数论基础 试题

12024-2025 学年秋数论基础期末试题 (任汝飞)

1.	(20 分) 给定一素数 $p$, 求以下方程的解 $(x,y,z)\in {\mathbb{F}}_p^3$ 的个数: $$x^4+y^4=z^2$$
2.	(20 分) 给定素数 $p\ge 5$, 证明: $$\sum _{j=1}^{p-1}\frac{1}{j}\equiv 0\mathrm{mod}{p}^2$$
3.	(20 分) 令 $\mu (n)$ 为 Mobius 函数,$\nu (n)$ 为 $n$ 的正因数个数,$\sigma (n)$ 为 $n$ 的正因数和, 证明: (1) $\sum _{n=1}^{\infty }\frac{\mu (n)}{n^s}=\zeta (s{)}^{-1}$ (2) $\sum _{n=1}^{\infty }\frac{\nu (n)}{n^s}=\zeta (s{)}^2$ (3) $\sum _{n=1}^{\infty }\frac{\sigma (n)}{n^s}=\zeta (s)\zeta (s-1)$
4.	(20 分) 令 $K=\mathbb{Q}[\alpha ]$, 其中 $\alpha$ 为多项式 $x^3-x^2+x-9$ 的一根, 设 ${\mathcal{O}}_K$ 为 $K$ 中代数整数环: (1) 求 $K$ 的判别式 $d_K$.(即 $d({\mathcal{O}}_K)$) (2) 给出 ${\mathcal{O}}_K$ 的一组整基.
5.	(20 分) 令 $K=\mathbb{Q}[\alpha ]$, 其中 $\alpha =\sqrt{38}$ 或 $\sqrt{-235}$, 试分别求出两种情况下 $K$ 的理想类 $C{l}_K$.
6.	(20 分) 叙述 Elgamal 公开密钥系统的过程及原理.