抽象代数续论试卷

12024 年秋季

1.	同 2023 年秋季 2.
2.	证明左伴随函子保持正向极限.
3.	$A,B$ 是 $K$-代数, $M$ 是左 $A$ 模, $X$ 是左 $B$ 模, $E$ 是左 $M{\otimes }_{K}X$ 模. (1) 给出 $M{\otimes }_{K}X$ 的一个左 $A{\otimes }_{K}B$ 模结构, 并验证合理性; 给出 ${\mathrm{Hom}}_A(M,E)$ 的左 $B$ 模结构, 并验证合理性. (2) 证明 ${\mathrm{Hom}}_B(-,{\mathrm{Hom}}_A(M,E))$ 和 ${\mathrm{Hom}}_{A{\otimes }_{K}B}(M\otimes -,E)$ 自然同构. (3)$E$ 是内射左 $M{\otimes }_{K}X$-模, 证明 ${\mathrm{Hom}}_A(M,E)$ 是内射左 $B$-模
4.	(1) 证明 Noether 模等价于其子模都是有限生成模. (2) 举例有限生成模的子模不一定有限生成. (3) 作为 $\mathbb{Z}$ 模, $\mathbb{Q}$ 没有极大子模.

22023 年秋季

每个小题各 10 分, 满分 100 分.

1.	(1) 证明 $\mathrm{Hom}(A,\prod _{i\in I}{B}_i)\cong \prod _{i\in I}\mathrm{Hom}(A,B_i)$. (2) 证明 $\mathrm{Hom}(\coprod _{i\in I}{A}_i,B)\cong \prod _{i\in I}\mathrm{Hom}(A_i,B)$.
2.	(1) 如果模 $M,N,P$ 以及映射 $f:M\to N$ 和 $g:N\to P$ 满足对任意模 $X$, 都有 $f^{\ast },g^{\ast }$ 给出的 $\mathrm{Hom}(P,X)\to \mathrm{Hom}(N,X)\to \mathrm{Hom}(M,X)$ 为正合列, 则 $f,g$ 给出的 $M\to N\to P$ 是正合列. (2) 如果模 $M,N,P$ 以及映射 $f:M\to N$ 和 $g:N\to P$ 满足对任意模 $X$, 都有 $f_{\ast },g_{\ast }$ 给出的 $\mathrm{Hom}(X,M)\to \mathrm{Hom}(X,N)\to \mathrm{Hom}(X,P)$ 为正合列, 则 $f,g$ 给出的 $M\to N\to P$ 是正合列.
3.	(1) 叙述伴随函子的定义. (2) 证明在模范畴中, 左伴随函子右正合, 右伴随函子左正合.
4.	(1) 证明右 Noether 模的满自同态是同构. (2) 证明右 Artin 模的单自同态是同构. (3) 证明左或右 Noether 环的满自同态是同构. (4) 是否有左或右 Artin 环的单自同态是同构? 如果是请证明, 如果不是请举出反例.