用户: Solution/ 试卷: 复分析

12022 秋复分析试卷

1.	(15 分) 给出平面区域 $\Omega$ 上的 Green 函数的定义.
2.	(17 分) 设 $g$ 是 $\mathbb{C}\backslash \overline{\mathbb{D}}$ 上的单叶函数, $g(z)=z+b_0+\frac{b_1}{z}+\cdots$. 证明 $|b_1|\le 1$, 并给出等号成立的充要条件.
3.	(17 分) 设 $u(z)$ 是复平面 $\mathbb{C}$ 上的调和函数, 且在 $|z|$ 充分大时成立 $u(z)\le C\log (|z{|}^{\alpha })$, 其中 $0<\alpha <1$. 证明 $u(z)$ 是常值函数.
4.	(17 分) 证明 Riemann $\zeta$ 函数满足$$\zeta (s)=-\frac{\Gamma (1-s)}{2\pi i}{\int }_{\gamma }\frac{(-\zeta {)}^{s-1}}{e^{\zeta }-1}d\zeta ,$$其中 $\gamma$ 是 $\mathbb{C}\backslash [0,+\infty )$ 在割缝上沿从 $+\infty$ 到 $ϵ$, $0<ϵ<1$, 在 $|z|=ϵ$ 逆时针转一圈, 再在割缝下沿从 $ϵ$ 回到 $+\infty$.
5.	(17 分) 叙述并证明 Picard 小定理.
6.	(17 分) 设 $\Omega \subset \mathbb{C}$ 是单连通双曲区域, ${\rho }_{\Omega }$ 是 $\Omega$ 上的双曲度量的密度函数, $d_{\Omega }$ 是双曲距离. 证明对 $z,w\in \Omega$, $$e^{-2d_{\Omega }(z,w)}\le \frac{{\rho }_{\Omega }(z)}{{\rho }_{\Omega }(w)}\le e^{2d_{\Omega }(z,w)}.$$

22023 秋复分析试卷

1.	叙述如下概念和定理. (1) Riemann 映射定理; (2) Koebe-$\frac{1}{4}$ 定理; (3) 调和函数的 Poisson 公式; (4) 次调和函数; (5) 双曲度量的 Schwarz 引理.
2.	求出上半平面 $\mathbb{H}$ 上的 Green 函数, 关于边界 $E=[0,+\infty )$ 的调和测度 ${\omega }_{\mathbb{H}}(z,E)$ 以及其上的双曲度量.
3.	叙述并证明 Marty 定理.
4.	证明 ${\mathbb{C}}^{\ast }=\mathbb{C}\backslash \{0\}$ 上有界次调和函数必为常值函数.
5.	考虑奇性 $\mathcal{S}$-类函数 $f(z)=z+a_1{z}^3+a_2{z}^5+\cdots$, 请证明: (1) 存在 $\mathcal{S}$-类函数 $h$ 使得 $h(z^2)=f(z{)}^2$; (2) 如下不等式成立$$\frac{|z|}{1+|z{|}^2}\le |f(z)|\le \frac{|z|}{1-|z{|}^2}.$$
6.	考虑 $\mathbb{D}$ 到 ${\mathbb{C}}_{0,1}$ 上的解析函数族 $\mathcal{F}$, 证明其球面导数内闭一致有界.