几何测度论 试卷

12024 春

1.	(i) 请陈述 Hausdorff 测度的定义. (ii) 设 $0<r<\infty$. 证明 $\mathcal{H}(B(x,r))\subset (0,\infty )$, 由此证明存在 $c\in (0,\infty )$ 使得 ${\mathcal{H}}^n\subset c{\mathcal{L}}^n$.
2.	(i) 设 $\mu$ 是 $\alpha$-Frostman 测度. 设 $\Psi \in C_c^{\infty }({\mathbb{R}}^n)$ 满足 $\Psi \ge 0$ 且 $\int \Psi =1$. 证明 ${\mu }_{\epsilon }:={\Psi }_{\epsilon }\ast \mu$ 都是 $\alpha$-Frostman 测度 (一致) . (i) 设 $\mu$ 是 $E$ 上的 $\alpha$-Frostman 测度. 证明存在 $E$ 上的两个紧集 $K_1$ 和 $K_2$, 使得 $\mathrm{dist}(K_1,K_2)>0$, 且 $\mu {|}_{K_1}$ 和 $\mu {|}_{K_2}$ 是 $\alpha$-Frostman 测度.
3.	设 $\lambda ,\mu$ 是 ${\mathbb{R}}^n$ 上的 Radon 测度. (i) 设 $\mu \ll \lambda$. 证明$${\int }_{B}D(\mu ,\lambda ,x)d\lambda =\mu (B).$$(ii) 找 $\mu ,\lambda$, 使得对某个 $B$ 有$${\int }_{B}D(\mu ,\lambda ,x)d\lambda <\mu (B).$$
4.	称一个测度是连续的, 是指每个点都是零测的. 设 $\{{\mu }_N\},N=1,2,\dots$ 和 $\nu$ 是 $\mathbb{R}$ 上的非负 Radon 测度, $\nu$ 是连续的. 若 ${\hat{\mu }}_N(\xi )\to \hat{\nu }(\xi )$ 当 $N\to \infty$, 对所有的 $\xi \in \mathbb{R}$, 证明 ${\mu }_N((a,b))\to \nu ((a,b))$ 对所有的 $a<b$.
5.	(i) 请陈述迭代函数系 (IFS) 吸引子 $K$ 的定义, 并验证其是良定义的. (ii) 对于概率测度 $p=p_i,i\in \Lambda$, 证明在吸引子 $K$ 上存在 Borel 概率测度 $\mu$ 满足$$\mu =\sum _{i\in \Lambda }{p}_i({\phi }_i{)}_{\#}\mu .$$