试卷: 数学分析

124 秋数学分析 I (H) 期中 (严金海)

计算题 (40 分, 共 4 小题, 每小题 10 分).

(1)

表示能整除正整数 的因数的个数. 计算: .

(2)

数列 满足 , 计算:

(3)

计算:

(4)

计算:

(15 分). 设 为常数, 对 , 当 时还要求 , 记 , 三个正数数列 满足: 证明: 均收敛且 . (注: 考试过程中规定 )

(15 分). 设函数 上连续. 下列结论成立的请证明, 不成立的请举反例.

(1)

上一致连续, 则 也在 上一致连续.

(2)

上一致连续, 则 也在 上一致连续.

(10 分). 设 点连续, 记 , 问 是否一个存在另一个也必存在? 说明理由.

(10 分). 设 上的单调连续函数, 且对于任意的 , , 存在 , 使得证明: 上一致连续.

(10 分). 设 是定义在闭区间 上的函数, 满足对任意的常数 , 函数 的任意闭子区间上能分别取到最大值和最小值. 证明: 上的连续函数.

(20 分). 设 , , . 证明: 分别收敛.

223 秋数学分析 I 期末

填空题, 本题每空 5 分, 共 30 分.

1.

已知数列 满足 , , 则 .

2.

.

3.

, 求 .

4.

.

5.

设一圆柱体积为 , 底面直径为 , 高为 . 现将该圆柱侧面涂满颜料, 其中侧面颜料价格为 元/平方米, 底面颜料价格为 元/平方米, 则当 时花费最少. ( 是固定值)

6.

, 则 的渐近线方程为 .

分析函数性质并作图: .

已知 , 且 , 求 .

已知 , 求 .

已知 上连续, 内可导, 且 , , 求证: 存在互不相同的 个数 , 使得 .

已知 上连续, 内可导, 且对任意 , 求证: .

设函数 上一阶可导, 在 处任意阶可导且 , 满足: 对一切 成立. 求证: .

323 秋数学分析 I 期中

计算题 (每小题 12 分, 共 48 分)

(1)

求极限 .

(2)

, 求极限 .

(3)

实数列 满足 , 且 , 求极限 .

(4)

.

(12 分) 设 上的正值函数, 满足求极限 .

(20 分)

(1)

证明: 对任意的正整数 , 存在唯一的 满足 .

(2)

在上面条件下, 求极限 .

(10 分) 设函数 满足证明: 不是 上的连续函数.

(10 分) 设 上的连续有界函数, 满足问: 上是否一致连续? 说明理由. [参考解答]

423 春数学分析 II 期末 (梁振国)

1.

填空题 (每空格 6 分, 共 36 分)

(1)

为 (下) 取整函数, 则 .

(2)

收敛, 当且仅当参数 满足: .

(3)

的和为 .

(4)

是否收敛? .

(5)

函数 的 Maclaurin 级数中 项的系数为 .

(6)

上一致收敛, 当且仅当参数 满足: .

2.

(15 分) 计算极限: .

3.

(15 分) 求参数曲线段: 轴旋转一周所得旋转曲面的面积.

4.

(14 分) 设有界闭区间 上的连续函数序列 上一致收敛到 . 证明: 上连续.

5.

(10 分) 设非空有界集 , 满足 , .
(1) 当 都是闭集时, 证明 是非空闭集;
(2) 当 都是开集时, 问 是否一定不是非空开集? 为什么?

6.

(10 分) 求极限: .

522 春数学分析 II 期末 (梁振国)

1.

填空题 (每空格 6 分, 共 36 分)

(1)

计算极限 .

(2)

是否绝对收敛? .

(3)

的和为 .

(4)

是收敛的还是发散的? .

(5)

函数 的 Maclaurin 级数中 项的系数为: .

(6)

上一致收敛, 当且仅当数列 满足: .

2.

(15 分) 计算定积分: . [答案: .]

3.

(15 分) 平面区域 由曲线 及直线 所围成, 求 轴旋转所得到的旋转体的体积. [答案: .]

4.

(14 分) 证明函数项序列的连续性定理. 设函数序列 满足:
(1) 在有界闭区间 上一致收敛到 ;
(2) 均在 上连续.
证明: 上连续.

5.

(10 分) 证明 内的紧集必为有界闭集.

6.

(10 分) (1) 求 上的最小值.
(2) 设 在区间 上可积且 , 证明 .

621 秋数学分析 III 期末 (李洪全)

(20 分) 假设 是非空凸开集. 若 为凸函数, 即有证明:

(i)

的任一极小值点也是 的最小值点.

(ii)

的最小值点集合为 中的凸集.

(iii)

若进一步假设 是严格凸的, 即有 最多有一个最小值点.

(iv)

, 则 的最小值点的充分必要条件为

(15 分) 设 , 试讨论下面积分的敛散性:

(10 分) 令 . 假设 个互异的实特征值 . 证明存在 的一个邻域 使得: 对于任意的 亦有 个互异的实特征值 且函数 中连续.

(10 分) 假设 阶正定矩阵, . 计算

(15 分) 求曲线在第一象限与坐标轴所围区域 的面积.

(10 分) 经过直线作曲面 的切平面, 求此切平面方程.

(15 分)

(1)

利用 构造一个反例来说明向量值函数情形没有相应的中值定理.

(2)

给定 向量值函数 , 定义 . 求 .

(3)

回忆线性变换 的范数定义为 . 若 , 证明:

(25 分)

(1)

利用条件极值的方法, 证明: 对 , , 有如下 Hölder 不等式:

(2)

求解 Huyghens 问题: 在 之间插入 个数 , 使得: 的值为最大. (提示: 利用 (1) 以及数学归纳法.)

721 秋数学分析 I 期中

(1)

为能整除 的素数的个数, 求 .

(2)

设正项数列 满足 , 常数 , 求 .

(3)

, 求 .

(4)

.

设正项数列 满足 .
(1) 设 , 判断 的敛散性.
(2) 判断 的敛散性.

设连续函数 是有界的, 求证: 对任意的 , 存在数列 满足 , 使得 .

上的函数, 若对 的任意子区间 和任意在 之间的数 , 方程 的解存在且个数有限, 证明: 连续.

上一致连续. 问:
(1) 是否一致连续?
(2) 是否一致连续?

821 春数学分析 II 期中 (严金海)

(20 分) 计算定积分:

(20 分) 有一盛满水的水塘, 其水体所在的三维区域形成横放的柱体 , 其中函数曲线 即为旋转线欲将此水塘的水抽干 (水的密度 , 重力加速度 , 地面位于 处) , 需至少做多少功?

(20 分) 已知 满足: , 求极限: .

(20 分) 关于参数 讨论广义积分的收敛性 (绝对收敛或条件收敛或发散) :

(20 分) 设 为区间 上单调上升的连续函数, 证明 上可积.

920 秋数学分析 I 期中

(20 分) (1) 构造一个从闭区间 到开区间 的一一对应;
(2) 构造一个数列 , 使得: , 存在子列 使得 .

(20 分) 用 Bolzano–Weierstrass 定理证明单调有界必收敛定理.

(20+10 分) 设数列 满足(1) 证明 收敛, 并求其极限 ;
(附加题 2) 设 , 求极限:

(20 分) 设有界数列 满足分别证明: 都收敛.

(20 分) 设 上连续, 问 存在及 上有界分别是 上一致连续的何种条件:
(1) 充分非必要条件; (2) 必要非充分条件;
(3) 充分且必要条件; (4) 非充分非必要条件.

1020 秋数学分析 III 期中 (李洪全)

1.

, 且 上的光滑函数, 且关于 为一个次数为 的齐次函数, 即进一步假设为一个可逆矩阵, 那我们可以引入并用 作为新坐标, 且在此新坐标下, 变为 . 证明:

(1) .

(2) .

2.

为一个 映射, 假设 Jacobi 矩阵满足条件(1) 证明: 对任何 中的有界闭集 , 方程 中的解至多有有限个.

(2) 如果进一步假设: 对每个正数 , 集合是一个有界集. 证明: 映满 .

3.

, 为矩形区域 上的非负连续函数.

(a) 证明: (b) 若 , 证明上述不等式反向成立.

4.

证明与曲面 相切的三个互相垂直的平面的交点在球面 上.

5.

假设 上的可积函数, 证明:

6.

函数 是定义在 上的函数, 并且满足

(i) 对于任意固定的 存在极限(ii) 对于任意的 以及 , 有(iii) 存在 , 使得对于任意的 , 证明当 趋于 时, 有

7.

元函数 满足其中 上的函数, 并且具有二阶连续偏导数. 若 满足试求出 .

8.

是抛物线 所围成的区域, 试在 中求一椭圆 , 使其面积为最大.

9.

试计算积分其中 为一个常数.

7,8,9 的答案.

7,8,9 的答案.

7.

其中 . 这三个是最经典的调和函数, 值得熟记.

8.

.

9.

作变量代换 , 然后令 , 化为关于 的积分, 算出来是 .

1120 春数学分析 II 期末 (楼红卫)

(36 分) 填空题 (每题 6 分) :

(1)

为 (下) 取整函数, 则 .

(2)

, 若 收敛, 则 满足的条件为: .

(3)

的和为: .

(4)

判断 是收敛的还是发散的: .

(5)

函数 的 Maclaurin 级数中 项的系数为: .

(6)

关于 一致收敛, 则参数 满足的条件为: .

(15 分) 计算积分 . [答案: .]

(15 分) 将旋轮线: 轴旋转一周, 求所得旋转曲面的面积. [答案: .]

(15 分) 证明一致收敛的逐项可积性定理: 设 上连续 , 且函数项级数 关于 一致收敛, 则

(10 分) 设 是非空紧集, 其上的函数 满足: , 有证明: 上为有界函数.

(10 分) 设 , 且 上一致收敛, 证明 的充要条件为: 收敛.

1219 秋数学分析 I 期末 (楼红卫)

(30 分) 填空题 (每题 6 分):

(1)

.

(2)

设函数 处有三阶导数, , 其反函数 满足: . 则 处的带 Peano 型余项的三阶 Taylor 展式为: .

(3)

设实数 满足 . 则 .

(4)

, 函数 内可导, . 若在平面直角坐标系 中, 对任何 , 曲线 在点 处的法线 (即过 且垂直于曲线在 处的切线的直线) 经过点 . 则使得满足上述条件的 存在的最大的 , 且相应的 ( 取最大值时的) .

(5)

平面上曲线 上的点到原点 的距离的最小值是 .

(10 分) 设 , 证明: .

(10 分) 设 , 且 均为有界闭区间 上的单调增加函数. 如果 上有介值性 (即对于 的任何闭子区间 , 以及介于 之间的实数 , 总存在 使得 ). 证明: 内连续.

(15 分) 设 有两阶导数, 满足: 以及 . 试问, 是否存在 , 使得对任何 , 函数 上均有且只有 个零点 (不计算重数) . 请给出论证过程.

(15 分) 设 上连续, . 证明: 存在的充分必要条件是 上一致连续.

(20 分) 依次证明以下各小题 (各小题独立计分, 每小题 5 分. 完整证明第 4 小题—无论是否证明第 1—3 小题, 给满分) :

1.

证明微分 Darboux 定理: 若 上点点可导, , 则存在 使得 .

2.

上可导, 且 内单调. 证明: 上连续.

3.

上可导, 在 内两阶可导. 证明: 存在 使得

4.

上可导, 在 内三阶可导. 证明: 存在 , 使得:

4 的证明.

4 的证明. 尽管不是必要的, 我们还是引入满足以下条件的插值 (三次) 多项式 以简化问题: 由以下方程确定: 我们有 . 令 , 则原问题化为: 设 上可导, 在 内三阶可导, , 证明: 存在 , 使得: .

由 Rolle 定理, 利用 以及 可导, 存在 使得 .

利用第 3 小题, 存在 使得 . 最后, 利用 Rolle 定理即得结论.

1319 秋数学分析 I 期中

复旦大学数学科学学院
20192020 学年第一学期期中试卷

课程名称: 课程代码:
开课院系: 考试形式:
名: 号: 业:

总分

(20 分) 设 , . 试讨论 内的连续性.

(20 分) 设任取 , 并设 . 问 是否一定收敛. 不一定, 请举出反例, 若收敛, 请证明并求出极限.

(20 分) 计算下列极限并说明理由:

(20 分) 证明: 不存在 上的实连续函数 满足 .

(20 分) 设 上一致连续.

1.若 均有界, 则 也在 上一致连续.

2.若 , 则 也在 上一致连续.

3.是否存在 使 可以保证 上一致连续?

答案.

答案.

内连续.

收敛且收敛于 .

两个极限都是 .

关键在于 .

3 中的 不存在.

1419 春数学分析 II 期末 (楼红卫)

1.

填空题 (每空格 6 分, 共 36 分) :

(1)

.

(2)

收敛, 则自然数 满足的条件为: .

(3)

的和为 .

(4)

判断 是收敛的还是发散的: .

(5)

函数 的 Maclaurin 级数中 项的系数为: .

(6)

关于 一致收敛, 则参数 满足的条件为: .

2.

(15 分) 计算积分 . [答案: .]

3.

(15 分) 将平面曲线: 轴旋转一周, 求所得旋转曲面的面积. [答案: .]

4.

(14 分) 证明一致收敛的连续性定理: 设 上连续 , 且函数项级数 关于 一致收敛, 证明函数项级数的和函数 上连续.

5.

(10 分) 设 是非空有界闭集且 . 证明: 仍是非空有界闭集. 又问, 如果把有界性条件去掉结论应如何变化?

6.

(10 分) 设 .
(1) 证明: 上有任意阶导函数;
(2) 问: 是否存在 使 时成立? 说明理由. [答案: (2) 可以取 .]

1518 秋数学分析 III 期末

复旦大学数学科学学院
20182019 学年第一学期期末考试试卷

课程名称: 课程代码:
开课院系: 考试形式:
名: 号: 业:

  提示: 请同学们秉持诚实守信宗旨, 谨守考试纪律, 摒弃考试作弊. 学生如有违反学校考试纪律的行为, 学校将按《复旦大学学生纪律处分条例》规定予以严肃处理.

总分

一、

(10 分) 记 为以原点为心、半径为 的球面. 若 为其上的一个球面三角形, 其三个内角分别为 . 利用数分 3 的知识求 的面积 (需有计算过程).

二、

(5+5+5 分) 令 . 求外微分 其中曲线 为直线上的光滑函数满足 .

三、

(7 分) 假设 , . 求第二类曲面积分其中 为平面 在第四象限部分 (即 ), 方向取上侧.

四、

(5+8 分) 计算积分:

五、

(5+5+3+5+5+2 分) 假设 . 考虑以 为周期的函数 .

(1) 写出 上的 Fourier 级数及其和函数.

(2) 利用所得结果, (a) 求(b) 直接写出 上的 Fourier 级数并计算

六、

(5+5 分) 假设 为调和函数, 即满足 . 设 . 记 为以 点为心, 为半径的球面. 证明: (1)其中 的单位外法向量.

(2) 平均值公式

七、

(10+10 分) 假设 . (1) 求(2) 试利用 (1) 的结果证明 函数的高斯公式

1618 秋数学分析 III 期末 (李洪全)

一、

为有界闭区域, 上连续可导, 且证明 上恒为 .

二、

假设 可积. 证明:

三、

假设 , 且曲面 上的切平面均过一定点 . 证明:

四、

为所有 阶实方阵全体, 考虑光滑函数

1. 计算 (可以用代数余子式表示).

2. 给定 , 假设 在约束条件下的极大值点. 证明 的行向量在 中两两正交.

3. 记满足条件 的方阵全体为 . 利用 , 证明:

五、

为满足常数 的 Lipschitz 函数, 即进一步假设在原点 , 沿任意方向 的方向导数 存在. 将 看成列向量, 定义

证明: 1. .

2. 对于任意的 , 存在 使得

3. 点可微.

六、

1. 求函数在区域 上的最大值.

2. 记.

七、

. 令 表示 中单位球的体积. 证明:

八、

假设 . 给出重积分收敛的充要条件, 并求其值.

九、

. 试将积分交换积分顺序, 再将它化为直角坐标, 写出先对 再对 以及先对 再对 的两个累次积分.

1718 秋数学分析 III 期中 (李洪全)

一、

(8 分) 假设 实可逆矩阵, 记 函数. 求以及

二、

(8+7 分) 假设 满足(a) 若 . 证明在 点附近, 存在两个不同的隐函数 , 使得

(b) 更一般地, 若 证明 (a) 中的结论依然成立.

三、

(3+5+8 分) 令 , . 假设 满足 . 记 .

(a) 证明

(b) 证明 .

(c) 假设已知其中 无关. 试利用上面不等式证明其中常数 无关.

四、

(3+4+8 分) 记 的所有对称正定矩阵集合为 . 设定义在 上的函数

(a)

的微分 . (即求 )

(b)

(即 处的 Hessian 矩阵)

(c)

证明 为凹函数.

五、

(15 分) 设 是有界区域, 上二阶连续可微, 是非负函数, 且满足其中 上一阶连续可微, ; , 且 使对 成立证明

六、

(15 分) 设函数 定义在 上且有界可积, 并在 处连续. 令(其中 为正整数) 试求: 当 , 的极限.

七、

(3+5+8 分) 下面我们考虑积分其中 均为正整数, .

若我们记 , 以及

(1) 试说明 .

(2) 试说明 .

(3) 从而计算得 . (已知 )

1817 秋数学分析 I 期末 (楼红卫)

(30 分) 填空题 (每题 5 分) :

(1)

, 则 在区间 上的最大值为 .

(2)

.

(3)

设函数 有三阶导数, 并满足 以及 . 则 处的带 Peano 型余项的三阶 Taylor 展式为: .

(4)

对于 , 设 满足 , 则 .

(5)

设曲线 在点 处的切线与 轴交于 点. 若线段 的长度为 , 则 .

(6)

, 则 .

(10 分) 设 上连续, 在 内可导. 若 存在, 证明: 处可导.

(20 分) 设 由参数方程 确定.
(1) 计算 .      (2) 计算 .
(3) 任取 , 定义 . 证明: 收敛.

(10 分) 试构造 上二阶连续可导的凸函数 , 满足

(10 分) 设 , 试讨论函数的单调性、极值、凸性、拐点, 求出它的渐近线, 并作出它的简图.

(10 分) 将区间 内的实数用十进制小数 表示, 约定不将 作为循环节. 定义试问 内的哪些点连续, 哪些点不连续.

(10 分) 设 上有两阶的连续导数, 满足 以及 . 证明: .

1917 秋数学分析 I 期中

1.

记函数求证 .

2.

上的连续函数.
(1) , 求证 一致连续.
(2) , 求证 非一致连续.
(3) , 举例说明 可能一致连续也可能非一致连续.

3.

, , 求 .

4.

.

5.

上的连续函数, 求证 上的连续函数.

6.

, 求 .

7.

上的连续函数, 证明: (1) 若恒有 为正或 , 则 严格增.
     (2) 若恒有 , 则 为常数.

2017 春数学分析 II 期末 (楼红卫)

(36 分) 填空题 (每题 6 分) :

(1)

.

(2)

收敛, 则参数 满足的条件为: .

(3)

的和为: .

(4)

判断 是收敛的还是发散的: .

(5)

处展开成 Taylor 级数时的收敛半径为: .

(6)

上内闭一致收敛, 则参数 满足的条件是 .

(15 分) 计算积分: . [答案: .]

(15 分) 求参数曲线段: 轴旋转一周, 所得旋转曲面的面积. [答案: .]

(10 分) 证明函数列 一致收敛到 的充要条件是: , 必有 .

(14 分) 设 是方程: 的解, , 其中 为常数. 证明

(1) 存在正常数 使得 ;

(2) 上连续.

证明.

证明. 对于 , 记 .

首先, 归纳易证 上有正的最小值, 而 上严格单增, 有唯一的零点. 具体地, 对于 , 上述结论成立. 现归纳假设对于某个 , 上有正的最小值, 而 上严格单增, 且有唯一的零点 . 则注意到 , 我们知道 上有正的最小值. 进一步, 由 , 得到而 上严格单增, 结合 上有唯一的零点. 当 时, , 可知满足 唯一且为正.

(1) 法 I. 由 Taylor 展式, 我们有 使得于是即可取 . 进一步, 又有所以存在 使得 .

法 II. 我们有 . 对于 , 当 时, 因此, .

另一方面, 在 内, . 因此, 这表明 .

总之, 有 .

注意到 内为负, 从而在 为负, 所以由中值定理, 我们有 使得所以由此得到从而另一方面, 于是因此, 即取 时成立 .

(2) 对于 , 由此可得 上一致收敛. 即 内闭一致收敛. 由于级数的一般项连续, 因此 内连续.

(10 分) 题目条件同上一题, 试关于 讨论:

(3) 广义积分 的收敛性;

(4) 在上述广义积分收敛时, 它是否可以逐项积分?

解答.

解答. (3) 我们有以及由此不难看到 当且仅当 时收敛.

(4) 事实上, 在局部可积性成立且被积函数非负的情形下, 积分与求和总可以交换次序. (这是实分析中的标准结论, 称为单调收敛定理. )

本题, 我们在已知知识范围内证明如下.另一方面, 由 的内闭一致收敛性, 得到因此, 可以逐项积分.

2116 春数学分析 II 期末 (楼红卫)

I.

填空题 (每空格 6 分, 共 36 分)

(1)

, 则 .

(2)

使积分 收敛, 参数 满足的条件为: .

(3)

.

(4)

判断 是收敛的还是发散的: .

(5)

的 Maclaurin 级数中 ( 是非负整数) 项的系数为: .

(6)

函数序列 上一致收敛, 则 满足的条件是 .

II.

解答题 (共 64 分)

2

(15 分) 计算积分: .

3

(15 分) 求参数曲线段: 轴之间所围区域绕 轴旋转一周, 所得旋转体的体积.

4

(10 分) 证明 中的紧集必是有界闭集.

5

(14 分) 设 , 求 的定义域并讨论其连续性、可微性.

6

(10 分) 求极限: .

[答案] 2.   3.   4. 略
    5. 在 上有定义, 在 内连续可微, 在 点不连续.

6 的解答.
6 的解答. 对于 , 我们有对于 , 注意到 , 我们有 得到因此, .

2214 秋数学分析 III 期中

复旦大学数学科学学院
20142015 学年第一学期期中考试试卷

课程名称: 课程代码:
开课院系: 考试形式:
名: 号: 业:

  提示: 请同学们秉持诚实守信宗旨, 谨守考试纪律, 摒弃考试作弊. 学生如有违反学校考试纪律的行为, 学校将按《复旦大学学生纪律处分条例》规定予以严肃处理.

一、 (多元函数微分部分)

1.

(6 分) 假设 , 并满足证明 上无界.

2.

(6 分) 假设 , 求在紧集上的最大值 (需有推导过程).

3.

(1+2+7 分) 用 表示 实矩阵全体. 若 , 定义

证明 收敛. 上述极限记为 .

证明 点可微, 并求其微分 (即给出 的确切表达式).

4.

(7 分) 假设 , 且 . 证明对任意给定的 , 中存在至少两个点使得

5.

(7 分) 设 为开区域, 函数 , 且在 内任意点处均有又设有界闭区域 . 试证在 中满足方程组的点至多有有限个.

6.

(10 分) 设 , 在点 附近可偏导, 但其偏导数在 点均不连续, 则 处不可微. 判断这个命题是否正确, 若正确, 请给出证明, 若不正确, 请举出反例.

7.

(4+3+3 分)

其中 . 假设多项式 个不同的实根 . 证明: 存在 , 对于任意的 , 个实根 , 且它们关于 是连续可导的.

, 为 的函数矩阵, 且 . 若矩阵 是对称阵, 即 , 且其特征值各不相同, 证明: 存在 , 使得 时, 的特征值各不相同, 记为 , 且 关于 是连续可导的.

同上, 证明: 存在 , 是矩阵 对应 的归一化特征向量, 即其长度为 , 且 关于 也是连续可导的.

8.

(12 分) 记 . 假设 为有界正值函数, 且满足证明[注: 本题来自于复分析中的超双曲度量, 是说对单位圆盘 上共形于 Euclid 度量的 Riemann 度量, 曲率 意味着其小于等于双曲度量. 证明见 Lars V. Ahlfors, Conformal Invariants: Topics in Geometric Function Theory, American Mathematical Society, 2010, Lemma 1-1, p.13.]

二、 (重积分部分)

9.

(5 分) 如果一元函数 上广义黎曼可积, 则二元函数 (定义为 ) 在 上广义黎曼可积. 判断这个命题是否正确, 若正确, 请给出证明, 若不正确, 请举出反例.

10.

(7 分) 给出下述 (广义) 重积分存在的充要条件:

11.

(4+3+3 分)

证明: 对于任意单位列向量 , 即 , 存在一个正交线性变换 (作为矩阵 ) 使得

给定 满足 , 计算

12.

(10 分) 求证(约定 .)

13.

(10 分) 计算