试卷: 基础力学

12024–2025 学年春基础力学期末试题 (严军)

1.	(20 分) 光滑钢丝弯成半径为 $R$ 的半圆并竖直放置. 钢丝上穿着两个质点, 其重量分别为 $P$ 与 $Q$, 两质点由长度为 $2l$ 的不可伸长的轻绳连起来, 求平衡时绳与水平面所作角度.
2.	(20 分) 半径为 $r$ 的匀质柱在半径为 $R$ 的柱形槽内作无滑动的滚动, 写出这种滚动的拉格朗日方程. 试求这匀质柱在槽底附近作小振动的周期.
3.	(20 分) 陈述并证明刘维尔定理.
4.	(20 分) 陈述并证明诺特定理.
5.	(20 分) 证明 Lagrange 方程和 Hamilton 方程的等价性.

22023–2024 学年春基础力学期末试题 (严军)

1.	(20 分) 求平面双摆的 Lagrange 函数和 Hamilton 函数.
2.	(20 分) 相同质量的有心力相互作用的质点系的 Lagrange 函数如下: $$L=\frac{1}{2}m(|\dot{{\mathbf{r}}_1}{|}^2+|\dot{{\mathbf{r}}_2}{|}^2)-V(|{\mathbf{r}}_1-{\mathbf{r}}_2|).$$ 如果 Lagrange 函数保持如下变换: (1) 空间平移 ${\mathbf{r}}_{\mathbf{i}}\to {\mathbf{r}}_{\mathbf{i}}+\epsilon \cdot \mathbf{n}$, $\mathbf{n}$ 是单位向量, (2) 空间转动 ${\mathbf{r}}_{\mathbf{i}}\to {\mathbf{r}}_{\mathbf{i}}+\epsilon \cdot \mathbf{n}\times {\mathbf{r}}_{\mathbf{i}}$, 求出对应的不变量.
3.	(10 分) 判断下列变换是否为典则变换: (1) $Q=\ln \left(\frac{1}{q}\sin p\right),P=q\cos p$. (2) $Q=\ln \left(1+\sqrt{q}\sin p\right),P=2(1+\sqrt{q})\sqrt{q}\sin p$.
4.	(20 分) $({\mathbb{R}}^{2n},{\omega }^2)$ 是标准辛空间, $S$ 是 ${\mathbb{R}}^{2n}\to {\mathbb{R}}^{2n}$ 的线性映射. 证明: (1) $S$ 是辛映射的充要条件是 $S^{T}IS=I$, 其中 $I=\left(\begin{array}{cc}0& -E_n\\ & \\ E_n& 0\end{array}\right)$. (2) $S$ 是辛映射, 则有 $S^{-1},S^T$ 都是辛映射.
5.	(10 分) $F(x,\lambda )$ 满足 $\frac{{\partial }^{2}F}{\partial x^2}>\delta >0$, $G(p,\lambda )$ 是 $F(x,\lambda )$ 的 Legendre 变换. 求证: 若 $F(x,\lambda )$ 关于 $\lambda$ 单调递增, 则 $G(p,\lambda )$ 关于 $\lambda$ 单调递减.
6.	(20 分) 请写出经典力学中你印象深刻的定理, 并说明理由.

32015–2016 学年春基础力学期末试题 (严军)

1.	证明: 在有心场中, 质点关于原点 $O$ 点的角动量 (动量矩) $M$ 不随时间改变.
2.	叙述诺特定理, 并说明: 若质点组容许沿 $e_1$ 轴的平移: $$n^s:x_i\to x_i+s{e}_1(\forall i)$$则质心在 $e_1$ 轴上的投影作匀速直线运动.
3.	证明 Lagrange 方程组和 Hamilton 方程组的等价性. 写出 Lagrange 方程. $$H(\mathbf{p},\mathbf{q},t)=\mathbf{p}\dot{\mathbf{q}}-L(\mathbf{q},\dot{\mathbf{q}},t)$$
4.	证明: Hamilton 系统无一致渐近稳定的不动点.
5.	$f:{\mathbb{R}}^m\to {\mathbb{R}}^n,g:{\mathbb{R}}^n\to {\mathbb{R}}^p.$ (1) 证明: $(g\circ f{)}_{\ast }=g_{\ast }\circ f_{\ast }$. (2) 证明: $(g\circ f{)}^{\ast }=f^{\ast }\circ g^{\ast }.$