数学分析试题

120 秋数学分析 I

一	(20 分) (1) 构造一个从闭区间 $[0,1]$ 到开区间 $(0,1)$ 的一一对应; (2) 构造一个数列 $\{a_n\}$, 使得: $\forall x_0\in \mathbb{R}$, 存在子列 $\{a_{n_k}\}$ 使得 $\underset{k\to \infty }{\lim }{a}_{n_k}=x_0$.
二	(20 分) 用 Bolzano–Weierstrass 定理证明单调有界必收敛定理.
三	(20+10 分) 设数列 $\{x_n\}$ 满足$$x_{n+1}=x_n+\sin x_n,n=1,2,\cdots .$$(1) 证明 $\{x_n\}$ 收敛, 并求其极限 $A$; (附加题 2) 设 $x_1\ne A$, 求极限: $$\underset{n\to \infty }{\lim }|\ln \frac{1}{|x_n-A|}{|}^{\frac{1}{n}}.$$
四	(20 分) 设有界数列 $\{x_n\}$ 满足$$x_{n+1}\ge x_n-\frac{1}{2^n},\forall n\in \mathbb{N}.$$记$$S_n=|x_1|+|x_2-x_1|+\cdots +|x_n-x_{n-1}|,$$分别证明: $\{x_n\}$ 及 $\{S_n\}$ 都收敛.
五	(20 分) 设 $f(x)$ 在 $[1,+\infty )$ 上连续, 问 $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{f(x)}{x}$ 存在及 $\frac{f(x)}{x}$ 在 $[1,+\infty )$ 上有界分别是 $f(x)$ 在 $[1,+\infty )$ 上一致连续的何种条件: (1) 充分非必要条件;  (2) 必要非充分条件; (3) 充分且必要条件;  (4) 非充分非必要条件.