常微分方程 试题

124–25 年英才班期末试题 (严军)

1.	船行水上, 初速度为 $v_0$, 水的阻力为 $f=kv$. 问船何时停? 总路程为多少?
2.	设连续函数 $f(x)$ 在区间 $(-\infty ,+\infty )$ 上有界, 求证: 方程$$y^{\prime }+y=f(x)$$在区间 $(-\infty ,+\infty )$ 内有且仅有一个有界解, 并求出这个有界解. 并进而证明: 当 $f(x)$ 是以 $\omega$ 为周期的周期函数时, 这个有界解同时也是以 $\omega$ 为周期的周期函数.
3.	设 $y$ 为关于 $x$ 的连续可微函数, 已知 $y^{\prime }+a(x)y\le 0,\forall x>0$, 求证: $$y(x)\le y(0)e^{-{\int }_0^{x}a(s)\mathrm{d}s},\forall x\ge 0.$$
4.	设 $x(t),y(t),z(t)\in C^1(\mathbb{R})$, $\sigma ,\rho ,\beta >0,\rho <1$, 则如下方程: $$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}-\sigma & \sigma & 0\\ \rho & -1& 0\\ 0& 0& -\beta \end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}0\\ -xy\\ xz\end{array}\right)$$的解渐进稳定. (提示: 考虑 Lyapunov 函数 $V=x^2+y^2+z^2$.)
5.	求解偏微分方程$$(z-y{)}^2\frac{\partial z}{\partial x}-x\frac{\partial z}{\partial y}=0$$过 $x=0,y=z=s$ 的解.
6.	求波方程$$\{\begin{array}{l}{x}^{\prime \prime }+\lambda x=0\\ x(0)=x(1),x^{\prime }(0)=x^{\prime }(1)\end{array}$$的特征值和对应的特征函数.

223–24 年英才班期末试题 (严军)

1.	(10 分) 设 $y$ 为关于 $x$ 的连续可微函数, 已知 $y^{\prime }+a(x)y\le 0,\forall x>0$, 求证: $$y(x)\le y(0)e^{-{\int }_0^{x}a(s)\mathrm{d}s},\forall x\ge 0.$$
2.	(15 分) 设 ${\phi }_1,\cdots ,{\phi }_n$ 为一元 $n$ 维实向量值连续函数, 且其 Wronsky 行列式 $L$ 恒不等于 $0$. 求证: 存在一个 $n\times n$ 的矩阵值函数 $A(t)$, 使得关于 $n$ 维连续可微的向量值函数 $y$ 的常微分方程$$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}=A(t)y$$的一组基本解为 ${\phi }_1,\cdots ,{\phi }_n$.
3.	(15 分) 设 $x(t)\in C^2(\mathbb{R})$, $Q(t)$ 为 $\mathbb{R}$ 上的恒正函数, 则方程$$\frac{{\mathrm{d}}^{2}x}{\mathrm{d}{t}^2}+Q(t)x=0$$的任何解都有零点.
4.	(15 分) 设 $x(t),y(t),z(t)\in C^1(\mathbb{R})$, $\sigma ,\rho ,\beta >0,\rho <1$, 则如下方程: $$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}-\sigma & \sigma & 0\\ \rho & -1& 0\\ 0& 0& -\beta \end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}0\\ -xy\\ xz\end{array}\right)$$的解全局渐进稳定. (提示: 考虑 Lyapunov 函数 $V=x^2+y^2+z^2$.)
5.	(15 分) 设 $a(t),b(t)$ 在区间 $I$ 上连续, $y\in C^1(\mathbb{R})$, 求证: 方程$$y^{\prime }=a(x)y+b(x)$$的最大存在区间为 $I$.
6.	(15 分) 求波方程$$\{\begin{array}{l}{x}^{\prime \prime }+\lambda x=0\\ x(0)=x(1),x^{\prime }(0)=x^{\prime }(1)\end{array}$$的特征值和对应的特征函数.
7.	(15 分) 设 $D$ 为 ${\mathbb{R}}^2$ 上的单连通区域, $h(x,y),P(x,y),Q(x,y)\in C^1(D)$, 且 $h$ 为恒正函数, $\frac{\partial }{\partial x}(hP)+\frac{\partial }{\partial y}(hQ)\ne 0$. 求证: 方程$$\{\begin{array}{l}\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=P(x,y)\\ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}=Q(x,y)\end{array}$$的解没有闭轨.

322–23 年英才班期末试题 (严军)

1.	(10 分) 设连续函数 $f(x)$ 在区间 $(-\infty ,+\infty )$ 上有界, 求证: 方程$$y^{\prime }+y=f(x)$$在区间 $(-\infty ,+\infty )$ 内有且仅有一个有界解, 并求出这个有界解. 并进而证明: 当 $f(x)$ 是以 $\omega$ 为周期的周期函数时, 这个有界解同时也是以 $\omega$ 为周期的周期函数.
2.	(10 分) 求证: 齐次方程 $P(x,y)\mathrm{d}x+Q(x,y)\mathrm{d}y$ 有如下积分因子: $$\mu =\frac{1}{xP+yQ}.$$
3.	(20 分) 设 $f$ 在 $[0,+\infty )$ 可微, $f(0)=0$, 且有常数 $k>0$ 使得: $$|f^{\prime }(x)|\le k|f(x)|,\forall x\in [0,+\infty ).$$证明: $f\equiv 0$.
4.	(30 分) (1) 画出单摆方程$$\frac{{\mathrm{d}}^{2}x}{\mathrm{d}{t}^2}+a^2\sin x=0,(a\ne 0)$$的相图并判断讨论不动点的稳定性. (2) 判断耗散的单摆方程$$\frac{{\mathrm{d}}^{2}x}{\mathrm{d}{t}^2}+a^2\sin x+b\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=0,(a\ne 0,b>0)$$奇点的稳定性.
5.	(20 分) 设 $a(t),b(t)$ 在 $0⩽t⩽1$ 上连续, 求证: $$x^{\prime \prime }+a(t)x^{\prime }+b(t)x=0$$满足初值条件 $x(0)=0$ 的任意两个解都是线性相关的.

420–21 年英才班期末试题 (袁小平)

1.	(10 分) 举例说明 Picard 存在唯一性定理中 Lipschitz 条件不可去.
2.	(10 分) 解方程$$\{\begin{array}{l}\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=-3x-y,\\ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}=4x+y.\end{array}$$
3.	(10 分) 求 $\frac{{\mathrm{d}}^{2}x}{\mathrm{d}{t}^2}=tx$ 的幂级数解.
4.	(10 分) 证明 Hamilton 系统的极小值点为 Lyapunov 稳定的但不为渐近稳定的.
5.	(10 分) 对自治系统 $\dot{x}=f(x)$ 的解 ${\phi }_t(\xi )$, 记 $\gamma =\{{\phi }_t(\xi )\mid t\in \mathbb{R}\}$. 令 $\omega (\xi )$ 为其 $\omega$ 极限集. 若 $\gamma$ 为有界集, 证明: $\omega (\xi )$ 为非空闭集.
6.	(15 分) 证明系统$$\{\begin{array}{l}\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=-y+x(x^2+y^2-1)+\frac{1}{100}{x}^3\\ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}=x+y(x^2+y^2-1)\end{array}$$有稳定的极限环.
7.	(15 分) 证明边值问题$$\{\begin{array}{l}-\frac{{\mathrm{d}}^{2}y}{\mathrm{d}{x}^2}=\lambda y,0<x<1\\ y(0)=0,y^{\prime }(1)+y(1)=0\end{array}$$的特征值均为正实数且有可列个, 记它们为 ${\lambda }_1<{\lambda }_2<\cdots <{\lambda }_k<\cdots$. 证明 $\sqrt{{\lambda }_k}\in \left(\right(k-\frac{1}{2})\pi ,k\pi )$.
8.	(20 分) 证明 $\dot{x}=f(x)$ 的周期解 (非平衡点) 不可能为 Lyapunov 渐近稳定的.

522–23 年期末考试试卷 (林伟)

考生注意:

1.	这份试卷共 9 道试题, 满分 100 分, 共 8 页．考试时间: 2022 年 12 月 28 日 8: 30～10: 30.
2.	请在自备的纸张上, 依次写清题号 (阿拉伯数字) 并答题. 考试结束后, 请扫描答卷并上传 “姓名+学号+学院. pdf” 文件.
3.	线上考试, 请考生依旧秉持诚实守信宗旨, 谨守考试纪律, 摒弃考试作弊. 学生如有违反学校考试纪律的行为, 将按《复旦大学学生纪律处分条例》规定予以严肃处理.
4.	本课程学期总评分 (满分 100 分) 由平时成绩 (满分 50 分, 包含期中, 作业以及小论文成绩) 与本试卷成绩的 $50\%$ 组合计算 (方案 A) ; 若考生确实仅选择计算本试卷成绩的 $90\%$ 与小论文成绩 (满分 10 分) 作为学期总评分 (方案 B) , 请在答卷最开始注明 “选择方案 B”.

一、 填空题 (本大题满分 27 分) 本大题共有 3 题, 将答案直接写在题后的横线上或者绘制在对应的坐标系中, 每题满分 9 分.

1.	考虑矩阵值函数: $\mathbf{\Psi }(t)=\left(\begin{array}{cc}{\mathrm{e}}^{-t}\sin t& {\mathrm{e}}^{-t}\cos t\\ {\mathrm{e}}^{-t}\cos t& -{\mathrm{e}}^{-t}\sin t\end{array}\right)$ 和 $\mathbf{\Phi }(t)=\left(\begin{array}{cc}{\mathrm{e}}^{-t}\cos t& {\mathrm{e}}^{-t}\sin t\\ {\mathrm{e}}^{-t}\sin t& {\mathrm{e}}^{-t}\cos t\end{array}\right)$. 当上述矩阵值函数是二维自治系统 $[\ast ]\dot{\mathbf{x}}=\mathbf{Ax}$ 的基本解方阵时, 分别计算 $\Vert \mathbf{A}\Vert$, $\det \left[{\mathrm{e}}^{{\mathbf{A}}^{\top }+5\mathbf{A}}\right]$ 的值, 并求二次型 $\mathcal{V}(\mathbf{x})=⟨\mathbf{x},\mathbf{H}\mathbf{x}⟩$ 的具体形式, 使其沿着上述自治系统的全导数 $\frac{\mathrm{d}\mathcal{V}}{\mathrm{d}t}{|}_{[x]}(\mathbf{x})=-\Vert \mathbf{x}{\Vert }^2$ (以上的 $\Vert \cdot \Vert$ 表示 ${\mathbb{R}}^2$ 中的向量 $2$-范数或由该向量范数诱导的矩阵范数) : $\underline{}$.
2.	设常数 $a_{ij}$ $(i,j=1,2)$ 中至少有两个不为 $0$, 且 $f$ 在一定的区域中为足够光滑的函数. 若方程组 $\dot{x}=a_{11}x+a_{12}y+x^2,\dot{y}=-a_{21}x-a_{22}y$ 存在形如 $f(x)=C$ 的首次积分, 则该微分方程奇点 $O(0,0)$ 的类型是: $\underline{}$.
3.	考虑极坐标 $(r,\theta )$ 下的平面系统: $\dot{r}=100r(-6+r^2),\dot{\theta }=1+100c(-6+r^2)$, 其中 $c$ 为参数. 试在对应的欧氏坐标系 $x$–$O$–$y$ 中, 分别绘制参数 $c<0,c=0,c>0$ 三种情形下系统轨线的大致图形 $(x=r\cos \theta ,y=r\sin \theta )$:

二、 辨析题 (本大题满分 17 分) 本大题共有 2 题, 每题都给出了若干个结论, 分别判断这些结论是否正确, 正确的在结论前的方括号内打 “​”, 否则打 “$\times$”, 同时根据每题的要求完成证明或说理.

4.

(本题满分 8 分) 设 $\mathbf{\phi }(t)$ 是向量场充分光滑的 $n$ 维自治系统 $\dot{\mathbf{x}}=\mathbf{f}(\mathbf{x})$ 一特解. $【】$ 若 $\underset{\Vert x\Vert \to +\infty }{\mathrm{limsup}}\frac{\Vert f(x)\Vert }{\sqrt{\Vert x\Vert }}=2023$, 那么上述系统的任何一个解的最大存在区间是 $\mathbb{R}$; $【】$ 若存在满足 $\underset{k\to \infty }{\lim }{t}_k=+\infty$ 的数列 $\{t_k{\}}_{k=0}^{\infty }$, 成立 $\underset{k\to \infty }{\lim }\mathbf{\phi }(t_k)={\mathbf{x}}^{\ast }$, 那么 ${\mathbf{x}}^{\ast }$ 为上述系统的奇点或周期轨道上的点; $【】$ 若 $n\ge 3$ 且 $\mathbf{\phi }(t)$ 是非平凡周期解, 则该解一定不是 Lyapunov 意义下渐近吸引的; $【】$ 若 Jacobian 矩阵 $\mathbf{D}\mathbf{f}(\mathbf{\phi }(t))$ 所有的特征值在 $[0,+\infty )$ 上都小于 $-2023$, 则上述系统的解 $\mathbf{\phi }(t)$ 在 Lyapunov 意义下是渐近稳定的. 在以上结论中, 任意选择一个你认为正确的结论, 证明之. [证明]

5.

(本题满分 9 分) 考虑二阶微分方程 $\ddot{x}+a(t)x+b(t)=f(t,\dot{x})$, 其中 $a(t)$ 与 $b(t)$ 是 $\mathbb{R}$ 上的连续函数, $f(t,y)$ 是 $\mathbb{R}\times \mathbb{R}$ 上充分光滑的二元函数. $【】$ 存在上述函数 $a,b$ 及 $f$, 使得上述方程任意两个不同的解在平面 $x$–$O$–$\dot{x}$ 上对应的轨线于有限时刻相交, 相交也不重合; $【】$ 存在上述函数 $a,b$ 及 $f$, 使得 $\eta (t)={\mathrm{e}}^t-1,\xi (t)=t\cos 2t$ 都为上述方程的解; $【】$ 对于任意给定的上述函数 $a,b$ 及 $f$, 以上方程一切解的最大存在区间为 $\mathbb{R}$; $【】$ 若 $f(t,y)\equiv 2t$ , 存在上述函数 $a$ 和 $b$, 使得上述方程的任意一解关于初值在 $[0,+\infty )$ 上是连续依赖的; $【】$ 若 $a(t)\equiv 1,b(t)\equiv 0$ 且 $f(t,y)\equiv f(y)$, 存在这样的 $f$ 使得上述微分方程的零解是渐近稳定的. 在以上结论中, 任意选择一个你认为错误的结论, 说明错误的理由. [理由]

三、 解答题 (本大题满分 56 分) 本大题共有 4 题, 解答下列各题须写明推理过程.

6.	(本题满分 8 分) 叙述并证明: 自治系统的零解在 Lyapunov 意义下是渐近稳定的判定定理. (6) [叙述定理] (6) [证明]
7.	(本题满分 21 分) 本题共有 3 个小题, 第 1 小题满分 10 分, 第 2 小题满分 6 分, 第 3 小题满分 5 分. 设 $\Phi (x,y)$ 为 ${\mathbb{R}}^2$ 上充分光滑的函数, 考虑含有不全为零的参数 $a,b$ 的平面系统: $$\dot{x}=\frac{\partial \Phi }{\partial y}-a\frac{\partial \Phi }{\partial x},\dot{y}=-\frac{\partial \Phi }{\partial x}-b\frac{\partial \Phi }{\partial y}.$$ (1) 试用压缩映象原理证明: 对于给定的 $h>0$, 存在 $T<h$, 使得以上系统满足条件 $x(h)=0,y(h)=1$ 的解在 $[T,h]$ 上存在; (2) 若 $ab=0$ 且 $\Phi (x,y)=x^6+y^4+x^2{y}^2$, 证明: 上述系统在相平面中没有闭轨线; (3) 若 $a>0,b>0$ 且原点 $O(0,0)$ 是 $\Phi (x,y)$ 孤立的极小值点, 证明: 原点 $O$ 对应的零解在 Lyapunov 意义下是稳定的. (7-1) [证明] (7-2) [证明] (7-3) [证明]
8.	(本题满分 20 分) 本题共有 3 个小题, 第 1 小题满分 7 分, 第 2 小题满分 5 分, 第 3 小题满分 8 分. 考虑如下二维平面自治系统: $$\{\begin{array}{l}\dot{x}=\alpha x-\beta xy,\\ \dot{y}=-\gamma y+\zeta xy,\end{array}$$其中, 参数 $\alpha ,\beta ,\gamma ,\zeta$ 均大于零. (1) 求上述系统在相平面 $x$–$O$–$y$ 中坐标轴上及第一象限内的奇点, 并确定奇点类型; (2) 证明: 系统在第一象限内出发的轨线永远停留在第一象限中; (3) 若 $x>0$ 表示蝗虫数量, $y>0$ 表示益鸟数量. 如果对于蝗虫使用杀虫剂, 同时这个杀虫剂对于益鸟也有同样的抑制作用. 若视这样的抑制作用为对于参数 $\alpha$ 和 $\gamma$ 的扰动, 试讨论蝗虫, 益鸟在一个周期内平均数量如何分别与这样的扰动连续依赖. (8-1) [解] (8-2) [证明]
9.	(本题满分 7 分) 设常数 $\tau >0$, 且实值函数 $x(t)$ 满足: $$x\in C([-\tau ,+\infty ))\cap C^1({\cup }_{n=0}^{\infty }{\mathcal{T}}_n),x(0)\ne 0,$$其中区间 ${\mathcal{T}}_n\triangleq (n\tau -\tau ,n\tau )$ $(n=0,1,2,\cdots )$. 若 $x(t)$ 在 $[0,+\infty )$ 中的可导处成立: $$\frac{\mathrm{d}x(t)}{\mathrm{d}t}=a\cdot x(t)+b\cdot h(t)\cdot x(t-\tau ),\text{ 其中 }h(t)=\{\begin{array}{ll}0,& t\in {\mathcal{T}}_{2m+1},\\ 1,& t\in {\mathcal{T}}_{2m+2},\end{array}m=0,1,2,\cdots .$$试确定参数 $a$ 与 $b$ 的范围使得 $\underset{t\to +\infty }{\lim }x(t)=0$. (9) [解]

613–14 年期末考试试卷 (林伟)

考生注意:

1.	这份试卷共 8 道试题, 满分 100 分, 共 8 页.
2.	考试时间: 2014 年 1 月 16 日 13:00～15:00.
3.	请将每张试卷装订线内的学号、姓名及专业填写清楚.
4.	学期总评分 (满分 100 分) 由平时成绩 (满分 50 分) 与本试卷成绩的 $50\%$ 组合计算.

一、 填空题 (本大题满分 14 分) 本大题共有 2 题, 将答案直接写在题后的横线上, 每题满分 7 分.

1.	设参数 $a,b,c\in \mathbb{R}$, 而平面自治系统 $\dot{x}=cy+x^2,\dot{y}=ax+by+x{y}^3$ 具有一个连续的首次积分 $f(x,y)=C$, 且其一次近似系统的系数矩阵行列式不等于零. 那么该系统的奇点 $(0,0)$ 的类型是 $\underline{}$.
2.	设参数 $\lambda \in \mathbb{R}$, $3$ 阶矩阵 $\mathbf{A}$ 满足: $\mathbf{A}{\mathbf{p}}_1+\lambda {\mathbf{p}}_1=0,\mathbf{A}{\mathbf{p}}_2+\lambda {\mathbf{p}}_2=0,\mathbf{A}{\mathbf{p}}_3+\lambda {\mathbf{p}}_3={\mathbf{p}}_2$, 其中 ${\mathbf{p}}_{1,2,3}$ 为线性无关的向量. 则微分方程组 $\dot{\mathbf{x}}=\mathbf{A}\mathbf{x}+{\left[0,\cos t,{\mathrm{e}}^{2t}\right]}^{\top }$ 的任意一解在 Lyapunov 意义下的稳定性是 $\underline{}$.

二、 辨析题 (本大题满分 24 分) 本大题共有 2 题, 每题都给出了五个结论, 分别判断这些结论是否正确, 正确的在结论前的方括号内打 “$✓$”, 否则打 “$\times$”, 同时根据要求完成说理或证明, 每题满分 12 分.

3.

考虑 $2$ 阶微分方程 $\ddot{x}+p(t)x=q(t)$, 其中实值函数 $p(t),q(t)$ 在 $\mathbb{R}$ 上连续. $【】$ 该方程的任意一解的存在区间均为 $\mathbb{R}$; $【】$ 该方程至多有 $3$ 个线性无关的解; $【】$ 若 $p(t)\equiv -1$, $q(t)$ 是周期为 $\pi$ 的函数, 则该方程有且仅有一个周期为 $\pi$ 的周期解. $【】$ 若 $q(t)\not\equiv 0$, 且该方程有惟一的满足条件 $x(0)=x(1)=0$ 的解, 则该方程对应的齐次方程满足条件 $x(0)=x(1)=0$ 的只有零解; $【】$ 若 $q(t)\equiv 0$, 则该方程的零解在 Lyapunov 意义可以是渐近稳定的; 在以上结论中, 任意选择一个你认为错误的结论, 说明错误的理由. [理由]

4.

考虑右端在区域 $\mathcal{D}\subset {\mathbb{R}}^n$ 上具有连续可微的向量场的 $n$ 维自治系统 $\dot{\mathbf{x}}=\mathbf{f}(\mathbf{x})$. $【】$ 系统 $\dot{\mathbf{x}}=\mathbf{f}(\mathbf{x})/[\Vert \mathbf{f}(\mathbf{x})\Vert +1]$ 任意一解的最大存在区间为 $\mathbb{R}$; $【】$ 若维数 $n=1$, 则该系统可以有非平凡的周期解; $【】$ 记上述系统从 $(0,{\mathbf{x}}_0)$ 出发的解为 $\mathbf{x}(t,{\mathbf{x}}_0)$, 则对于充分小的任意 $t_1,t_2$ 成立 $\mathbf{x}(t_1+t_2,{\mathbf{x}}_0)=\mathbf{x}(t_2,\mathbf{x}(t_1,{\mathbf{x}}_0))$; $【】$ 若 $\mathbf{x}=0$ 是上述系统的零解, 且对于初始时刻 $t_0$, 该解是 Lyapunov 意义下稳定的, 则对于任意其它的初始时刻 $\hat{t}\ne t_0$, 该解亦是 Lyapunov 意义下稳定的; $【】$ 若 ${\mathbf{x}}_0$ 是上述系统的奇点, 并且一次近似线性系统 $\dot{\mathbf{x}}=D\mathbf{f}({\mathbf{x}}_0)\mathbf{x}$ 的零解在 Lyapunov 意义下是不稳定的, 则奇点 ${\mathbf{x}}_0$ 在 Lyapunov 意义下是不稳定的. 在以上结论中, 任意选择一个你认为正确的结论, 证明之. [证明]

三、 解答题 (本大题满分 62 分) 本大题共有 4 题, 解答下列各题须写明推理过程.

5. (本题满分 10 分) 从以下两个小题中选择一个完成.

(1)	叙述并证明: 自治系统的零解在 Lyapunov 意义下渐近稳定的判定定理.
(2)	叙述并证明: 平面自治系统同宿轨不存在的 Bendixson 判定定理 (其中, 同宿轨指相平面中从奇点出发又回到该奇点的奇异闭轨线).

(5) [叙述定理]

(5) [证明]

6. (本题满分 25 分) 本题共有 3 个小题, 第 1 小题满分 12 分, 第 2 小题满分 7 分, 第 3 小题满分 6 分.

考虑以 $\mu ,\xi$ 为参数的平面系统 $\{\begin{array}{l}\dot{x}=\mu x-2y+\xi x(x^2+y^2),\\ \dot{y}=2x+\mu y+\xi y(x^2+y^2).\end{array}$

(1)	利用压缩映象原理证明: 存在 $h>0$, 上述系统满足初值条件 $x(0)=x_0,y(0)=y_0$ 的解在区间 $[0,h]$ 上存在且惟一;
(2)	若 $\xi =1$, 则上述系统的解是否关于参数 $\mu$ 连续依赖? 论证你的结论;
(3)	若 $\xi =-1$, 分别绘制当 $\mu <0,\mu =0,\mu >0$ 时, 上述系统在相平面上轨线的大致图形.

(6-1) [证明]

(6-2) [结论与论证]

(6-3) [作图]

7. (本题满分 20 分) 本题共有 3 个小题, 第 1 小题满分 7 分, 第 2 小题满分 7 分, 第 3 小题满分 6 分.

设 $\Phi (x,y)$ 是定义在 $\mathbb{R}\times \mathbb{R}$ 上无穷次可微的二元函数, 考虑如下平面系统: $$\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=\frac{\partial \Phi (x,y)}{\partial y},\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}=-\frac{\partial \Phi (x,y)}{\partial x}.\text{\hspace{1em}(⋯⋯[⋇])}$$

(1)	若设 $\Phi (x,y)=a{x}^2+bxy+c{y}^2+y^4$, 试确定非零参数 $a,b,c$ 满足的条件, 使得系统 $[\divideontimes ]$ 的零解在 Lyapunov 意义下是不稳定的;
(2)	若 $(0,0)$ 是函数 $\Phi (x,y)$ 孤立的极小值点, 证明: 系统 $[\divideontimes ]$ 的零解是 Lyapunov 意义下稳定的;
(3)	证明: 系统 $[\divideontimes ]$ 任意的平衡点对应的解都不是 Lyapunov 意义下渐近稳定的.

(7-1) [解]

(7-2) [证明]

8. (本题满分 7 分)

若连续函数 $p(t)>2$, 考虑平面系统: $\dot{x}=2y,\dot{y}=-2x-p(t)y^3$. 试证明: 存在 $x^{\ast }\in \mathbb{R}$ 使得 $x(t)\to x^{\ast },y(t)\to 0$ $(t\to +\infty )$.

(8) [证明]

712–13 年期末考试试卷 (林伟)

考生注意:

1.	这份试卷共 8 道试题, 满分 100 分, 共 8 页.
2.	考试时间: 2013 年 1 月 18 日 8:30～10:30.
3.	请将每张试卷装订线内的学号、姓名及专业填写清楚.
4.	学期总评分 (满分 100 分) 由平时成绩 (满分 50 分) 与本试卷成绩的 $50\%$ 组合计算.

一、 填空题 (本大题满分 14 分) 本大题共有 2 题, 将答案直接写在题后的横线上, 每题满分 7 分.

1.	设参数 $\lambda \in \mathbb{R}$, $3$ 阶矩阵 $\mathbf{A}$ 满足: $\mathbf{A}{\mathbf{p}}_1=\lambda {\mathbf{p}}_1,\mathbf{A}{\mathbf{p}}_2=\lambda {\mathbf{p}}_2,\mathbf{A}{\mathbf{p}}_3=\lambda {\mathbf{p}}_3+{\mathbf{p}}_2$, 其中 ${\mathbf{p}}_{1,2,3}$ 为线性无关的向量. 则微分方程组 $\dot{\mathbf{x}}=\mathbf{A}\mathbf{x}+{\left[\sin t,0,{\mathrm{e}}^{-t}\right]}^{\top }$ 的任意一解在 Lyapunov 意义下的稳定性是 $\underline{}$.
2.	设参数 $a,b,c\in \mathbb{R}$, 平面自治系统 $\dot{x}=ax+by+x^{3}y,\dot{y}=cx+y^2$ 具有连续的首次积分 $f(x,y)=C$, 且其一次近似系统的系数矩阵行列式不等于零. 那么该系统的奇点 $(0,0)$ 的类型是 $\underline{}$.

二、 辨析题 (本大题满分 24 分) 本大题共有 2 题, 每题都给出了五个结论, 分别判断这些结论是否正确, 正确的在结论前的方括号内打 “​”, 否则打 “$\times$”, 同时根据要求完成说理或证明, 每题满分 12 分.

3.

考虑 $2$ 阶微分方程 $\ddot{x}+p(t)x=q(t)$, 其中实值函数 $p(t),q(t)$ 在 $\mathbb{R}$ 上连续. $【】$ 该方程的任意一解的存在区间均为 $\mathbb{R}$; $【】$ 该方程至多有 $3$ 个线性无关的解; $【】$ 若 $q(t)\not\equiv 0$, 且该方程有惟一的满足条件 $x(0)=x(1)=0$ 的解, 则该方程对应的齐次方程满足条件 $x(0)=x(1)=0$ 的只有零解; $【】$ 若 $q(t)\equiv 0$, 则该方程的零解在 Lyapunov 意义可以是渐近稳定的; $【】$ 若 $p(t)\equiv -1$, $q(t)$ 是周期为 $\pi$ 的函数, 则该方程有且仅有一个周期为 $\pi$ 的周期解. 在以上结论中, 任意选择一个你认为错误的结论, 说明错误的理由. [理由]

4.

考虑右端在 $\mathcal{D}\subset {\mathbb{R}}^n$ 上具有连续可微的向量场的 $n$ 维自治系统 $\dot{x}=f(x)$. $【】$ 系统 $\dot{x}=f(x)/[\Vert f(x)\Vert +1]$ 任意一解的最大存在区间为 $\mathbb{R}$; $【】$ 若维数 $n=1$, 则该系统可以有非平凡的周期解; $【】$ 若 $\underset{t\to +\infty }{\lim }x(t;0,x_1)=x_0$ 且 $x_0\ne x_1$, 则 $x_0$ 是系统的奇点; $【】$ 若 ${\mathbf{x}}_0$ 是上述系统的奇点, 并且线性系统 $\dot{\mathbf{x}}=D\mathbf{f}({\mathbf{x}}_0)\mathbf{x}$ 的零解在 Lyapunov 意义下是不稳定的, 则奇点 ${\mathbf{x}}_0$ 在 Lyapunov 意义下是不稳定的; $【】$ 若上述系统具有稳定的极限圈, 则该极限圈对应的解在 Lyapunov 意义下是渐近稳定的. 在以上结论中, 任意选择一个你认为正确的结论, 证明之. [证明]

三、 解答题 (本大题满分 62 分) 本大题共有 4 题, 解答下列各题须写明推理过程．

5.	(本题满分 11 分) 从以下两个小题中选择一个完成. (1) 叙述并证明: 自治系统的零解在 Lyapunov 意义下渐近稳定的判定定理． (2) 叙述并证明: 平面自治系统闭轨线不存在的 Bendixson 判别法．
6.	(本题满分 24 分) 本题共有 3 个小题, 第 1 小题满分 12 分, 第 2 小题满分 6 分, 第 3 小题满分 6 分. 考虑以 $\mu ,\xi$ 为参数的平面系统 $\{\begin{array}{l}\dot{x}=\mu x-y+\xi x(x^2+y^2),\\ \dot{y}=x+\mu y+\xi y(x^2+y^2).\end{array}$ (1) 利用压缩映象原理证明: 存在 $h>0$, 上述系统满足初值条件 $x(0)=x_0,y(0)=y_0$ 的解在区间 $[0,h]$ 上存在且惟一; (2) 若 $\xi =1$, 则上述系统的解是否关于参数 $\mu$ 连续依赖? 论证你的结论; (3) 若 $\xi =-1$, 分别绘制当 $\mu <0,\mu =0,\mu >0$ 时, 上述系统在相平面上轨线的大致图形. (6-1) [证明] (6-2) [结论与论证] (6-3) [作图]
7.	(本题满分 19 分) 本题共有 3 个小题, 第 1 小题满分 5 分, 第 2 小题满分 5 分, 第 3 小题满分 9 分. 二元函数 $\Phi (p,q)=\lambda p^2+q^4$ $(\lambda \ne 0)$, 考虑以 $\lambda ,\xi$ 为参数的平面系统: $$\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=2y^3+\frac{\xi }{\lambda }x{y}^4,\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}=-\lambda x-3x^{2}y,\text{\hspace{1em}(⋯⋯[ξ])}$$ (1) 如果 $\Phi (x,y)=C$ ($C$ 为任意正常数) 是方程组 $[{\xi }_0]$ 的一个首次积分, 试确定 ${\xi }_0$ 的值; (2) 若 $\xi \ne {\xi }_0$, 证明: 在相平面中不存在系统 $[\xi ]$ 的闭轨线; (3) 若 $\lambda >0,\xi ⩽{\xi }_0$, 试利用 李雅普诺夫直接方法 确定系统 $[\xi ]$ 的零解的稳定性. (7-1) [解] (7-2) [证明] (7-3) [解]
8.	(本题满分 8 分) 若连续函数 $p(t)>2$, 考虑平面系统: $\dot{x}=2y,\dot{y}=-2x-p(t)y^3$. 试证明: 存在 $x^{\ast }\in \mathbb{R}$ 使得 $x(t)\to x^{\ast },y(t)\to 0$ $(t\to +\infty )$. (8) [解]