用户: Solution/ 试卷: 楼分析

2021—2022 秋期中

一 (30 分) 、填空题 (每题 6 分)
1. 设 $x_{n+1}=x_n-x_n^4(n\ge 0)$. 若实数 $a$ 和正数 $b$ 使得 $\underset{n\to +\infty }{\lim }{n}^{\alpha }{x}_n=b$, 则 $b=$ ______.
2. 设 $f(x)=\{\begin{array}{ll}a{e}^x+b\sin 2x,& x<0\\ c{x}^2+\ln (1+x)+x,& x\ge 0\end{array}$ 是 $\mathbb{R}$ 上二阶连续可导函数, 则 $a=$ ______, $b=$ ______, $c=$ ______.
3. 设 $\mathbb{R}$ 上的二阶可导函数 $f(x)$ 满足 $x+\pi e^{xf(x)}+f(x)-\sin f(x)=0$. 则 $f^{\prime \prime }(0)=$ ______.
4. 使得级数 $\sum _{n=1}^{\infty }{n}^{\alpha }\left[\right(1+\frac{1}{n}{)}^n-1]$ 收敛的实数 $\alpha$ 满足的充要条件是: ______.
5. 设 $f(x)=x^{2019}{e}^{2020x}\sin x$, 则 $f^{(2021)}(0)=$ ______.
 
二 (10 分)、试构造 $\mathbb{R}$ 上的实函数 $f$ 使得它仅在 $0,1$ 两点连续, 且 $f^{\prime }(0)=1$, $f^{\prime }(1)=0$.
 
三 (20 分)、设 $f$ 为 $\mathbb{R}$ 上可导的实函数, 恒成立 $|f^{\prime }(x)|\le 1$, 且 $\{x\in \mathbb{R}\mid |f^{\prime }(x)=1\}$ 无内点. 记 $f_n(x)$ 为 $\underset{n\text{ 次}}{\underbrace{f\circ f\circ \cdots \circ f}}(x)$, $\{f_n(0)\}$ 收敛于 $\xi$.
(1) 证明: 对任意 $x<y$, $|f(x)-f(y)|<|x-y|$.
(2) 对于确定的 $x\in \mathbb{R}$, 若 $\{f_n(x)\}$ 的子列 $\{f_{n_k}(x)\}$ 收敛, 证明: $\{f_{(n_k+1)}(x)\}$ 收敛.
(3) 证明: 对任何 $x\in \mathbb{R}$, $\{f_n(x)\}$ 收敛于 $\xi$.
 
四 (20 分)、
(1) 对于给定的 $\alpha >0$, 构造数列 $\{a_n\},\{b_n\}$ 满足 $a_n\le \sum _{k=n}^{\infty }\frac{1}{k^{1+\alpha }}\le b_n$, 且 $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{b_n}{a_n}=1$.
(2) 证明: $\underset{\alpha \to 0^{+}}{\lim }\sum _{n=1}^{\infty }\frac{\alpha }{n^{\alpha }}\ln (1+\frac{1}{n})=\underset{\alpha \to 0^{+}}{\lim }\sum _{n=1}^{\infty }\frac{\alpha }{n^{\alpha +1}}$.
(3) 计算: $\underset{\alpha \to 0^{+}}{\lim }\sum _{n=1}^{\infty }\frac{\alpha }{n^{\alpha }}\ln (1+\frac{2}{n}+\frac{3}{n^2})$.
 
五 (20 分)、设 $E\subseteq {\mathbb{R}}^n$ 为非空集, $f$ 为 $E$ 上的实函数. 证明: $f$ 局部有界当且仅当 $f$ 在 $E$ 的任何紧子集上有界.

 
 

2021—2022 秋期末

一 (30 分) 、填空题 (每题 5 分)
1. 设 $f(x)=\frac{1}{4\sqrt{2}}\ln \frac{\sqrt{1+x^4}+\sqrt{2}x}{\sqrt{1+x^4}-\sqrt{2}x}-\frac{1}{2\sqrt{2}}\arctan \frac{\sqrt{1+x^4}}{\sqrt{2}x}$, 则 $f^{\prime }(x)=$ ______.
2.$\int \frac{\sqrt{1+x^4}}{1-x^4}\mathrm{d}x=$ ______.
3.$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\ln (1+\sin \tan x)-\ln (1+\tan x)}{x^3}=$ ______.
4. 设 $f(x,y)=2x^2+y^2+xy-6x-5y$, 则 $f(x,y)$ 在 $[0,+\infty )\times [0,+\infty )$ 上的最小值为 ______.
5. 设 $f(x)=\ln (1+x)+\frac{1}{2}\arcsin x^2$, 函数 $g(x)$ 满足 $f(g(x))\equiv x$, 则 $f(x)$ 和 $g(x)$ 含 Peano 余项的四阶 MacLaurin 展式是:

$f(x)=$ _______________, $g(x)=$ _______________.

6. 常微分方程 $y^{(5)}(x)+2y^{(3)}(x)+y^{\prime }(x)=x{e}^{2x}+\sin x$ 的通解是 ______.
 
二 (14 分)、设 $\Omega \subseteq {\mathbb{R}}^n$ 是区域, $f:\overline{\Omega }\to \mathbb{R}$ 在 $\overline{\Omega }$ 上连续, 在 $\Omega$ 内可微. $\forall \mathbf{x}\in \Omega ,\nabla f(\mathbf{x})\ne 0$, 且存在 ${\mathbf{x}}_0\in \Omega ,|f({\mathbf{x}}_0)|\le \underset{\mathbf{x}\in \partial \Omega }{\min }|f(\mathbf{x})|$, 证明: $f$ 存在零点.
 
三 (14 分)、已知数列 $\{x_n\},\{y_n\}$ 满足 $\{\begin{array}{l}{x}_n^{\frac{2n+2021}{n}}+x_n+y_n=\cos \frac{1}{2n},\\ 3y_n^{\frac{n+2}{n}}+4x_n+y_n=4y_n^{\frac{2}{n}}+\tan \frac{1}{n}.\end{array}$
证明: $\{x_n\},\{y_n\}$ 收敛, 并求其极限.
 
四 (14 分)、
  1. 用代换 $z(x)=\frac{1+x^2}{1+x}y(x)$ 求解常微分方程 $(1+x^2)y^{\prime \prime }+4x{y}^{\prime }+2y=0$ 的通解, 其中 $y$ 在 $(0,+\infty )$ 内连续可微.
  2. 设实函数 $f(x)$ 在 $[0,3]$ 上连续, 在 $(0,3)$ 内可微, $f(0)=f(1)=1,f(3)=\frac{3}{5}$, 证明: 存在 $\xi \in (0,3)$ 使得 $(1+{\xi }^2)f^{\prime \prime }(\xi )+4\xi f^{\prime }(\xi )+2f(\xi )=0$.
 
五 (14 分)、设 $f(x)=\ln (1+x)+\frac{1}{2}\arcsin x^2$, 那么是否存在数列 $\{a_n\}$ 满足以下的条件? 若存在, 试构造之; 若不存在, 说明理由.
  1.$\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n$ 收敛, 但 $\sum _{n=1}^{\infty }f(a_n)$ 发散.
  2.$\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n$ 发散, 但 $\sum _{n=1}^{\infty }f(a_n)$ 收敛.
 
六 (14 分)、设集合 $E\subseteq {\mathbb{R}}^n$.
  1. 证明: $(E^{\prime }{)}^{\prime }\subseteq E^{\prime }$.
  2. 试给出集合 $E$ 使得 $(E^{\prime }{)}^{\prime }\ne E^{\prime }$.

 
 

2021—2022 春期末

一 (30 分) 、填空题 (每题 5 分)
1. 积分 ${\int }_0^1\frac{\ln (1-x+x^2)}{x}\mathrm{d}x=$ ______.
2. 曲面 $z=x^2+2y^2$ 落在区域 $x^2+4y^2\le 4$ 内的那一部分的面积为 ______.
3. 函数 $\frac{1}{(1+x)(1+2x+4x^2)}$ 的 Maclaurin 级数中 $x^{2022}$ 项的系数为 ______.
4. 使得函数项级数 $\sum _{n=2022}^{+\infty }(-1{)}^n{x}^n(1+\frac{ax}{n}{)}^{-n^2}$ 关于 $x\in [1,+\infty )$ 一致收敛的实常数 $a$ 的取值范围是 ______.
5. 设 $f$ 为 $\mathbb{R}$ 上的实值速降函数, $g(x)={\int }_{\mathbb{R}}yf(2y)e^{-2\pi \mathrm{i}xy}\mathrm{d}y(x\in \mathbb{R})$. 若 ${\int }_{\mathbb{R}}|g(x){|}^2\mathrm{d}x=1$, 则 ${\int }_{\mathbb{R}}{x}^{3}f(x)f^{\prime }(x)\mathrm{d}x=$ ______.
6. 极限 $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{{\int }_0^1\frac{{\ln }^n(1+x)}{x^n}\mathrm{d}x}{{\int }_0^1\frac{{\sin }^{n}x}{x^{n-1}}\mathrm{d}x}=$ ______.
 
二 (14 分)、设 $1\le p<+\infty$, $f\in L^p({\mathbb{R}}^n)$. 依次证明:
  1. 对任意 $\epsilon >0$, 存在 $g\in C_c({\mathbb{R}}^n)$ 使得 ${\int }_{{\mathbb{R}}^n}|g(\mathbf{x})-f(\mathbf{x}){|}^p\mathrm{d}\mathbf{x}\le \epsilon .$
  2.$\underset{\mathbf{u}\to 0}{\lim }{\int }_{{\mathbb{R}}^n}|f(\mathbf{x}+\mathbf{u})-f(\mathbf{x}){|}^p\mathrm{d}\mathbf{x}=0.$
  3.$\underset{\delta \to 0^{+}}{\lim }{\int }_{{\mathbb{R}}^n}(\frac{1}{|B_{\delta }(\mathbf{x})|}{\int }_{B_{\delta }(\mathbf{x})}|f(\mathbf{y})-f(\mathbf{x}){|}^p\mathrm{d}\mathbf{y})\mathrm{d}\mathbf{x}=0.$
 
三 (14 分)、设 $f$ 在复区域 $D$ 内解析 (即 $f$ 在 $D$ 内任一点附近可以展开为幂级数) , 且 $f$ 的零点有聚点 $z_0\in D$. 证明: $f$ 在 $D$ 内恒为零.
 
四 (14 分)、计算 $\underset{R\to +\infty }{\lim }\underset{x^2+y^2\le R^2}{\iint }\frac{\sin (x^2+xy+y^2)}{x^2+xy+y^2}\mathrm{d}x\mathrm{d}y$ 并说明计算过程的正确性.
 
五 (14 分)、对于具有正实部的复数 $z$, 定义 $\Gamma (z)={\int }_0^{+\infty }{x}^{z-1}{e}^{-x}dx$. 证明 (若仅证明了 $z$ 为实数情形时的结果, 计 10 分): 对任何复数 $z$, 有 $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{\Gamma (x+z)}{x^z\Gamma (x)}=1$.
 
六 (14 分)、设 $f$ 以 $2\pi$ 为周期, $f{|}_{[0,2\pi ]}\in L^1[0,2\pi ]$, $f$ 的 Fourier 级数为 $\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }(a_n\cos nx+b_n\sin nx)$. 记$$S_n(f;x)=\frac{a_0}{2}+\sum _{k=1}^n(a_k\cos kx+b_k\sin kx),{\sigma }_n(f;x)=\frac{1}{n}\sum _{k=0}^{n-1}{S}_k(f;x).$$  1. 证明: 对于 $n\ge 1$, 以及 $x\in \mathbb{R}$, 有 ${\sigma }_n(f;x)=\frac{1}{2n\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x+t)(\frac{\sin \frac{nt}{2}}{\sin \frac{t}{2}}{)}^2\mathrm{d}t.$
  2. 若 $f$ 连续, 则 ${\sigma }_n(f;x)$ 关于 $x\in \mathbb{R}$ 一致收敛.

 
 

2020—2021 秋期中

一 (30 分) 、填空题 (每题 6 分)
1. 设 $x_0\in (0,2)$, $x_{n+1}=x_n-\frac{x_n^3}{6}(n\ge 0)$. 若实数 $a$ 和正数 $b$ 使得 $\underset{n\to +\infty }{\lim }{n}^{\alpha }{x}_n=b$, 则 $b=$ ______.
2. 设 $f(x)=\{\begin{array}{ll}a{x}^2+b\cos x,& x<0\\ e^x+\ln (1+x)+cx,& x\ge 0\end{array}$ 是 $\mathbb{R}$ 上二阶连续可导函数, 则 $a=$ ______, $b=$ ______, $c=$ ______.
3. 设 $\mathbb{R}$ 上的函数 $f(x)$ 满足 $x+f(x)+\sin f(x)=0$. 则 $f^{\prime \prime \prime }(0)=$ ______.
4. 使得级数 $\sum _{n=1}^{\infty }(1-\frac{x}{\sqrt{n}}{)}^n$ 收敛的实数 $x$ 满足的充要条件是: ______.
5. 设 $f(x)=e^x\cos x$, 则 $f^{(2020)}(0)=$ ______.
 
二 (10 分)、试构造 $\mathbb{R}$ 上的实函数 $f$ 使得它仅在 $0$ 点连续, 且在 $0$ 点的导数为 $1$.
 
三 (20 分)、若 $f(x_0)=x_0$, 则称 $x_0$ 为 $f$ 的不动点. 现设 $f$ 为 $[0,1]$ 上处处可导的实函数, $0$ 和 $1$ 均为 $f$ 的不动点, 且 $f^{\prime }(0)>1$, $f^{\prime }(1)>1$. 证明:
(1) $f$ 在 $(0,1)$ 中也有不动点.
(2) 存在 $f$ 的不动点 $\xi \in (0,1)$ 使得 $f^{\prime }(\xi )\le 1$.
 
四 (20 分)、证明:
(1) 对于任何 $\alpha >0$ 以及 $n\ge 1$, 成立 $n^{-\alpha }+(n+2{)}^{-\alpha }\ge 2(n+1{)}^{-\alpha }$.
(2) 对于任何 $\alpha >0$ 以及非负整数 $m$, 级数 $\sum _{n=1}^{\infty }\frac{(-1{)}^{n-1}}{(n+m{)}^{\alpha }}$ 收敛.
(3) 对于任何非负整数 $m$, 级数 $\underset{\alpha \to 0^{+}}{\underline{\lim }}\sum _{n=1}^{\infty }\frac{(-1{)}^{n-1}}{(n+m{)}^{\alpha }}\ge \frac{1}{2}$.
(4) $\underset{\alpha \to 0^{+}}{\lim }\sum _{n=1}^{\infty }\frac{(-1{)}^{n-1}}{n^{\alpha }}=\frac{1}{2}$.
 
五 (20 分)、设 $E\subseteq {\mathbb{R}}^n$ 为非空集, $\alpha \in (0,1)$, $f$ 为 $E$ 上的实函数. 称 $f\in C^{\alpha }(E)$, 如果存在常数 $M>0$ 使得对任何 $x,y\in E$ 成立 $|f(x)-f(y)|\le M|x-y{|}^{\alpha }$. 现设 $D$ 为单位闭方体 $[0,1{]}^n$, $B_{\delta }(x_0)$ 表示 ${\mathbb{R}}^n$ 中以 $x_0$ 为心 $\delta$ 为半径的球体.
(1) 设 $\alpha \in (0,1)$, 若 $f\in C_{loc}^{\alpha }(D)$, 即对任何 $x_0\in D$, 存在 $\delta >0$ 使得 $f\in C^{\alpha }(B_{\delta }(x_0)\cap D)$. 证明: $f\in C^{\alpha }(D)$.
(2) 若对于任何 $x_0\in D$, 存在 $\alpha \in (0,1)$ 以及 $\delta >0$ 使得 $f\in C^{\alpha }(B_{\delta }(x_0)\cap D)$. 证明或举例否定: 存在 $\beta \in (0,1)$ 使得 $f\in C^{\beta }(D)$.

 
 

2020—2021 秋期末

一 (30 分) 、填空题 (每题 5 分)
1. 设 $f(x,y)=x^2+2y^2-2xy+3x-9y$, 则 $f(x,y)$ 在 $[0,+\infty )\times [0,+\infty )$ 上的最小值为 ______.
2.$\int x{e}^x\cos xdx=$ ______.
3.$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{(1+\tan x{)}^{\frac{1}{\tan x}}-(1+x{)}^{\frac{1}{x}}}{x^3}=$ ______.
4. 对于 $n\ge 6$, 设 ${\xi }_n\in (0,\frac{1}{n})$ 满足 $\sin {\xi }_n=\frac{1}{n}{e}^{{\xi }_n}$, 则 $\underset{n\to \infty }{\lim }n{\xi }_n=$ ______.
5. 设函数 $f$ 在 $x=0$ 附近有三阶导数, 且其带 Peano 余项的三阶 MacLaurin 展式为 $f(x)=x+3x^2+4x^3+o(x^3)(x\to 0)$, 则 $f$ 的反函数 $g$ 的带 Peano 余项的三阶 MacLaurin 展式为: $g(x)=$ ______.
6. 常微分方程 $y^{\prime \prime \prime }-3y^{\prime }+2y=x{e}^x+\cos x$ 的通解是 ______.
 
二 (12 分)、试构造 ${\mathbb{R}}^2$ 上的二元函数 $f$ 使得 $0$ 点不是它的极小值点, 但对任何 $\alpha \in [0,2\pi ]$, $g(t):=f(t\cos \alpha ,t\sin \alpha )$ 在 $t=0$ 取到严格极小值. 进一步, 能否取到这样的一个 $f$ 使得它在 ${\mathbb{R}}^2$ 上连续? 请证明你的结论.  
三 (18 分)、设 $y=y(x)$ 由参数方程 $\{\begin{array}{l}x=e^t+t,\\ y=\cos t-3t\end{array}$ 确定.
(1) 计算 $\frac{d^{2}y}{d{x}^2}$.   (2) 计算 $\int y(x)dx$.
(3) 固定 $x_0\ne 1$, 定义 $x_{n+1}=y(x_n)(n\ge 0)$. 试讨论 $\{x_n\}$ 的有界性与收敛性.
 
四 (14 分)、设实函数 $f$ 在 $[0,1]$ 上连续, 在 $(0,1)$ 内两阶可导, $f(0)=0$, $f(\frac{1}{2})=\frac{5}{6}$, $f(1)=\frac{\pi }{2}$. 证明: 存在 $\xi \in (0,1)$ 使得 $f^{\prime \prime }(\xi )=\frac{\xi }{1-{\xi }^2}{f}^{\prime }(\xi )$.
 
五 (14 分)、设 $a_n\ne 1(n\ge 1)$, $\underset{n\to +\infty }{\lim }{a}_n=0$, 无穷乘积 $\prod _{n=1}^{\infty }(1+a_n)$ 收敛.
(1) 举例说明级数 $\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n$ 收敛和发散的情形都有可能发生.
(2) 证明级数 $\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n$ 收敛当且仅当 $\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n^2$ 收敛.
 
六 (12 分)、设 ${\mathbb{R}}^n$ 上连续函数列 $\{f_k(\mathbf{x})\}$ 对于每一个 $\mathbf{x}\in {\mathbb{R}}^n$ 都是有界的. 证明: 存在内点非空的集合 $E\subset {\mathbb{R}}^n$ 使得 $\{f_k\}$ 在 $E$ 上一致有界, 即存在与 $k$ 无关的常数 $M>0$ 使得$$|f_k(\mathbf{x})|\le M,\forall k\ge 1,\mathbf{x}\in E.$$

 
 

2020—2021 春期中

一 (30 分) 、填空题 (每题 6 分)
1.${\int }_0^{\pi }\frac{x\sin x}{1+\sin x}dx=$ ______.
2.$\underset{x^2+4y^2\le 2x+4y}{\iiint }(x^2+y^2)dxdy=$ ______.
3. 设 $\alpha \in \mathbb{R}$ 为给定常数, 则使得函数项级数 $\sum _{n=1}^{\infty }(1-x{)}^{\alpha }{x}^{n^2}$ 在 $[0,1]$ 上一致收敛的 $\alpha$ 的取值范围是 ______.
4. 设 $D\subseteq (0,+\infty )\times (0,+\infty )$, 若函数项级数 $\sum _{n=1}^{\infty }\frac{\sin (n+\frac{1}{n^{\beta }})}{n^{\alpha }+\sin n}$ 关于 $(\alpha ,\beta )\in D$ 内闭一致收敛, 则满足上述条件的最大的集合 $D$ 是 ______.
5.$\underset{n\to +\infty }{\lim }\sum _{k=1}^n\ln (1+\frac{\ln k}{n\ln n})=$ ______.
 
二 (10 分)、设 $E\subset {\mathbb{R}}^n$ 是 Jordan 可测的有界集, $f:E\to \mathbb{R}$ 有界. 证明: $f$ 在 $E$ 上 Riemann 可积当且仅当 $f$ 在 $E$ 的内部 $E^o$ 中 Riemann 可积.
 
三 (20 分)、计算以下极限并说明理由:
(1) $\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{{\int }_0^{\frac{1}{2}}{x}^{nx}dx}{{\int }_{\frac{1}{2}}^1{x}^{nx}dx}$.  (2) $\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{{\int }_0^1\frac{x^{nx}}{1+x^2}dx}{{\int }_0^1{x}^{nx}dx}$.
 
四 (20 分)、已知对于 $\alpha \in (0,1)$ 成立 $\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^2-{\alpha }^2}=\frac{1}{2{\alpha }^2}-\frac{\pi \cot (\alpha \pi )}{2\alpha }$. 证明: 对于任何实数 $\alpha$ 成立 $\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^2+{\alpha }^2}=-\frac{1}{2{\alpha }^2}+\frac{\pi }{2\alpha \tanh (\alpha \pi )}$.
 
五 (20 分)、对于 $A\in {\mathbb{R}}^{n\times n}$, 定义 $\Vert A\Vert :=\underset{\begin{array}{c}\mathbf{x}\in {\mathbb{R}}^n\\ |\mathbf{x}|=1\end{array}}{\sup }|A\mathbf{x}|$. 记 $X:=\{A\in {\mathbb{R}}^{n\times n}|\Vert A\Vert <1\}$. 进一步, 对于 $A\in X$, 定义 $\arcsin A:=\sum _{n=0}^{\infty }\frac{C_{2n}^n}{4^n(2n+1)}{A}^{2n+1}$.
(1) 证明: $X$ 是 ${\mathbb{R}}^{n\times n}$ 中的区域.
(2) 证明: $\arcsin A$ 在 $X$ 中任意次连续可微.
(3) 若 $A\in X$ 是对称阵, $1\le k\le n$, 证明: $\lambda$ 是 $A$ 的 $k$ 重特征根当且仅当 $\arcsin \lambda$ 是 $\arcsin A$ 的 $k$ 重特征根.

 
 

2020—2021 春期末

一 (30 分) 、填空题 (每题 5 分)
1. 积分 $\underset{x^2+4y^2+9z^2\le 4x+8y+6z}{\iiint }(x^2+y^2+z^2)dxdydz=$ ______.
2. 使得函数项级数 $\sum _{n=2}^{+\infty }\frac{\sin nx}{n^{ax}}$ 关于 $x\in [\pi ,+\infty )$ 一致收敛的实常数 $a$ 的取值范围是 ______.
3.${\int }_0^{+\infty }\frac{1}{(1+x^8{)}^2}dx=$ ______.
4. 设 $i$ 为虚数单位, $C$ 为椭圆周 $x^2+4y^2=16$, 方向为逆时针, 则曲线积分 ${\int }_C\frac{dx+idy}{(x+iy{)}^2+1}=$ ______.
5. 通过将函数 $f(x):=e^{x/2}(x\in [0,2\pi ])$ 展开成 Fourier 级数, 可得 $\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{4n^2+1}=$ ______.
6. 极限 $\underset{n\to \infty }{\lim }{\int }_0^1{e}^x|\sin nx|dx=$ ______.
 
二 (14 分)、设 $f$ 为 $\mathbb{R}$ 上的实函数, 在 $\mathbb{R}$ 的任何有界区间上, $(f^{+}{)}^2$ 与 $(f^{-}{)}^2$ 的广义积分均收敛. 证明: 对于任何有界闭区间 $[a,b]$, 成立$$\underset{\delta \to 0^{+}}{\lim }{\int }_a^b|f(x)-\frac{1}{2\delta }{\int }_{-\delta }^{\delta }f(x+t)dt{|}^{2}dx=0.$$ 
三 (14 分)、设 $\{b_n\}$ 为单调下降的正数列, 证明: $\sum _{n=1}^{\infty }{b}_n\sin nx$ 在 $[-\pi ,\pi ]$ 上一致收敛的充要条件是 $\underset{n\to \infty }{\lim }n{b}_n=0$.
 
四 (14 分)、计算 $\underset{n\to +\infty }{\lim }n\sqrt{n}{\int }_0^{+\infty }\frac{\sin x^2}{(1+x^2{)}^n}dx$ 并说明计算过程的正确性.
 
五 (14 分)、设 $f\in C^2({\mathbb{R}}^n)$, 且 $\Delta f(\mathbf{x})\le 0(\forall \mathbf{x}\in {\mathbb{R}}^n)$. 令 $F(r):=\frac{1}{r^{n-1}}\underset{|\mathbf{x}|=r}{\int }f(\mathbf{x})dS(r>0)$. 证明 $F$ 在 $(0,+\infty )$ 上单调下降.
 
六 (14 分)、对于 ${\mathbb{R}}^n$ 上的速降函数 $f$, 用 $\mathcal{F}(f)$ 表示其 Fourier 变换. 定义 $g(\mathbf{x}):=e^{-\pi |\mathbf{x}{|}^2}(\mathbf{x}\in {\mathbb{R}}^n)$. 1. 证明 $\mathcal{F}(g)=g$. 2. 对于 ${\mathbb{R}}^n$ 上的速降函数 $f$, 证明: ${\mathcal{F}}^4(f)\equiv \mathcal{F}(\mathcal{F}(\mathcal{F}(\mathcal{F}(f))))=f$. 进而尝试构造满足 $\mathcal{F}(f)=f$ 且 $f(\mathbf{x})e^{\pi |\mathbf{x}{|}^2}$ 不为常数的函数 $f$.