试卷: 微分流形 (H)

12024–2025 秋季学期东瑜昕《微分流形》(H) 期末试题 (12.26)

(注: 这是研究生期末试题)

1.	(1) 请叙述微分流形定义. (2) 证明 $\mathrm{GL}(n,\mathbb{R})$ 是光滑流形, 给出维数.
2.	设若 $M$ 和 $N$ 分别是 $m$ 维和 $n$ 维的 $C^{\infty }$-微分流形, $F:M\to N$ 是 $C^{\infty }$-微分流形之间的光滑映照. 对于 $p\in M$ 以及 $q=F(p)\in N$, $F$ 自然地确定了一个切映照 $F_{\ast p}:T_{p}M\to T_{q}N$. 如果 $p$ 处有局部坐标 $\left(U,x^i\right)$, $q$ 处有局部坐标 $\left(V,y^{\alpha }\right)$, 它们分别给出了 $T_{p}M$ 和 $T_{q}N$ 的自然基 $\left\{\right(\frac{\partial }{\partial x^i}{)}_p\}$ 和 $\left\{\right(\frac{\partial }{\partial y^{\alpha }}{)}_q\}$. 请写出 $F_{\ast p}$ 在该基下的矩阵表示, 并证明, 当 $F$ 是微分同胚时, 上述 $F_{\ast p}$ 还是线性同构.
3.	$f:{\mathbb{R}}^3\to {\mathbb{R}}^3,f(x_1,x_2,x_3)=(x_2\cos x_3+x_1\sin x_3,x_1\cos x_3-x_2\sin x_3,x_3)$. 证明 $f$ 限制 $S^2$ 上是 $S^2$ 的光滑自同胚.
4.	(1) 给出并证明 $(r,s)$ 型张量的分量的基变换公式. (2) $\omega \in {\mathcal{A}}^r(M),\sigma \in {\mathcal{A}}^s(M)$, 证明 $\omega \wedge \sigma =(-1{)}^{rs}\sigma \wedge \omega$.
5.	(1) 给出流形上的外微分算子 $\mathrm{d}$ 的定义. (2) 说明 $\mathrm{d}$ 是局部算子.
6.	证明紧子流形一定是嵌入子流形.
7.	(1) 叙述 Frobenius 定理. (2) 设 $M$ 是 $C^{\infty }$-微分流形, $u,v\in C^{\infty }(M)$, $X,Y\in \mathcal{X}(M)$, $[-,-]$ 是 Lie 括号. 请展开 $[uX,vY]$.
8.	叙述微分形式的积分的定义, 证明其与坐标邻域选取无关. 叙述 Stokes 公式.

22024–2025 秋季学期东瑜昕《微分流形》(H) 期末试题

1.	(1) 请叙述光滑流形的定义. (2) $S^2\times {\mathbb{R}}^k$ 是光滑流形吗? (3) 拓扑流形上一定存在微分结构吗? 如果存在, 微分结构唯一吗?
2.	设 $F:M\to N$ 是微分同胚, 证明: 其在每一点 $p\in M$ 处的切映照都是线性同构. 反过来, 如果一个光滑映射 $F$ 在每一点处的切映照都是线性同构, 它一定是微分同胚吗?
3.	叙述秩定理. 叙述正则子流形的定义.
4.	设 $X,Y$ 是光滑流形 $M$ 上的光滑向量场, 证明 Lie 括号 $[X,Y]$ 是 $M$ 上的光滑向量场.
5.	证明: $n$ 维线性空间 $V$ 上的 $r$ 次反对称张量空间 ${\Lambda }^r(V^{\ast })$ 的维数是 $C_n^r$, 其中 $0\le r\le n$.
6.	给出并证明 $(r,s)$ 型张量的分量的基变换公式.
7.	设 $\omega$ 是 $M$ 上一次微分形式, 对任意的光滑向量场 $X,Y$, 证明: $$\text{d}\omega (X,Y)=X\omega (Y)-Y\omega (X)-\omega ([X,Y]).$$
8.	叙述微分形式的积分的定义, 证明其良定性. 叙述 Stokes 公式.

32018–2019 秋季学期东瑜昕《微分流形》(H) 期末试题

试题 1.

  叙述 $C^{\infty }$-微分流形的定义. 设若 $M$ 和 $N$ 分别是 $m$ 维和 $n$ 维的 $C^{\infty }$-微分流形, 证明 $M\times N$ 是 $m+n$ 维 $C^{\infty }$-微分流形.

试题 2.

  设若 $M$ 和 $N$ 分别是 $m$ 维和 $n$ 维的 $C^{\infty }$-微分流形, $F:M\to N$ 是 $C^{\infty }$-微分流形之间的光滑映照. 对于 $p\in M$ 以及 $q=F(p)\in N$, $F$ 自然地确定了一个余切空间的拉回映照 $F_q^{\ast }:T_q^{\ast }N\to T_p^{\ast }M$. 如果 $p$ 处有局部坐标 $\left(U,u^i\right)$, $q$ 处有局部坐标 $\left(V,v^{\alpha }\right)$, 它们分别给出了 $T_p^{\ast }M$ 和 $T_q^{\ast }N$ 的自然基 $\{(\mathrm{d}{u}^i{)}_p\}$ 和 $\{(\mathrm{d}{v}^{\alpha }{)}_q\}$. 请写出 $F_q^{\ast }$ 在该基下的矩阵表示, 并证明, 当 $F$ 是微分同胚时, 上述 $F_q^{\ast }$ 还是线性同构.

试题 3.

  设映照 $f:{\mathbb{R}}^2\to {\mathbb{R}}^2$ 的具体形式是 $y_1=x_1{\mathrm{e}}^{x_2}+x_2,y_2=x_1{\mathrm{e}}^{x_2}-x_2$. 试写出 $f$ 在欧氏空间自然基底下, 诱导出切空间之间映照 $f_{\ast }$ 的矩阵表示, 并证明 $f$ 是个光滑同胚.

试题 4.

  设 $M$ 是 $C^{\infty }$-微分流形, $f,g\in C^{\infty }(M)$, $X,Y\in \mathcal{X}(M)$, $[-,-]$ 是 Lie 括号. 请展开 $[fX,gY]$.

试题 5.

  设 $M$ 是 $C^{\infty }$-微分流形, $X,Y\in \mathcal{X}(M)$, $\omega \in {\Lambda }^1(M)$, $[-,-]$ 是 Lie 括号. 证明公式$$\mathrm{d}\omega (X,Y)=X\omega (Y)-Y\omega (X)-\omega ([X,Y]).$$

试题 6.

  设 $M$ 是 $m$ 维 $C^{\infty }$-紧致无边微分流形, $f:M\to {\mathbb{R}}^m$ 是光滑映照. 试证明存在 $p\in M$, 使得 $f$ 在 $p$ 处的秩小于 $m$.

试题 7.

  设 $M_1,M_2$ 是 $C^{\infty }$-微分流形, $f:M_1\to M_2$ 是局部微分同胚. 若 $M_2$ 是可定向的, 证明 $M_1$ 也是可定向的.

试题 8.

  证明, 具有紧支集的形式的积分和单位分解的选取无关. 再叙述 Stokes 定理.