微分方程数值解法 试题

12023-2024 春微分方程数值解法期末试题 (吴新明)

1.	(20 分) 对于以下常微分方程: $$\{\begin{array}{l}\frac{du}{dx}=f(x)\\ u(0)=u_0\end{array}$$ 考虑以下数值格式: $$u_{n+1}=u_n+\Delta tf\left(t_n+\frac{\Delta t}{2},u_n+\frac{\Delta t}{2}f(t_n,u_n)\right).$$ (1) 分析局部截断误差. (2) 求绝对稳定区域.
2.	(20 分) 对于与上题相同的常微分方程, 考虑以下数值格式: $$u_{n+1}=u_n+\frac{\Delta t}{2}\left(f(t_n,u_n)+f(t_{n+1},u_{n+1})\right).$$ (1) 分析局部截断误差. (2) 求绝对稳定区域. (3) 构造迭代格式并证明, 在 $f$ 关于 $u$ 满足利普希茨条件的假设下, 以显式 Euler 格式算出初值进行迭代, 则只需要一步就可以达到原误差的收敛阶.
3.	(20 分) 对于如下偏微分方程: $$\{\begin{array}{l}-\Delta u+u=f,\Omega =(0,1)\\ u(0)=\alpha ,u^{\prime }(1)=\beta \end{array}$$ (1) 写出上述方程的变分问题和求出其有限元离散问题, 并说明其有限元离散问题如何求解. (2) 写出三点差分格式, 并说明边界条件如何处理.
4.	(20 分) 对于如下偏微分方程: $$\frac{\partial u}{\partial t}=\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}$$ 考虑如下格式 $$\frac{3}{2}\cdot \frac{U_i^{n+1}-U_i^n}{\tau }-\frac{1}{2}\cdot \frac{U_i^n-U_i^{n-1}}{\tau }=\frac{U_{i+1}^{n+1}-2U_i^{n+1}+U_{i-1}^{n+1}}{h^2}$$ (1) 分析局部截断误差. (2) 分析上述格式的稳定性.
5.	(20 分) 对于如下偏微分方程: $$\frac{\partial u}{\partial t}=\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}+\frac{\partial u}{\partial x}+u$$ 考虑如下格式: $$\frac{U_i^{n+1}-U_i^n}{\tau }=\frac{U_{i+1}^n-2U_i^n+U_{i-1}^n}{h^2}+\frac{U_{i+1}^n-U_{i-1}^n}{2h}+U_i^n$$ 分析上述格式的稳定性.