用户: Solution/ 试卷: 拓扑群

一、	设 $A$ 是紧 Abel 拓扑群, $\chi$ 是非平凡特征. 证明: ${\int }_A\chi (a)\mathrm{d}a=0$.
二、	求 $1_{b+p^n{\mathbb{Z}}_p}:{\mathbb{Q}}_p\to \mathbb{C}$ 的 Fourier 变换.
三、	设 $\chi :\mathbb{Z}\to {\mathbb{C}}^{(1)}$ 是 conductor 为 $N⩾1$ 的 Dirichlet 特征, 即 $N$ 是使得 $\chi$ 可以从特征 $\chi :(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}{)}^{\times }\to {\mathbb{C}}^{(1)}$ 诱导而来的最小正整数. 设 $N=p^f$, $p$ 是素数, $f⩾1$. 对 $\mathbb{Q}$ 的每个素位 $v$, 定义 ${\tilde{\chi }}_v$ 如下: 若 $v=\infty$, 则 ${\tilde{\chi }}_{\infty }(x_{\infty })=\chi (\mathrm{sgn}(x_{\infty }))$; 若 $v<\infty$ 且 $v\ne p$, 则 ${\tilde{\chi }}_v(v^m{\mathbb{Z}}_v^{\times })=\chi (v^m)$; 若 $v=p$, 则 ${\tilde{\chi }}_p(p^m(j+p^f{\mathbb{Z}}_p))=\chi (j{)}^{-1}$, 其中 $m,j\in \mathbb{Z}$ 并且 $(j,p)=1$. 证明:$$\tilde{\chi }(x)=\prod _v{\tilde{\chi }}_v(x_v)\in \widehat{{\mathbb{A}}_{\mathbb{Q}}^{\times }/{\mathbb{Q}}^{\times }}.$$ (注: 这样的 $\tilde{\chi }$ 被称为 $\chi$ 的 Idelic 提升. )
四、	设 $\chi$ 是 conductor 为 $p^f$ 的 Dirichlet 特征, $\chi (-1)=1$. 设 $\Phi =\prod {\varphi }_v\in \mathcal{S}({\mathbb{A}}_{\mathbb{Q}})$, 其中 ${\varphi }_v$ 定义如下: $v=\infty$ 时 ${\varphi }_{\infty }(x)=e^{-\pi x^2}$; $v<\infty$ 且 $v\ne p$ 时 ${\varphi }_v(x_v)=1_{{\mathbb{Z}}_v}$; $v=p$ 时 ${\varphi }_p(x_p)=$(忘了). 设 $\Gamma (s)={\int }_0^{\infty }{t}^{s-1}{e}^{-t}\mathrm{d}t$, $L(s,\chi )=\sum _{n⩾0}\chi (n)n^{-s}$. 证明: 存在 $\chi$ 的 Idelic 提升 $\omega$ 使得$${\pi }^{s/2}\Gamma (s/2)L(s,\chi )Z(s)=Z(\Phi ,\omega ,s)={\int }_{{\mathbb{A}}_{\mathbb{Q}}^{\times }}\Phi (x)\omega (x)|x{|}_{\mathbb{A}}^s\mathrm{d}\mu ,$$其中 $\mu =\prod {\mu }_v$ 是标准的 Haar 测度,$$Z(s)=(\text{忘了}).$$
五、	设 $f=1_{[-1,1]}:\mathbb{R}\to \mathbb{C}$. (1) 求 $\hat{f}$. (2) 计算$${\int }_{-\infty }^{+\infty }\frac{{\sin }^{4}t}{t^4}\mathrm{d}t.$$