用户: Solution/ 试卷: 代数拓扑 (H)

12023—2024 学年期末

  本次考试内容覆盖到前 16 周. 只上到前 12 周的研究生考试内容与此有部分试题不同.

1.	20 分, 4+8+8 (1) 请给出一种 $T^2\#\mathbb{R}{P}^2$ 的胞腔剖分中, 所用到每个维数的胞腔数目都是最小可能值的剖分. (2) 请给出 (1) 中胞腔复形的同调群. (3) 构造只有 $0,1,2$ 维胞腔各 1 个的胞腔复形 $X$, 使得 $H_1(X)=\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}$.
2.	18 分, 10+8 (1) 如果两个保持增广的链映射 $\varphi ,\psi$ 都被同一个零调承载子 $\Phi$ 所承载, 证明 $\varphi$ 和 $\psi$ 同伦. (2) 如果两个保持增广的上链映射 $\varphi ,\psi$ 都被同一个零调承载子 $\Phi$ 所承载, 证明 $\varphi$ 和 $\psi$ 同伦.
3.	18 分, 4+14 (1) 给出 $S^n$ 到 $S^n$ 的映射的映射度的定义. (2) 构造映射度是任意给定整数的映射.
4.	16 分, 8+8 (1) 证明 CW 复形中紧集至多与有限个开胞腔相交. (2) 如果 $U$ 是 $X$ 中的开集, $A$ 是紧集, 且为 $U$ 的形变收缩核. 证明 $H_{\ast }(X,A)\cong {\tilde{H}}_{\ast }(X/A)$.
5.	8 分 一个单纯 $n$ 单形和它的面构成一个复形 $X$. $X$ 到自身的单纯映射如果不动点是孤立的, 证明它只有一个不动点.
6.	20 分, 4+8+8 (1) 给出奇异上链中杯积的定义. (2) 证明上述的杯积诱导上同调群. (3) 证明任何从 $S^1\vee S^1\vee S^1\vee S^2$ 到 $T^2$ 的映射诱导的 $2$ 维上同调群的映射是零映射.