用户: Solution/ 试卷: 拓扑学

12024 春期末考试

一、	不定项选择.
二、	证明分类定理.
三、	拓扑空间 $\{(x,y)\in {\mathbb{R}}^2\mid y=\sin \frac{1}{x},x\in (0,1]\}\cup \{(0,0)\}$ 是否连通? 局部连通? 道路连通? 紧? 局部紧?
四、	写出 $\mathbb{R}$ 上的五种拓扑.
五、	(1) 紧 $T_2$ 空间为 $T_4$ 空间; (2) 局部紧 $T_2$ 空间为 $T_3$ 空间.
六、	$T^2=S^1\times S^1$, $A=\{1\}\times S^1\cup S^1\times \{1\}\subset T^2$, 求 $T^2$ 将 $A$ 捏为一点所得商空间的基本群.
七、	对任意 $\lambda \in \Lambda$, 拓扑空间 $X_{\lambda }$ 同伦等价于 $Y_{\lambda }$, 求证: $\prod _{\lambda \in \Lambda }{X}_{\lambda }$ 与 $\prod _{\lambda \in \Lambda }{Y}_{\lambda }$ 同伦等价.

22021～2022 学年第二学期期末考试试卷

复旦大学数学科学学院
2021$\sim$2022 学年第二学期期末考试试卷
$■$ $\text{A}$ 卷   $\square$ $\text{B}$ 卷

课程名称: $\underline{拓扑学}$ 课程代码: $\underline{\text{MATH130010}}$
开课院系: $\underline{数学科学学院}$ 考试形式: $\underline{闭卷}$
姓 名: $\underline{}$ 学 号: $\underline{}$ 专 业: $\underline{}$

  声明: 我已知悉学校与考试相关的纪律以及违反纪律的后果, 并将严守纪律, 不作弊, 不抄袭, 独立答题.

学生 (签名) : $\underline{}$
年   月   日 

题 目	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$	总分
得 分

一、	(16 分) 多项选择题 (答案未必唯一):
1.	设 $Y=\{a,b,c,d,e\}$, 其上的一个拓扑为 $\{Y,\varnothing ,\{a\},\{b\},\{a,b\},\{b,c,d\}\}$. $f$ 为 $Y$ 到其自身的映射, 满足 $f(a)=b,f(b)=d,f(c)=b,f(d)=c,f(e)=e$. 则 $f$ 有性质 $\underline{}$. A. $f$ 在 $c$ 点连续但在 $d$ 点不连续; B. $f$ 在 $c,d$ 两点均连续; C. $f$ 在 $c$ 点不连续但在 $d$ 点连续; D. $f$ 在 $a,b$ 两点均连续; E. $f$ 在 $c,d$ 两点均不连续.
2.	下列正确的答案为 $\underline{}$. A. 拓扑不变性是伦型不变性; B. 伦型不变性是拓扑不变性; C. 紧性既是伦型不变性又是拓扑不变性; D. 基本群既是伦型不变的又是拓扑不变的; E. 一个拓扑空间和它的形变收缩核具有相同的拓扑不变性.
3.	设 $(X,T)$ 是一个拓扑空间, 且 $T$ 是它的拓扑. 则下列正确的答案是 $\underline{}$. A. $T$ 的拓扑基总是存在, 并且唯一; B. $X$ 的子集族 $B$ 是 $T$ 的一个拓扑基当且仅当 $X={\cup }_{U\in B}U$; C. $T$ 的子集族 $S$ 是 $T$ 的一个拓扑子基当且仅当 $X={\cup }_{U\in S}U$; D. $T$ 的子集族 $S$ 是 $T$ 的一个拓扑子基当且仅当 $S$ 中有限多个成员的交集全体成为 $T$ 的一个拓扑基; E. $X$ 的子集族 $B$ 是 $T$ 的一个拓扑基当且仅当对任意 $U\subset X$ 及任意 $x\in U$, 存在 $N\in B$ 使得 $x\in N\subset U$ .
4.	设 $E,B$ 为连通且局部道路连通的空间, 并且 $(E,p)$ 是 $B$ 上的覆盖空间, $b_0\in B,e_0\in p^{-1}(b_0)$ . 则下列正确的是 $\underline{}$. A. $B$ 中的两个定端同伦的道路的覆盖道路总是定端同伦的; B. 因为 $p$ 是满射, 故诱导同态 $p_{\ast }:{\pi }_1(E,e_0)\to {\pi }_1(B,b_0)$ 也是满同态; C. $p_{\ast }({\pi }_1(X,x_0))$ 一定是 ${\pi }_1(B,b_0)$ 的正规子群; D. $B$ 中的任何以 $b_0$ 为起点的道路 $\sigma :(I,0)\to (B,b_0)$ 总存在以 $e_0$ 为起点的覆盖道路 $\tilde{\sigma }:(I,0)\to (E,e_0)$; E. 连续映射 $f:(X,x_0)\to (B,b_0)$ 总存在覆盖映射 $\tilde{f}:(X,x_0)\to (E,e_0)$, 其中 $X$ 连通且局部道路连通.
二、	(16 分) 证明覆盖空间分类定理: 设 $B$ 是连通且局部道路连通的空间, $(E_1,p_1)$ 和 $(E_2,p_2)$ 是 $B$ 上两个覆盖空间, 则 $(E_1,p_1)$ 和 $(E_2,p_2)$ 同构的充要条件是它们的示性类相同 (即 $p_{1\ast }{\pi }_1(E_1)$ 和 $p_{2\ast }{\pi }_1(E_2)$ 在 ${\pi }_1(B)$ 中共轭) .
三、	(12 分) 试用图示来将三维球面 ${\mathbb{S}}^3$、三维环面 ${\mathbb{T}}^3={\mathbb{S}}^1\times {\mathbb{S}}^1\times {\mathbb{S}}^1$ 、两维实射影平面与单位圆周的乘积 ${\mathbb{RP}}^2\times {\mathbb{S}}^1$ 等表示为单位正方体 $[0,1{]}^3$ 的商空间.
四、	(20 分) 设 $X$ 是一个拓扑空间, 求证: (1). 当 $X$ 为紧空间时, 且 $X$ 满足 $T_2$ 公理, 则 $X$ 满足 $T_4$ 公理; (2). 当 $X$ 为局部紧空间时, 且 $X$ 满足 $T_3$ 公理, 则 $X$ 满足 $T_4$ 公理.
五、	(14 分) 设 $\mathbb{N}$ 是所有正整数的集合, $\mathcal{T}$ 是 $\mathbb{N}$ 的一些满足如下条件的集合 $U$ 构成的集族, “若自然数 $n$ 在 $U$ 中, 则 $n$ 的每个因数都在 $U$ 中”. 证明 $\mathcal{T}$ 是 $\mathbb{N}$ 上一个拓扑, 并讨论 $\mathcal{T}$ 是否是离散拓扑.
六、	(10 分) ${\mathbb{S}}^2$ 是 ${\mathbb{R}}^3$ 中单位球面, $f:{\mathbb{S}}^2\to {\mathbb{R}}^4$ 为映射, $f(x,y,z)=(x^2-y^2,xy,xz,yz)$ . 证明 $f$ 的像同胚于两维射影平面 ${\mathbb{RP}}^2$.
七、	(12 分) 设 $X$ 是道路连通且局部道路连通的空间, 并且基本群 ${\pi }_1(X)$ 是有限群, 证明任意连续映射$$f:X\to {\mathbb{S}}^1$$是零伦的.