概率论 试题

1概率论 2023-2024 第一学期期末试题 (应坚刚)

1.	(20 分) 已知某家庭生育有 2 个孩子, 大小未知, 性别未知. (1) 已知较大的一个孩子是女孩, 求两个孩子都是女孩的概率. _____ (2) 已知有一个孩子是女孩, 求两个孩子都是女孩的概率. _____ (3) 已知看到一个孩子是女孩, 求两个孩子都是女孩的概率. _____ (4) 已知有一个孩子是女孩, 求看到一个孩子是女孩的概率. _____
2.	(20 分) 记 $u_n$ 为连续掷 $n$ 次硬币, 没有出现连续的 3 次或者连续的更多次正面的概率. 求 $u_4,u_5,u_6,u_7$.
3.	(10 分) 已知有 $n$ 个人, 依次编号为 $1,2,3,\dots ,n$; 有 $n$ 个座位, 依次编号为 $1,2,3,\dots ,n$. 现在第 $1$ 个人随机坐在任意一个位置. 对于第 $i$ 个人, 如果编号为 $i$ 的座位没有人, 则他必须坐在第 $i$ 个座位上. 否则, 他从其余空余的位置中随机选择一个入座. 求第 $n$ 个人入座时第 $n$ 个座位没有人的概率.
4.	(10 分) 已知 $X,Y$ 独立同分布, 且 $X+Y$ 是平方可积的. 求证, $X$ 是平方可积的.
5.	(20 分) 已知 ${\xi }_1,{\xi }_2,\dots ,{\xi }_n$ 独立同分布, 都是 $\alpha =1$ 为参数的指数分布随机变量, $X_n={\max }_{1\le i\le n}{\xi }_i$. 求证: (1) ${\lim }_{n\to \infty }{\sup }_n\mathbb{E}[X_n]=+\infty$. (2) ${\lim }_{n\to \infty }{\sup }_n\mathbb{D}[X_n]<+\infty$.
6.	(20 分) 已知 ${\xi }_1,{\xi }_2,\dots ,{\xi }_n$ 是独立同分布的随机变量, $S_n={\sum }_{1\le i\le n}{\xi }_i$. 求证: (1) 若 $\frac{S_n}{n}$ 几乎处处收敛, 则 ${\xi }_1$ 可积. (2) 若 $\frac{S_n}{\sqrt{n}}$ 依分布收敛, 则 ${\xi }_1$ 平方可积.