用户: Solution/ 试卷: 微分流形

12022—2023 学年期末

  本次考试延长了 30 分钟.

1.	(每小题 7 分, 共 49 分) (1) 什么是正则曲面的定向? 能否用外法向量定义定向? 证明你的结论. (2) 证明: ${\mathbb{R}}^3$ 中的紧致无边曲面一定有严格凸点. (3) 什么是微分流形? 证明矩阵群 $SL(n)$ 是微分流形. (4) 什么是全纯向量丛? 回忆复切丛的构造过程, 并证明复切丛是全纯向量丛. (5) 定义 $R$- 模 $M,N$ 的张量积. 定义 $M$ 的张量代数、外代数、$k$ 次外积. (6) 什么是 ${\Omega }^k(M)$? 写出 $v_1\wedge v_2\in {\Omega }^2(M)$ 在 $T^2{M}^{\ast }$ 中的嵌入. 已知 $\omega \in {\Omega }^1(M)$, 证明: $2!⟨\mathrm{d}\omega ,X,Y⟩=X⟨\omega ,Y⟩-Y⟨\omega ,X⟩-⟨\omega ,[X,Y]⟩$, 其中 $[\cdot ,\cdot ]$ 代表 Lie 括号. (7) 证明: de Rham 上同调是微分同胚不变量.
2.	(8 分) 设 $M,N$ 都是连通的光滑流形. 证明: (1) 若 $M,N$ 都是可定向的, 则 $M\times N$ 也是可定向的. (2) 若 $M,N$ 之中有一个是不可定向的, 则 $M\times N$ 是不可定向的.
3.	(8 分) 定义映射 $f:D\to {\mathbb{R}}^3$ 为$$\begin{array}{r}f(u,v)=(u,v,u^2+v^2+1)\end{array}$$其中 $D=[0,1]\times [0,1]$, 设$$\begin{array}{r}\omega =y\mathrm{d}y\wedge \mathrm{d}z+xz\mathrm{d}x\wedge \mathrm{d}z\end{array}$$是 ${\mathbb{R}}^3$ 上的 $2$ 次微分式. 求积分 $\underset{D}{\int }{f}^{\ast }\omega .$
4.	(15 分) (1) 什么是投射模? (2) 证明: 若 $B$ 是紧致无边光滑流形, $E$ 是 $B$ 上的光滑向量丛, 则 $E(B)$ 是投射模.(Swan 定理) (3) 证明: 若 $B$ 是紧致无边光滑流形, $M$ 是投射 $C^{\infty }(B)$- 模, 则存在 $B$ 上的光滑向量丛 $E$ 使得 $E(B)=M$.
5.	(20 分) 研究环面上的 Hodge 算子. 将环面 ${\mathbb{S}}^1\times {\mathbb{S}}^1$ 与 $D=[0,1]\times [0,1]$ 商掉对边同向对应顶点后等同起来. 因而此时对环面上的光滑函数 $f(x,y)$, 有 $f(0,y)=f(1,y)$,$f(x,0)=f(x,1)$(且任意阶导数也满足该相等条件). 定义 Hodge 算子 $\delta :=-\ast \mathrm{d}\ast$ 是从 ${\Omega }^k(D)$ 到 ${\Omega }^{k-1}(D)$ 的线性映射, 其中 $\ast$ 满足: $\ast 1=\mathrm{d}x\wedge \mathrm{d}y,\ast \mathrm{d}x=\mathrm{d}y,\ast \mathrm{d}y=-\mathrm{d}x,\ast \mathrm{d}x\wedge \mathrm{d}y=1$. (1) 对 $\phi ,\psi \in {\Omega }^k(D)$, 定义 $⟨\phi ,\psi ⟩={\int }_D\phi \wedge \ast \psi .$ 证明 $⟨\cdot ,\cdot ⟩$ 是 $\mathbb{R}$ 线性空间 ${\Omega }^k(D)$ 上的内积. (2) 证明: 在 (1) 的内积下, $\delta$ 是 $\mathrm{d}$ 的对偶算子. (只需写 $\phi$ 为 $0$-形式,$\psi$ 为 $1$-形式的情形下, 成立 $d\phi$ 和 $\psi$ 的内积等于 $\phi$ 和 $\delta \psi$ 的内积即可) (3) 定义 ${\Omega }^k(D)$ 到自身的 Laplace 算子 $\Delta \omega =\mathrm{d}\delta \omega +\delta \mathrm{d}\omega$. 证明: $\Delta \omega =0$ 的充要条件是 $\mathrm{d}\omega =0$, $\delta \omega =0$. (4) 若 $\omega =f\mathrm{d}x+g\mathrm{d}y$, 证明: $-\Delta \omega =(\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y^2})\mathrm{d}x+(\frac{{\partial }^{2}g}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}g}{\partial y^2})\mathrm{d}y$. (5) 定义 $1$-调和形式 $H^1(M)=\{\omega \in {\Omega }^1(M):\Delta \omega =0\}$. 已知以下事实: 定义 $Z^1(M)=\{\omega \in {\Omega }^1(M):d\omega =0\}$, 我们有 $Z^1(M)=H^1(M)\oplus d(C^{\infty }(M))$. 根据该事实证明本题中所定义的该环面上的 $1$-调和形式所构成的空间同构于该环面的 $1$ 维 de Rham 上同调群. (6) 利用 (4)(5) 以及 Liouville 定理, 计算该环面的 $1$ 维 de Rham 上同调群. 注: 本题内容可参考陈维桓第五章黎曼几何关于 Hodge 分解的相关内容, 或查阅其他黎曼几何教材.

22021—2022 学年期末

  本次考试延长了 15 分钟.

1.	(每小题 7 分, 共 49 分) (1) 什么是正则曲面? 正则曲面上是否存在微分结构? (2) 叙述曲面上奇点指标的定义, 并证明它不依赖于局部共形映射的选取. (3) 给出簇的光滑点的定义. 证明由 ${\mathbb{R}}^n$ 上的光滑函数 $f(x)=0$ 定义的簇是开的光滑流形. (4) 写出复射影空间 ${\mathbb{CP}}^n$ 的定义, 并给出 ${\mathbb{CP}}^n$ 上的一个复结构. (5) 写出向量丛的 cocyle 条件, 简要说明 cocyle 条件与向量丛的存在性的联系. (6) 给出局部坐标系下外微分 $d:A^r(M)\to A^{r+1}(M)$ 的定义. 写出外微分所需满足的四条性质, 并验证 $d$ 的定义满足这四条性质. (7) 什么是 de Rham 上同调? 说明平面 ${\mathbb{R}}^2$ 去掉一个闭圆盘的 $1$ 阶 de Rham 上同调群非平凡.
2.	(10 分) (1) 给出 ${\mathbb{R}}^{n+1}$ 的单位球面 $S^n$ 的标准微分结构. (2) 定义映射 $f:S^n\to R{P}^n$ 如下: $$f(x_1,\cdots ,x_{n+1})=[(x_1,\cdots ,x_{n+1})].$$证明: $f$ 是光滑映射, 并且它的秩处处是 $n$.
3.	(10 分) 设$$\omega =Ady\wedge dz+Bdz\wedge dx+Cdx\wedge dy$$是 ${\mathbb{R}}^3$ 上的 $2$ 次外微分式, 且 $d\omega =0$. 令$$\begin{array}{rl}\alpha =& {\int }_0^{1}tA(tx,ty,tz)dt(ydz-zdy)\\ +& {\int }_0^{1}tB(tx,ty,tz)dt(zdx-xdz)\\ +& {\int }_0^{1}tC(tx,ty,tz)dt(xdy-ydx),\end{array}$$验证 $d\alpha =\omega$.
4.	(15 分) (1) 给出 $C^{\infty }(U)$ 上的导算子的定义. 证明 $C^{\infty }(U)$ 上的导算子全体 $\mathcal{F}(U)$ 是 $C^{\infty }(U)$- 模. (2) 切丛 $TM$ 在 $U$ 上的截面 $TM(U)$ 是 $C^{\infty }(U)$- 模. (3) 证明 $TM(U)$ 与 $\mathcal{F}(U)$ 模同构.
5.	(16 分) 定义层 $\mathcal{S}$ 是 $X$ 的所有开集 $U$ 到 Abel 群的映射. 对于开集 $V\subset U$, 定义层上的限制映射 $r_{VU}$, 满足以下条件: $r_{UU}=i{d}_U$, 对于 $U\subset V\subset W$, $r_{WU}=r_{WV}\circ r_{VU}$, 对于开集 $U=\bigcup _{\alpha \in I}{U}_{\alpha }$ 与 $f_{\alpha }\in \mathcal{S}(U_{\alpha })$, 其中 $I$ 是指标集, 若满足 $r_{W{U}_{\alpha }}(f_{\alpha })=r_{W{U}_{\beta }}(f_{\beta })$, 其中 $W=U_{\alpha }\cap U_{\beta }$, 则存在 $f\in \mathcal{S}(U)$ 使得 $r_{U_{\alpha }U}(f)=f_{\alpha }$. (1) 对照向量丛之间的态射的概念, 试给出层之间的映射的定义. 进一步地, 试给出层同构的定义. (2) 设 $E$ 是 $X$ 上的向量丛, 记 $E(U)$ 为 $X$ 的开集 $U$ 上的截面. 试证明 $E(U)$ 给出了 $X$ 上连续函数环的模层. (3) 定义 $X$ 的所有开集 $U$ 到 Abel 群 $G$ 的摩天大楼层为$$i_p(G)(U)=\{\begin{array}{rl}G& p\in U,\\ 0& p\notin U.\end{array}$$试说明它是层. (4) 对于拓扑空间 $X$, 证明其上的任何向量丛不与摩天大楼层同构.