数理方程 试卷

12024 年秋数理方程 (H) (曲鹏) 期末试卷

  注: 本次考试延长了 30 分钟; 第 6、第 7 题为本学期补充内容, 超出讲义范围.

1.	(15 分) 设 $u$ 满足$$\{\begin{array}{ll}{\partial }_{t}u={\partial }_x^{2}u+4{\partial }_{x}u+4u,& (t,x)\in (0,+\infty )\times (0,L)\\ u(0,x)=\phi (x),& x\in (0,L)\\ u(t,0)=u(t,L)=0,& t\in (0,+\infty ).\end{array}$$试讨论解的 $C^2$ 相容性条件并求解 $u$.
2.	(15 分) 设 $u(x,y)$ 满足$$\{\begin{array}{ll}{\partial }_x^{2}u+2{\partial }_{xy}u-3{\partial }_y^{2}u=e^{2(x-y)},& -\infty <x<+\infty ,y>0\\ u(x,0)=0,{\partial }_{y}u(x,0)=0,& -\infty <x<+\infty .\end{array}$$求解 $u$.
3.	(15 分) 试证明如下梁方程经典解的唯一性: $$\{\begin{array}{ll}{\partial }_t^{2}u+c^2{\partial }_x^{4}u=f(t,x),& (t,x)\in (0,+\infty )\times (0,L)\\ u(0,x)=\phi (x),{\partial }_{t}u(0,x)=\psi (x),& x\in (0,L)\\ u(t,0)=u(t,L)={\partial }_x^{2}u(t,0)={\partial }_x^{2}u(t,L)=0,& t\in (0,+\infty ).\end{array}$$其中 $\phi$, $\psi$, $f$ 满足一定的相容性条件.
4.	(15 分) 设函数 $c(x)\ge 0$, $b(x)\ge b_0>0$, $\Omega \subseteq {\mathbb{R}}^n$ 是光滑有界区域, $b_0$ 是常数, $u(x)$ 满足$$\{\begin{array}{ll}\Delta u+b(x)u=f(x),& x\in \Omega \\ \frac{\partial u}{\partial \nu }+c(x)u=g(x),& x\in \partial \Omega .\end{array}$$其中 $\nu$ 是单位外法向量, 各函数均光滑. 证明存在一个与 $u$ 无关的常数 $C>0$ 使得$$\underset{x\in \overline{\Omega }}{\max }|u(x)|\le C(\underset{x\in \Omega }{\max }|f(x)|+\underset{x\in \partial \Omega }{\max }|g(x)|).$$
5.	(20 分) 设函数 $u(t,x)$ 满足$$\{\begin{array}{ll}{\partial }_t^{2}u+{\Delta }_{x}u=0,& (t,x)\in {\mathbb{R}}_{+}\times {\mathbb{R}}^n\\ u(0,x)=0,& x\in {\mathbb{R}}^n,\end{array}$$且$$\underset{|(t,x)|\to \infty }{\lim }\frac{u(t,x)}{\sqrt{t^2+|x{|}^2}}=0,$$证明 $u\equiv 0$.
6.	(10 分) 设 $\mathbf{u}\in C^2({\mathbb{R}}_{+}\times \Omega ;{\mathbb{R}}^3)$, $p\in C^1({\mathbb{R}}_{+}\times \Omega ;\mathbb{R})$ 是如下不可压缩 Navier–Stokes 方程的解$$\{\begin{array}{ll}{\partial }_t\mathbf{u}+(\mathbf{u}\cdot \nabla )\mathbf{u}+\nabla p=\Delta \mathbf{u},& (t,x)\in {\mathbb{R}}_{+}\times \Omega \\ \mathrm{div}\mathbf{u}=0,& (t,x)\in {\mathbb{R}}_{+}\times \Omega \\ \mathbf{u}(0,x)=\mathbf{\phi }(x),& x\in \Omega \\ \mathbf{u}(t,x)=0,& (t,x)\in {\mathbb{R}}_{+}\times \partial \Omega .\end{array}$$其中 $\mathbf{\phi }(x)$ 满足相容性条件 $\mathbf{\phi }{|}_{\partial \Omega }=0$, $\mathrm{div}\mathbf{\phi }=0$. 证明: (1) $\mathbf{u}$ 满足如下能量估计$$\frac{1}{2}{\int }_{\Omega }|\mathbf{u}(t,x){|}^{2}dx+{\int }_0^t{\int }_{\Omega }|\nabla \mathbf{u}(s,x){|}^{2}dxds=\frac{1}{2}{\int }_{\Omega }|\mathbf{\phi }(x){|}^{2}dx;$$(2) $\mathbf{u}$ 如果存在, 必唯一.
7.	(10 分) 求满足如下方程的熵弱解$$\{\begin{array}{ll}{\partial }_{t}u+\frac{1}{2}{\partial }_x(u^2)=0,& (t,x)\in {\mathbb{R}}_{+}\times \mathbb{R}\\ u(0,x)=\phi (x),& x\in \mathbb{R}.\end{array}$$其中$$\phi (x)=\{\begin{array}{ll}0,& x<-2\\ 1,& -2<x<-1\\ 2,& -1<x<1\\ 1,& 1<x<2\\ 0,& x>2.\end{array}$$

22024 年秋数理方程 (黄耿耿) 期末试卷

1.	设 $u$ 满足方程$$\{\begin{array}{ll}\Delta u=1,& x\in B_1\subset {\mathbb{R}}^2,\\ u=x_1{x}_2,& x\in \partial B_1.\end{array}$$求 $u$ 的最大值和 $u(0)$.
2.	求解方程$$\{\begin{array}{ll}{\partial }_{t}u-{\partial }_x^{2}u=0,& (t,x)\in (0,+\infty )\times (0,+\infty )\\ u(0,x)=\phi (x),& x\in (0,+\infty )\\ u(t,0)=0,& t\in (0,+\infty ).\end{array}$$
3.	分离变量法求解方程$$\{\begin{array}{ll}{\partial }_{t}u-{\partial }_x^{2}u=0,& (t,x)\in (0,+\infty )\times (0,\pi )\\ u(0,x)=\sin x,& x\in (0,\pi )\\ u(t,0)=u(t,\pi )=0,& t\in (0,+\infty ).\end{array}$$
4.	求解方程$$\{\begin{array}{ll}{\partial }_t^{2}u-{\partial }_x^{2}u+2{\partial }_{t}u=0,& (t,x)\in (0,+\infty )\times (0,\pi )\\ u(0,x)=\phi (x),u_t(0,x)=0,& x\in (0,\pi )\\ u(t,0)=u(t,\pi )=0,& t\in (0,+\infty ).\end{array}$$
5.	设 $u$ 是 ${\mathbb{R}}^n$ 上的非线性波动方程$$\{\begin{array}{ll}{\partial }_t^{2}u-\Delta u+u^{1905}=0,& (t,x)\in (0,+\infty )\times \Omega \\ u(0,x)=\phi (x),{\partial }_{t}u(0,x)=\psi (x),& x\in \Omega \\ u(t,x)=0,& (t,x)\in (0,+\infty )\times \partial \Omega .\end{array}$$的一个光滑解. (1) 导出 $u$ 的能量满足的不等式. (2) 若 $\phi =\psi =0$, 证明 $u\equiv 0$.
6.	设函数 $u(t,x)$ 满足$$\{\begin{array}{ll}{\partial }_t^{2}u+{\Delta }_{x}u=0,& (t,x)\in {\mathbb{R}}_{+}\times {\mathbb{R}}^n\\ u(0,x)=0,& x\in {\mathbb{R}}^n,\end{array}$$且$$\underset{|(t,x)|\to \infty }{\lim }\frac{u(t,x)}{\sqrt{t^2+|x{|}^2}}=0,$$证明 $u\equiv 0$.
7.	设 $f,g$ 是不恒为 $0$ 的非负函数, $$\{\begin{array}{ll}-\Delta u=f,-\Delta v=g,& x\in \Omega ,\\ u=v=0,& x\in \partial \Omega .\end{array}$$证明: 存在只依赖于 $f,g,\Omega$ 的 ${\epsilon }_0>0$, 使得 $\epsilon u(x)<v(x)$ 对任意的 $x\in \Omega ,\epsilon \in (0,{\epsilon }_0)$ 成立.

32024 年春数理方程 (华波波) 期末试卷

1.	设 $u$ 满足波动方程$$\{\begin{array}{ll}{\partial }_t^{2}u=a^2{\partial }_x^{2}u,& (t,x)\in \mathbb{R}\times \mathbb{R}\\ u{|}_{x+at=0}=\phi (x),u{|}_{x-at=0}=\psi (x),& x\in \mathbb{R}\end{array}$$其中 $a>0,\phi (0)=\psi (0)$. 求解 $u$.
2.	设 $u$ 满足热方程$$\{\begin{array}{ll}{\partial }_{t}u-\Delta u+cu=f(t,x),& (t,x)\in (0,+\infty )\times {\mathbb{R}}^n\\ u{|}_{t=0}(x)=\phi (x),& x\in {\mathbb{R}}^n\end{array}$$其中 $\phi \in C_c^{\infty }({\mathbb{R}}^n)$. (1) 当 $c=0$, 求解 $u$; (2) 当 $c$ 为非零常数, 求解 $u$.
3.	在以下条件下判断是否存在满足 $\Delta u=4u$ 的 $u$: (1) $u\in C^{\infty }({\mathbb{R}}^n)$; (2) $u\in \mathcal{S}({\mathbb{R}}^n)$ (速降函数空间) .
4.	设 $u$ 满足波动方程$$\{\begin{array}{l}{\partial }_t^{2}u-{\partial }_x^{2}u=\sin x,(t,x)\in (0,+\infty )\times (0,\pi )\\ u{|}_{t=0}=\sin 2x,u_t{|}_{t=0}=\sin 3x,\\ u(t,0)=u(t,\pi )=0.\end{array}$$求解 $u$.
5.	设 $\Omega =(0,\pi )\times (0,\pi )$, $u$ 满足热方程$$\{\begin{array}{ll}{\partial }_{t}u-\Delta u=0,& (t,x,y)\in (0,+\infty )\times \Omega \\ u{|}_{t=0}=\sin x\sin 2y+\sin 2x\sin 3y,& (x,y)\in \Omega \\ u(t,x,y)=0,& (x,y)\in \partial \Omega .\end{array}$$求解 $u$.
6.	设 $u$ 满足波动方程$$\{\begin{array}{ll}{\partial }_t^{2}u-\Delta u=0,& (t,x)\in (0,+\infty )\times {\mathbb{R}}^3\\ u{|}_{t=0}=0,u_t{|}_{t=0}=\psi (x),& x\in {\mathbb{R}}^3,\end{array}$$其中 $\mathrm{supp}\psi \subset B_1$. 证明: (1) 对于某常数 $C$, 成立 $\underset{x\in {\mathbb{R}}^3}{\sup }|u(t,x)|\le \frac{C}{t}\Vert \psi {\Vert }_{L^{\infty }({\mathbb{R}}^3)}$. (2) 对 $t>1$, $\mathrm{supp}u(t,\cdot )\subset B_{t+1}\backslash B_{t-1}$.
7.	设 $u$ 是 Dirichlet 问题$$\{\begin{array}{ll}\Delta u=0,& x\in B_1,\\ u(x)=\phi (x),& x\in \partial B_1.\end{array}$$的解. 若 $\phi \in C(\partial B_1)$ 满足 $\phi (x^{\prime },x_n)=-\phi (x^{\prime },-x_n)$, 这里 $x^{\prime }=(x_1,\cdots ,x_{n-1})$, 且 $x_n>0$ 时 $\phi (x^{\prime },x_n)>0$, 求证: $u(x)>0$ 对 $x\in B_1^{+}$, 这里 $B_1^{+}=\{(x^{\prime },x_n)\in B_1\mid x_n>0\}$.

42023 年秋数理方程 (H) (曲鹏) 期末试卷

1.	记 $\Omega ={\mathbb{R}}^3\backslash \overline{B_1(0)}$, 证明以下外 Robin 问题的经典解唯一: $$\{\begin{array}{ll}\Delta u=0,& x\in \Omega \\ \frac{\partial u}{\partial \mathbf{n}}+\sigma u=g(x),& x\in \partial \Omega \\ \underset{|x|\to \infty }{\lim }u(x)=0.& \end{array}$$其中 $\sigma >0$ 为常数, $\mathbf{n}$ 为指向球内的单位法向量.
2.	求解以下一维热方程, 并证明解的唯一性. $$\{\begin{array}{ll}{\partial }_{t}u-{\partial }_x^{2}u=0,& (t,x)\in (0,+\infty )\times (0,1)\\ u(0,x)=x,& x\in (0,\frac{1}{2}]\\ u(0,x)=1-x,& x\in (\frac{1}{2},1)\\ u(t,0)=u(t,1)=0,& t\in (0,+\infty ).\end{array}$$
3.	讨论解的相容性条件, 并求解以下偏微分方程: $$\{\begin{array}{ll}{\left(1-\frac{x}{h}\right)}^2{\partial }_t^{2}u=a^2{\partial }_x\left({\left(1-\frac{x}{h}\right)}^2{\partial }_{x}u\right),& (t,x)\in {\mathbb{R}}^{+}\times \mathbb{R}\\ u(0,x)=\phi (x),{\partial }_{t}u(0,x)=\psi (x),& x\in \mathbb{R}.\end{array}$$
4.	设 $u$ 是 $B_R(x_0)$ 上的非负调和函数, 在 ${\bar{B}}_R(x_0)$ 上是连续的. 对于 $x\in B_R(x_0)$, 记 $r=|x-x_0|$. 证明: $${\left(\frac{R}{R+r}\right)}^{n-2}\frac{R-r}{R+r}u(x_0)\le u(x)\le {\left(\frac{R}{R-r}\right)}^{n-2}\frac{R+r}{R-r}u(x_0).$$
5.	对于二维波动方程, 假设初值 $(\phi ,\psi )$ 足够光滑且具有紧支集, 求证: 二维波动方程的 Cauchy 问题的解在 $t\to +\infty$ 时, 将以 $t^{-1/2}$ 的速度一致趋于 $0$.
6.	设 $u$ 是 $B_1(0)$ 上的调和函数, 证明存在 $C>0$, 使得对任意的 $0<r_1<r_2<1$, 有$${\int }_{B_{r_1}}|Du{|}^{2}dx\le \frac{C}{(r_2-r_1{)}^2}{\int }_{B_{r_2}}|u{|}^{2}dx.$$
7.	设 $\phi \in C^{\alpha }({\mathbb{R}}^n)$, $0<\alpha <1$, 即存在 $C>0$ 使得$$|\phi (x)-\phi (y)|\le C|x-y{|}^{\alpha }.$$设 $u=P_t\phi =H(t,\cdot )\ast \phi$. (1) 证明: 存在常数 $D>0$ 使得$$|u(t,x)|\le D(1+|x|+t).$$(2) 证明: 存在常数 $A>0$ 使得$$|u(t,x)-u(s,y)|\le A(|x-y{|}^{\alpha }+|t-s{|}^{\frac{\alpha }{2}}).$$

6的提示.

6 的提示. 取 $B_1$ 上的非负光滑函数 $\eta$ 使得在 $B_{r_1}$ 上 $\eta =1$, 在 $B_{r_2}$ 外 $\eta =0$, 考虑 ${\int }_{B_1}Du\cdot D({\eta }^{2}u)$.

$\square$

6的解答.

6 的解答. 由于$${\int }_{B_1}2\eta uDu\cdot D\eta +{\eta }^2|Du{|}^2={\int }_{B_1}Du\cdot D({\eta }^{2}u)=-{\int }_{B_1}{\eta }^{2}u\Delta u+{\int }_{\partial B_1}\frac{\partial u}{\partial \mathbf{n}}{\eta }^{2}u=0,$$有$${\int }_{B_1}{\eta }^2|Du{|}^2=-2{\int }_{B_1}\eta uDu\cdot D\eta \le 2({\int }_{B_1}|D\eta {|}^2{u}^2{)}^{\frac{1}{2}}({\int }_{B_1}{\eta }^2|Du{|}^2{)}^{\frac{1}{2}}.$$进一步要求 $|D\eta |\le C/|r_2-r_1|$, $C$ 是任意大于 $1$ 的数, 得到$${\int }_{B_{r_1}}|Du{|}^2\le {\int }_{B_1}{\eta }^2|Du{|}^2\le 4{\int }_{B_1}|D\eta {|}^2{u}^2\le \frac{4C^2}{(r_2-r_1{)}^2}{\int }_{B_{r_2}}{u}^2.$$$\square$

7的解答.

7 的解答. (1) 由于$$\begin{array}{rl}u(t,x)-\phi (0)& ={\int }_{{\mathbb{R}}^n}\frac{1}{(4\pi t{)}^{\frac{n}{2}}}{e}^{-\frac{|y{|}^2}{4t}}\phi (x-y)dy-\phi (0)\\ & ={\int }_{{\mathbb{R}}^n}\frac{1}{(4\pi t{)}^{\frac{n}{2}}}{e}^{-\frac{|y{|}^2}{4t}}(\phi (x-y)-\phi (0))dy\\ & ={\pi }^{-\frac{n}{2}}{\int }_{{\mathbb{R}}^n}{e}^{-z^2}(\phi (x-\sqrt{4t}z)-\phi (0))dz,\end{array}$$有$$\begin{array}{rl}|u(t,x)-\phi (0)|& \le {\pi }^{-\frac{n}{2}}C{\int }_{{\mathbb{R}}^n}{e}^{-z^2}|x-\sqrt{4t}z{|}^{\alpha }dz\\ & \le {\pi }^{-\frac{n}{2}}C{\int }_{{\mathbb{R}}^n}{e}^{-z^2}(|x{|}^{\alpha }+|\sqrt{4t}z{|}^{\alpha })dz\\ & \le A(|x{|}^{\alpha }+t^{\frac{\alpha }{2}})\\ & \le B(1+|x|+t).\end{array}$$那么, 令 $D=|\phi (0)|+B$.

(2) 不妨设 $t>s$, 这就是以 $s$ 为初始时间 $y$ 为原点的 (1). 将 $s,y$ 当作参数, 令$$v(\tau ,z)=u(\tau +s,z+y)-u(s,y).$$$v$ 是 $H$ 与其初值 $\psi (z)=u(s,z+y)-u(s,y)$ 的卷积, 这里 $\psi$ 同样符合$$\begin{array}{rl}|\psi (z)-\psi (w)|& =|u(s,z+y)-u(s,w+y)|\\ & =|{\int }_{{\mathbb{R}}^n}H(s,x)(\phi (z+y-x)-\phi (w+y-x)\left)dx\right|\\ & \le \underset{x\in {\mathbb{R}}^n}{\sup }|\phi (z+y-x)-\phi (w+y-x)|\\ & \le |z-w{|}^{\alpha }.\end{array}$$此外 $\psi (0)=0$. 对 $v$ 使用 (1) 中红色的不等式, 有$$|u(t,x)-u(s,y)|=|v(t-s,x-y)|\le A(|x-y{|}^{\alpha }+(t-s{)}^{\frac{\alpha }{2}}).$$$\square$

52023 年秋数理方程 (王志强) 期末试卷

以下每道题都是 20 分.

1.	记 $\Omega ={\mathbb{R}}^3\backslash \overline{B_1(0)}$, 证明以下外 Robin 问题的经典解唯一: $$\{\begin{array}{ll}\Delta u=0,& x\in \Omega \\ \frac{\partial u}{\partial \mathbf{n}}+\sigma u=g(x),& x\in \partial \Omega \\ \underset{|x|\to \infty }{\lim }u(x)=0.& \end{array}$$其中 $\sigma >0$ 为常数, $\mathbf{n}$ 为指向球内的单位法向量.
2.	求解以下一维热方程, 并证明解的唯一性. $$\{\begin{array}{ll}{\partial }_{t}u-{\partial }_x^{2}u=0,& (t,x)\in (0,+\infty )\times (0,1)\\ u(0,x)=x,& x\in (0,\frac{1}{2}]\\ u(0,x)=1-x,& x\in (\frac{1}{2},1)\\ u(t,0)=u(t,1)=0,& t\in (0,+\infty ).\end{array}$$
3.	求解以下偏微分方程: $$\{\begin{array}{ll}{\left(1-\frac{x}{h}\right)}^2{\partial }_t^{2}u=a^2{\partial }_x\left({\left(1-\frac{x}{h}\right)}^2{\partial }_{x}u\right),& (t,x)\in {\mathbb{R}}^{+}\times \mathbb{R}\\ u(0,x)=\phi (x),{\partial }_{t}u(0,x)=\psi (x),& x\in \mathbb{R}.\end{array}$$ 提示: 用 $v=\left(1-\frac{x}{h}\right)u$ 换元.
4.	设 $u$ 是 $B_R(x_0)$ 上的非负调和函数, 在 ${\bar{B}}_R(x_0)$ 上是连续的. 对于 $x\in B_R(x_0)$, 记 $r=|x-x_0|$. 分别对二维和三维的情形证明: $${\left(\frac{R}{R+r}\right)}^{n-2}\frac{R-r}{R+r}u(x_0)\le u(x)\le {\left(\frac{R}{R-r}\right)}^{n-2}\frac{R+r}{R-r}u(x_0).$$
5.	写出二维波动方程的 Cauchy 问题解的特点. 假设初值 $(\phi ,\psi )$ 足够光滑且具有紧支集, 求证: 二维波动方程的 Cauchy 问题的解在 $t\to +\infty$ 时, 将以 $t^{-1/2}$ 的速度一致趋于 $0$.
6.	(1) 请写出本学期的数理方程课程中你印象最深刻的一个定理或性质, 并简要说明原因. (2) 请谈谈你对数理方程课程的建议 (可以从课程内容, 教材, 教师等方面) .

62022 年秋数理方程 (H) (雷震) 期末试卷

1.	(10 分) 叙述 Poisson 方程的 Dirichlet 问题、Neumann 问题.
2.	(15 分) 设 $u$ 是 ${\mathbb{R}}^n$ 上的调和函数, $1\le p,q\le \infty$. 记 $B_r$ 是中心为 $0$ 半径为 $r$ 的球, 证明$$\Vert u{\Vert }_{L^p(B_r)}\le C{r}^{\frac{n}{p}-\frac{n}{q}}\Vert u{\Vert }_{L^q(B_{2r})}.$$
3.	(15 分) 求解$$\{\begin{array}{ll}{\partial }_{t}u-{\partial }_x^{2}u=4\sin 2x,& (t,x)\in (0,+\infty )\times (0,2\pi )\\ u(t,0)=0,& t\in (0,+\infty )\\ u(t,2\pi )=1,& t\in (0,+\infty )\\ u(0,x)=\sin 3x+\frac{x}{2\pi },& x\in (0,2\pi ).\end{array}$$
4.	(20 分) 区域 $\Omega \subset {\mathbb{R}}^n$ 上的热方程$$\{\begin{array}{ll}{\partial }_{t}u-\Delta u=0,& (t,x)\in (0,+\infty )\times \Omega \\ u(0,x)=\phi (x),& x\in \Omega \\ \frac{\partial u}{\partial \mathbf{n}}=0,& (t,x)\in (0,+\infty )\times \partial \Omega .\end{array}$$(1) 证明解的能量关于时间的指数衰减性; (2) 证明解的唯一性、关于初值的 $L^2$ 稳定性.
5.	(20 分) ${\mathbb{R}}^n$ 上的非线性波动方程$$\{\begin{array}{l}{\partial }_t^{2}u-\Delta u-u^5=0,\\ u(0,x)=\phi (x),{\partial }_{t}u(0,x)=\psi (x).\end{array}$$证明解的唯一性.
6.	(20 分) ${\mathbb{R}}^2$ 上的波动方程$$\{\begin{array}{l}{\partial }_t^{2}u-\Delta u=0,\\ u(0,x)=0,{\partial }_{t}u(0,x)=\psi (x).\end{array}$$其中 $\psi$ 是 ${\mathbb{R}}^2$ 上的光滑紧支函数, 支集 $\mathrm{supp}\psi \subset B_R(0)$. (1) (5 分) 写出 $u$ 的表达式; (2) (15 分) 证明存在常数 $C$ 使 $\Vert u(t,\cdot ){\Vert }_{L^{\infty }({\mathbb{R}}^2)}\le C{R}^{\frac{3}{2}}\Vert \psi {\Vert }_{L^{\infty }({\mathbb{R}}^2)}(t+R{)}^{-\frac{1}{2}}$.