常微分方程 试题

120 秋常微分方程 (英才班, 袁小平) 期末试题

1.	(10 分) 举例说明 Picard 存在唯一性定理中 Lipschitz 条件不可去.
2.	(10 分) 解方程$$\{\begin{array}{l}\frac{dx}{dt}=-3x-y\\ \frac{dy}{dt}=4x+y\end{array}.$$
3.	(10 分) 求 $\frac{d^{2}x}{d{t}^2}=tx$ 的幂级数解.
4.	(10 分) 证明 Hamilton 系统的极小值点为 Lyapunov 稳定的但不为渐近稳定的.
5.	(10 分) 对自治系统 $\dot{x}=f(x)$ 的解 ${\phi }_t(\xi )$, 记 $\gamma =\{{\phi }_t(\xi )\mid t\in \mathbb{R}\}$. 令 $\omega (\xi )$ 为其 $\omega$ 极限集. 若 $\gamma$ 为有界集, 证明: $\omega (\xi )$ 为非空闭集.
6.	(15 分) 证明系统$$\{\begin{array}{l}\frac{dx}{dt}=-y+x(x^2+y^2-1)+\frac{1}{100}{x}^3\\ \frac{dy}{dt}=x+y(x^2+y^2-1)\end{array}$$有稳定的极限环.
7.	(15 分) 证明边值问题$$\{\begin{array}{l}-\frac{d^{2}y}{d{x}^2}=\lambda y,0<x<1\\ y(0)=0,y^{\prime }(1)+y(1)=0\end{array}$$的特征值均为正实数且有可列个, 记它们为 ${\lambda }_1<{\lambda }_2<\cdots <{\lambda }_k<\cdots$. 证明 $\sqrt{{\lambda }_k}\in ((k-\frac{1}{2})\pi ,k\pi )$.
8.	(20 分) 证明 $\dot{x}=f(x)$ 的周期解 (非平衡点) 不可能为 Lyapunov 渐近稳定的.