映射. 证明: $f^{\ast }:H^2(T^2)⟶H^2(X)$ 是平凡同态.
9.	(7-2, 12 分, 4+4+4) (1) 构造只有 $0,1,2$ 维胞腔各 $1$ 个的胞腔复形 $X$, 使得 $H_1(X)=\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$. (2) $X$ 是 $2$ 维流形吗, 请证明. (3) 证明 $f:X\to T^2$ 诱导的 $f_{\ast }:H_p(X)\to H_p(T^2)$ 在 $p=1,2$ 是平凡的.
10.	(8-1, 12 分) $H^p(X)$ 是 $X$ 的 $\mathbb{Z}$ 系数上同调群, 证明: $H_p(X)$ 自由部分的秩 $=H^p(X)$ 自由部分的秩.
11.	(8-2, 12 分) 单纯复形到自身的自同态的不动点是孤立的, 证明: 不动点数量是自同态的 Lefschetz 数.

22023–2024 学年期末

本次考试内容覆盖到前 16 周. 以下只回忆了本科生的试题, 只上到前 12 周的研究生考试内容与此有部分试题不同.

复旦大学数学科学学院
2023$\sim$2024 学年第一学期本研合开课程期末考试试卷
$■$ $\mathrm{A}$ 卷 $\square$ $\mathrm{B}$ 卷 $\square$ $\mathrm{C}$ 卷

考试时间: $\underline{2023\mathbf{年}12\mathbf{月}18\mathbf{日}}$
本科生课程名称: $\underline{\text{代数拓扑（H）}}$ 课程代码: $\underline{\text{MATH130112h.01}}$
研究生课程名称: $\underline{\text{代数拓扑基础}}$  课程代码: $\underline{\text{MATH620001}}$

课程名称: $\underline{\mathbf{数学科学学院}}$ 考试形式: $\underline{\mathbf{闭卷}}$
姓 名: $\underline{}$ 学 号: $\underline{}$ 专 业: $\underline{}$

  提示: 请同学们秉持诚实守信宗旨, 谨守考试纪律, 摒弃考试作弊. 学生如有违反学校考试纪律的行为, 学校将按《复旦大学学生纪律处分条例》规定予以严肃处理.

题 目	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	总分
得 分

1.	20 分, 4+8+8 (1) 请给出一种 $T^2\#\mathbb{R}{P}^2$ 的胞腔剖分中, 所用到每个维数的胞腔数目都是最小可能值的剖分. (2) 请给出 (1) 中胞腔复形的同调群. (3) 构造只有 $0,1,2$ 维胞腔各 $1$ 个的胞腔复形 $X$, 使得 $H_1(X)=\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}$.
2.	18 分, 10+8 (1) 如果两个保持增广的链映射 $\varphi ,\psi$ 都被同一个零调承载子 $\Phi$ 所承载, 证明 $\varphi$ 和 $\psi$ 同伦. (2) 如果两个保持增广的上链映射 $\varphi ,\psi$ 都被同一个零调承载子 $\Phi$ 所承载, 证明 $\varphi$ 和 $\psi$ 同伦.
3.	18 分, 4+14 (1) 给出 $S^n$ 到 $S^n$ 的映射的映射度的定义. (2) 构造映射度是任意给定整数的映射.
4.	16 分, 8+8 (1) 证明 CW 复形中紧集至多与有限个开胞腔相交. (2) 如果 $U$ 是 $X$ 中的开集, $A$ 是紧集, 且为 $U$ 的形变收缩核. 证明 $H_{\ast }(X,A)\cong {\tilde{H}}_{\ast }(X/A)$.
5.	8 分 一个单纯 $n$ 单形和它的面构成一个复形 $X$. $X$ 到自身的单纯映射如果不动点是孤立的, 证明它只有一个不动点.
6.	20 分, 4+8+8 (1) 给出奇异上链中杯积的定义. (2) 证明上述的杯积诱导上同调群. (3) 证明任何从 $S^1\vee S^1\vee S^1\vee S^2$ 到 $T^2$ 的映射诱导的 $2$ 维上同调群的映射是零映射.

32022–2023 学年期末

复旦大学数学科学学院
2022$\sim$2023 学年第一学期本研合开课程期末考试试卷
$■$ $\mathrm{A}$ 卷 $\square$ $\mathrm{B}$ 卷 $\square$ $\mathrm{C}$ 卷

考试时间: $\underline{2022\mathbf{年}12\mathbf{月}23\mathbf{日}}$
本科生课程名称: $\underline{\text{代数拓扑（H）}}$ 课程代码: $\underline{\text{MATH130112h.01}}$
研究生课程名称: $\underline{\text{代数拓扑基础}}$  课程代码: $\underline{\text{MATH620001}}$

课程名称: $\underline{\mathbf{数学科学学院}}$ 考试形式: $\underline{\mathbf{闭卷}}$
姓 名: $\underline{}$ 学 号: $\underline{}$ 专 业: $\underline{}$

  提示: 请同学们秉持诚实守信宗旨, 谨守考试纪律, 摒弃考试作弊. 学生如有违反学校考试纪律的行为, 学校将按《复旦大学学生纪律处分条例》规定予以严肃处理.

题 目	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	总分
得 分

一、 (共计 30 分)

1. (6 分) 设 $X$ 是一个 CW 复形. 论述它的胞腔链复形 $\mathcal{D}(X)=\{\left(D_p(X),\partial \right)\}$ 是如何定义的?

2. (24 分) 设 $Y=\mathbb{R}{P}^2♯\mathbb{R}{P}^2♯\mathbb{R}{P}^2$ 是三个实射影平面的连通和.

(i) (8 分) 请画图给出 $Y$ 的一个可三角刨分的 CW 复形结构, 并用这个结构给出其对应的胞腔链复形 $\mathcal{D}(Y)$ (包括链群及边缘算子的确定) ;

(ii) (8 分) 计算 $Y$ 的整系数同调群 $H_p(Y)$;

(iii) (8 分) 计算 $Y$ 的系数群为整数模 $6$ 的上同调群 $H^p(Y;\mathbb{Z}/6\mathbb{Z})$.

二、 (18 分)

1. (10 分) 设 $h\in C(|K|,|L|)$, 其中 $K$ 是一个有限单纯复形. 求证: 存在正整数 $m$ 以及一个单纯映射 $\varphi :{\mathrm{sd}}^{m}K⟶L$, 使得对 ${\mathrm{sd}}^{m}K$ 的任意顶点 $v$ 满足$$h(\mathrm{Star}(v,{\mathrm{sd}}^{m}K))\subset \mathrm{Star}(\varphi (v),L).$$此时, 称 $\varphi$ 为 $h$ 的从 ${\mathrm{sd}}^{m}K$ 到 $L$ 的一个单纯逼近.

2. (8 分) 设 $K=\{1,6,(1,6)\}$ 和 $L=\{1,3,6,(1,3),(3,6)\}$ 是 $\mathbb{R}$ 中的两个一维单纯复形, 满足 $|K|=|L|$. 求证: 恒同映射 $i{d}_{|K|}:|K|⟶|L|$ 不存在从 $K$ 到 $L$ 的单纯逼近. 进一步, 求最小的正整数 $m$, 使得恒同映射 $i{d}_{|K|}$ 存在单纯逼近 $\varphi :{\mathrm{sd}}^{m}K⟶L$.

三、 (12 分)

1. (6 分) 设 $M^n$ 是 $n$ 维拓扑流形, 计算其局部同调群$$H_p(M^n,M^n-x)=?$$其中 $x\in M^n$.

2. (6 分) 求证: ${\mathbb{R}}^m$ 同胚于 ${\mathbb{R}}^n$ 当且仅当 $m=n$.

四、 (共计 20 分) 设 $X$ 是一个拓扑空间, 且 $S^p(X;R)=\mathrm{Hom}(S_p(X),R)$ 是其 $p$ 维奇异上链群.

1. (4 分) 问: 杯积$$\cup :S^p(X;R)\times S^q(X;R)⟶S^{p+q}(X;R)$$是如何定义的?

2.(8 分) 求证: $\delta (c^p\cup c^q)=(\delta c^p)\cup c^q+(-1{)}^p{c}^p\cup (\delta c^q)$, 其中 $c^p\in S^p(X;R)$ 且 $c^q\in S^q(X;R)$.

3. (8 分) 设 $f:S^2⟶T^2$ 是 $2$ 维球面到 $2$ 维环面的一个连续映射. 证明: $f^{\ast }:H^2(T^2)⟶H^2(S^2)$ 是平凡同态.

五、 (共计 20 分)

1. (4 分) 设 $K$ 是有限单纯复形, 且 $h\in C(|K|,|K|)$. 请写出 $h$ 的 Lefschetz 数 $\Lambda (h)$ 的定义.

2. (16 分) 设 $f\in C(S^n,S^n)$, 且 $\overline{f}$ 是被 $f$ 经由 $p:S^n⟶\mathbb{R}{P}^n(=S^n/x\sim -x)$ 所诱导的 $\mathbb{R}{P}^n$ 到自身的连续映射, 即下图可换: $$S^n{S}^n\mathbb{R}{P}^n\mathbb{R}{P}^n.fpp\overline{f}$$求证:

(i) (8 分) 若 $n$ 为奇数, 则 $\Lambda (f)=\Lambda (\overline{f})$.

(ii) (8 分) 若 $n$ 为偶数, 则 $\overline{f}$ 必有不动点.

六、 (选做题, 可不做)

对任何一个大于 $1$ 的正整数 $m$, 构造一个仅由一个 $0$ 维开胞腔, 一个 $1$ 维开胞腔以及一个 $2$ 维开胞腔做成的 $2$ 维 CW 复形 $X=e^0\cup e^1\cup e^2$, 使得 $H^2(X)\cong \mathbb{Z}/m\mathbb{Z}$.