试卷: 数学模型

125 春期末试卷 (张云新)

1.	(20 分) 分配甲, 乙, 丙, 丁四个人去完成 $\text{A},\text{B},\text{C},\text{D},\text{E}$ 五项任务, 每个人完成各项任务的时间如下表. 由于任务数多于人数, 故考虑以下要求: (1) 其中有一个人完成两项, 其他每人完成一项; (2) 任务 $\text{A}$ 由甲或者丙完成, 任务 $\text{C}$ 由丙或者丁完成, 任务 $\text{E}$ 由甲, 乙或丁来完成, 且规定 4 人中丙或丁完成两项任务, 其他每人完成一项. 人员\任务 $\text{A}$ $\text{B}$ $\text{C}$ $\text{D}$ $\text{E}$ 甲 $25$ $29$ $31$ $42$ $37$ 乙 $39$ $38$ $26$ $20$ $33$ 丙 $34$ $27$ $28$ $40$ $32$ 丁 $24$ $42$ $36$ $23$ $45$ 试分别确定最优分配方案, 使完成任务的总时间最少.
2.	(20 分) 试分析以下有产品输出的两分子反应$$A_1\stackrel{k_1}{⟶}2A_1,A_1+A_2\stackrel{k_2}{⟶}2A_2,A_2\stackrel{k_3}{⟶}p(\text{输出}).$$建立对应的化学反应动力学模型并分析其性质. (注: 包括平衡点稳定性、相轨线的性质等.)
3.	(20 分) 最大流 (边上标了容量权重, 已回忆不出了)
4.	(20 分) 试分析 $\text{M}/\text{M}/1/\infty /m$ 模型: 共有 $m$ 台机器, $1$ 个修理工, 修理时间服从参数为 $\mu$ 的负指数分布, $\lambda$ 为每台机器单位运转时间内发生故障的平均次数. (注: 要求列出相应的转移差分方程, 从而给出系统中有 $n$ 个顾客的概率 $P_n$, 队长 $L_s$, 排队长 $L_q$, 逗留时间 $W_s$, 等待时间 $W_q$.)
5.	(20 分) 求泛函$$J[y(x)]={\int }_0^a\frac{\sqrt{1+y^{\prime 2}}}{x}\mathrm{d}x$$在条件 $y(0)=0,y(a)=a$ 下的极值曲线.

225 春期末试卷 (蔡志杰)

1.	考虑一个绕轴匀速转动的圆盘, 一根刚性杆 (杆的长度大于圆盘的直径) 一端固定在圆盘边缘随圆盘做匀速圆周运动, 另一端固定在与轴连接的水平直线上, 试问另一端是否在直线上做匀速往复运动?
2.	现需要从五个运动员甲、乙、丙、丁、戊中挑选出四名运动员参加某比赛, 比赛包括 $\text{A},\text{B},\text{C},\text{D}$ 四个不同项目. 每名运动员只能参加一个项目, 并且每个项目都要有一名运动员参加. 下表是各运动员在各项目中的平均用时 (以秒为单位), 请问如何安排运动员参加比赛可使总的用时最短 (只需建立模型, 不必计算). 运动员 甲 乙 丙 丁 戊 $\text{A}$ $a_{11}$ $a_{12}$ $a_{13}$ $a_{14}$ $a_{15}$ $\text{B}$ $a_{21}$ $a_{22}$ $a_{23}$ $a_{24}$ $a_{25}$ $\text{C}$ $a_{31}$ $a_{32}$ $a_{33}$ $a_{34}$ $a_{35}$ $\text{D}$ $a_{41}$ $a_{42}$ $a_{43}$ $a_{44}$ $a_{45}$
3.	简述 RSA 系统的加密解密步骤并证明其有效性.
4.	给出一个流网络计算其最大流、流值与最小割.
5.	红蓝双方作战, 初始兵力之比为 $5:2$. 直接交火减员率与对方兵力成正比, 间接交火减员率与双方兵力成正比, 比例系数为火力强度. 已知蓝方火力强度大, 问蓝方火力强度要多大才能取胜.

322 春期末试卷

1、	有一根柔软均匀细长的线性弹性弦, 在某一平面内其平衡位置附近作微小的横振动. 弦的一端固定, 另一端可在垂直于平衡位置方向自由滑动, 不受外力. 已知弦长为 $L$, 线密度为 $\rho$, 弦上各点的弹性张力 $T$ 为常数. 试给出描述该弹性弦自由振动的数学模型 (无需推导) , 并求: 初始形状为 $\varphi (x),x\in [0,L]$ 的弹性弦由静止开始自由振动, 弦上各点的运动规律.
2、	请用大鱼—小鱼模型说明在生物治虫过程中使用农药是否有利.
3、	某工厂的机械加工车间, 需要加工 $1$ 号和 $2$ 号两种零件. 这两种零件可以在三种不同类型的机床上进行加工. 机床台数及生产效率由下表给出, 要求 $1$ 号和 $2$ 号零件在保持 $1:1$ 的配套比例条件下, 合理安排机床在 $5$ 日内的加工任务, 使成套产品的数量达到最大 (只需建立模型, 不必计算) . 机床类型 机床数 (台) 日产 $1$ 号零件 (千件/台) 日产 $2$ 号零件 (千件/台) $\text{A}$ $30$ $15$ $20$ $\text{B}$ $30$ $20$ $30$ $\text{C}$ $10$ $30$ $55$
4、	某车间有 $2$ 台机器, 每台机器的连续运转时间服从负指数分布, 平均连续运转时间 $30$ 分钟, 有一个修理工, 每次修理时间服从负指数分布, 平均每次 $10$ 分钟. 求: (1) 修理工空闲的概率; (2) $2$ 台机器都出故障的概率; (3) 出故障的平均台数; (4) 等待修理的平均台数; (5) 平均停工时间; (6) 平均等待修理时间. [请给出具体的求解过程]
5、	求泛函 $J[y(x)]={\int }_0^{\pi }(y^{\prime 2}(x)-2y(x)\cos x)dx$ 在条件 $y(0)=a,y(\pi )=b$ 下的极值曲线. 求出相应的泛函极值, 并尝试说明是极大值还是极小值.