拓扑学 (II) 试卷

12024 秋试卷

1.	证明 Euler–Poincaré 公式.
2.	证明: $f$ 有单纯逼近等价于 $f$ 具有星形性质.
3.	对可定向与不可定向闭曲面 $X$ 进行剖分. 再计算 $H^{*} (X; Z_{13})$ .
4.	$n$ 维单纯复形 $K$ , $L$ 是 $K$ 的锥形. 对任何 Abel 群 $G$ , 求 $H^{*} (L; G)$ .
5.	设 $f$ 是 $S^{1}$ 到 $S^{3}$ 的光滑嵌入, $f (S^{1})$ 存在邻域 $N ≃ S^{1} \times D^{2}$ . 令 $W = S^{3} - Int N$ , 有 $\partial N = \partial W ≃ S^{1} \times S^{1}$ . 已知 $S^{3}$ 存在单纯剖分, 相对应有 $W, N$ 上的单纯剖分. 求 $W$ 的同调群.
6.	(i) 给出上积、卡积的定义. (ii) 证明上积诱导了上同调群的乘法. (iii) 证明卡积诱导 $H^{q} (X) \times H_{p + q} (X) \to H_{p} (X)$ .

1.	证明: 任意抽象单纯复形都存在几何实现.
2.	设 $K$ 是有限 $n$ 维复形, 底空间 $∣ K ∣$ 为 $n$ 维流形. 证明: $H_{n} (K) = {Z, 0, K 可定向 K 不可定向 .$
3.	设对径映射 $r : S^{n} \to S^{n}$ , $r (x_{1}, \dots, x_{n + 1}) = (- x_{1}, \dots, - x_{n + 1})$ . 求 $de g r$ .
4.	对可定向与不可定向闭曲面 $X$ 进行剖分. 再计算 $H^{*} (X; Z_{11})$ .
5.	计算 $H_{p} (R P^{n}), H_{p} (C P^{n})$ .
6.	设整数 $0 < k < n$ , 证明: 任意连续的 $f : S^{k} \to S^{n}$ 零伦.

1.	求同调群 $H_{*} (S^{1} \times S^{2})$ .
2.	证明: 任意 $n$ 维抽象单纯复形都存在 $R^{2 n + 1}$ 中的几何实现.
3.	已知 $f$ 有单纯逼近等价于 $f$ 具有星形性质, 试证单纯逼近定理.
4.	构造空间 $X$ , 使得 $H_{0} (X) = H_{2} (X) = H_{3} (X) = H_{6} (X) = Z$ , 且 $H_{1} (X) = Z \oplus Z_{2} \oplus Z_{2}$ , 其余阶的同调群平凡.
5.	设 $D$ 是复平面上的单位圆盘, $p \geq 2$ 是一个固定的整数. 取等价关系 $\sim$ 为: 对于边缘上的两点 $x, y$ , 若 $e^{\frac{2 πi}{p}} x = y$ , 则 $x \sim y$ . 求商空间的同调群.
6.	(i) 给出上积、卡积的定义, 说明其如何诱导链复形之间的映射. (ii) 说明上积诱导了上同调群的乘法. (iii) 陈述 Poincaré 对偶定理, 并证明: 对奇数维可定向闭流形 $M$ , Euler 数 $χ (M) = 0$ .

1.	求亏格为 $n$ 的可定向闭曲面的 Euler 数, 亏格为 $n$ 的不可定向闭曲面的 Euler 数.
2.	求同调群 $H_{*} (R P^{n}; Z_{2})$ .
3.	对紧致无边 $n$ 维流形 $M$ 进行有限剖分. 证明: $H_{n} (M) = {Z, 0, M 可定向 M 不可定向 .$
4.	设 $A = (a_{ij})$ 是非异的 $n$ 阶方阵, 所有的 $a_{ij} \geq 0$ , 证明: $A$ 有正的特征值.
5.	同 22 年题 6.
6.	设 $f$ 是 $S^{1}$ 到 $S^{3}$ 的光滑嵌入, 像 $f (S^{1})$ 存在邻域 $N ≃ S^{1} \times D^{2}$ . 令 $W = S^{3} - Int N$ , 有 $\partial N = \partial W ≃ S^{1} \times S^{1}$ . 求 $W$ 的同调群.

1.	设 $X = S^{2} \lor S^{2} \lor S^{2}$ , 求同调群 $H_{*} (X)$ .
2.	设 $X$ 是 $4$ 维单形的闭包复形的 $2$ 维骨架, 求同调群 $H_{*} (X; Z_{3})$ .
3.	证明: $f$ 有单纯逼近等价于 $f$ 具有星形性质.
4.	证明: $n$ 维伪流形可定向等价于其 $n$ 维同调群是 $Z$ .
5.	用局部同调群证明: $X = S^{1} \lor S^{2} \lor S^{1}$ 与环面 $T^{2}$ 不同胚.
6.	同 22 年题 6.