数论基础 试题

12024–2025 学年秋期末试题 (任汝飞)

1.	(20 分) 给定一素数 $p$, 求以下方程的解 $(x,y,z)\in {\mathbb{F}}_p^3$ 的个数: $$x^4+y^4=z^2$$
2.	(20 分) 给定素数 $p\ge 5$, 证明: $$\sum _{j=1}^{p-1}\frac{1}{j}\equiv 0\mathrm{mod}{p}^2$$
3.	(20 分) 令 $\mu (n)$ 为 Mobius 函数, $\nu (n)$ 为 $n$ 的正因数个数, $\sigma (n)$ 为 $n$ 的正因数和, 证明: (1) $\sum _{n=1}^{\infty }\frac{\mu (n)}{n^s}=\zeta (s{)}^{-1}$ (2) $\sum _{n=1}^{\infty }\frac{\nu (n)}{n^s}=\zeta (s{)}^2$ (3) $\sum _{n=1}^{\infty }\frac{\sigma (n)}{n^s}=\zeta (s)\zeta (s-1)$
4.	(20 分) 令 $K=\mathbb{Q}[\alpha ]$, 其中 $\alpha$ 为多项式 $x^3-x^2+x-9$ 的一根, 设 ${\mathcal{O}}_K$ 为 $K$ 中代数整数环: (1) 求 $K$ 的判别式 $d_K$. (即 $d({\mathcal{O}}_K)$) (2) 给出 ${\mathcal{O}}_K$ 的一组整基.
5.	(20 分) 令 $K=\mathbb{Q}[\alpha ]$, 其中 $\alpha =\sqrt{38}$ 或 $\sqrt{-235}$, 试分别求出两种情况下 $K$ 的理想类 $C{l}_K$.
6.	(20 分) 叙述 Elgamal 公开密钥系统的过程及原理.

22020–2021 学年秋期末试题 (石荣刚)

1.	记 $K=\mathbb{Q}(\sqrt{2})$, 证明: $h_K=1$.
2.	对数域 $K$ 上所有素位, 取其标准绝对值 $v$, 证明: 对 $\alpha \in K^{\ast }$ 总成立 $\prod |\alpha {|}_v=1$.
3.	对数域 $K$, 设 $\mathfrak{p}$ 为其某个非零素理想, $\mathfrak{o}$ 为其整环, $v$ 为 $\mathfrak{p}$ 对应的赋值, $K_v$ 为 $K$ 在此赋值下的完备化, ${\mathfrak{o}}_v$ 与 ${\mathfrak{p}}_v$ 分别为 $\mathfrak{o}$ 与 $\mathfrak{p}$ 的闭包, $k={\mathfrak{o}}_v/{\mathfrak{p}}_v$. 对 $a\in K_v^{\ast }$, 在域的乘法群中此元素 $a$ 有个阶数 $\mathrm{ord}(a)\in {\mathbb{N}}^{\ast }\cup \{\infty \}$. 定义 $U_0=\{a\in K_v^{\ast }\mid \mathrm{ord}(a)<\infty ,\gcd (\mathrm{ord}(a),\mathrm{char}(k))=1\}$, 证明 $U_0\simeq k^{\ast }$.
4.	设 $K$ 是数域, $\zeta =e^{2\pi i/m}$, $m>2$ 为正整数, $L=K(\zeta )$. 设 $\mathfrak{p}$ 为 $K$ 的某个非零素理想, ${\mathfrak{o}}_K$ 为 $K$ 的整环. 证明: (1) $\mathfrak{p}$ 在 $L$ 中无分歧. (2) 记 $q=♯{\mathfrak{o}}_K/\mathfrak{p}$, 并设 $\mathfrak{P}$ 为 $L$ 中整除 $\mathfrak{p}$ 的某个素理想, 证明: $\mathfrak{p}$ 的剩余次数为最小的正整数 $n$ 使得 $q^n\equiv 1\mathrm{mod}m$.
5.	设 $m,n$ 为两个 $\equiv 1\mathrm{mod}4$ 的不是 $1$ 的整数, 不含平方因子且互素. 记 $L=\mathbb{Q}(\sqrt{m},\sqrt{n})$, 证明: (1) $L/\mathbb{Q}$ 是四次 Abel 扩张. (2) 有理素数 $p$ 在 $L$ 中有分歧当且仅当 $p\mid mn$. 而对于任一有理素数 $p$, 其在 $L$ 中的分歧次数总是 $1$ 或 $2$. (3) 记 $K=\mathbb{Q}(\sqrt{mn})$, 则 $K$ 中任一非零素理想在 $L$ 中无分歧.
6.	记 $K=\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})$, 求解以下问题: (1) 给出 ${\mathfrak{o}}_k^{\ast }$ 的群结构, 无需给出基本单位. (2) 计算 ${\mathrm{Tr}}_{K/\mathbb{Q}}(\sqrt[3]{2})$, 和 $2{\mathfrak{o}}_K,3{\mathfrak{o}}_K,(\sqrt[3]{2}-1){\mathfrak{o}}_K$ 的 Dedekind 分解. (3) 证明 ${\mathfrak{o}}_K=\mathbb{Z}[\sqrt[3]{2}]$.