用户: Solution/ 试卷: 抽象代数

12024–2025 秋期末 (猛班)

一、 填空题

1.	设 $\sigma =(1357)\in S_8$, 则 ${\sigma }^{-3}=(),{\sigma }^{-1}(2468)\sigma =()$.
2.	已知 $a=\bar{x}\in \mathbb{Q}[x]/(x^3+x+2)$, 则 $a^5$ 是否可逆? $()$(填 “是” 或 “否”.) 若可逆, 用 $1,a,a^2$ 的线性组合表示之 $()$. (待修正)
3.	写出一个 ${\mathbb{F}}_3$ 上的四次不可约多项式.
4.	$833$ 阶群是否为 Abel 群? $()$(填 “是” 或 “否”.) (待修正)
5.	${\mathbb{F}}_9$ 中, $x^6+x^4+x^3+x-1$ 根的个数为 $()$. (待修正)
6.	写出 $2025$ 阶 Abel 群的所有可能结构, 请用书中形式写.
7.	$x^4+5\in \mathbb{Q}[x]$ 在 $\mathbb{Q}$ 上的分裂域 (记为 $E$) 是 $()$. $[E:\mathbb{Q}]=()$. $E/\mathbb{Q}$ $()$(填 “是” 或 “否”.) 为 Galois 扩张.

二、 解答题

1.	对于群 $G$, $C(G)$ 是其中心, 证明: $C(G/C(G))$ 不可能是非平凡循环群.
2.	对于环 $\mathbb{Z}[i]$, $I=(3)$ 是其理想, 请问 $I$ 是素理想吗? 请问 $I$ 是极大理想吗?
3.	令 $S=\{n\in \mathbb{Z}|p|n\}$, 在 $\mathbb{Z}\times S$ 上建立 “关系”, $(n_1,s_1)\sim (n_2,s_2)\iff n_1{s}_2=n_2{s}_1.$ (1) 证明 $\sim$ 是等价关系. (2) 在 ${\mathbb{Z}}_{(p)}=\mathbb{Z}\times S/\sim$ 上定义加法和乘法: $$[(n_1,s_1)]+[(n_2,s_2)]=[(n_1{s}_2+n_2{s}_1,s_1{s}_2)],[(n_1,s_1)]\cdot [(n_2,s_2)]=[(n_1{n}_2,s_1{s}_2)].$$证明其良定且使 ${\mathbb{Z}}_{(p)}$ 成为环. (3) 证明 ${\mathbb{Z}}_{(p)}$ 为 PID. (4) 求 ${\mathbb{Z}}_{(p)}$ 的分式域.
4.	令 $R=\{a+3b\sqrt{10}|a,b\in \mathbb{Z}\}$. (1) 证明 $R$ 是一个整区. (2) 举出 $R$ 的一列 (无限可列) 可逆元. (3) 证明 $2$ 是 $R$ 中不可逆元.
5.	$K=\mathbb{Q}(\sqrt{2}+\sqrt{3}),\theta =\sqrt{(2-\sqrt{2})(9-6\sqrt{3})},E=K(\theta )\ne K$. 问 $E/\mathbb{Q}$ 是不是 Galois 扩张? 如果是, 求 $\mathrm{Gal}(E/\mathbb{Q})$.

22024–2025 秋期中 (猛班)

(一)	(共 20 分) 分别举出满足下列条件的群 $G$ 各一例: (1) $G$ 是一个不可交换的无限群; (2) $G$ 是一个阶可被 $2^{10}$ 整除的有限单群; (3) $G$ 中每个元素的阶均有限, 但 $G$ 是无限群; (4) $G$ 中除了子群 $\{e\}$ 外, 每个子群都有无限多个正规子群; (5) $G$ 是这样一个 $m(m>1)$ 阶群, 对 $m$ 的每个因子 $n$, $G$ 都有唯一的一个 $n$ 阶子群.
(二)	(20 分) 设 $G$ 是有限阶群, $K◃H◃G$, 且 $\gcd (|K|,|H/K|)=1$, 证明: $K◃G$.
(三)	(20 分) 设 $R$ 是一个非零环, 且 $R$ 除了零理想外没有其他理想, 证明: $R$ 的中心 $Z(R)$ 是一个域.
(四)	(20 分) 叙述欧氏整区的定义, 并证明每一个欧氏整区都是主理想整区 (PID).
(五)	(20 分) 设 $G$ 是有限群, $P$ 是 $G$ 的 Sylow-$p$ 子群 ($p$ 为素数), $H⊲G$, $p\mid |H|$. 记 $n_p(G)$ 为 $G$ 的 Sylow-$p$ 子群的个数. 证明: (1) $P\cap H$ 是 $H$ 的一个 Sylow-$p$ 子群; (2) $n_p(G)=[G:N_G(P)]$; (3) $n_p(H)\mid n_p(G)$.

32023–2024 秋期中 (猛班)

(一)	单项选择题 (共 30 分) (a) $\mathbb{Z},A_2,A_4,A_6,M_n(F)$ (矩阵环; $F$ 为一个域) 中哪些是单群或单环? (A). $\mathbb{Z},A_4,A_6,M_n(F)$; (B). $\mathbb{Z},A_2,A_6,M_n(F)$; (C). $\mathbb{Z},A_2,A_4,M_n(F)$; (D). $A_2,A_4,A_6$; (E). 以上都不对. (b) 下列哪个环是主理想整环? (A). ${\mathbb{Z}}_{25}$; (B). $\mathbb{Z}[x]$; (C). 二元多项式环的商 $\mathbb{R}[x,y]/I,I=⟨x^2+1,y^2-2⟩$; (D). $\mathbb{R}[x,y]/I,I=⟨x^2+1⟩$. (c) 设 $R_1,R_2$ 是带 $1$ 的环, $f:R_1\to R_2$ 是非零环同态. 考虑下面两个命题: (I). 设 $I$ 是 $R_1$ 的理想, 则 $f(I)$ 是 $R_2$ 的理想. (II). 设 $J$ 是 $R_2$ 的极大理想, 则 $f^{-1}(J)=\{x\in R_1|f(x)\in J\}$ 是 $R_1$ 的素理想. 下面关于它们的判断 $\text{正确}$ 的是? (A). (I) 错误, (II) 正确; (B). (I) 正确, (II) 错误; (C). (I) 与 (II) 都正确; (D). (I) 与 (II) 都错误. (d) 设 $R$ 是整区, 下列命题中, 哪个 $\text{正确}$? (A). 设 $I$ 是 $R$ 的一个非平凡理想, 则 $R/I$ 必为整区; (B). $R$ 不可能包含一个非整子环; (C). 设 $S$ 是一个交换环, $f:R\to S$ 是一个非零环同态, 则其像 $f(R)$ 必为整区; (D). 如果 $R$ 不是域, $R$ 不可能包含任何非零子域. (e) 设 $G$ 是一个群, 下列哪个命题 $\text{正确}$? (A). $G$ 的任何一个循环子群都是有限群; (B). 如 $G$ 是 Abel 群, 则 $G$ 的任何子群、商群必为 Abel 群; (C). 如 $G$ 是无限群, 则 $G$ 中至少有一个元素的阶 (order) 非有限; (D). 除了幺元以外, $G$ 至少有一个素数阶元素.
(二)	(15 分) 设 $S_5$ 中的两个元素 $\sigma =(12)(45),\tau =(12345)$, 试证明: (1) 子群 $H=⟨\sigma ,\tau ⟩$ 满足 $|H|\ge 30$; (2) $A_5=⟨\sigma ,\tau ⟩$.
(三)	(15 分) 设 $G$ 为群, $H$ 为 $G$ 的正规子群, $K$ 为 $G$ 的子群, 若对于任意元素 $x\in G/H$, 都存在唯一的 $k\in K$ 使 $kH=x$, 证明 $K\cong G/H$.
(四)	(15 分) 设 $P$ 是有限群 $G$ 的 Sylow $p$-子群, $H$ 为 $G$ 的子群且 $N_G(P)\subseteq H$, 证明: $H=N_G(H)$.
(五)	(15 分) 设 $G$ 为一个群, $H$ 为 $G$ 的一个子群. (1) 令 $H_G={\bigcap }_{g\in G}{g}^{-1}Hg$, 证明 $H_G$ 是 $G$ 的包含于 $H$ 的最大正规子群; (2) 设从 $G$ 到 $S_n$ 只有有限多个不同的群同态, 证明 $G$ 只有有限多个指数为 $n$ 的子群.
(六)	(10 分) 设 $R_1,R_2$ 为两个带 $1$ 的环, 如果映射 $\phi :R_1\to R_2$ 满足 $\phi (1_{R_1})=1_{R_2}$, 且 (1), (2) 成立: (1) $\phi :(R_1,+)\to (R_2,+)$ 是群同态; (2) 对任意 $a,b\in R_1$, $\phi (ab)=\phi (b)\phi (a)$, 则称 $\phi$ 是一个反同态. 又, 如果 $\phi$ 满足 (1), (2)${}^{\prime }$: (2)${}^{\prime }$ 对任意 $a,b\in R_1$, $\phi (ab)=\phi (a)\phi (b)$ 或 $\phi (b)\phi (a)$, 则称 $\phi$ 是一个半同态. 试证明: 若映射 $\phi$ 是半同态, 则 $\phi$ 是同态或反同态.

42023–2024 秋期中 (雪班、远班)

(一)	(20 分) 单选题 1. $\{A_n\mid n⩾3\}$ 中有多少个群不是单群? A. $1$. B. $2$. C. $3$. D. 无穷多. 2. (关于正规子群的一个问题) 3. (关于群同态的一个问题) 4. 设 $D_8$ 是正方形上的二面体群, 下列正确的是: A. $D_8$ 中存在 $8$ 阶元. B. $D_8$ 的四阶子群一定是 Abel 群. C. $C(D_8)=\{1\}$. D. $[D_8,D_8]$ 是 $2$ 阶群.
(二)	(20 分) 填空题 5. 求所有群同态 $f:{\mathbb{Z}}_6\to {\mathbb{Z}}_6$ 的个数. 6. 求 $S_6$ 中 $3$ 阶元的个数. 7. 求 $A_4$ 中共轭类的个数. 8. 设有限群 $G$ 满足 $|G|=35$, 写出 $C(G)$ 的所有可能的阶数.
(三)	(15 分) 设 $G$ 是一个群, $G^3=\{a^3\mid a\in G\}$. 1. 若 $G$ 是 Abel 群, 证明 $G^3$ 是 $G$ 的子群. 2. 若 $G=S_3$, $G^3$ 还是 $G$ 的子群吗?
(四)	(15 分) 证明: $\mathbb{Q}/\mathbb{Z}$ 和 $\mathbb{R}/\mathbb{Q}$ 不同构.
(五)	(15 分) 非 Abel 群 $G$ 满足 $|G|=21$, 求 $G$ 的子群个数.
(六)	(15 分) 证明: $324$ 阶群不是单群.

52022–2023 秋期中 (猛班)

(一)	单项选择题 (a) 下列四个环中哪个是 PID? (A). $\mathbb{Z}[x]$; (B). ${\mathbb{Z}}_n,n\ge 2$; (C). $\mathbb{Q}[x,y]$; (D). ${\mathbb{Z}}_p[x]$, $p$ 为素数. (b) 下列哪对 Abel 群 $\text{不}$ 同构? (A). ${\mathbb{Z}}_6,{\mathbb{Z}}_2\times {\mathbb{Z}}_3$; (B). $({\mathbb{Z}}_6{)}^{\ast },({\mathbb{Z}}_2{)}^{\ast }\times ({\mathbb{Z}}_3{)}^{\ast }$; (C). ${\mathbb{Z}}_8,{\mathbb{Z}}_2\times {\mathbb{Z}}_4$; (D). $({\mathbb{Z}}_8{)}^{\ast },({\mathbb{Z}}_3{)}^{\ast }\times ({\mathbb{Z}}_3{)}^{\ast }$. (c) 考虑下面两个命题 (I). 设 $f(x)\in \mathbb{Z}[x],0\ne g(x)\in \mathbb{Z}[x]$, 则存在 $q(x),r(x)\in \mathbb{Z}[x]$ 使得 $f(x)=g(x)q(x)+r(x)$, 且 $\mathrm{deg}r(x)<\mathrm{deg}g(x)$. (II). 设 $A,B,C$ 是 Abel 群, 若 $A\times B\cong A\times C$, 则 $B\cong C$. 下面关于它们的判断 $\text{正确}$ 的是? (A). (I) 错误, (II) 正确; (B). (I) 正确, (II) 错误; (C). (I) 错误, (II) 错误; (D). (I) 正确, (II) 正确. (d) 设 $f:R\to S$ 是含幺交换环之间的非零环同态, 则下列命题中 $\text{正确}$ 的是? (A). 若 $R$ 是整区, 则 $f(R)$ 也是整区; (B). 若 $f$ 是满同态, 且 $I$ 是 $R$ 的理想, 则 $f(I)$ 也是 $S$ 的理想; (C). 若 $\mathfrak{p}$ 是 $R$ 的素理想, 则 $f(\mathfrak{p})$ 也是 $S$ 的素理想; (D). 若 $\mathfrak{m}$ 是 $R$ 的极大理想, 则 $f(\mathfrak{m})$ 也是 $S$ 的极大理想.
(二)	填空题 (a) 设 $\sigma =(12345)(1234)\in S_5$, 则 $\sigma$ 的阶是 $\underline{}$, $\sigma$ 是 $\underline{}$ (填 “奇” 或 “偶”) 置换. 设 $\tau =(321)(21)(514)$ $\in S_5$, 则 $\tau \sigma {\tau }^{-1}=$ $\underline{}$. (b) $S_9$ 中与 $(12345)(67)(89)$ 共轭的元素有 $\underline{}$ 个, $S_9$ 中有 $\underline{}$ 个 $10$ 阶元. (c) ${\mathbb{Z}}_{54000}$ 有 $\underline{}$ 个子群, ${\mathbb{Z}}_7\times {\mathbb{Z}}_7\times {\mathbb{Z}}_7$ 有 $\underline{}$ 个子群.
(三)	设 $R$ 是含幺环. 若 $R$ 无非零幂零元, 则称 $R$ 是约化的. (1) 证明 $R$ 是约化的当且仅当 $\forall x\ne 0,x^2\ne 0$. (2) 设 $R$ 是约化的, $x,y\in R$ 使得 $xy=0$. 证明: $yRx=\{0\}$. (3) 设 $R$ 是约化的, $x\in R$ 是幂等元, 即 $x^2=x$. 证明: $\forall y\in R,xy=yx$.
(四)	考虑交换群 $(\mathbb{Q},+)$ 及其商群 $\mathbb{Q}/\mathbb{Z}$, 证明: (1) 设 $r\in \mathbb{Z}\setminus \{0\},s\in \mathbb{N}$, 有 $o(\frac{r}{s}+\mathbb{Z})=\frac{s}{\gcd (r,s)}$; (2) 对于任意的正整数 $n$, $\mathbb{Q}/\mathbb{Z}$ 有且仅有一个 $n$ 阶子群; (3) $\mathbb{Q}/\mathbb{Z}$ 中有限个元素生成的群均为循环群.
(五)	设 $R$ 为含幺交换环, $a,b\in R$. 记 $\bar{a}=a+(b)$ 为 $a$ 在自然同态 $R\to R/(b)$ 下的像. 证明: (1) $(\bar{a})=(a,b)/(b)$; (2) $(R/(b))/(\bar{a})\cong R/(a,b)$, $(R/(b))/(\bar{a})\cong (R/(a))/(\tilde{b})$, 其中 $\tilde{b}=b+(a)$ 是 $b$ 在自然同态 $R\to R/(a)$ 下的像; (3) 记 $\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]=\{a+b\sqrt{-5}\mid a,b\in \mathbb{Z}\}\subseteq \mathbb{C}$. 定义环同态$$\phi :\mathbb{Z}[x]/(x+1)\to \mathbb{Z}[\sqrt{-5}]/(\sqrt{-5}+1)$$$$\phi (\overline{a+bx})=\overline{a+b\sqrt{-5}},\forall a,b\in \mathbb{Z}$$请问 $\phi$ 是否为环同构? 若是, 请证明之; 若否, 请给出理由; (4) 证明 $\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]/(2,\sqrt{-5}+1)$ 环同构于 $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$.
(六)	设 $G$ 是阶数为 $2^n\cdot m$ 的群, 其中 $n\ge 1,m$ 为奇数. 若 $G$ 中含有 $2^n$ 阶元, 则 $G$ 含有一个指数为 $2^n$ 的正规子群.

62022–2023 秋期末 (猛班)

一、 填空题

1.	设 $\sigma =(12345)\in S_6$, 则 ${\sigma }^{-2}=(),{\sigma }^{-1}(126)\sigma =()$.
2.	已知 $a=\bar{x}\in \mathbb{Q}[x]/(x^3+x+2)$, 则 $a^5$ 是否可逆? $()$(填 “是” 或 “否”.) 若可逆, 用 $1,a,a^2$ 的线性组合表示之 $()$.
3.	写出两个 ${\mathbb{F}}_2$ 上的三次不可约多项式.
4.	$833$ 阶群是否为 Abel 群? $()$(填 “是” 或 “否”.)
5.	${\mathbb{F}}_8$ 中, $x^6+x^4+x^3+x-1$ 根的个数为 $()$.
6.	写出 $3996$ 阶 Abel 群的所有可能结构.
7.	$x^4+2\in \mathbb{Q}[x]$ 在 $\mathbb{Q}$ 上的分裂域 (记为 $E$) 是 $()$. $[E:\mathbb{Q}]=()$. $E/\mathbb{Q}$ $()$(填 “是” 或 “否”.) 为 Galois 扩张.

二、 解答题

1.	若 $R_1,R_2$ 是两个同构的整区, $F_1,F_2$ 是对应的分式域. 证明: $F_1,F_2$ 同构.
2.	$E/F$ 是域扩张, $u\in E$, $[F(u):F]=p$, 其中 $p$ 是素数. 证明: $\forall m\in \mathbb{N},0<m<p$, $F(u^m)=F(u).$
3.	求 $f(x)=(x^2-5)(x^3+1)$ 在 $\mathbb{Q}$ 上的分裂域 $E$, 描述 $\mathrm{Gal}(E/\mathbb{Q})$ 的结构.
4.	构造一个 ${\mathbb{F}}_5[x]/(x^2+2)$ 到 ${\mathbb{F}}_5[x]/(x^2+3)$ 的具体域同构并证明它是同构.
5.	证明: $715$ 阶群的中心包含该群的一个 Sylow-$13$ 子群.

72022–2023 秋期末 (雪班)

1.	(20 分) 设 $G$ 是一个群, $A,B$ 是 $G$ 的子群, 记 $AB=\{ab|a\in A,b\in B\}$. (a) 如果 $G$ 是 Abel 群, 证明 $AB$ 是 $G$ 的子群; (b) 设 $G=S_3$, $A=\{1,(13)\}$, $B=\{1,(12)\}$. 问: $AB$ 是否是 $S_3$ 的子群, 说明理由.
2.	(20 分) 设 $R=\{m+n\sqrt{11}i\in \mathbb{C}|m,n\in \mathbb{Z}\}$ 是 $\mathbb{C}$ 的子环, $i^2=-1$. 定义映射 $N:R\to \mathbb{Z}$ 如下: $N(m+n\sqrt{11}i)=m^2+11n^2$. (a) 证明: 对任意 $x,y\in R$, 都有 $N(xy)=N(x)N(y)$; (b) 求 $R^{\ast }=\{x\in R|\text{存在 }y\in R\text{ 使得 }xy=yx=1\}$, 说明理由; (c) $R$ 是否是唯一分解整区 (U.F.D.) ? 说明理由.
3.	(15 分) 设 $G$ 是一个有限群, $|G|=48$. 证明: $G$ 有 $16$ 阶或 $8$ 阶的正规子群.
4.	(15 分) 设 $f(x)=x^6+\sqrt{5}{x}^5+\sqrt{7}{x}^3+\sqrt[3]{11}x+1\in \mathbb{R}[x]$, $\alpha \in \mathbb{C}$ 是 $f(x)$ 的一个零点. 证明: $\alpha$ 是 $\mathbb{Q}$ 上的代数元.
5.	(15 分) 设 ${\mathbb{F}}_{81}$ 为 $81$ 元的有限域. $T=\{\alpha \in {\mathbb{F}}_{81}|{\mathbb{F}}_{81}={\mathbb{F}}_3(\alpha )\}$. 求 $T$ 中元素的个数, 说明理由.
6.	(15 分) 设 $E/\mathbb{Q}$ 是一个有限 Galois 扩张且 $[E:\mathbb{Q}]=4$. 若 $\mathrm{Gal}(E/\mathbb{Q})$ 不是循环群, 证明存在 $\alpha ,\beta \in E$ 使得 $E=\mathbb{Q}(\alpha ,\beta )$ 且 ${\alpha }^2,{\beta }^2\in \mathbb{Q}$.

82020–2021 秋期中 (猛班)

(一)	单项选择题 (共 30 分) (a) $A_3$, $A_4$, $A_5$, $M_n(F)$ (矩阵环; $F$ 为一个域) 中哪些是单群或单环? $\underline{}$ (A). $A_4$, $A_5$, $M_n(F)$; (B). $A_3$, $A_5$, $M_n(F)$; (C). $A_3$, $A_4$, $M_n(F)$; (D). $A_3$, $A_4$, $A_5$. (b) 下列哪个环是整环? $\underline{}$ (A). ${\mathbb{Z}}_4$; (B). $\mathbb{Z}[i]$, $i$ 是虚数单位; (C). 二元多项式环的商 $R[x,y]/I$, $I=⟨xy⟩$; (D). $n$ 元实矩阵环 $M_n(\mathbb{R})$. (c) 设 $R_1,R_2$ 是带 $1$ 的环, $f:R_1\to R_2$ 是非零环同态. 考虑下面两个命题: (I). 设 $S$ 是 $R_1$ 的子环, 则 $f(S)$ 是 $R_2$ 的子环. (II). 设 $J$ 是 $R_2$ 的素理想, 则 $f^{-1}(J)=\{x\in R_1|f(x)\in J\}$ 是 $R_1$ 的素理想. 下面关于它们的判断 $\text{正确}$ 的是? $\underline{}$ (A). (I) 错误, (II) 正确; (B). (I) 正确, (II) 错误; (C). (I) 与 (II) 都错误; (D). (I) 与 (II) 都正确. (d) 设 $R$ 是整区, 下列命题中, 哪个 $\text{正确}$? $\underline{}$ (A). 设 $I$ 是 $R$ 的一个非平凡理想, 则 $R/I$ 必为整区; (B). $R$ 完全有可能包含一个非整子环; (C). 设 $S$ 是一个交换环, $f:R\to S$ 是一个非零环同态, 则其像 $f(R)$ 必为整区; (D). 即使 $R$ 不是域, $R$ 完全有可能包含一个子环且该子环为域. (e) 设 $G$ 是乘法群, 下列哪个命题 $\text{正确}$? $\underline{}$ (A). $G$ 的任何一个循环子群都是单群; (B). 如 $G$ 是 Abel 群, 则 $G$ 的任何子群、商群必为 Abel 群; (C). 如 $G$ 是无限群, 则 $G$ 中至少有一个元素的阶 (order) 非有限; (D). 除了幺元以外, $G$ 至少有一个有限阶元素. (f) 设 $R$ 为整区, $R[x,y]$ 为 $R$ 上的二元多项式环, 下列哪个命题 $\text{正确}$? $\underline{}$ (A). 如 $R[x,y]$ 是 UFD, 则 $R$ 必为 UFD; (B). 如 $R[x,y]$ 是 UFD, 则 $R[x]$ 不一定是 UFD; (C). 如 $R$ 是 PID, 则 $R[x,y]$ 也是 PID; (D). 以上命题都不对.
(二)	(15 分) 设 $p$ 为素数, 试证明: (1) 群 ${\mathbb{Z}}_{p^3}$ 与群 ${\mathbb{Z}}_p\oplus {\mathbb{Z}}_p\oplus {\mathbb{Z}}_p$ 不同构; (2) 求出 ${\mathbb{Z}}_{p^3}$ 的所有子群; (3) 求出 ${\mathbb{Z}}_p\oplus {\mathbb{Z}}_p\oplus {\mathbb{Z}}_p$ 的所有子群.
(三)	(15 分) 设 $F_2$ 是含两个元素的域, $n\ge 4$ 为正整数, $$R=\{(a_{ij})\in M_n(F_2)|a_{ij}=0,\forall 1\le j<i\le n\}.$$试分别举例说明: (1) 环 $R$ 不是交换环; (2) 环 $R$ 不是整环; (3) 设理想 $I\subseteq R$ 含有矩阵 $E_{23}$ (即在 $(2,3)$ 位置为 $1$ 且其余位置为 $0$ 的矩阵) , 则 $I$ 至少含有多少个元素.
(四)	(15 分) 设 $G$ 为一个群, $H$ 和 $K$ 分别为 $G$ 的有限指数子群, 即 $[G:H]<+\infty$, $[G:K]<+\infty$. 如果 $G=HK$, 试证明 $[G:H\cap K]=[G:H][G:K]$.
(五)	(15 分) 设 $D$ 为可除环, $K$ 为 $D$ 的可除子环, 记 $D^{\ast },K^{\ast }$ 分别为 $D,K$ 的乘法群. 设 $N=N_{D^{\ast }}(K^{\ast }),C=C_{D^{\ast }}(K^{\ast })$ 分别为 $K^{\ast }$ 在 $D^{\ast }$ 中的正规化子和中心化子. 对任意 $h\in D\setminus \{0,1\}$, 证明 $h,1-h\in N$ 当且仅当 $h\in K\cup C$.
(六)	(10 分) 设 $f(x)=a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+\cdots +a_0$ 为一个 $n$ 次实系数多项式, $x_1,x_2,\cdots ,x_n$ 为给定的 $n$ 个实数, 令 $S=\{I|I\subseteq \{1,2,\cdots ,n\}\}$. 求 ${\sum }_{I\in S}(-1{)}^{|I|}f({\sum }_{i\in I}{x}_i)$ 的值, 其中 $|I|$ 表示 $I$ 中的元素个数. 若 $I$ 是空集, 则规定 $(-1{)}^{|I|}f({\sum }_{i\in I}{x}_i)=f(0)=a_0$.

(六) 解答.

(六) 解答. 设 $F(x_1,\cdots ,x_n)={\sum }_{I\in S}(-1{)}^{|I|}f({\sum }_{i\in I}{x}_i)$, 注意$$\begin{array}{rl}& F(x_1,\cdots ,x_{j-1},0,x_{j+1},\cdots ,x_n)\\ & ={\sum }_{I\not\ni x_j}(-1{)}^{|I|}f({\sum }_{i\in I}{x}_i)+{\sum }_{I\ni x_j}(-1{)}^{|I|}f({\sum }_{i\in I}{x}_i)\\ & ={\sum }_{I\not\ni x_j}(-1{)}^{|I|}f({\sum }_{i\in I}{x}_i)+{\sum }_{I\not\ni x_j}(-1{)}^{|I\cup \{x_j\}|}f({\sum }_{i\in I}{x}_i+0)=0,\end{array}$$于是 $x_j|F(x_1,\cdots ,x_n)$. 因为 $\mathrm{deg}F\le n$, 所以 $F(x_1,\cdots ,x_n)=C{x}_1\cdots x_n$.

观察到 $F$ 的表达式中唯一出现 $x_1\cdots x_n$ 一项的是 $(-1{)}^n{a}_n(x_1+\cdots +x_n{)}^n$, 故 $C=(-1{)}^n{a}_{n}n!$.

$\square$

92020–2021 秋期末 (雪班、远班)

(一)	(20 分) 填空题 1. 方程 $x^2-1=0$ 在环 $R=\mathbb{Z}/8\mathbb{Z}$ 中有 $\underline{}$ 个不同的解. 2. 设 $u=\sqrt{2}-\sqrt{3}$, 写出 $u$ 在有理数域 $\mathbb{Q}$ 上的首一极小多项式: $\underline{}$. 3. 写出对称群 $S_4$ 的一个 Sylow $3$ 子群: $\underline{}$. 4. 设 $f(x)=x^4+x^2+1$. 在 ${\mathbb{F}}_2[x]$ 中将 $f(x)$ 分解成不可约多项式的乘积: $\underline{}$. 在 ${\mathbb{F}}_3[x]$ 中将 $f(x)$ 分解成不可约多项式的乘积: $\underline{}$. 5. 设 $f(x)\in \mathbb{Q}[x]$ 是一个 $3$ 次不可约多项式, $r_1,r_2,r_3$ 是 $f(x)$ 在 $\mathbb{C}$ 中的零点, 满足条件 $r_1\in \mathbb{R},r_2\notin \mathbb{R},r_3\notin \mathbb{R}$. 设 $E=\mathbb{Q}(r_1,r_2,r_3)$, 则扩张次数 $[E:\mathbb{Q}]=\underline{}$.
(二)	(20 分) 选择题 (单选) 6. 下列关于群的命题, 哪个正确? $\underline{}$ A. 最小的有限单群是 $60$ 阶群; B. 如果一个群没有非平凡子群, 则该群为循环群; C. 如果一个群的每个非平凡子群都是循环群, 则该群为 Abel 群; D. 无限阶的 Abel 群不是有限生成的. 7. 多项式 $f(x)=x^4+1$ 在域 ${\mathbb{F}}_9$ 上有几个不同的零点? $\underline{}$   A. $1$;    B. $2$;    C. $3$;    D. $4$. 8. 下列环中, 不是域的是 $\underline{}$. A. ${\mathbb{F}}_3[x]/(x^2+1)$; B. $\mathbb{Q}[x]/(x^4-x^2+1)$; C. $\mathbb{Z}[x]/(x^2+2)$; D. $\mathbb{Z}/31\mathbb{Z}$. 9. 设 $G$ 为一个 $24$ 阶的 Abel 群. 设 $n_4$ 为 $G$ 中 $4$ 阶子群的个数, 则 $n_4$ 不可能等于 $\underline{}$.   A. $4$;    B. $3$;    C. $2$;    D. $1$. 10. 设 $E/F$ 为有限 Galois 扩张且 $\mathrm{Gal}(E/F)$ 同构于交错群 $A_4$. 则下列命题不成立的是 $\underline{}$. A. 存在一个中间域 $K$ 且 $[E:K]=3$, 使得 $E/K$ 为 Galois 扩张; B. 存在一个中间域 $K$ 且 $[E:K]=4$, 使得 $E/K$ 为 Galois 扩张; C. 存在一个中间域 $K$ 且 $[E:K]=4$, 使得 $K/F$ 为 Galois 扩张; D. 存在一个中间域 $K$ 且 $[E:K]=6$, 使得 $K/F$ 为 Galois 扩张.
(三)	(18 分) 设 $\mathbb{Z}[i]=\{a+bi\in \mathbb{C}|a,b\in \mathbb{Z}\}$ 是高斯整数环, $i^2=-1$. 定义映射 $N:\mathbb{Z}[i]\to \mathbb{Z}$ 如下: $N(a+bi)=a^2+b^2$. (i) 证明: 对任意 $x,y\in \mathbb{Z}[i]$, 都有 $N(xy)=N(x)N(y)$; (ii) 证明: $x\in \mathbb{Z}[i]$ 是乘法可逆元当且仅当 $N(x)=1$. (iii) $11$ 是否是 $\mathbb{Z}[i]$ 的不可约元? 说明理由.
(四)	(12 分) 设 $G$ 是有限群, $|G|=132$. 证明: $G$ 不是单群.
(五)	(15 分) 设 $r_1,r_2,r_3$ 为多项式 $f(x)=x^3-2x+1\in \mathbb{Q}[x]$ 在 $\mathbb{C}$ 中的三个根, 设 $E=\mathbb{Q}(r_1,r_2,r_3)$. 求 $\mathrm{Aut}(E/\mathbb{Q})$, 说明理由.
(六)	(15 分) 设 $F$ 是一个域且其特征为素数 $p$. 设 $a\in F$, $f(x)=x^p-x-a\in F[x]$. 设 $\overline{F}$ 是 $F$ 的代数闭包, $u\in \overline{F}$ 是 $f(x)$ 的一个零点. (i) 证明: $u+1$ 是 $f(x)$ 的零点; (ii) 设 $E=F(u)$, 证明 $E/F$ 是 Galois 扩张.