数学模型 试卷

122 春期末试卷

1、	有一根柔软均匀细长的线性弹性弦, 在某一平面内其平衡位置附近作微小的横振动. 弦的一端固定, 另一端可在垂直于平衡位置方向自由滑动, 不受外力. 已知弦长为 $L$, 线密度为 $\rho$, 弦上各点的弹性张力 $T$ 为常数. 试给出描述该弹性弦自由振动的数学模型 (无需推导) , 并求: 初始形状为 $\varphi (x),x\in [0,L]$ 的弹性弦由静止开始自由振动, 弦上各点的运动规律.
2、	请用大鱼—小鱼模型说明在生物治虫过程中使用农药是否有利.
3、	某工厂的机械加工车间, 需要加工 $1$ 号和 $2$ 号两种零件. 这两种零件可以在三种不同类型的机床上进行加工. 机床台数及生产效率由下表给出, 要求 $1$ 号和 $2$ 号零件在保持 $1:1$ 的配套比例条件下, 合理安排机床在 $5$ 日内的加工任务, 使成套产品的数量达到最大 (只需建立模型, 不必计算) . 机床类型 机床数 (台) 日产 $1$ 号零件 (千件/台) 日产 $2$ 号零件 (千件/台) $\text{A}$ $30$ $15$ $20$ $\text{B}$ $30$ $20$ $30$ $\text{C}$ $10$ $30$ $55$
4、	某车间有 $2$ 台机器, 每台机器的连续运转时间服从负指数分布, 平均连续运转时间 $30$ 分钟, 有一个修理工, 每次修理时间服从负指数分布, 平均每次 $10$ 分钟. 求: (1) 修理工空闲的概率; (2) $2$ 台机器都出故障的概率; (3) 出故障的平均台数; (4) 等待修理的平均台数; (5) 平均停工时间; (6) 平均等待修理时间. [请给出具体的求解过程]
5、	求泛函 $J[y(x)]={\int }_0^{\pi }(y^{\prime 2}(x)-2y(x)\cos x)dx$ 在条件 $y(0)=a,y(\pi )=b$ 下的极值曲线. 求出相应的泛函极值, 并尝试说明是极大值还是极小值.