基础力学 试题

12023-2024 学年春基础力学期末试题 (严军)

1.	(20 分) 求平面双摆的 Lagrange 函数和 Hamilton 函数.
2.	(20 分) 相同质量的有心力相互作用的质点系的 Lagrange 函数如下: $$L=\frac{1}{2}m(|\dot{{\mathbf{r}}_1}{|}^2+|\dot{{\mathbf{r}}_2}{|}^2)-V(|{\mathbf{r}}_1-{\mathbf{r}}_2|).$$ 如果 Lagrange 函数保持如下变换: (1) 空间平移 ${\mathbf{r}}_{\mathbf{i}}\to {\mathbf{r}}_{\mathbf{i}}+\epsilon \cdot \mathbf{n}$, $\mathbf{n}$ 是单位向量, (2) 空间转动 ${\mathbf{r}}_{\mathbf{i}}\to {\mathbf{r}}_{\mathbf{i}}+\epsilon \cdot \mathbf{n}\times {\mathbf{r}}_{\mathbf{i}}$, 求出对应的不变量.
3.	(10 分) 判断下列变换是否为典则变换: (1) $Q=\ln \left(\frac{1}{q}\sin p\right),P=q\cos p$. (2) $Q=\ln \left(1+\sqrt{q}\sin p\right),P=2(1+\sqrt{q})\sqrt{q}\sin p$.
4.	(20 分) $({\mathbb{R}}^{2n},{\omega }^2)$ 是标准辛空间, $S$ 是 ${\mathbb{R}}^{2n}\to {\mathbb{R}}^{2n}$ 的线性映射. 证明: (1) $S$ 是辛映射的充要条件是 $S^{T}IS=I$, 其中 $I=\left(\begin{array}{cc}0& -E_n\\ E_n& 0\end{array}\right)$. (2) $S$ 是辛映射, 则有 $S^{-1},S^T$ 都是辛映射.
5.	(10 分) $F(x,\lambda )$ 满足 $\frac{{\partial }^{2}F}{\partial x^2}>\delta >0$, $G(p,\lambda )$ 是 $F(x,\lambda )$ 的 Legendre 变换. 求证: 若 $F(x,\lambda )$ 关于 $\lambda$ 单调递增, 则 $G(p,\lambda )$ 关于 $\lambda$ 单调递减.
6.	(20 分) 请写出经典力学中你印象深刻的定理, 并说明理由.