用户: Solution/ 试卷: 抽象代数续论

每个小题各 10 分, 满分 100 分.

1.	(1) 证明 $\mathrm{Hom}(A,\prod _{i\in I}{B}_i)\cong \prod _{i\in I}\mathrm{Hom}(A,B_i)$. (2) 证明 $\mathrm{Hom}(\coprod _{i\in I}{A}_i,B)\cong \prod _{i\in I}\mathrm{Hom}(A_i,B)$.
2.	(1) 如果模 $M,N,P$ 以及映射 $f:M\to N$ 和 $g:N\to P$ 满足对任意模 $X$, 都有 $f^{\ast },g^{\ast }$ 给出的 $\mathrm{Hom}(P,X)\to \mathrm{Hom}(N,X)\to \mathrm{Hom}(M,X)$ 为正合列, 则 $f,g$ 给出的 $M\to N\to P$ 是正合列. (2) 如果模 $M,N,P$ 以及映射 $f:M\to N$ 和 $g:N\to P$ 满足对任意模 $X$, 都有 $f_{\ast },g_{\ast }$ 给出的 $\mathrm{Hom}(X,M)\to \mathrm{Hom}(X,N)\to \mathrm{Hom}(X,P)$ 为正合列, 则 $f,g$ 给出的 $M\to N\to P$ 是正合列.
3.	(1) 叙述伴随函子的定义. (2) 证明在模范畴中, 左伴随函子右正合, 右伴随函子左正合.
4.	(1) 证明右 Noether 模的满自同态是同构. (2) 证明右 Artin 模的单自同态是同构. (3) 证明左或右 Noether 环的满自同态是同构. (4) 是否有左或右 Artin 环的单自同态是同构? 如果是请证明, 如果不是请举出反例.