复变函数 试卷

123-24 春复变荣誉课期末

(以下内容为沈 wx 荣誉课期末试卷的回忆版.)

1.	设 $U,V,W$ 为 $\mathbb{C}$ 中区域, $f:U\to V,g:V\to W$ 满足 $g\circ f:U\to W$ 是全纯函数, $g$ 是非常值全纯函数. 求证 $f$ 是全纯函数.
2.	设 $0<r<R,A=\{z\in \mathbb{C}:r<|z|<R\}$, 求 $A$ 的全体全纯自同构.
3.	用留数定理计算积分 (此题和平行班一样) 设 $f(z)=\frac{z^2+1}{\sqrt{z^2-1}}$ 在 $\mathbb{C}\backslash [-1,1]$ 上全纯, 满足 $x>1$ 时 $f(x)>0$. (1) 求 $f(i)$ (记不清了, 大概是求 $f$ 什么东西). (2) 计算 $f(z)$ 在 $\infty$ 的留数. (3) 计算积分$${\int }_{-1}^1\frac{x^2+1}{\sqrt{1-x^2}}dx.$$
4.	设 $f$ 是 $\overline{\mathbb{D}}$ 的某个邻域上的半纯函数, 且 $f$ 只在 $\partial \mathbb{D}$ 上有有限个极点. 设 $f$ 在 $0$ 的幂级数展开为 $f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }{a}_n{z}^n$, 求证 $a_n$ 有界.
5.	与调和函数和 Schwarz 公式有关的题, 要证明给定的 $\mathbb{D}$ 上全纯函数列內闭一致收敛, 记不清了.
6.	设 $A=\{z\in \mathbb{C}:\text{Re}(z)>0,|z|<2\},\mathcal{M}=\{f:A\to \mathbb{D}$ 全纯 $\}.$ (1) 求 $M=\underset{f\in \mathcal{M}}{\sup }|f^{\prime }(1)|$. (2) 求 $f\in \mathcal{M}$, 满足 $f^{\prime }(1)=M.$

223-24 春复变期中

(以下内容为沈 wx 荣誉课的期中试卷.
沈 wx 的期中成绩取为 $\max \{\text{期中成绩},\text{期末成绩}\}$, 期末成绩仍取为期末成绩.)

1.	设 $\phi$ 是非常值整函数, 且存在两个复数 $c,\lambda$ 满足 $|\lambda |>1$, 以及$$\phi (z{)}^2+c=\phi (\lambda z).$$证明 $\infty$ 是 $\phi$ 的本性奇点.
2.	设$${\Omega }_1=\{z\in \mathbb{C}:|z|<1,|z-1|<1\},{\Omega }_2=\{z\in \mathbb{C}:0<\text{Im}(z)<1\}.$$写出一个从 ${\Omega }_1$ 到 ${\Omega }_2$ 的双全纯映射.
3.	用留数定理计算积分$${\int }_0^{\infty }\frac{\cos x}{1+x^4}dx.$$
4.	设 $f$ 是整函数, 满足$$f(z)\in \mathbb{R}⟺z\in \mathbb{R}.$$证明 $f$ 至多只有一个零点 (记重数).
5.	设 $f:\mathbb{D}\to \mathbb{D}$ 是全纯函数, 满足 $r=|f(0)|>0$. 证明当 $|z|<r$ 时, $f(z)\ne 0$.

32023 复变函数试卷

(注: 平行班和荣誉课使用同一张卷子.)

1.	填空题 (非常基础, 共 10 题 *3 分)
2.	$f$ 为单位圆 $\mathbb{D}$ 上的全纯函数, 满足 $|f(z)|\le \frac{1}{1-|z|},\forall z\in \mathbb{D}$. 证明: $\forall n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, $|f^{(n)}(0)|\le (n+1)!e$.
3.	求将 $S=\{z:0<\mathrm{Im}z<\pi \}$ 映为单位圆 $\mathbb{D}$ 的全体双全纯映射, 并给出证明.
4.	区域 $\Omega \subset \mathbb{C}$, $f:\Omega \to \Omega$ 为全纯映射, 且 $\forall z\in \Omega ,f(f(z))=f(z)$. 证明: $f(z)\equiv z$ 或 $f(z)$ 为常数.
5.	用留数定理计算 ${\int }_0^{+\infty }\frac{x^{\alpha }}{1+x^{\beta }}dx$, 其中 $0<\alpha +1<\beta ,\beta >1$.
6.	$f:\mathbb{D}\to \mathbb{D}$ 为全纯映射, 满足 $f(0)=0,f^{\prime }(0)=a\in (0,1)$. 证明: $|z|\frac{a-|z|}{1-|z|a}\le |f(z)|\le |z|\frac{a+|z|}{1+|z|a},\forall z\in \mathbb{D}$.

42022 春复变函数试卷 (邱维元、王珺)

一、	(每小题 5 分, 共 30 分) 填空题: (1) 计算 $\frac{(\cos (3\pi /5)+\mathrm{i}\sin (3\pi /5){)}^9}{(\cos (2\pi /5)+\mathrm{i}\sin (2\pi /5){)}^{11}}=\underline{}$. (2) 计算积分 $\frac{1}{2\pi \mathrm{i}}{\int }_{|z|=1}\frac{|z|+\sin z}{z}\mathrm{d}z=\underline{}$. (3) 若 $u(x,y)={\mathrm{e}}^{px}\cos y$ 是调和函数, 则 $p=\underline{}$. (4) 设 $f(z)$ 是将区域 $\{z:|\frac{z-\mathrm{i}}{z+\mathrm{i}}|<1\}$ 映成单位圆, 且满足 $f(2\mathrm{i})=0$ 的双全纯映射 (共形映射) , 则 $f(z)=\underline{}$. (5) 设 $\Omega$ 是复平面挖去原点和负虚轴后的区域, $f(z)$ 是 $\frac{1}{2}\log z$ 在 $\Omega$ 上满足 $f(1)=0$ 的单值支, 则 $f(-1)=\underline{}$. (6) 设级数 $\sum _{n=1}^{+\infty }{c}_n$ 收敛, $\sum _{n=1}^{+\infty }|c_n|$ 发散, 则幂级数 $\sum _{n=1}^{+\infty }{c}_n{z}^n$ 的收敛半径为 $\underline{}$.
二、	(每小题 8 分, 共 24 分) 完整叙述下列定理: (1) 辐角原理. (2) 调和函数的 Poisson 公式. (3) Riemann 映射定理.
三、	(10 分) 已知$$f(z)=\frac{{\mathrm{e}}^z}{(z+1{)}^2(z-2)}-\frac{a}{(z+1{)}^2}-\frac{b}{z+1}-\frac{c}{z-2}$$为整函数 (即 $\mathbb{C}$ 中奇点都是可去奇点) , 求常数 $a,b,c$ 的值.
四、	(12 分) 利用留数计算积分$${\int }_0^{+\infty }\frac{x\sin x}{x^2+1}\mathrm{d}x.$$
五、	(12 分) 设 $f(z)$ 是单位圆 $\mathbb{D}$ 上的全纯映射, 满足$$f(0)=0,|\mathrm{Re}f(z)|<1,\forall z\in \mathbb{D}.$$证明: $$|\mathrm{Im}f(z)|\le \frac{2}{\pi }\ln \frac{1+|z|}{1-|z|},\forall z\in \mathbb{D}.$$
六、	(12 分) 设 $f(z)$ 是整函数, 满足当 $|z|=1$ 时, $|f(z)|=1$. 证明: $f(z)=e^{\mathrm{i}\theta }{z}^n$, 其中 $\theta$ 是实数, $n$ 是非负整数.

52021 复变函数试卷

一、填空题

二、解答题

1.	求 ${\int }_0^{+\infty }\frac{x^3}{1+x^5}dx$.
2.	记 $D_1=\{|z-1|<2\}\cup \{|z+1|<2\}$, $D_2=\{-1<\mathrm{Im}z<1\}$, $\mathbb{D}$ 为单位圆盘. (1) 写出 $D_1$ 到 $\mathbb{D}$ 的双全纯映射 $f$, 满足 $f(0)=0$. (2) 写出 $D_2$ 到 $\mathbb{D}$ 的双全纯映射 $f$, 满足 $f(0)=0$. (3) 设 $f$ 是 $D_1$ 到 $D_2$ 的双全纯映射, 写出 $f^{\prime }(0)$ 的所有可能值.
3.	记 $E=\mathbb{C}\backslash \{0,1\}$, 设 $f:E\to E$ 是双全纯映射. (1) 证明 $f$ 是分式线性变换. (2) 写出所有可能的 $f$.
4.	设 $f$ 是单位圆盘 $\mathbb{D}$ 上的全纯函数, 任意 $c\in \mathbb{D}$, $f(z)-c$ 在 $\mathbb{D}$ 上恰有两个零点 (计重数) . (1) 证明: $|z|\to 1$ 时, $|f(z)|\to 1$. (2) 证明: 存在 $a_1,a_2\in \mathbb{D},\alpha \in [0,2\pi )$, 使得 $f(z)=e^{i\alpha }\frac{a_1-z}{1-{\bar{a}}_{1}z}\frac{a_2-z}{1-{\bar{a}}_{2}z}$.