用户: Solution/ 试卷: 抽象代数

12023–2024 秋期中 (猛班)

(一)

单项选择题 (共 30 分)

(a)

(矩阵环; 为一个域) 中哪些是单群或单环?

(A).

;

(B).

;

(C).

;

(D).

;

(E).

以上都不对.

(b)

下列哪个环是主理想整环?

(A).

;

(B).

;

(C).

二元多项式环的商 ;

(D).

.

(c)

是带 的环, 是非零环同态. 考虑下面两个命题:

(I).

的理想, 则 的理想.

(II).

的极大理想, 则 的素理想.

下面关于它们的判断 的是?

(A).

(I) 错误, (II) 正确;

(B).

(I) 正确, (II) 错误;

(C).

(I) 与 (II) 都正确;

(D).

(I) 与 (II) 都错误.

(d)

是整区, 下列命题中, 哪个 ?

(A).

的一个非平凡理想, 则 必为整区;

(B).

不可能包含一个非整子环;

(C).

是一个交换环, 是一个非零环同态, 则其像 必为整区;

(D).

如果 不是域, 不可能包含任何非零子域.

(e)

是一个群, 下列哪个命题 ?

(A).

的任何一个循环子群都是有限群;

(B).

是 Abel 群, 则 的任何子群、商群必为 Abel 群;

(C).

是无限群, 则 中至少有一个元素的阶 (order) 非有限;

(D).

除了幺元以外, 至少有一个素数阶元素.

(二)

(15 分) 设 中的两个元素 , 试证明:

(1)

子群 满足 ;

(2)

.

(三)

(15 分) 设 为群, 的正规子群, 的子群, 若对于任意元素 , 都存在唯一的 使 , 证明 .

(四)

(15 分) 设 是有限群 的 Sylow -子群, 的子群且 , 证明: .

(五)

(15 分) 设 为一个群, 的一个子群.

(1)

, 证明 的包含于 的最大正规子群;

(2)

设从 只有有限多个不同的群同态, 证明 只有有限多个指数为 的子群.

(六)

(10 分) 设 为两个带 的环, 如果映射 满足 , 且 (1), (2) 成立:

(1)

是群同态;

(2)

对任意 , , 则称 是一个反同态. 又, 如果 满足 (1), (2):

(2)

对任意 , , 则称 是一个半同态.

试证明: 若映射 是半同态, 则 是同态或反同态.

22022–2023 秋期中 (猛班)

(一)

单项选择题

(a)

下列四个环中哪个是 PID?

(A).

;

(B).

;

(C).

;

(D).

, 为素数.

(b)

下列哪对 Abel 群 同构?

(A).

;

(B).

;

(C).

;

(D).

.

(c)

考虑下面两个命题

(I).

, 则存在 使得 , 且 .

(II).

是 Abel 群, 若 , 则 .

下面关于它们的判断 的是?

(A).

(I) 错误, (II) 正确;

(B).

(I) 正确, (II) 错误;

(C).

(I) 错误, (II) 错误;

(D).

(I) 正确, (II) 正确.

(d)

是含幺交换环之间的非零环同态, 则下列命题中 的是?

(A).

是整区, 则 也是整区;

(B).

是满同态, 且 的理想, 则 也是 的理想;

(C).

的素理想, 则 也是 的素理想;

(D).

的极大理想, 则 也是 的极大理想.

(二)

填空题

(a)

, 则 的阶是 ______ , 是 ______ (填 “奇” 或 “偶”) 置换. 设 , 则 ______.

(b)

中与 共轭的元素有 ______ 个, 中有 ______ 个 阶元.

(c)

有 ______ 个子群, 有 ______ 个子群.

(三)

是含幺环. 若 无非零幂零元, 则称 是约化的.

(1)

证明 是约化的当且仅当 .

(2)

是约化的, 使得 . 证明: .

(3)

是约化的, 是幂等元, 即 . 证明: .

(四)

考虑交换群 及其商群 , 证明:

(1)

, 有 ;

(2)

对于任意的正整数 , 有且仅有一个 阶子群;

(3)

中有限个元素生成的群均为循环群.

(五)

为含幺交换环, . 记 在自然同态 下的像. 证明:

(1)

;

(2)

, , 其中 在自然同态 下的像;

(3)

. 定义环同态请问 是否为环同构? 若是, 请证明之; 若否, 请给出理由;

(4)

证明 环同构于 .

(六)

是阶数为 的群, 其中 为奇数. 若 中含有 阶元, 则 含有一个指数为 的正规子群.

32022–2023 秋期末 (猛班)

一、

填空题

1.

, 则 .

2.

已知 , 则 是否可逆? (填 “是” 或 “否”.) 若可逆, 用 的线性组合表示之 .

3.

写出两个 上的三次不可约多项式.

4.

阶群是否为 Abel 群? (填 “是” 或 “否”.)

5.

中, 根的个数为 .

6.

写出 阶 Abel 群的所有可能结构.

7.

上的分裂域 (记为 ) 是 . . (填 “是” 或 “否”.) 为 Galois 扩张.

二、

解答题

1.

是两个同构的整区, 是对应的分式域. 证明: 同构.

2.

是域扩张, , , 其中 是素数. 证明: ,

3.

上的分裂域 , 描述 的结构.

4.

构造一个 的具体域同构并证明它是同构.

5.

证明: 阶群的中心包含该群的一个 Sylow- 子群.

42022–2023 秋期末 (雪班)

1.

(20 分) 设 是一个群, 的子群, 记 .

(a)

如果 是 Abel 群, 证明 的子群;

(b)

, , . 问: 是否是 的子群, 说明理由.

2.

(20 分) 设 的子环, . 定义映射 如下: .

(a)

证明: 对任意 , 都有 ;

(b)

, 说明理由;

(c)

是否是唯一分解整区 (U.F.D.) ? 说明理由.

3.

(15 分) 设 是一个有限群, . 证明: 阶或 阶的正规子群.

4.

(15 分) 设 , 的一个零点. 证明: 上的代数元.

5.

(15 分) 设 元的有限域. . 求 中元素的个数, 说明理由.

6.

(15 分) 设 是一个有限 Galois 扩张且 . 若 不是循环群, 证明存在 使得 .

52020–2021 秋期中 (猛班)

(一)

单项选择题 (共 30 分)

(a)

, , , (矩阵环; 为一个域) 中哪些是单群或单环? ______

(A).

, , ;

(B).

, , ;

(C).

, , ;

(D).

, , .

(b)

下列哪个环是整环? ______

(A).

;

(B).

, 是虚数单位;

(C).

二元多项式环的商 , ;

(D).

元实矩阵环 .

(c)

是带 的环, 是非零环同态. 考虑下面两个命题:

(I).

的子环, 则 的子环.

(II).

的素理想, 则 的素理想.

下面关于它们的判断 的是? ______

(A).

(I) 错误, (II) 正确;

(B).

(I) 正确, (II) 错误;

(C).

(I) 与 (II) 都错误;

(D).

(I) 与 (II) 都正确.

(d)

是整区, 下列命题中, 哪个 ? ______

(A).

的一个非平凡理想, 则 必为整区;

(B).

完全有可能包含一个非整子环;

(C).

是一个交换环, 是一个非零环同态, 则其像 必为整区;

(D).

即使 不是域, 完全有可能包含一个子环且该子环为域.

(e)

是乘法群, 下列哪个命题 ? ______

(A).

的任何一个循环子群都是单群;

(B).

是 Abel 群, 则 的任何子群、商群必为 Abel 群;

(C).

是无限群, 则 中至少有一个元素的阶 (order) 非有限;

(D).

除了幺元以外, 至少有一个有限阶元素.

(f)

为整区, 上的二元多项式环, 下列哪个命题 ? ______

(A).

是 UFD, 则 必为 UFD;

(B).

是 UFD, 则 不一定是 UFD;

(C).

是 PID, 则 也是 PID;

(D).

以上命题都不对.

(二)

(15 分) 设 为素数, 试证明:

(1)

与群 不同构;

(2)

求出 的所有子群;

(3)

求出 的所有子群.

(三)

(15 分) 设 是含两个元素的域, 为正整数, 试分别举例说明:

(1)

不是交换环;

(2)

不是整环;

(3)

设理想 含有矩阵 (即在 位置为 且其余位置为 的矩阵) , 则 至少含有多少个元素.

(四)

(15 分) 设 为一个群, 分别为 的有限指数子群, 即 , . 如果 , 试证明 .

(五)

(15 分) 设 为可除环, 的可除子环, 记 分别为 的乘法群. 设 分别为 中的正规化子和中心化子. 对任意 , 证明 当且仅当 .

(六)

(10 分) 设 为一个 次实系数多项式, 为给定的 个实数, 令 . 求 的值, 其中 表示 中的元素个数. 若 是空集, 则规定 .

(六) 解答.
(六) 解答., 注意于是 . 因为 , 所以 .
观察到 的表达式中唯一出现 一项的是 , 故 .

62020–2021 秋期末 (雪班、远班)

(一)

(20 分) 填空题

1.

方程 在环 中有 ______ 个不同的解.

2.

, 写出 在有理数域 上的首一极小多项式: __________________.

3.

写出对称群 的一个 Sylow 子群: __________________.

4.

. 在 中将 分解成不可约多项式的乘积: __________________.
中将 分解成不可约多项式的乘积: __________________.

5.

是一个 次不可约多项式, 中的零点, 满足条件 . 设 , 则扩张次数 ______.

(二)

(20 分) 选择题 (单选)

6.

下列关于群的命题, 哪个正确? ______

A.

最小的有限单群是 阶群;

B.

如果一个群没有非平凡子群, 则该群为循环群;

C.

如果一个群的每个非平凡子群都是循环群, 则该群为 Abel 群;

D.

无限阶的 Abel 群不是有限生成的.

7.

多项式 在域 上有几个不同的零点? ______
  A. ;    B. ;    C. ;    D. .

8.

下列环中, 不是域的是 ______

A.

;

B.

;

C.

;

D.

.

9.

为一个 阶的 Abel 群. 设 阶子群的个数, 则 不可能等于 ______
  A. ;    B. ;    C. ;    D. .

10.

为有限 Galois 扩张且 同构于交错群 . 则下列命题不成立的是 ______

A.

存在一个中间域 , 使得 为 Galois 扩张;

B.

存在一个中间域 , 使得 为 Galois 扩张;

C.

存在一个中间域 , 使得 为 Galois 扩张;

D.

存在一个中间域 , 使得 为 Galois 扩张.

(三)

(18 分) 设 是高斯整数环, . 定义映射 如下: .

(i)

证明: 对任意 , 都有 ;

(ii)

证明: 是乘法可逆元当且仅当 .

(iii)

是否是 的不可约元? 说明理由.

(四)

(12 分) 设 是有限群, . 证明: 不是单群.

(五)

(15 分) 设 为多项式 中的三个根, 设 . 求 , 说明理由.

(六)

(15 分) 设 是一个域且其特征为素数 . 设 , . 设 的代数闭包, 的一个零点.

(i)

证明: 的零点;

(ii)

, 证明 是 Galois 扩张.

72023–2024 秋期中 (雪班、远班)

(一)

(20 分) 单选题

1.

中有多少个群不是单群?

A.

1.

B.

2.

C.

3.

D.

无穷多.

2.

(关于正规子群的一个问题)

3.

(关于群同态的一个问题)

4.

是正方形上的二面体群, 下列正确的是:

A.

中存在 阶元.

B.

的四阶子群一定是 Abel 群.

C.

.

D.

阶群.

(二)

(20 分) 填空题

5.

求所有群同态 的个数.

6.

阶元的个数.

7.

中共轭类的个数.

8.

设有限群 满足 , 写出 的所有可能的阶数.

(三)

(15 分) 设 是一个群, .

1.

是 Abel 群, 证明 的子群.

2.

, 还是 的子群吗?

(四)

(15 分) 证明: 不同构.

(五)

(15 分) 非 Abel 群 满足 , 求 的子群个数.

(六)

(15 分) 证明: 阶群不是单群.