概率论 试题

124 秋概率论 (应坚刚, 李利平)

本次考试延长了 30 分钟.

一.	填空题 (1 空 5 分, 共 25 分) 1. 有标有从 1 到 2218 的卡片, 每次随机抽取一张, 不放回. 已知第 2024 次抽出的数字是前 2024 次抽出的数字中的最大值, 则第 2024 次抽出的数字是 2218 的概率为 $\underline{}$. 2. 每次随机从 1 到 38 中得到一个数字. 记 $\xi$ 为 1 到 38 中每个数字都至少出现一次时的最小抽取次数, 则 $\mathbb{E}\xi =\underline{}$. 3. 袋子里有 7 个白球和 1 个黑球. 每次不放回地从袋中摸球, 当发生 (1) 袋子中有 6 个球, 或 (2) 摸到黑球 时, 将袋子中的球复原到初始状态. 记 ${\xi }_n$ 为 $n$ 次摸球得到的黑球的总个数, 则 $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{\mathbb{E}{\xi }_n}{n}=\underline{}$. 4.$\{U_n{\}}_{n=1}^{\infty }$ 为一列独立且都服从 $[0,e]$ 上均匀分布的随机变量. 则 $\sqrt[n]{\prod _{k=1}^n{U}_k}$ 弱收敛的极限分布是 $\underline{}$, $\sqrt[n]{\prod _{k=1}^{n^2}{U}_k}$ 弱收敛极限密度函数是 $\underline{}$. 解答. 解答. 1. $\frac{1012}{1109}$ 2. $\sum _{i=1}^{38}\frac{38}{i}$ 3. $\frac{2}{15}$ 4. $1_{[1,+\infty )}$, $\frac{1}{\sqrt{2\pi }x}{e}^{-\frac{(\log x{)}^2}{2}}\cdot 1_{x>0}$ 1. 记第 2024 次抽出的数字是 2218 为事件 $A$, 第 2024 次抽出的数字是前 2024 次抽出的数字中的最大值为事件 $B$, 则 $P(A\cap B)=\frac{1}{2218}$, $P(B)=\frac{1}{2024}$(对称性). 则由条件概率定义,$$P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}=\frac{1012}{1109}.$$ 2. 令 ${\xi }_i$ 为抽中第 $i$ 个数字到抽中第 $i+1$ 个数字间需要的抽数 ($0\le i\le 37$), 则 $\mathbb{E}{\xi }_i=\frac{38}{i+1}$. 故$$\mathbb{E}\xi =\sum _{i=0}^{37}{\xi }_i=\sum _{i=1}^{38}\frac{38}{i}.$$ 3. 第一次复原袋子前会发生三种情况: 事件 $A_1$: 第一次摸到黑球 事件 $A_2$: 第一次摸到白球, 第二次摸到黑球 事件 $A_3$: 第一第二次都摸到白球 $P(A_1)=\frac{1}{8}$, $P(A_2)=\frac{1}{8}$, $P(A_3)=\frac{3}{4}$. 则由全概率公式,$$P({\xi }_n=k)=\sum _{i=1}^{3}P(A_i)P({\xi }_n=k|A_i)$$即$$P({\xi }_n=k)=\frac{1}{8}P({\xi }_{n-1}=k-1)+\frac{1}{8}P({\xi }_{n-2}=k-1)+\frac{3}{4}P({\xi }_{n-2}=k)$$则$$\begin{gathered} \mathbb{E}{\xi }_n=\sum _{k\ge 1}kP({\xi }_n=k) \\ =\frac{1}{8}\sum _{k\ge 1}kP({\xi }_{n-1}=k-1)+\frac{1}{8}\sum _{k\ge 1}kP({\xi }_{n-2}=k-1)+\frac{3}{4}\sum _{k\ge 1}kP({\xi }_{n-2}=k) \\ =\frac{1}{8}(\mathbb{E}{\xi }_{n-1}+1)+\frac{1}{8}(\mathbb{E}{\xi }_{n-2}+1)+\frac{3}{4}\mathbb{E}{\xi }_{n-2} \end{gathered}$$化简得$$8\mathbb{E}{\xi }_{n+2}+7\mathbb{E}{\xi }_{n+1}-2(n+1)=8\mathbb{E}{\xi }_{n+1}+7\mathbb{E}{\xi }_n-2n$$所以 $8\mathbb{E}{\xi }_{n+1}+7\mathbb{E}{\xi }_n-2n=8\mathbb{E}{\xi }_2+7\mathbb{E}{\xi }_1-2$(常数), 除以 $n$ 取极限得到答案. 4. 注意到 $\mathbb{E}\log U_k=0$, $\mathbb{D}\log U_k=1$. 则由大数定律, $\frac{{\sum }_n\log U_n}{n}$ 弱收敛于 $\mathbb{E}\log U_1=0$, 故 $\sqrt[n]{\prod _{k=1}^n{U}_k}$ 弱收敛于 $1$, 其极限分布为 $1_{[1,+\infty )}$. 由中心极限定理, $\frac{{\sum }_n\log U_n}{\sqrt{n}}$ 弱收敛于标准正态分布, 即$$\underset{n\to \infty }{\lim }P(\frac{{\sum }_{k=1}^n\log U_k}{\sqrt{n}}\le x)={\int }_{-\infty }^x\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{1}{2}{t}^2}\mathrm{d}t.$$则 $\sqrt[n]{\prod _{k=1}^{n^2}{U}_k}$ 弱收敛的极限的分布函数是$${\int }_{-\infty }^{e^x}\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{1}{2}{t}^2}\mathrm{d}t,$$对 $t$ 作变量代换后得到密度函数是$$\frac{1}{\sqrt{2\pi }x}{e}^{-\frac{(\log x{)}^2}{2}}\cdot 1_{x>0}.$$$\square$
二.	(10 分) 证明: 随机变量 $\xi$ 可积的充要条件是$$\sum _{n=1}^{\infty }\mathbb{P}(|\xi |\ge n)<\infty$$
三.	(10 分) 证明: 设 $F$ 是随机变量 $X$ 的分布函数. 记 $Y=-\frac{\log F(X)}{\alpha }$, 其中 $\alpha >0$. 证明: $F$ 连续的充分必要条件是 $Y$ 服从参数 $\alpha$ 的指数分布.
四.	(15 分) 设随机变量 $X=(X_1,\cdots ,X_n)\in {\mathbb{R}}^n$ 服从正态分布 $N(a,A)$. 1. 证明: $(X-a)\sqrt{A^{-1}}$ 服从标准正态分布. 2. 求 $X$ 的特征函数. 3. 证明: $X$ 服从正态分布的充要条件是对任意非零向量 $(c_1,\cdots ,c_n)\in {\mathbb{R}}^n$, $c_1{X}_1+\cdots +c_n{X}_n$ 服从正态分布.
五.	$\{{\xi }_n{\}}_{n=1}^{\infty }$ 是一列独立同分布的非负随机变量. 1. (10 分) 证明: $\mathbb{E}{\xi }_1<\infty$ 等价于 $\underset{n\to \infty }{\mathrm{limsup}}\frac{{\xi }_n}{n}<\infty a.s.$ 2. (10 分) 设 ${\xi }_1$ 服从参数 $\alpha >0$ 的指数分布. 证明: $$\underset{n\to \infty }{\mathrm{liminf}}\frac{{\xi }_n}{n}=0a.s.,\underset{n\to \infty }{\mathrm{limsup}}\frac{{\xi }_n}{n}=\frac{1}{\alpha }a.s.$$
六.	用 $\mathcal{R}$ 表示非 $a.s.$ 常数的随机变量全体. 设 $\xi \in \mathcal{R}$, 用 ${\varphi }_{\xi }$ 表示 $\xi$ 的特征函数, $M_{\xi }=\{y\in \mathrm{R}:|{\varphi }_{\xi }(y)|=1\}$. 1. (10 分) 证明: 任意 $\xi \in \mathcal{R}$, 存在唯一的 $t\ge 0$, 满足 $M_{\xi }=t\mathbb{Z}=\{tn:n\in \mathbb{Z}\}$. 2. (10 分) 举例说明, 给定任意 $t\ge 0$, 存在不同的离散型随机变量满足 $M_{\xi }=t\mathbb{Z}$.

2概率论 2023-2024 第一学期期末试题 (应坚刚)

复旦大学数学科学学院
2023$\sim$2024 学年第一学期期末考试试卷
$\text{A}$ 卷

课程名称: 概率论    课程代码: $\text{MATH130009.01}$
开课院系: 数学学院    考试形式: 闭卷
学生姓名: $\underline{}$  学号: $\underline{}$  专业: $\underline{}$

提示: 请同学们秉持诚实守信宗旨, 谨守考试纪律, 摒弃考试作弊. 学生如有违反学校考试纪律的行为, 学校将按《复旦大学学生纪律处分条例》规定予以严肃处理.

题 目	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$	$8$	$9$	$10$	总分
得 分

1,2 两题只要填上答案即可.

1.	(20 分) 一家庭生育有两个孩子, 性别不知, 大小不知. (1) 已知大的一个是女孩, 求两个都是女孩的概率. $\underline{}$ (2) 已知一个是女孩, 求两个都是女孩的概率. $\underline{}$ (3) 看到一个孩子是个女孩, 求两个都是女孩的概率. $\underline{}$ (4) 已知有一个孩子是女孩, 求看到一个孩子是个女孩的概率. $\underline{}$
2.	(20 分) 重复掷 $n$ 次硬币, 用 $u_n$ 表示其中没有 $3$ 次或以上的连续正面的概率. 求 $u_4=\underline{},u_5=\underline{},u_6=\underline{},u_7=\underline{}$.
3.	(10 分) 设有编号为 $1$ 到 $n$ 的 $n$ 个座位和 $n$ 个人. 第一个人随机选个座位坐下, 第二个人如果看到同号的座位空, 那么他坐该座位, 否则任选一个座位坐下; 第三个人如果看到同号的座位空, 那么他坐该座位, 否则任选一个座位坐下; 这样一直下去, 问最后一个人的同号座位被占的概率是多少? 说明理由.
4.	(10 分) 证明: 如果 $X,Y$ 独立同分布且 $X+Y$ 平方可积, 则 $X$ 是平方可积.
5.	(20 分) 设随机变量 ${\xi }_1,\cdots ,{\xi }_n$ 独立且服从参数为 $1$ 的指数分布, 令 $X_n=\max \{{\xi }_1,\cdots ,{\xi }_n\}$. 证明: (1) ${\sup }_n\mathbb{E}[X_n]=\infty$. (2) ${\sup }_n\mathbb{D}[X_n]<\infty$.
6.	(20 分) 设 $\{{\xi }_n\}$ 是独立同分布的随机序列, $S_n={\xi }_1+\cdots +{\xi }_n$. 证明: (a) 如果 $S_n/n$ 几乎处处收敛, 则 ${\xi }_1$ 可积. (b) 如果 $S_n/\sqrt{n}$ 依分布收敛, 则 ${\xi }_1$ 平方可积.