试卷: 数学分析

124 秋数学分析 I (H) 期中 (严金海)

一	计算题 (40 分, 共 4 小题, 每小题 10 分). (1) $d(n)$ 表示能整除正整数 $n$ 的因数的个数. 计算: $\underset{n\to \infty }{\lim }\sqrt[n]{d(n)}$. (2) 数列 $\{x_n\}$ 满足 $\underset{n\to +\infty }{\lim }{x}_n=1$, 计算: $$\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{2^n{x}_n-2^{n-1}{x}_{n-1}+2^{n-2}{x}_{n-2}+\cdots +(-1{)}^n{2}^0{x}_0}{2^n-2^{n-1}+2^{n-2}+\cdots +(-1{)}^n{2}^0}.$$ (3) 计算: $$\underset{n\to +\infty }{\lim }{n}^{\frac{\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\cdots +\frac{1}{n+n}}{\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\cdots +\frac{1}{2n}}}.$$ (4) 计算: $$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sqrt{1+\tan \sin x}-\sqrt{1+\sin \sin x}}{e^{\tan x}-e^{\sin x}}.$$
二	(15 分). 设 $p\ne 0$ 为常数, 对 $a,b\ge 0$, 当 $p<0$ 时还要求 $a,b>0$, 记 $M(a,b)={\left(\frac{a^p+b^p}{2}\right)}^{\frac{1}{p}}$, 三个正数数列 $\{x_n\},\{y_n\},\{z_n\}$ 满足: $$\{\begin{array}{ll}0\le x_{n+1}\le M(x_n,y_n),& n\ge 1;\\ 0\le y_{n+1}\le M(x_n,y_n),& n\ge 1;\\ 0\le z_{n+1}\le M(z_{n+1},z_n),& n\ge 1.\end{array}$$证明: $\{x_n\},\{y_n\},\{z_n\}$ 均收敛且 $\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n=\underset{n\to \infty }{\lim }{y}_n$. (注: 考试过程中规定 $p=2$)
三	(15 分). 设函数 $f(x)$ 在 $\mathbb{R}$ 上连续. 下列结论成立的请证明, 不成立的请举反例. (1) 若 $\sqrt{|f(x)|}$ 在 $\mathbb{R}$ 上一致连续, 则 $f(x)$ 也在 $\mathbb{R}$ 上一致连续. (2) 若 $f^2(x)$ 在 $\mathbb{R}$ 上一致连续, 则 $f(x)$ 也在 $\mathbb{R}$ 上一致连续.
四	(10 分). 设 $f(x)$ 在 $x=0$ 点连续, 记 $g(x)=|f(x)|$, 问 $f^{\prime }(0)$ 与 $g^{\prime }(0)$ 是否一个存在另一个也必存在? 说明理由.
五	(10 分). 设 $f(x)$ 为 $[0,+\infty )$ 上的单调连续函数, 且对于任意的 $\{x_n\}$, $x_{n+1}-x_n\ge 1$, 存在 $T>0$, 使得$$\underset{n\to +\infty }{\lim }\left[f(x_n+T)-f(x_n)\right]=0.$$证明: $f(x)$ 在 $[0,+\infty )$ 上一致连续.
六	(10 分). 设 $f$ 是定义在闭区间 $[0,1]$ 上的函数, 满足对任意的常数 $a_i,b_i,c_i,i=1,2$, 函数 $g(x)=|a_{1}x+b_{1}f(x)+c_1|+|a_{2}x+b_{2}f(x)+c_2|$ 在 $[0,1]$ 的任意闭子区间上能分别取到最大值和最小值. 证明: $f$ 是 $[0,1]$ 上的连续函数.
七	(20 分). 设 $x_0\in \mathbb{R}$, $x_n=2\sin (x_{n-1})-x_{n-1}$, $n=1,2,3,\dots$. 证明: $\{x_{2k-1}\},\{x_{2k}\}$ 分别收敛.

223 秋数学分析 I 期末

一	填空题, 本题每空 5 分, 共 30 分. 1. 已知数列 $\{x_n\}$ 满足 $x_1=\frac{1}{2}$, $x_{n+1}\le 2^n{x}_n^2$, 则 $\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n=\underline{}$. 2. $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\tan \tan x-\sin \sin x}{\tan x-\sin x}=\underline{}$. 3. $f(x)=(1+\sqrt{x}{)}^{4048}$, 求 $f^{(2023)}(1)=\underline{}$. 4. $\int \frac{dx}{{\sin }^{4}x+{\cos }^{4}x}=\underline{}$. 5. 设一圆柱体积为 $V$, 底面直径为 $d$, 高为 $h$. 现将该圆柱侧面涂满颜料, 其中侧面颜料价格为 $80$ 元/平方米, 底面颜料价格为 $100$ 元/平方米, 则当 $\frac{h}{d}=\underline{}$ 时花费最少. ($V$ 是固定值) 6. $f(x)=x\sqrt{\frac{x}{1+x}}$, 则 $f(x)$ 的渐近线方程为 $\underline{}$.
二	分析函数性质并作图: $f(x)=\sqrt{x^3-x}$.
三	已知 $f^{\prime }(\sin x)=\cos x+\tan x+x,-\frac{\pi }{2}<x<\frac{\pi }{2}$, 且 $f(0)=2023$, 求 $f(x)$.
四	已知 $f(x)=\frac{(x-1{)}^{x-1}{x}^x}{(\frac{2x-1}{2}{)}^{2x-1}}$, 求 $\underset{x>1}{\sup }f(x)$ 和 $\underset{x>1}{\inf }f(x)$.
五	已知 $f(x)$ 在 $[-1,1]$ 上连续, $(-1,1)$ 内可导, 且 $f(0)=0$, $f(1)=1$, 求证: 存在互不相同的 $2023$ 个数 $x_i(i=1,2,\dots ,2023)$, 使得 $\sum _{i=1}^{2023}\frac{1}{f^{\prime }(x_i)}=2023$.
六	已知 $f(x)$ 在 $[-1,1]$ 上连续, $(-1,1)$ 内可导, 且对任意 $x\in [-1,1]$ 有 $|f(x)|\le 1,|f^{\prime \prime }(x)|\le 4$, 求证: $|f^{\prime }(x)|\le 4$.
七	设函数 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上一阶可导, 在 $x=0$ 处任意阶可导且 $f^{(k)}(0)=0(k=1,2,\cdots ,n)$, 满足: $|x{f}^{\prime }(x)|\le 2023|f(x)|$ 对一切 $x\in [0,1]$ 成立. 求证: $x\in [0,1]$ 时 $f(x)\equiv 0$.

323 秋数学分析 I 期中

一	计算题 (每小题 12 分, 共 48 分) (1) 求极限 $\underset{n\to +\infty }{\lim }(n^2+n{)}^{\frac{1}{2n}}$. (2) 若 $\underset{n\to +\infty }{\lim }(2023a_n-a_{n-1})=2022$, 求极限 $\underset{n\to +\infty }{\lim }{a}_n$. (3) 实数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_{n+1}=a_n+e^{-a_n},n\ge 1$, 且 $a_1=1$, 求极限 $\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{a_n}{\ln n}$. (4) 求 $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sqrt[3]{1+x}-\sqrt{1+x}}{\ln (1+x)}$.
二	(12 分) 设 $f$ 是 $(0,+\infty )$ 上的正值函数, 满足$$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\left(f(x)+\frac{1}{f(x)}\right)=2.$$求极限 $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }f(x)$.
三	(20 分) (1) 证明: 对任意的正整数 $n$, 存在唯一的 $x_n>1$ 满足 $(x_n-1)\ln x_n=n$. (2) 在上面条件下, 求极限 $\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{x_n\ln n}{n}$.
四	(10 分) 设函数 $f$ 满足$$f(f(x))=-x,\forall x\in \mathbb{R}.$$证明: $f$ 不是 $\mathbb{R}$ 上的连续函数.
五	(10 分) 设 $f$ 是 $\mathbb{R}$ 上的连续有界函数, 满足$$\underset{h\to 0^{+}}{\lim }\underset{x\in \mathbb{R}}{\sup }|f(x+h)+f(x-h)-2f(x)|=0.$$问: $f$ 在 $\mathbb{R}$ 上是否一致连续? 说明理由. [参考解答]

421 秋数学分析 III 期末 (李洪全)

一	(20 分) 假设 $U\subset {\mathbb{R}}^n$ 是非空凸开集. 若 $f:U\to \mathbb{R}$ 为凸函数, 即有$$f(\lambda x+(1-\lambda )y)\le \lambda f(x)+(1-\lambda )f(y),\forall x,y\in U,0\le \lambda \le 1.$$证明: (i) $f$ 的任一极小值点也是 $f$ 的最小值点. (ii) $f$ 的最小值点集合为 ${\mathbb{R}}^n$ 中的凸集. (iii) 若进一步假设 $f$ 是严格凸的, 即有$$f(\lambda x+(1-\lambda )y)<\lambda f(x)+(1-\lambda )f(y),\forall x\ne y\in U,0<\lambda <1,$$则 $f$ 最多有一个最小值点. (iv) 若 $f\in C^1$, 则 $x^{\ast }\in U$ 是 $f$ 的最小值点的充分必要条件为$$\forall i=1,2,\cdots ,n,\frac{\partial f}{\partial x_i}(x^{\ast })=0.$$
二	(15 分) 设 $\alpha \in \mathbb{R}$, 试讨论下面积分的敛散性: $${\int }_{{\mathbb{R}}^2}(|x|+|y|){\left(e^{(x^2+y^2{)}^{\frac{\alpha }{2}}}-1\right)}^{-1}\sin (x^3)dxdy.$$
三	(10 分) 令 ${\mathcal{M}}_{n,n}=\{A;A\text{ 为 }n\text{ 阶实方阵}\}$. 假设 $A_0\in {\mathcal{M}}_{n,n}$ 有 $n$ 个互异的实特征值 ${\lambda }_1(A_0)<\cdots <{\lambda }_n(A_0)$. 证明存在 $A_0$ 的一个邻域 $U$ 使得: 对于任意的 $A\in U$ 亦有 $n$ 个互异的实特征值 ${\lambda }_1(A)<\cdots <{\lambda }_n(A)$ 且函数 ${\lambda }_j(A)(1\le j\le n)$ 在 $U$ 中连续.
四	(10 分) 假设 $A$ 为 $n$ 阶正定矩阵, $\alpha \in {\mathbb{R}}^n$. 计算$${\int }_{{\mathbb{R}}^n}\exp \{-⟨Ax,x⟩-\alpha \cdot x\}dx.$$
五	(15 分) 求曲线$$(\frac{x}{h}+\frac{y}{k}{)}^4=\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2},(h,k,a,b>0)$$在第一象限与坐标轴所围区域 $D$ 的面积.
六	(10 分) 经过直线$$l:\{\begin{array}{l}10x+2y-2z=27\\ x+y-z=0\end{array}$$作曲面 $3x^2+y^2-z^2=27$ 的切平面, 求此切平面方程.
七	(15 分) (1) 利用 $f(t)=(\cos t,\sin t)(t\in \mathbb{R})$ 构造一个反例来说明向量值函数情形没有相应的中值定理. (2) 给定 $C^1$ 向量值函数 $f,g:{\mathbb{R}}^n\to {\mathbb{R}}^m$, 定义 $F(x)=⟨f(x),g(x)⟩(x\in {\mathbb{R}}^n)$. 求 $F^{\prime }(x)$. (3) 回忆线性变换 $A:{\mathbb{R}}^n\to {\mathbb{R}}^n$ 的范数定义为 $\Vert A\Vert ={\max }_{\Vert x\Vert \le 1}\Vert Ax\Vert$. 若 $f:{\mathbb{R}}^n\to {\mathbb{R}}^m$ 且 $f\in C^1({\mathbb{R}}^n)$, 证明: $$\Vert f(x)-f(y)\Vert \le \underset{0\le t\le 1}{\sup }\Vert f^{\prime }(tx+(1-t)y)\Vert \Vert x-y\Vert .$$
八	(25 分) (1) 利用条件极值的方法, 证明: 对 $a_i\ge 0,x_i\ge 0,i=1,\dots ,n$, $p,q>1$ 且 $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$, 有如下 Hölder 不等式: $$\sum _{i=1}^n{a}_i{x}_i\le {\left(\sum _{i=1}^n{a}_i^p\right)}^{\frac{1}{p}}{\left(\sum _{i=1}^n{x}_i^q\right)}^{\frac{1}{q}}.$$ (2) 求解 Huyghens 问题: 在 $a$ 和 $b$ $(0<a<b)$ 之间插入 $n$ 个数 $a\le x_1\le \cdots \le x_n\le b$, 使得: $$u(x_1,\dots ,x_n)=\frac{x_1{x}_2\dots x_n}{(a+x_1)(x_1+x_2)\dots (x_n+b)}$$的值为最大. (提示: 利用 (1) 以及数学归纳法.)

521 秋数学分析 I 期中

一	(1) 记 $p(n)$ 为能整除 $n$ 的素数的个数, 求 $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{p(n)}{n}$. (2) 设正项数列 $\left\{x_n\right\}$ 满足 $\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n=1$, 常数 $0<a<1$, 求 $\underset{n\to \infty }{\lim }(x_n+a{x}_{n-1}+\cdots +a^n{x}_0)$. (3) 设 $|x|<1$, 求 $\underset{n\to \infty }{\lim }{\left(1+\frac{1+x+\cdots +x^n}{n}\right)}^n$. (4) 求 $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sqrt{1+\tan x}-\sqrt[3]{1-\sin x}}{e^{2\tan x}-e^{\sin x}}$.
二	设正项数列 $\{x_n\}$ 满足 $x_{n+1}\le \frac{x_n+x_{n-1}}{2}$. (1) 设 $y_n=\max \{x_n,x_{n-1}\}$, 判断 $\{y_n\}$ 的敛散性. (2) 判断 $\{x_n\}$ 的敛散性.
三	设连续函数 $f(x):[0,+\infty )\to \mathbb{R}$ 是有界的, 求证: 对任意的 $T>0$, 存在数列 $\{x_n\}$ 满足 $x_n\to +\infty$, 使得 $\underset{n\to \infty }{\lim }(f(x_n+T)-f(x_n))=0$.
四	设 $f(x)$ 是 $[a,b]$ 上的函数, 若对 $[a,b]$ 任意子区间 $[\alpha ,\beta ]$ 和任意在 $f(\alpha )$ 与 $f(\beta )$ 之间的数 $c$, 方程 $f(x)=c$ 在 $[\alpha ,\beta ]$ 的解存在且个数有限, 证明: $f(x)$ 在 $[a,b]$ 连续.
五	设 $f(x)$ 和 $g(x)$ 在 $\mathbb{R}$ 上一致连续. 问: (1) $\sqrt{f^2(x)+g^2(x)}$ 是否一致连续? (2) $\sqrt{|f(x)g(x)|}$ 是否一致连续?

621 春数学分析 II 期中 (严金海)

一	(20 分) 计算定积分:$${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\frac{\sin x}{1-\sin x\cos x}\mathrm{d}x.$$
二	(20 分) 有一盛满水的水塘, 其水体所在的三维区域形成横放的柱体 $V:\{(x,y,z)\mid 0\le x\le 2\pi ,f(x)\le y\le 0,0\le z\le 1\}$, 其中函数曲线 $y=f(x)$ 即为旋转线$$\{\begin{array}{l}x=t-\sin t\\ y=\cos t-1\end{array},t\in [0,2\pi ]$$欲将此水塘的水抽干 (水的密度 $\rho$, 重力加速度 $g$, 地面位于 $y=0$ 处) , 需至少做多少功?
三	(20 分) 已知 ${\xi }_n\in [0,\frac{\pi }{2}]$ 满足: ${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\sin }^{n}x\mathrm{d}x=\frac{\pi }{2}{\sin }^n{\xi }_n$, 求极限: $\underset{n\to \infty }{\lim }{\xi }_n$.
四	(20 分) 关于参数 $p$ 讨论广义积分的收敛性 (绝对收敛或条件收敛或发散) : $${\int }_0^{+\infty }\sin (x^p+\frac{1}{x^p})\mathrm{d}x.$$
五	(20 分) 设 $f(x)$ 为区间 $[0,1]$ 上单调上升的连续函数, $$R(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{p},& \text{当 }x=\frac{q}{p},q,p\text{ 为互质整数},p>0\\ 1,& \text{当 }x\text{ 为整数}\\ 0,& \text{当 }x\text{ 为无理数}\end{array}$$证明 $R(f(x))$ 在 $[0,1]$ 上可积.

720 秋数学分析 I 期中

一	(20 分) (1) 构造一个从闭区间 $[0,1]$ 到开区间 $(0,1)$ 的一一对应; (2) 构造一个数列 $\{a_n\}$, 使得: $\forall x_0\in \mathbb{R}$, 存在子列 $\{a_{n_k}\}$ 使得 $\underset{k\to \infty }{\lim }{a}_{n_k}=x_0$.
二	(20 分) 用 Bolzano–Weierstrass 定理证明单调有界必收敛定理.
三	(20+10 分) 设数列 $\{x_n\}$ 满足$$x_{n+1}=x_n+\sin x_n,n=1,2,\cdots .$$(1) 证明 $\{x_n\}$ 收敛, 并求其极限 $A$; (附加题 2) 设 $x_1\ne A$, 求极限: $$\underset{n\to \infty }{\lim }|\ln \frac{1}{|x_n-A|}{|}^{\frac{1}{n}}.$$
四	(20 分) 设有界数列 $\{x_n\}$ 满足$$x_{n+1}\ge x_n-\frac{1}{2^n},\forall n\in \mathbb{N}.$$记$$S_n=|x_1|+|x_2-x_1|+\cdots +|x_n-x_{n-1}|,$$分别证明: $\{x_n\}$ 及 $\{S_n\}$ 都收敛.
五	(20 分) 设 $f(x)$ 在 $[1,+\infty )$ 上连续, 问 $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{f(x)}{x}$ 存在及 $\frac{f(x)}{x}$ 在 $[1,+\infty )$ 上有界分别是 $f(x)$ 在 $[1,+\infty )$ 上一致连续的何种条件: (1) 充分非必要条件;  (2) 必要非充分条件; (3) 充分且必要条件;  (4) 非充分非必要条件.

819 秋数学分析 I 期中

复旦大学数学科学学院
2019$\sim$2020 学年第一学期期中试卷

课程名称: $\underline{\text{数学分析 }\text{AI}}$ 课程代码: $\underline{\text{MATH120014}}$
开课院系: $\underline{数学科学学院}$ 考试形式: $\underline{闭卷}$
姓 名: $\underline{}$ 学 号: $\underline{}$ 专 业: $\underline{}$

题 目	一	二	三	四	五	总分
得 分

一	(20 分) 设 $\alpha >0,x>0$, $f(x)=\underset{n\to +\infty }{\lim }{\left(1-\frac{x}{n^{\alpha }}\right)}^n$. 试讨论 $f(x)$ 在 $(0,+\infty )$ 内的连续性.
二	(20 分) 设$$f(x)=\{\begin{array}{ll}{e}^{2x-1}+1,& x<\frac{1}{2},\\ \frac{1}{2x}+1,& \frac{1}{2}\le x\le 2,\\ 1+\cos x\sin x,& x>2.\end{array}$$任取 $x_0\in \mathbb{R}$, 并设 $x_{n+1}=f(x_n)$ $(n\ge 0)$. 问 $\left\{x_n\right\}$ 是否一定收敛. 不一定, 请举出反例, 若收敛, 请证明并求出极限.
三	(20 分) 计算下列极限并说明理由: $$1.\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+\dots +\frac{1}{\sqrt{n}}}{\sqrt{n}},2.\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{1}{\sqrt{n}}\sum _{k=1}^n\frac{\sqrt[k]{k}}{\sqrt{n+1-k}}.$$
四	(20 分) 证明: 不存在 $\mathbb{R}$ 上的实连续函数 $f$ 满足 $f(f(x))=x^4-e^x$.
五	(20 分) 设 $f(x),g(x)$ 在 $\mathbb{R}$ 上一致连续. 1．若 $f(x),g(x)$ 均有界, 则 $f(x)g(x)$ 也在 $\mathbb{R}$ 上一致连续. 2．若 $\underset{x\to \infty }{\lim }xg(x)=0$, 则 $f(x)g(x)$ 也在 $\mathbb{R}$ 上一致连续. 3．是否存在 $\alpha \in (0,1)$ 使 $\underset{x\to \infty }{\lim }|x{|}^{\alpha }g(x)=0$ 可以保证 $f(x)g(x)$ 在 $\mathbb{R}$ 上一致连续?

答案.

答案.

	$f(x)$ 在 $(0,+\infty )$ 内连续.
二	$\{x_n\}$ 收敛且收敛于 $\frac{1+\sqrt{3}}{2}$.
三	两个极限都是 $2$.
五	3 中的 $\alpha$ 不存在.

$\square$

918 秋数学分析 III 期末

复旦大学数学科学学院
2018$\sim$2019 学年第一学期期末考试试卷
$\surd$ $\text{A}$ 卷 $\square$ $\text{B}$ 卷

课程名称: $\underline{\text{数学分析 }\text{III}}$ 课程代码: $\underline{\text{MATH130001}}$
开课院系: $\underline{数学科学学院}$ 考试形式: $\underline{闭卷}$
姓 名: $\underline{}$ 学 号: $\underline{}$ 专 业: $\underline{}$

  提示: 请同学们秉持诚实守信宗旨, 谨守考试纪律, 摒弃考试作弊. 学生如有违反学校考试纪律的行为, 学校将按《复旦大学学生纪律处分条例》规定予以严肃处理.

题 目	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$	总分
得 分

一、	(10 分) 记 $S_r^2\subset {\mathbb{R}}^3$ 为以原点为心、半径为 $r>0$ 的球面. 若 $△$ 为其上的一个球面三角形, 其三个内角分别为 $0<\alpha ,\beta ,\gamma <\pi$. 利用数分 3 的知识求 $△$ 的面积 $S_{△}$ (需有计算过程).
二、	(5+5+5 分) 令 $f(x,y,z)=\cos y{e}^{\sin x-x^2-y^2}$. 求外微分 $df$ 及$$\underset{T_0\to +\infty }{\lim }{\int }_{{\Gamma }_{T_0}}df+\frac{\sin 4z}{z}dz,$$其中曲线 ${\Gamma }_{T_0}$ 为$$x(t)=t{e}^{t^{2018}},y(t)=t^2\sin \left(1+t^{2019}\right),z(t)=\varphi (t),t\text{ 从 }0\text{ 至 }{T}_0$$且 $\varphi$ 为直线上的光滑函数满足 $\varphi (0)=0$、${\varphi }^{\prime }\ge 1$.
三、	(7 分) 假设 $\alpha >0$, $f\in C({\mathbb{R}}^3)$. 求第二类曲面积分$${\iint }_{\Sigma }[f(x,y,z)+x]dy\wedge dz+\left[\frac{2}{\alpha }f(x,y,z)+y\right]dz\wedge dx+[f(x,y,z)+z]dx\wedge dy$$其中 $\Sigma$ 为平面 $x-\alpha y+z=1$ 在第四象限部分 (即 $x,z\ge 0,y\le 0$), 方向取上侧.
四、	(5+8 分) 计算积分: $${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\ln \left(\frac{a+b\sin \theta }{a-b\sin \theta }\right)\frac{d\theta }{\sin \theta }(0\le b<a)$$及$${\int }_{\frac{\pi }{2}-\alpha }^{\frac{\pi }{2}}\sin \theta \arccos \left(\frac{\cos \alpha }{\sin \theta }\right)d\theta \left(0\le \alpha \le \frac{\pi }{2}\right).$$
五、	(5+5+3+5+5+2 分) 假设 $\alpha >0$. 考虑以 $2\pi$ 为周期的函数 $f(x)=\cosh (\alpha x)$. (1) 写出 $f$ 在 $[-\pi ,\pi ]$ 上的 Fourier 级数及其和函数. (2) 利用所得结果, (a) 求$$\sum _{n=1}^{+\infty }\frac{1}{{\alpha }^2+n^2},\sum _{n=1}^{+\infty }\frac{1}{({\alpha }^2+n^2{)}^2},$$(b) 直接写出 $g(x)=\sinh (\alpha x)$ 在 $[-\pi ,\pi ]$ 上的 Fourier 级数并计算$$\sum _{n=1}^{+\infty }\frac{(-1{)}^n}{n^2+1}.$$
六、	(5+5 分) 假设 $u\in C^2({\mathbb{R}}^3)$ 为调和函数, 即满足 $\Delta u=\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}u}{\partial y^2}+\frac{{\partial }^{2}u}{\partial z^2}=0$. 设 $P=(x_0,y_0,z_0)\in {\mathbb{R}}^3,r>0$. 记 $S(P,r)$ 为以 $P$ 点为心, $r$ 为半径的球面. 证明: (1)$${\iint }_{S(P,r)}\frac{\partial u}{\partial n}dS=0,$$其中 $n$ 为 $S(P,r)$ 的单位外法向量. (2) 平均值公式$$u(P)=\frac{1}{4\pi r^2}{\iint }_{S(P,r)}udS.$$
七、	(10+10 分) 假设 $\lambda \ge 0,a>0$. (1) 求$$R(\lambda )={\int }_0^{\infty }\cdots {\int }_0^{\infty }{e}^{-\left(x_1+\cdots +x_{n-1}+\frac{{\lambda }^n}{x_1\cdots x_{n-1}}\right)}{x}_1^{\frac{1}{n}-1}\cdots x_{n-1}^{\frac{n-1}{n}-1}d{x}_1\cdots d{x}_{n-1}$$(2) 试利用 (1) 的结果证明 $\Gamma$ 函数的高斯公式$$\Gamma (a)\Gamma (a+\frac{1}{n})\cdots \Gamma (a+\frac{n-1}{n})=\frac{(2\pi {)}^{\frac{n-1}{2}}}{n^{na-\frac{1}{2}}}\Gamma (na).$$

1018 秋数学分析 III 期末 (李洪全)

一、	设 $D\subset {\mathbb{R}}^2$ 为有界闭区域, $u(x,y)$ 在 $D$ 上连续可导, 且$$\begin{array}{rl}u(x,y)=\frac{\partial u}{\partial x}(x,y)& +\frac{\partial u}{\partial y}(x,y),\forall (x,y)\in D,\\ & u{|}_{\partial D}=0.\end{array}$$证明 $u$ 在 $D$ 上恒为 $0$.
二、	假设 $f:D=[0,1{]}^n⟶[-1,1](n\ge 2)$ 可积. 证明:$$\underset{k\to +\infty }{\lim }\prod _{j=1}^n\prod _{{\alpha }_j=1}^k\left[1+\frac{1}{k^n}f\left(\frac{{\alpha }_1}{k},\dots ,\frac{{\alpha }_n}{k}\right)\right]=\exp \left\{{\int }_{D}f(x)dx\right\}$$
三、	假设 $f\in C^1({\mathbb{R}}^2)$, 且曲面 $z=f(x,y)$ 上的切平面均过一定点 $(a,b,c)$. 证明: $$f(t(x-a)+a,t(y-b)+b)-c=t\cdot (f(x,y)-c)$$
四、	令 ${\mathcal{M}}_{n,n}$ 为所有 $n$ 阶实方阵全体, 考虑光滑函数$$\begin{array}{rl}\varphi :{\mathcal{M}}_{n,n}& ⟶\mathbb{R}\\ A={\left(a_{i,j}\right)}_{1\le i,j\le n}& ⟼\varphi (A)=\det A\end{array}$$ 1. 计算 $\frac{\partial }{\partial a_{i,j}}\varphi (A)$ (可以用代数余子式表示). 2. 给定 $H_1,\dots ,H_n>0$, 假设 $A_0$ 为 ${\varphi }^2(A)$ 在约束条件$$\sum _{j=1}^n{a}_{i,j}^2=H_i,i=1,\dots ,n\text{\hspace{1em}(1)}$$下的极大值点. 证明 $A_0$ 的行向量在 ${\mathbb{R}}^n$ 中两两正交. 3. 记满足条件 $(1)$ 的方阵全体为 $\Sigma$. 利用 $(\det A{)}^2=(\det A)\left(\det A^T\right)$, 证明: $$\underset{A\in \Sigma }{\max }{\varphi }^2(A)=\prod _{i=1}^n{H}_i$$
五、	若 $f:{\mathbb{R}}^n⟶\mathbb{R}(n\ge 2)$ 为满足常数 $L>0$ 的 Lipschitz 函数, 即$$|f(x)-f(y)|\le L|x-y|,\forall x,y\in {\mathbb{R}}^n$$进一步假设在原点 $o$, $f$ 沿任意方向 $v\in {\mathbb{S}}^{n-1}$ 的方向导数 $\frac{\partial f}{\partial v}(o)$ 存在. 将 $v$ 看成列向量, 定义$$Q(v;t)=\frac{f(tv)-f(o)}{t}-f^{\prime }(o)v,v\in {\mathbb{S}}^{n-1},t\in \mathbb{R}\backslash \{0\}$$ 证明: 1. $\forall v,v^{\prime }\in {\mathbb{S}}^{n-1}$ 有 $\left|Q(v;t)-Q(v^{\prime };t)\right|\le (\sqrt{n}+1)L\left|v-v^{\prime }\right|$. 2. 对于任意的 $ϵ>0$ , 存在 ${\delta }_{ϵ}>0$ 使得$$|Q(v;t)|<ϵ,\forall 0<|t|<{\delta }_{ϵ},v\in {\mathbb{S}}^{n-1}$$ 3. $f$ 在 $o$ 点可微.
六、	1. 求函数$$H(x,y)=\frac{x(1-x)y(1-y)}{1-xy}$$在区域 $0\le x\le 1,0\le y\le 1$ 上的最大值. 2. 记$$L_n={\left({\int }_0^1{\int }_0^1\frac{x^n{y}^n(1-x{)}^n(1-y{)}^n}{(1-xy{)}^{n+1}}dxdy\right)}^{\frac{1}{n}}$$求 ${\lim }_{n\to \infty }{L}_n$.
七、	设 $f\in C(\mathbb{R}),b\in \mathbb{R},n\ge 2,v\in {\mathbb{R}}^n\backslash \{o\}$ . 令 $C_{n-1}$ 表示 ${\mathbb{R}}^{n-1}$ 中单位球的体积. 证明: $${\int }_{B(o,1)}f(v\cdot x+b)dx=C_{n-1}{\int }_{-1}^{1}f(|v|s+b){\left(1-s^2\right)}^{\frac{n-1}{2}}ds$$
八、	假设 $n\ge 2,\alpha \in \mathbb{R}$. 给出重积分$${\int }_{B(o,1)}\left(x_1-x_n\right){\left[\sin \left(\sum _{j=1}^n\frac{j}{100n^2}\left|x_j\right|\right)\right]}^{\alpha }dx$$收敛的充要条件, 并求其值.
九、	设 $a>0$. 试将积分$$K={\int }_{-\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}}d\theta {\int }_0^{2a\cos \theta }f(r\cos \theta ,r\sin \theta )rdr$$交换积分顺序, 再将它化为直角坐标, 写出先对 $x$ 再对 $y$ 以及先对 $y$ 再对 $x$ 的两个累次积分.

1118 秋数学分析 III 期中 (李洪全)

一、	(8 分) 假设 $A$ 为 $n\times n$ 实可逆矩阵, 记$$\begin{array}{r}{T}_A:{\mathbb{R}}^n⟶{\mathbb{R}}^n\\ x\mapsto T_A(x)=Ax.\end{array}$$若 $\varphi :{\mathbb{R}}^n\to \mathbb{R}$ 为 $C^2$ 函数. 求$$\nabla (\varphi \circ T_A)(x)=\left(\frac{\partial (\varphi \circ T_A)}{\partial x_1},\cdots ,\frac{\partial (\varphi \circ T_A)}{\partial x_n}\right)(x)$$以及$$\mathrm{Hess}(\varphi \circ T_A)(x)={\left(\frac{{\partial }^2(\varphi \circ T_A)}{\partial x_i\partial x_j}(x)\right)}_{1\le i,j\le n}.$$
二、	(8+7 分) 假设 $f\in C^2({\mathbb{R}}^2)$ 满足$$f(0,0)=|\nabla f(0,0)|=0$$(a) 若 $\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x\partial y}(0,0)=0,\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}(0,0)>0$ 且 $\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y^2}(0,0)<0$. 证明在 $0$ 点附近, 存在两个不同的隐函数 $g_i(x),i=1,2$, 使得$$g_i(0)=0,f(x,g_i(x))=0,g_i\in C^1\text{ 且 }{g}_1^{\prime }(0)\ne g_2^{\prime }(0).$$ (b) 更一般地, 若 $\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y^2}(0,0)\ne 0$ 且$${\left(\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x\partial y}(0,0)\right)}^2-\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}(0,0)\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y^2}(0,0)>0$$证明 (a) 中的结论依然成立.
三、	(3+5+8 分) 令 $n\ge 2$, $I_n=[0,1{]}^n$. 假设 $u\in C^1({\mathbb{R}}^n)$ 满足 $u(x)=0,\forall x\notin I_n$. 记 $x=(x^{\prime },x_n),x^{\prime }=(x_1,\cdots ,x_{n-1})$. (a) 证明 $u(x)=u(x^{\prime },x_n)={\left({\int }_0^{x_n}\frac{\partial u}{\partial x_n}(x^{\prime },t)dt\right)}^2$ (b) 证明 ${\int }_{I_n}|u(x){|}^{2}dx\le {\int }_{I_n}|\nabla u(x){|}^{2}dx$. (c) 假设已知$${\left({\int }_{I_n}|u(x){|}^{\frac{n}{n-1}}dx\right)}^{\frac{n-1}{n}}\le C_n{\int }_{I_n}|\nabla u(x)|dx,$$其中 $C_n>0$ 与 $u$ 无关. 试利用上面不等式证明$${\left({\int }_{I_n}|u(x){|}^{\frac{np}{n-p}}dx\right)}^{\frac{n-p}{n}}\le C(n,p){\int }_{I_n}|\nabla u(x){|}^{p}dx,$$其中常数 $p>1$ 而 $C(n,p)>0$ 与 $u$ 无关.
四、	(3+4+8 分) 记 $n\times n$ 的所有对称正定矩阵集合为 $\Gamma$. 设定义在 $\Gamma$ 上的函数$$f(A)={\det }^{\frac{1}{n}}A,\forall A\in \Gamma .$$ (a) 求 $f$ 在 $A$ 的微分 $d{f}_{(A)}$. (即求 $\frac{\partial f}{\partial A_{ij}}=d{f}_{(A)}(E_{ij})$) (b) 求 $\frac{{\partial }^{2}f}{\partial A_{ij}\partial A_{kl}}(A)$ (即 $f$ 在 $A$ 处的 Hessian 矩阵) (c) 证明$$\frac{{\partial }^{2}f}{\partial A_{ij}\partial A_{kl}}(A){\xi }_{ij}{\xi }_{kl}<0,\forall \xi ={\left({\xi }_{ij}\right)}_{1\le i,j\le n}\ne 0$$即 $f$ 为凹函数.
五、	(15 分) 设 $\Omega \subset {\mathbb{R}}^n$ 是有界区域, $u$ 在 $\Omega$ 上二阶连续可微, $u$ 是非负函数, 且满足$$L(u)=\sum _{i,j=1}^n{a}_{ij}(x)\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x_i\partial x_j}+\sum _{k=1}^n{b}_k(x)\frac{\partial u}{\partial x_k}+c(x)u\ge 0$$其中 $a_{ij},b_k,c$ 在 $\Omega$ 上一阶连续可微, $c(x)\le 0$; $a_{ij}=a_{ji}$, 且 $\exists \alpha >0$ 使对 $\forall x\in \bar{\Omega }$ 和 $\xi =({\xi }_1,\cdots ,{\xi }_n)\in {\mathbb{R}}^n$ 成立$$\sum _{i,j=1}^n{a}_{ij}(x){\xi }_i{\xi }_j\ge \alpha \sum _{i=1}^n{\xi }_i^2$$证明$$\underset{x\in \bar{\Omega }}{\max }u(x)=\underset{x\in \partial \Omega }{\max }u(x).$$
六、	(15 分) 设函数 $f$ 定义在 $\Omega =\left\{(x,y,z)\mid x^2+y^2\le z^2,0\le z\le 1\right\}$ 上且有界可积, 并在 $(0,0,0)$ 处连续. 令$$I_n={\int }_{\Omega }{e}^{-nz}f(x,y,z)dxdydz$$(其中 $n$ 为正整数) 试求: 当 $n\to \infty$, $n^3{I}_n$ 的极限.
七、	(3+5+8 分) 下面我们考虑积分$$I_{p,q,r,s}={\int }_D{x}^p{y}^q{z}^r(1-x-y-z{)}^{s}dxdydz$$其中 $p,q,r,s$ 均为正整数, $D=\{(x,y,z)\mid x,y,z\ge 0,x+y+z\le 1\}$. 若我们记 $D(t)=\{(x,y,z)\mid x,y,z\ge 0,x+y+z\le t\}$, 以及$$I_{p,q,r,s}(t)={\int }_{D(t)}{x}^p{y}^q{z}^r(t-x-y-z{)}^{s}dxdydz$$ (1) 试说明 ${\int }_0^1{I}_{p,q,r,s}(t)dt=\frac{I_{p,q,r,s}}{p+q+r+s+4}$. (2) 试说明 $I_{p,q,r,s+1}=\frac{s+1}{p+q+r+s+4}{I}_{p,q,r,s}$. (3) 从而计算得 $I_{p,q,r,s}=\frac{p!q!r!s!}{(p+q+r+s+3)!}$. (已知 ${\int }_0^1{x}^p(1-x{)}^{q+1}dx=$ $\frac{p!(q+1)!}{(p+q+2)!}$)

1217 秋数学分析 I 期末 (楼红卫)

一 (30 分) 填空题 (每题 5 分) :

(1)	设 $f(x)=3x^4-16x^3-42x^2+120x$, 则 $f(x)$ 在区间 $[-3,3]$ 上的最大值为 $\underline{65}$.
(2)	$\int \left(e^x(\ln x+\frac{1}{x})+\ln x+1\right)dx=\underline{\left(e^x+x\right)\ln x+C}$.
(3)	设函数 $f(x)$ 在 $x=1$ 有三阶导数, 并满足 $f^{\prime }(x)=f(f(x))$ 以及 $f(1)=1$. 则 $f(x)$ 在 $x=1$ 处的带 Peano 型余项的三阶 Taylor 展式为: $\underline{1+(x-1)+\frac{(x-1{)}^2}{2}+\frac{(x-1{)}^3}{3}+o((x-1{)}^3),(x\to 1)}$.
(4)	对于 $n\ge 1$, 设 ${\xi }_n\in \left(0,\frac{1}{n}\right)$ 满足 $\sin \frac{1}{n}=\frac{1}{n}\cos {\xi }_n$, 则 $\underset{n\to \infty }{\lim }n{\xi }_n=\underline{\frac{\sqrt{3}}{3}}$.
(5)	设曲线 $y=x^2$ 在点 $A(x_0,x_0^2)$ 处的切线与 $x$ 轴交于 $P$ 点. 若线段 $AP$ 的长度为 $1$, 则 $x_0=\underline{\pm \sqrt{\frac{\sqrt{65}-1}{8}}}$.
(6)	设 $f(x)=x^{1999}{e}^x\sin x$, 则 $f^{(2018)}(0)=\underline{\frac{2018!}{19!}\cdot 2^9}$.

二	(10 分) 设 $f(x)$ 在 $[-1,1]$ 上连续, 在 $(-1,0)$ 和 $(0,1)$ 内可导. 若 $\underset{x\to 0}{\lim }{f}^{\prime }(x)$ 存在, 证明: $f(x)$ 在 $x=0$ 处可导.
三	(20 分) 设 $y=y(x)$ 由参数方程 $\{\begin{array}{l}x=e^t+2t,\\ y=\sin t-t,\end{array}$ 确定. (1) 计算 $\frac{d^{2}y}{d{x}^2}$.      (2) 计算 $\int y(x)dx$. (3) 任取 $x_0\in \mathbb{R}$, 定义 $x_{n+1}=y(x_n)$ $(n\ge 0)$. 证明: $\left\{x_n\right\}$ 收敛.
四	(10 分) 试构造 $\mathbb{R}$ 上二阶连续可导的凸函数 $f(x)$, 满足$$|f(x)|\le |x|+1,\forall x\in \mathbb{R}.$$
五	(10 分) 设 $y=\sqrt[3]{\frac{x^4}{x+1}}$, 试讨论函数的单调性、极值、凸性、拐点, 求出它的渐近线, 并作出它的简图.
六	(10 分) 将区间 $(0,1)$ 内的实数用十进制小数 $0.a_1{a}_2{a}_3\dots a_n\dots$ 表示, 约定不将 $9$ 作为循环节. 定义$$f(0.a_1{a}_2{a}_3\dots a_n\dots ):=0.a_{1}0a_{2}0a_{3}0\dots a_{n}0\dots ,$$试问 $f(x)$ 在 $(0,1)$ 内的哪些点连续, 哪些点不连续.
七	(10 分) 设 $f(x)$ 在 $[0,+\infty )$ 上有两阶的连续导数, 满足 $f(0)=f^{\prime }(0)=0$ 以及 $f^{\prime \prime }(x)+3f^{\prime }(x)+2f(x)\ge 0$. 证明: $f(x)\ge 0$.

1317 春数学分析 II 期末 (楼红卫)

一 (36 分) 填空题 (每题 6 分) :

(1)	${\int }_0^{2017}(-1{)}^{[x]}xdx=\underline{\frac{2017}{2}}$.
(2)	若 ${\int }_0^{+\infty }(\ln x)\sin (x^p)dx$ 收敛, 则参数 $p\in \mathbb{R}$ 满足的条件为: $\underline{|p|>1}$.
(3)	$\sum _{n=0}^{\infty }\frac{(-1{)}^n}{2n+1}$ 的和为: $\underline{\frac{\pi }{4}}$.
(4)	判断 $\prod _{n=1}^{\infty }\frac{\sin \frac{1}{\sqrt{2n-1}}}{\sin \frac{1}{\sqrt{2n}}}$ 是收敛的还是发散的: $\underline{发散的}$.
(5)	$\frac{x}{1-x^2}$ 在 $x=3$ 处展开成 Taylor 级数时的收敛半径为: $\underline{2}$.
(6)	若 $\sum _{n=0}^{\infty }\frac{1}{n^a}\left[e^x-{\left(1+\frac{x}{n}\right)}^n\right]$ 在 $x\in (-\infty ,+\infty )$ 上内闭一致收敛, 则参数 $a\in \mathbb{R}$ 满足的条件是 $\underline{a>0}$.

二	(15 分) 计算积分: ${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\frac{1+\cos x}{1+\sin x}dx$. [答案: $1+\ln 2$.]
三	(15 分) 求参数曲线段: $\{\begin{array}{l}x=t-\sin t,\\ y=1-\cos t,\end{array}(0\le t\le 2\pi )$ 绕 $x$ 轴旋转一周, 所得旋转曲面的面积. [答案: $\frac{64\pi }{3}$.]
四	(10 分) 证明函数列 $S_n(x)$ 在 $x\in D$ 一致收敛到 $S(x)$ 的充要条件是: $\forall x_n\in D$, 必有 $\underset{n\to \infty }{\lim }(S_n(x_n)-S(x_n))=0$.
五	(14 分) 设 $x=-a_n$ 是方程: $1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots +\frac{x^{2n-1}}{(2n-1)!}=0$ 的解, $f(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n{x}^p{e}^{-a_{n}x}$, 其中 $p\in \mathbb{R}$ 为常数. 证明 (1) 存在正常数 $C_1,C_2$ 使得 $C_{1}n\le a_n\le C_{2}n$ $(n=1,2,\dots )$; (2) $f(x)$ 在 $(0,+\infty )$ 上连续. 证明. 证明. 对于 $n\ge 0$, 记 $f_n(x)=\sum _{k=0}^n\frac{x^k}{k!},x\in \mathbb{R}$. 首先, 归纳易证 $f_{2n}(x)$ 在 $\mathbb{R}$ 上有正的最小值, 而 $f_{2n+1}(x)$ 在 $\mathbb{R}$ 上严格单增, 有唯一的零点. 具体地, 对于 $f_0(x)$ 与 $f_1(x)$, 上述结论成立. 现归纳假设对于某个 $n\ge 0$, $f_{2n}(x)$ 在 $\mathbb{R}$ 上有正的最小值, 而 $f_{2n+1}(x)$ 在 $\mathbb{R}$ 上严格单增, 且有唯一的零点 $t_{2n+1}$. 则注意到 $f_{2n+2}^{\prime }(x)=f_{2n+1}(x)$, 我们知道$$f_{2n+2}(x)\ge f_{2n+2}(t_{2n+1})=f_{2n+1}(t_{2n+1})+\frac{t_{2n+1}^{2n+2}}{(2n+2)!}=\frac{t_{2n+1}^{2n+2}}{(2n+2)!}>0,\forall x\in \mathbb{R}.$$即 $f_{2n+2}(x)$ 在 $\mathbb{R}$ 上有正的最小值. 进一步, 由 $f_{2n+3}^{\prime }(x)=f_{2n+2}(x)$, 得到而 $f_{2n+3}(x)$ 在 $\mathbb{R}$ 上严格单增, 结合 $f_{2n+3}(-\infty )=-\infty ,f_{2n+3}(+\infty )=+\infty$ 知 $f_{2n+3}(x)$ 在 $\mathbb{R}$ 上有唯一的零点. 当 $n\ge 1,x\ge 0$ 时, $f_{2n-1}(x)>0$, 可知满足 $f_{2n-1}(-a_n)=0$ 的 $a_n$ 唯一且为正. (1) 法 I. 由 Taylor 展式, 我们有 ${\xi }_n\in (0,a_n)$ 使得$$e^{-a_n}=f_{2n-1}(-a_n)+\frac{e^{-{\xi }_n}}{(2n)!}{a}_n^{2n}=\frac{e^{-{\xi }_n}}{(2n)!}{a}_n^{2n}.$$于是$$a_n={\left(\frac{(2n)!e^{{\xi }_n}}{e^{a_n}}\right)}^{\frac{1}{2n}}\le ((2n)!{)}^{\frac{1}{2n}}\le 2n.$$即可取 $C_2=2$. 进一步, 又有$$a_n={\left(\frac{(2n)!e^{{\xi }_n}}{e^{a_n}}\right)}^{\frac{1}{2n}}\ge {\left(\frac{(2n)!}{e^{2n}}\right)}^{\frac{1}{2n}}\sim \frac{2n}{e^2},(n\to \infty ).$$所以存在 $C_1>0$ 使得 $\forall n\ge 1,a_n\ge C_{1}n$. 法 II. 我们有 $a_1=1$. 对于 $n\ge 2$, 当 $x\le -(2n-1)$ 时, $$f_{2n-1}(x)=\sum _{k=0}^{n-1}\frac{x^{2k}}{(2k)!}\left(1+\frac{x}{2k+1}\right)<0.$$因此, $a_n<2n-1$ $(n\ge 2)$. 另一方面, 在 $(-(2n+1),+\infty )$ 内, $f_{2n+1}(x)>f_{2n-1}(x)$. 因此, $$f_{2n-1}(-a_{n+1})<f_{2n+1}(-a_{n+1})=0.$$这表明 $a_n<a_{n+1}$ $(n\ge 1)$. 总之, 有 $a_n<a_{n+1}<2n+1$. 注意到 $f_{2n}^{\prime }(x)=f_{2n-1}(x)$ 在 $(-\infty ,-a_n)$ 内为负, 从而在 $[-a_{n+1},-a_n)$ 为负, 所以$$\begin{array}{c}{f}_{2n}(x)\ge f_{2n}(-a_n)=\frac{a_n^{2n}}{(2n)!},x\in [-a_{n+1},-a_n],\\ f_{2n}(x)\le f_{2n}(-a_{n+1})=\frac{a_{n+1}^{2n+1}}{(2n+1)!},x\in [-a_{n+1},-a_n].\end{array}$$由中值定理, 我们有 ${\xi }_n\in (-a_{n+1},-a_n)$ 使得$$0=f_{2n+1}(-a_{n+1})=f_{2n+1}(-a_n)-f_{2n}({\xi }_n)(a_{n+1}-a_n).$$所以$$\begin{array}{rl}0& =\frac{a_n^{2n}}{(2n)!}-\frac{a_n^{2n+1}}{(2n+1)!}-f_{2n}({\xi }_n)(a_{n+1}-a_n)\\ & \le \frac{a_n^{2n}}{(2n)!}-\frac{a_n^{2n+1}}{(2n+1)!}-\frac{a_n^{2n}}{(2n)!}(a_{n+1}-a_n).\end{array}$$由此得到$$a_{n+1}-a_n\le 1-\frac{a_n}{2n+1}\le 1.$$从而$$a_n\le n,\forall n\ge 1.$$另一方面, $$\begin{array}{rl}0& =\frac{a_n^{2n}}{(2n)!}-\frac{a_n^{2n+1}}{(2n+1)!}-f_{2n}({\xi }_n)(a_{n+1}-a_n)\\ & \ge \frac{a_n^{2n}}{(2n)!}-\frac{a_n^{2n+1}}{(2n+1)!}-\frac{a_{n+1}^{2n+1}}{(2n+1)!}(a_{n+1}-a_n).\end{array}$$于是$$\begin{array}{rl}& a_{n+1}-a_n\ge \frac{2n+1}{a_{n+1}}{\left(\frac{a_n}{a_{n+1}}\right)}^{2n}\left(1-\frac{a_n}{2n+1}\right)\\ & \ge 1\cdot {\left(\frac{a_n}{a_n+1}\right)}^{2n}\cdot \left(1-\frac{n}{2n+1}\right)\ge \frac{1}{2{\left(1+\frac{1}{n}\right)}^{2n}}\ge \frac{1}{2e^2}.\end{array}$$因此, $$a_n\ge \frac{n}{2e^2},\forall n\ge 1.$$即取 $C_1=\frac{1}{2e^2},C_2=1$ 时成立 $C_{1}n\le a_n\le C_{2}n$ $(n=1,2,\dots )$. (2) 对于 $X>1$, $$0<a_n{x}^p{e}^{-a_{n}x}\le n{X}^{|p|}{e}^{-\frac{n}{2X{e}^2}},\forall x\in [\frac{1}{X},X],$$由此可得 $\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n{x}^p{e}^{-a_{n}x}$ 在 $\left[\frac{1}{X},X\right]$ 上一致收敛. 即 $\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n{x}^p{e}^{-a_{n}x}$ 在 $(0,+\infty )$ 内闭一致收敛. 由于级数的一般项连续, 因此 $f(x)$ 在 $(0,+\infty )$ 内连续. $\square$
六	(10 分) 题目条件同上一题, 试关于 $p$ 讨论: (3) 广义积分 ${\int }_0^{+\infty }f(x)dx$ 的收敛性; (4) 在上述广义积分收敛时, 它是否可以逐项积分? 解答. 解答. (3) 我们有$$\begin{array}{rl}f(x)& =\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n{x}^p{e}^{-a_{n}x}\le \sum _{n=1}^{\infty }n{x}^p{e}^{-\frac{nx}{2e^2}}\\ & =x^p\sum _{n=1}^{\infty }n{\left(e^{-\frac{x}{2e^2}}\right)}^n=x^p\frac{e^{-\frac{x}{2e^2}}}{(1-e^{-\frac{x}{2e^2}}{)}^2},\end{array}$$以及$$\begin{array}{rl}f(x)& =\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n{x}^p{e}^{-a_{n}x}\ge \frac{1}{2e^2}\sum _{n=1}^{\infty }n{x}^p{e}^{-nx}\\ & =x^p\frac{e^{-x}}{{\left(1-e^{-x}\right)}^2},\end{array}$$由此不难看到 ${\int }_0^{+\infty }f(x)dx$ 当且仅当 $p>1$ 时收敛. (4) 事实上, 一般地, 在局部可积性成立, 且被积函数非负的情形下, 积分与求和总可以交换次序. 本题, 我们在已知知识范围内证明如下．$$\begin{array}{rl}& \sum _{n=1}^{\infty }{\int }_0^{+\infty }{a}_n{x}^p{e}^{-a_{n}x}dx=\underset{m\to +\infty }{\lim }\sum _{n=1}^m{\int }_0^{+\infty }{a}_n{x}^p{e}^{-a_{n}x}dx\\ =& \underset{m\to +\infty }{\lim }{\int }_0^{+\infty }\sum _{n=1}^m{a}_n{x}^p{e}^{-a_{n}x}dx\le \underset{m\to +\infty }{\lim }{\int }_0^{+\infty }\sum _{n=1}^{+\infty }{a}_n{x}^p{e}^{-a_{n}x}dx\\ =& {\int }_0^{+\infty }\sum _{n=1}^{+\infty }{a}_n{x}^p{e}^{-a_{n}x}dx.\end{array}$$另一方面, 由 $\sum _{n=1}^{+\infty }{a}_n{x}^p{e}^{-a_{n}x}$ 在 $(0,+\infty )$ 的内闭一致收敛性, 得到$$\begin{array}{rl}& {\int }_0^{+\infty }\sum _{n=1}^{+\infty }{a}_n{x}^p{e}^{-a_{n}x}dx=\underset{\begin{array}{c}\delta \to 0^{+}\\ A\to +\infty \end{array}}{\lim }{\int }_{\delta }\sum _{n=1}^{+\infty }{a}_n{x}^p{e}^{-a_{n}x}dx\\ & =\underset{\begin{array}{c}\delta \to 0^{+}\\ A\to +\infty \end{array}}{\lim }\sum _{n=1}^{+\infty }{\int }_{\delta }^A{a}_n{x}^p{e}^{-a_{n}x}dx\le \underset{\begin{array}{c}\delta \to 0^{+}\\ A\to +\infty \end{array}}{\lim }\sum _{n=1}^{+\infty }{\int }_0^{+\infty }{a}_n{x}^p{e}^{-a_{n}x}dx\\ & =\sum _{n=1}^{+\infty }{\int }_0^{+\infty }{a}_n{x}^p{e}^{-a_{n}x}dx.\end{array}$$因此, 可以逐项积分. $${\int }_0^{+\infty }\sum _{n=1}^{+\infty }{a}_n{x}^p{e}^{-a_{n}x}dx=\sum _{n=1}^{\infty }{\int }_0^{+\infty }{a}_n{x}^p{e}^{-a_{n}x}dx.$$$\square$

1416 春数学分析 II 期末 (楼红卫)

I.

填空题 (每空格 6 分, 共 36 分) (1) 设 $f(x)={\int }_x^1\frac{\sin t}{t}dt$, 则 ${\int }_0^{1}f(x)dx=\underline{1-\cos 1}$. (2) 使积分 ${\int }_0^{+\infty }\frac{\sin \pi x}{x^a|x-1{|}^b}$ 收敛, 参数 $a,b$ 满足的条件为: $\underline{a<2,b<2,a+b>0}$. (3) $\sum _{n=0}^{\infty }\frac{1}{(2n)!}$ 为 $\underline{\frac{e+e^{-1}}{2}}$. (4) 判断 $\prod _{n=1}^{\infty }n\sin \frac{1}{n}$ 是收敛的还是发散的: $\underline{收敛}$. (5) $\frac{x}{1-x^2}$ 的 Maclaurin 级数中 $x^n$ ($n$ 是非负整数) 项的系数为: $\underline{\frac{1-(-1{)}^n}{2}}$. (6) 函数序列 $S_n(x)=n|\ln x{|}^{\alpha }(\sin \frac{\pi x}{2}{)}^n$ 在 $x\in (0,1)$ 上一致收敛, 则 $\alpha \in \mathbb{R}$ 满足的条件是 $\underline{a>2}$.

II.

解答题 (共 64 分)

2	(15 分) 计算积分: ${\int }_0^{\pi }\frac{x}{1+{\sin }^{2}x}dx$.
3	(15 分) 求参数曲线段: $\{\begin{array}{l}x=t-\sin t,\\ y=1-\cos t\end{array}(0\le t\le 2\pi )$ 与 $x$ 轴之间所围区域绕 $x$ 轴旋转一周, 所得旋转体的体积.
4	(10 分) 证明 ${\mathbb{R}}^n$ 中的紧集必是有界闭集.
5	(14 分) 设 $S(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{x}^{\frac{3}{2}}\sqrt{n}{e}^{-nx}$, 求 $S(x)$ 的定义域并讨论其连续性、可微性.
6	(10 分) 求极限: $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{{\int }_0^1(1-\frac{x}{2}{)}^n(1-\frac{x}{4}{)}^{n}dx}{{\int }_0^1(1-\frac{x}{2}{)}^{n}dx}$.

[答案]  2. $\frac{\sqrt{2}{\pi }^2}{4}$   3. $5{\pi }^2$   4. 略
    5. 在 $[0,+\infty )$ 上有定义, 在 $(0,+\infty )$ 内连续可微, 在 $0$ 点不连续.

6 的解答.

6 的解答. 对于 $\alpha \in (0,1)$, 我们有$$\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{{\int }_0^1(1-\alpha x{)}^{n}dx}{{\int }_0^1{\left(1-\frac{x}{2}\right)}^{n}dx}=\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{\frac{1}{\alpha (n+1)}\left(1-(1-\alpha {)}^{n+1}\right)}{\frac{2}{n+1}\left(1-\frac{1}{2^{n+1}}\right)}=\frac{1}{2\alpha }.$$对于 $\epsilon \in (0,1)$, 注意到 $(1-\frac{x}{2})(1-\frac{x}{4})=1-\frac{3}{4}x+\frac{x^2}{8}$, 我们有$$\begin{array}{rl}& \frac{{\int }_0^1(1-\frac{3}{4}x{)}^{n}dx}{{\int }_0^1{\left(1-\frac{x}{2}\right)}^{n}dx}\le \frac{{\int }_0^1{\left(1-\frac{x}{2}\right)}^n{\left(1-\frac{x}{4}\right)}^{n}dx}{{\int }_0^1{\left(1-\frac{x}{2}\right)}^{n}dx}\\ & \le \frac{{\int }_{\epsilon }^1{\left(1-\frac{x}{2}\right)}^n{\left(1-\frac{\epsilon }{4}\right)}^{n}dx}{{\int }_0^1{\left(1-\frac{x}{2}\right)}^{n}dx}+\frac{{\int }_0^{\epsilon }{\left(1-\frac{3}{4}x+\frac{\epsilon }{4}x\right)}^{n}dx}{{\int }_0^1{\left(1-\frac{x}{2}\right)}^{n}dx}\\ & \le {\left(1-\frac{\epsilon }{4}\right)}^n+\frac{{\int }_0^1{\left(1-\frac{3-\epsilon }{4}x\right)}^{n}dx}{{\int }_0^1{\left(1-\frac{x}{2}\right)}^{n}dx}.\end{array}$$令 $n\to +\infty$ 得到$$\begin{array}{rl}\frac{2}{3}& \le \underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{{\int }_0^1{\left(1-\frac{x}{2}\right)}^n{\left(1-\frac{x}{4}\right)}^{n}dx}{{\int }_0^1{\left(1-\frac{x}{2}\right)}^{n}dx}\\ & \le \underset{n\to +\infty }{\overline{\lim }}\frac{{\int }_0^1{\left(1-\frac{x}{2}\right)}^n{\left(1-\frac{x}{4}\right)}^{n}dx}{{\int }_0^1{\left(1-\frac{x}{2}\right)}^{n}dx}\le \frac{2}{3-\epsilon },\forall \epsilon \in (0,1),\end{array}$$因此, $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{{\int }_0^1{\left(1-\frac{x}{2}\right)}^n{\left(1-\frac{x}{4}\right)}^{n}dx}{{\int }_0^1{\left(1-\frac{x}{2}\right)}^{n}dx}=\frac{2}{3}$.

$\square$

1514 秋数学分析 III 期中

复旦大学数学科学学院
2014$\sim$2015 学年第一学期期中考试试卷

课程名称: $\underline{\text{数学分析 }\text{III}}$ 课程代码: $\underline{\text{MATH130001}}$
开课院系: $\underline{数学科学学院}$ 考试形式: $\underline{闭卷}$
姓 名: $\underline{}$ 学 号: $\underline{}$ 专 业: $\underline{}$

  提示: 请同学们秉持诚实守信宗旨, 谨守考试纪律, 摒弃考试作弊. 学生如有违反学校考试纪律的行为, 学校将按《复旦大学学生纪律处分条例》规定予以严肃处理.

题 目	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$
得 分
题 目	$8$	$9$	$10$	$11$	$12$	$13$	总 分
得 分

一、 (多元函数微分部分)

1.	(6 分) 假设 $F\in C^1({\mathbb{R}}^3)$, 并满足$$y^{2014}{\left(\frac{\partial F}{\partial x}\right)}^2+x^{2015}{\left(\frac{\partial F}{\partial y}\right)}^2+{\left(\frac{\partial F}{\partial z}\right)}^{2016}\ge 1.$$证明 $F$ 在 ${\mathbb{R}}^3$ 上无界.
2.	(6 分) 假设 $n\ge 2$, 求$$f(x_1,\cdots ,x_n)=\sum _{1\le i<j\le n}{x}_i{x}_j$$在紧集$$D=\{(x_1,\cdots ,x_n);x_i\ge 0,\forall 1\le i\le n,\sum _{i=1}^n{x}_i\le 1\}$$上的最大值 (需有推导过程).
3.	(1+2+7 分) 用 ${\mathcal{M}}_{n,n}$ 表示 $n\times n$ 实矩阵全体. 若 $A=(a_{ij}{)}_{1\le i,j\le n}\in$ ${\mathcal{M}}_{n,n}$, 定义$$\Vert A\Vert =\underset{1\le i,j\le n}{\max }|a_{i,j}|.$$
•	证明 $\forall A\in {\mathcal{M}}_{n,n},m\in {\mathbb{N}}^{+}$ 有 $\Vert A^m\Vert \le n^{m-1}\Vert A{\Vert }^m$ 且$$I_n+\sum _{m=1}^{+\infty }\frac{A^m}{m!}$$收敛. 上述极限记为 $e^A$.
•	证明$$f(A)=e^{A{A}^T}$$在 $I_n$ 点可微, 并求其微分 (即给出 $df(I_n)(B),B\in {\mathcal{M}}_{n,n}$ 的确切表达式).
4.	(7 分) 假设 $f\in C^1({\mathbb{R}}^2)$, 且 $f(1,0)=f(-1,0)$. 证明对任意给定的 $b>0$, $\{(x,y);y\ne 0\}$ 中存在至少两个点使得$$y\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=bx\frac{\partial f}{\partial y}(x,y).$$
5.	(7 分) 设 $U\subset {\mathbb{R}}^2$ 为开区域, 函数 $f,g\in C^1(U)$, 且在 $U$ 内任意点处均有$$\frac{\partial f}{\partial x}\frac{\partial g}{\partial y}-\frac{\partial f}{\partial y}\frac{\partial g}{\partial x}\ne 0.$$又设有界闭区域 $D\subset U$. 试证在 $D$ 中满足方程组$$\{\begin{array}{l}f(x,y)=0,\\ g(x,y)=0\end{array}$$的点至多有有限个.
6.	(10 分) 设 $f\in C({\mathbb{R}}^n)$ $(n\ge 2)$, 在点 $P=(a_1,\cdots ,a_n)$ 附近可偏导, 但其偏导数在 $P$ 点均不连续, 则 $f$ 在 $P$ 处不可微. 判断这个命题是否正确, 若正确, 请给出证明, 若不正确, 请举出反例.
7.	(4+3+3 分)
•	设$$f(t,x)=\sum _{i=0}^n{a}_i(t)x^i,t,x\in \mathbb{R},$$其中 $a_i\in C^1(-1,1)$. 假设多项式 $f(0,x)$ 有 $n$ 个不同的实根 ${\lambda }_1<$ ${\lambda }_2<\cdots <{\lambda }_n$. 证明: 存在 $ϵ>0$, 对于任意的 $t\in (-ϵ,ϵ)$, $f(t,x)$ 有 $n$ 个实根 ${\lambda }_1(t)<{\lambda }_2(t)<\cdots <{\lambda }_n(t)$, 且它们关于 $t$ 是连续可导的.
•	设 $(a_{ij}(t){)}_{n\times n},t\in (-1,1)$, 为 $n\times n$ 的函数矩阵, 且 $a_{ij}\in C^1(-1,1)$. 若矩阵 $(a_{ij}(0){)}_{n\times n}$ 是对称阵, 即 $a_{ij}(0)=a_{ji}(0),\forall 1\le i,j\le n$, 且其特征值各不相同, 证明: 存在 $ϵ>0$, 使得 $t\in (-ϵ,ϵ)$ 时, $(a_{ij}(t){)}_{n\times n}$ 的特征值各不相同, 记为 ${\lambda }_1(t)<{\lambda }_2(t)<\cdots <{\lambda }_n(t)$, 且 ${\lambda }_i(t)$ 关于 $t$ 是连续可导的.
•	同上, 证明: 存在 $e_i(t),1\le i\le n$, 是矩阵 $(a_{ij}(t){)}_{n\times n}$ 对应 ${\lambda }_i(t)$ 的归一化特征向量, 即其长度为 $1$, 且 $e_i(t)$ 关于 $t$ 也是连续可导的.
8.	(12 分) 记 $B:=\left\{(x,y)\mid x^2+y^2<1\right\}$. 假设 $f\in C^2(B)$ 为有界正值函数, 且满足$$\frac{{\partial }^2\ln f(x,y)}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^2\ln f(x,y)}{\partial y^2}\ge f^2(x,y),$$证明$$f(x,y)\le \frac{2}{1-x^2-y^2}.$$

二、 (重积分部分)

9.	(5 分) 如果一元函数 $f$ 在 $[1,\infty )$ 上广义然曼可积, 则二元函数 $\tilde{f}$ (定义为 $\tilde{f}(x,y)=f(x)$) 在 $[1,\infty )\times [0,1]$ 上广义黎曼可积. 判断这个命题是否正确, 若正确, 请给出证明, 若不正确, 请举出反例.
10.	(7 分) 给出下述 (广义) 重积分存在的充要条件: $${\int }_{x^2+y^2+z^2\le 1}\frac{x}{{\ln }^{\alpha }(1+|x|+|y|+|z|)}dxdydz,\alpha \in \mathbb{R}.$$
11.	(4+3+3 分)
•	证明: 对于任意单位列向量 $(a,b,c{)}^T\in {\mathbb{R}}^3$, 即 $a^2+b^2+c^2=1$, 存在一个正交线性变换 $A$ (作为矩阵 $A{A}^T=I_3$) 使得$$A\left(\begin{array}{c}a\\ b\\ c\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right).$$
•	给定 $a,b,c\in \mathbb{R}$ 满足 $a^2+b^2+c^2=1$, 计算$${\int }_{x^2+y^2+z^2\le 1}\left(e^{ax+by+cz}+x{y}^2\right)dxdydz.$$
12.	(10 分) 求证$${\int }_0^1{\int }_0^1(xy{)}^{xy}dxdy={\int }_0^1{y}^{y}dy.$$(约定 $0^0=1$.)
13.	(10 分) 计算$$\underset{0<y<x<\pi }{\iint }\ln \sin (x-y)dxdy.$$