试卷: 拓扑学

12024～2025 学年第二学期期末考试试卷

一、	(16 分) 多项选择题 (答案未必唯一):
1.	设 $X$ 是一个集合, 则下列正确的答案是 $\underline{}$. A．$X$ 的任何子集族均为 $X$ 上的拓扑; B．$X$ 上总存在拓扑; C．$X$ 上的拓扑有唯一的一个拓扑基; D．$X$ 上的拓扑被它的拓扑基唯一确定; E．$X$ 上的拓扑是它的子基的最细拓扑.
2.	下列正确的答案为 $\underline{}$. A．伦型不变性是拓扑不变性; B．拓扑不变性是伦型不变性; C．基本群既是伦型不变的又是拓扑不变的; D．紧性既是伦型不变性又是拓扑不变性; E．一个拓扑空间和它的形变收缩核具有相同的拓扑不变性.
3.	设 $X$ 是拓扑空间, 则下列正确的是 $\underline{}$. A．$X$ 满足 $T_1$ 公理当且仅当 $X$ 的任意单点集均为闭集; B．若 $X$ 是 Hausdorff 空间, 则其子集 $A$ 是紧集的充要条件为 $A$ 是闭集; C．$X$ 是连通的当且仅当存在连续的满射 $f:X\to S^0=\{\pm 1\}$; D．若 $X$ 是连通且局部道路连通的, 则 $X$ 是道路连通的. 但反之末必. E．若 $X$ 上的拓扑可度量化 (即其上拓扑是某度量诱导的拓扑) , 则它必满足第二可数性公理.
4.	二维球面和环面不同胚可由下列拓扑性质 $\underline{}$ 决定. A．可数性; B．紧性; C．基本群; D．道路连通性; E．分离性.
二、	(18 分) 证明覆盖空间映射提升定理: 设 $B$ 是连通且局部道路连通的空间, $(E,P)$ 是 $B$ 的覆盖空间, $b_0\in B,e_0\in P^{-1}(b_0)$, $X$ 是连通且局部道路连通的空间, 则连续映射 $f:(X,x_0)\to (B,b_0)$ 存在覆盖映射 $\tilde{f}:(X,x_0)\to (E,e_0)$ 当且仅当 $f_{\ast }({\pi }_1(X,x_0))\le P_{\ast }({\pi }_1(E,e_0))$. 并且当 $\tilde{f}$ 存在时, 证明其唯一.
三、	(14 分) 假设任何正规空间 $X$ 的有限开覆盖 $\mathcal{U}$, 有从属于 $\mathcal{U}$ 的单位分解. 往证任何紧流形可嵌入到适当维数的欧氏空间.
四、	(16 分) (1) 给出拓扑空间 $X$ 满足第一可数公理的定义; (2) 给出拓扑空间 $X$ 满足第二可数公理的定义; (3) 设拓扑空间 $X$ 和 $Y$ 是满足第一可数公理的拓扑空间, 往证乘积空间 $X\times Y$ 满足第一可数公理; (4) 设拓扑空间 $X$ 和 $Y$ 是满足第二可数公理的拓扑空间, 往证乘积空间 $X\times Y$ 满足第二可数公理.
五、	(15 分) 设 $P$ 是全体无理数的集合, 在实数集 $\mathbb{R}$ 上定义集族 $\mathcal{T}$, $\mathcal{T}$ 的成员为 $U-A$ 这种形式给出, 其中 $U$ 遍历 $\mathbb{R}$ 在欧氏拓扑下的开集, $A$ 遍历 $P$ 的子集. (1) 试证明 $\mathcal{T}$ 是 $\mathbb{R}$ 上的一个拓扑; (2) 证明这个拓扑满足 $T_2$ 公理.
六、	(9 分) 现有两维环面 ${\mathbb{T}}^2={\mathbb{S}}^1\times {\mathbb{S}}^1$ 和 Klein 瓶 $K$. (1) 构造 ${\mathbb{T}}^2$ 到自身的一个 $3$ 叶覆盖; (2) 构造 ${\mathbb{T}}^2$ 到 $K$ 的一个 $2$ 叶覆盖; (3) 构造 ${\mathbb{T}}^2$ 到 $K$ 的一个 $10$ 叶覆盖.
七、	(12 分) 拓扑空间 $X={\mathbb{S}}^1\vee {\mathbb{S}}^2$ 是圆周 ${\mathbb{S}}^1$ 和两维球面 ${\mathbb{S}}^2$ 的一点并, 求 $X$ 的基本群.

22023～2024 学年第二学期期末考试试卷

一、	不定项选择.
二、	证明分类定理.
三、	拓扑空间 $\{(x,y)\in {\mathbb{R}}^2\mid y=\sin \frac{1}{x},x\in (0,1]\}\cup \{(0,0)\}$ 是否连通? 局部连通? 道路连通? 紧? 局部紧?
四、	写出 $\mathbb{R}$ 上的五种拓扑.
五、	(1) 紧 $T_2$ 空间为 $T_4$ 空间; (2) 局部紧 $T_2$ 空间为 $T_3$ 空间.
六、	二维环面 ${\mathbb{T}}^2={\mathbb{S}}^1\times {\mathbb{S}}^1$, 有子集 $A=\{1\}\times {\mathbb{S}}^1\cup {\mathbb{S}}^1\times \{1\}\subset {\mathbb{T}}^2$, 求 ${\mathbb{T}}^2$ 将 $A$ 捏为一点所得商空间的基本群.
七、	对任意 $\lambda \in \Lambda$, 拓扑空间 $X_{\lambda }$ 同伦等价于 $Y_{\lambda }$, 求证: $\prod _{\lambda \in \Lambda }{X}_{\lambda }$ 与 $\prod _{\lambda \in \Lambda }{Y}_{\lambda }$ 同伦等价.

32021～2022 学年第二学期期末考试试卷

复旦大学数学科学学院
2021$\sim$2022 学年第二学期期末考试试卷
$■$ $\text{A}$ 卷   $\square$ $\text{B}$ 卷

课程名称: $\underline{拓扑学}$ 课程代码: $\underline{\text{MATH130010}}$
开课院系: $\underline{数学科学学院}$ 考试形式: $\underline{闭卷}$
姓 名: $\underline{}$ 学 号: $\underline{}$ 专 业: $\underline{}$

  声明: 我已知悉学校与考试相关的纪律以及违反纪律的后果, 并将严守纪律, 不作弊, 不抄袭, 独立答题.

学生 (签名) : $\underline{}$
年   月   日 

题 目	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$	总分
得 分

一、	(16 分) 多项选择题 (答案未必唯一):
1.	设 $Y=\{a,b,c,d,e\}$, 其上的一个拓扑为 $\{Y,\varnothing ,\{a\},\{b\},\{a,b\},\{b,c,d\}\}$. $f$ 为 $Y$ 到其自身的映射, 满足 $f(a)=b,f(b)=d,f(c)=b,f(d)=c,f(e)=e$. 则 $f$ 有性质 $\underline{}$. A. $f$ 在 $c$ 点连续但在 $d$ 点不连续; B. $f$ 在 $c,d$ 两点均连续; C. $f$ 在 $c$ 点不连续但在 $d$ 点连续; D. $f$ 在 $a,b$ 两点均连续; E. $f$ 在 $c,d$ 两点均不连续.
2.	下列正确的答案为 $\underline{}$. A. 拓扑不变性是伦型不变性; B. 伦型不变性是拓扑不变性; C. 紧性既是伦型不变性又是拓扑不变性; D. 基本群既是伦型不变的又是拓扑不变的; E. 一个拓扑空间和它的形变收缩核具有相同的拓扑不变性.
3.	设 $(X,T)$ 是一个拓扑空间, 且 $T$ 是它的拓扑. 则下列正确的答案是 $\underline{}$. A. $T$ 的拓扑基总是存在, 并且唯一; B. $X$ 的子集族 $B$ 是 $T$ 的一个拓扑基当且仅当 $X={\cup }_{U\in B}U$; C. $T$ 的子集族 $S$ 是 $T$ 的一个拓扑子基当且仅当 $X={\cup }_{U\in S}U$; D. $T$ 的子集族 $S$ 是 $T$ 的一个拓扑子基当且仅当 $S$ 中有限多个成员的交集全体成为 $T$ 的一个拓扑基; E. $X$ 的子集族 $B$ 是 $T$ 的一个拓扑基当且仅当对任意 $U\subset X$ 及任意 $x\in U$, 存在 $N\in B$ 使得 $x\in N\subset U$.
4.	设 $E,B$ 为连通且局部道路连通的空间, 并且 $(E,p)$ 是 $B$ 上的覆盖空间, $b_0\in B,e_0\in p^{-1}(b_0)$. 则下列正确的是 $\underline{}$. A. $B$ 中的两个定端同伦的道路的覆盖道路总是定端同伦的; B. 因为 $p$ 是满射, 故诱导同态 $p_{\ast }:{\pi }_1(E,e_0)\to {\pi }_1(B,b_0)$ 也是满同态; C. $p_{\ast }({\pi }_1(X,x_0))$ 一定是 ${\pi }_1(B,b_0)$ 的正规子群; D. $B$ 中的任何以 $b_0$ 为起点的道路 $\sigma :(I,0)\to (B,b_0)$ 总存在以 $e_0$ 为起点的覆盖道路 $\tilde{\sigma }:(I,0)\to (E,e_0)$; E. 连续映射 $f:(X,x_0)\to (B,b_0)$ 总存在覆盖映射 $\tilde{f}:(X,x_0)\to (E,e_0)$, 其中 $X$ 连通且局部道路连通.
二、	(16 分) 证明覆盖空间分类定理: 设 $B$ 是连通且局部道路连通的空间, $(E_1,p_1)$ 和 $(E_2,p_2)$ 是 $B$ 上两个覆盖空间, 则 $(E_1,p_1)$ 和 $(E_2,p_2)$ 同构的充要条件是它们的示性类相同 (即 $p_{1\ast }{\pi }_1(E_1)$ 和 $p_{2\ast }{\pi }_1(E_2)$ 在 ${\pi }_1(B)$ 中共轭) .
三、	(12 分) 试用图示来将三维球面 ${\mathbb{S}}^3$、三维环面 ${\mathbb{T}}^3={\mathbb{S}}^1\times {\mathbb{S}}^1\times {\mathbb{S}}^1$、两维实射影平面与单位圆周的乘积 ${\mathbb{RP}}^2\times {\mathbb{S}}^1$ 等表示为单位正方体 $[0,1{]}^3$ 的商空间.
四、	(20 分) 设 $X$ 是一个拓扑空间, 求证: (1). 当 $X$ 为紧空间时, 且 $X$ 满足 $T_2$ 公理, 则 $X$ 满足 $T_4$ 公理; (2). 当 $X$ 为局部紧空间时, 且 $X$ 满足 $T_3$ 公理, 则 $X$ 满足 $T_4$ 公理.
五、	(14 分) 设 $\mathbb{N}$ 是所有正整数的集合, $\mathcal{T}$ 是 $\mathbb{N}$ 的一些满足如下条件的集合 $U$ 构成的集族, “若自然数 $n$ 在 $U$ 中, 则 $n$ 的每个因数都在 $U$ 中”. 证明 $\mathcal{T}$ 是 $\mathbb{N}$ 上一个拓扑, 并讨论 $\mathcal{T}$ 是否是离散拓扑.
六、	(10 分) ${\mathbb{S}}^2$ 是 ${\mathbb{R}}^3$ 中单位球面, $f:{\mathbb{S}}^2\to {\mathbb{R}}^4$ 为映射, $f(x,y,z)=(x^2-y^2,xy,xz,yz)$. 证明 $f$ 的像同胚于两维射影平面 ${\mathbb{RP}}^2$.
七、	(12 分) 设 $X$ 是道路连通且局部道路连通的空间, 并且基本群 ${\pi }_1(X)$ 是有限群, 证明任意连续映射$$f:X\to {\mathbb{S}}^1$$是零伦的.