用户: Solution/ 试卷: 抽象代数
12023–2024 秋期中 (猛班)
(一) | 单项选择题 (共 30 分)
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(二) | (15 分) 设 中的两个元素 , 试证明:
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(三) | (15 分) 设 为群, 为 的正规子群, 为 的子群, 若对于任意元素 , 都存在唯一的 使 , 证明 . | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(四) | (15 分) 设 是有限群 的 Sylow -子群, 为 的子群且 , 证明: . | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(五) | (15 分) 设 为一个群, 为 的一个子群.
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(六) | (10 分) 设 为两个带 的环, 如果映射 满足 , 且 (1), (2) 成立:
试证明: 若映射 是半同态, 则 是同态或反同态. |
22022–2023 秋期中 (猛班)
(一) | 单项选择题
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(二) | 填空题
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(三) | 设 是含幺环. 若 无非零幂零元, 则称 是约化的.
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(四) | 考虑交换群 及其商群 , 证明:
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(五) | 设 为含幺交换环, . 记 为 在自然同态 下的像. 证明:
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(六) | 设 是阶数为 的群, 其中 为奇数. 若 中含有 阶元, 则 含有一个指数为 的正规子群. |
32022–2023 秋期末 (猛班)
一、 | 填空题
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二、 | 解答题
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42022–2023 秋期末 (雪班)
1. | (20 分) 设 是一个群, 是 的子群, 记 .
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2. | (20 分) 设 是 的子环, . 定义映射 如下: .
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3. | (15 分) 设 是一个有限群, . 证明: 有 阶或 阶的正规子群. | ||||||
4. | (15 分) 设 , 是 的一个零点. 证明: 是 上的代数元. | ||||||
5. | (15 分) 设 为 元的有限域. . 求 中元素的个数, 说明理由. | ||||||
6. | (15 分) 设 是一个有限 Galois 扩张且 . 若 不是循环群, 证明存在 使得 且 . |
52020–2021 秋期中 (猛班)
(一) | 单项选择题 (共 30 分)
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(二) | (15 分) 设 为素数, 试证明:
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(三) | (15 分) 设 是含两个元素的域, 为正整数, 试分别举例说明:
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(四) | (15 分) 设 为一个群, 和 分别为 的有限指数子群, 即 , . 如果 , 试证明 . | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(五) | (15 分) 设 为可除环, 为 的可除子环, 记 分别为 的乘法群. 设 分别为 在 中的正规化子和中心化子. 对任意 , 证明 当且仅当 . | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(六) | (10 分) 设 为一个 次实系数多项式, 为给定的 个实数, 令 . 求 的值, 其中 表示 中的元素个数. 若 是空集, 则规定 . |
观察到 的表达式中唯一出现 一项的是 , 故 .
62020–2021 秋期末 (雪班、远班)
(一) | (20 分) 填空题
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(二) | (20 分) 选择题 (单选)
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(三) | (18 分) 设 是高斯整数环, . 定义映射 如下: .
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(四) | (12 分) 设 是有限群, . 证明: 不是单群. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||
(五) | (15 分) 设 为多项式 在 中的三个根, 设 . 求 , 说明理由. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||
(六) | (15 分) 设 是一个域且其特征为素数 . 设 , . 设 是 的代数闭包, 是 的一个零点.
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72023–2024 秋期中 (雪班、远班)
(一) | (20 分) 单选题
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(二) | (20 分) 填空题
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(三) | (15 分) 设 是一个群, .
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(四) | (15 分) 证明: 和 不同构. | ||||||||||||||||||||||||
(五) | (15 分) 非 Abel 群 满足 , 求 的子群个数. | ||||||||||||||||||||||||
(六) | (15 分) 证明: 阶群不是单群. |