用户: Solution/ 试卷: 概率论(H)

12022—2023 学年秋季学期期末

一、	判断题, 对的打钩, 错的打叉. (每题 5 分, 共 25 分; 其中 $X,Y$ 都是随机变量. ) (1) 考虑反复投掷一枚均匀硬币, 如果获得正面则记录 “$\mathrm{H}$”, 获得反面则记录 “$\mathrm{T}$”. 某人连续 $3$ 次获得反面记录 “$\mathrm{T}$”. 由于为获得记录 “$\mathrm{H}$” 所需的最少投币次数 $N_{\mathrm{H}}$ 的数学期望是 $2$, 则他下次投掷硬币获得正面记录 “$\mathrm{H}$” 的概率将超过一半. (2) 设 $X,Y$ 各自服从两点分布, 则它们相互独立的充要条件是 $\mathbb{C}\mathrm{ov}(X,Y)=0$. (3) 设 $X,Y$ 各自服从正态分布, 则它们相互独立的充要条件是 $\mathbb{C}\mathrm{ov}(X,Y)=0$. (4) 设 $X\sim B(1,p),p\in (0,1)$, $Y\sim U(0,1)$, 则 $X+Y$ 不可能还服从连续型分布. (5) 随机变量只有离散型、(绝对) 连续型和奇异连续型三种分布类型.
二、	选择题 (单选; 每题 5 分, 共 15 分) (1) 考虑反复投掷一枚均匀硬币, 如果获得正面则记录 “$\mathrm{H}$”, 获得反面则记录 “$\mathrm{T}$”. 请问为了获得记录 “$\mathrm{HH}$” 平均所需的最少投掷硬币次数是______. (A) 3; (B) 4; (C) 5; (D) 6; (E) 7; (F) 8. (2) 设 $A,B\in \mathcal{F}$ 满足 $\mathbb{P}(A\cap B)>0$. 对 $x:=\mathbb{P}(B|A),y:=\mathbb{P}(B|A\cup B),z:=\mathbb{P}(A\cap B|A\cup B)$ 的大小进行排序, 应该有______. (A) $x\le y\le z$; (B) $y\le z\le x$; (C) $z\le x\le y$; (D) 条件不足, 无法全部排序. (3) 假设有 $A,B,C$ 三枚特殊的 (均匀材质的) 骰子, 它们的六个面刻数字情况如下: $$A:1,1,5,5,5,5;B:3,3,3,4,4,4;C:2,2,2,2,6,6.$$拥有这三枚骰子的张三邀请李四来与他进行投掷骰子的游戏, 李四先挑选这三枚骰子之一, 之后张三从剩下的骰子中挑选一枚, 两人使用挑选好的骰子进行投掷, 得到的点数结果大的人获胜. 比赛进行了三局, 李四依次选择了 $A、B、C$ 骰子. 如果你是张三, 为了更高概率获胜, 你会依照______顺序挑选骰子. (A) $C、A、B$; (B) $B、C、A$; (C) $C、A、A$; (D) $B、C、B$.
三、	(共 10 分) 设 $U\sim U(0,1)$, $g(x):=\sum _{k\in \mathbb{Z}}{g}_k\cdot 1_{I_k}(x)$, 其中 $(0,1)=\underset{k\in \mathbb{Z}}{⨄}{I}_k$, $I_k$ 都是 Borel 可测集. 求证: $X:=U+g(U)$ 是连续型随机变量. 请写出它的密度函数.
四、	(共 10 分) 设随机变量 $X,Y$ 独立同分布. 求证: (1) 当 $\mathbb{E}[X^2]<\infty$ 时, $\mathbb{E}[(X-Y{)}^2]=2\mathbb{V}\mathrm{ar}(X)$. (2) 当 $\mathbb{E}[(X-Y{)}^2]<\infty$ 时, 也必定有 $\mathbb{E}[X^2]<\infty$.
五、	(共 10 分) 设随机变量 $X$ 的二阶矩有限, 求证: $\mathbb{V}\mathrm{ar}(\sin X)\le \mathbb{V}\mathrm{ar}(X)$. [提示: $\sin x$ 的 Lip-常数 $=1$. ]
六、	(共 15 分) 设某游戏中杀某怪物具有固定的 “爆率” 出现装备 $1,2$. 假定杀死该怪物后, 以 $0.3$ 的概率爆出装备 $1$, 以 $0.2$ 的概率爆出装备 $2$, 以 $0.5$ 的概率不爆出任何装备. 记 $\tau$ 是为了集齐装备 $1,2$ 所需的最小杀怪次数, 求 $\tau$ 的数学期望与方差.
七、	(共 15 分) 考虑 $\{X_k{\}}_{k=1}^{\infty }\stackrel{\text{i.i.d.}}{\sim }\mathrm{Poisson}(1)$, 定义 $S_n:=X_1+\cdots +X_n$. (1) 证明: $S_n\sim \mathrm{Poisson}(n)$; (2) 利用大数律和中心极限定理, 讨论极限 (其中 $x\ge 0$) $$f(x):=\underset{n\to \infty }{\lim }{e}^{-n}\sum _{0\le k\le nx}\frac{n^k}{k!}.$$

一、	(1)✗ (2)✗ (3)✓ (4)✗ (5)✗.
二、	(1) D (2) C (3) A.
三、	密度函数为 $\sum _{k\in \mathbb{Z}}{1}_{I_k+g_k}$, 这是因为$$\begin{array}{rl}& {\int }_A\rho (x)dx=\mathbb{P}(U(x)+g(U(x))\in A)=\sum _{k\in \mathbb{Z}}\mathbb{P}(x\in I_k,U(x)+g(U(x))\in A)\\ & =\sum _{k\in \mathbb{Z}}\mathbb{P}(x\in I_k,U(x)+g_k\in A)=\sum _{k\in \mathbb{Z}}|(I_k+g_k)\cap A|={\int }_A\sum _{k\in \mathbb{Z}}{1}_{I_k+g_k}dx.\end{array}$$
四、	(1) $$\mathbb{E}[(X-Y{)}^2]=\mathbb{E}[X^2]+\mathbb{E}[Y^2]-2\mathbb{E}[XY]=2\mathbb{E}[X^2]-2(\mathbb{E}X{)}^2=2\mathbb{V}\mathrm{ar}(X).$$ (2) 即$$\int \mathbb{E}[(X-y{)}^2]dF(y)<\infty ,$$则存在 $y$ 使 $\mathbb{E}[(X-y{)}^2]<\infty$, 那么$$\mathbb{E}[X^2]\le \mathbb{E}[2((X-y{)}^2+y^2)]<\infty .$$
五、	$$\mathbb{V}\mathrm{ar}(\sin X)=\frac{1}{2}\mathbb{E}[|\sin X-\sin Y{|}^2]\le \frac{1}{2}\mathbb{E}[|X-Y{|}^2]\le \mathbb{V}\mathrm{ar}(X).$$
六、	记 ${\tau }_1,{\tau }_2$ 是得到装备 $1,2$ 所需的次数, $\tau =\max ({\tau }_1,{\tau }_2)$, 则$$\mathbb{P}(\tau >n)=\mathbb{P}({\tau }_1>n)+\mathbb{P}({\tau }_2>n)-\mathbb{P}({\tau }_1>n,{\tau }_2>n)=0.7^n+0.8^n-0.5^n.$$故$$\mathbb{E}[\tau ]=\sum _{n=0}^{\infty }\mathbb{P}(\tau >n)=\sum _{n=0}^{\infty }0.7^n+0.8^n-0.5^n=\frac{10}{3}+5-2=\frac{19}{3},$$$$\begin{array}{rl}\mathbb{E}[{\tau }^2]& =\sum _{n=0}^{\infty }(2n+1)\mathbb{P}(\tau >n)=\sum _{n=0}^{\infty }(2n+1)(0.7^n+0.8^n-0.5^n)\\ & =\frac{200}{9}-\frac{10}{3}+50-5-8+2=58-\frac{1}{9},\end{array}$$$$\mathbb{V}\mathrm{ar}(\tau )=58-\frac{1}{9}-\frac{19^2}{9}=\frac{160}{9}.$$
七、	对 $1\le k\le n,1\le l\le m$, 取随机变量 $Y_{k,l}^{(m)}\stackrel{\text{i.i.d.}}{\sim }B(1,\frac{1}{m})$, 则 $\sum _{l=1}^m{Y}_{k,l}^{(m)}\sim B(m,\frac{1}{m})\to \mathrm{Poisson}(1)$ 随着 $m\to \infty$. 这样 $S_n^{(m)}:=\sum _{k=1}^n{X}_k^{(m)}=\sum _{k=1}^n\sum _{l=1}^m{Y}_{k,l}^{(m)}\sim B(nm,\frac{1}{m})$, 因此 $S_n\sim \mathrm{Poisson}(n)$.

22023—2024 学年秋季学期期末

一、	(10 分) 叙述公理化的概率空间的定义.
二、	(10 分) 设随机变量 $X,Y$ 的分布函数分别是 $F,G$, $a,b>0$. 证明: $\int (F(x+a)-F(x){)}^{2024}(G(x+b)-G(x){)}^{2024}\mathrm{d}x\le a\wedge b$.
三、	(10 分) 某网络游戏中击杀一次怪物有可能掉落 $3$ 种装备 $A_1,A_2,A_3$ 中的一种 (或不掉落任何装备) , 其中掉落 $A_1,A_2,A_3$ 的概率均为 $0.1$, 不掉落任何装备的概率为 $0.7$. 记 $\tau$ 为想集齐一整套装备所需的击杀怪物的次数, 求 $\mathbb{E}[\tau ],\mathbb{V}\mathrm{ar}[\tau ]$.
四、	(10 分) 设 $(\Omega ,\mathcal{F},\mathbb{P})$ 是概率空间, 满足: 对任意 $A\in \mathcal{F}$, 若 $\mathbb{P}(A)>0$, 则存在 $B\in \mathcal{F}$ 满足 $\mathbb{P}(B|A)=\frac{1}{2}$. 证明: 存在 $\{A_x{\}}_{x\in [0,1]}$ 满足: (1) 若 $0⩽x<y⩽1$, 则 $\varnothing \subset A_x\subset A_y\subset \Omega$. (2) $\mathbb{P}(A_x)=x,\forall x\in [0,1]$. [提示: 设 $D_n=\{\frac{k}{2^n}:k=0,1,\cdots ,2^n\}$, $D=\bigcup _n{D}_n$, 思考如何选取合适的 $A_x,x\in D$. ]
五、	(10+5 分) 设 $X_1,X_2\stackrel{\text{i.i.d.}}{\sim }\mathcal{E}(1)$, $U=\frac{X_1}{X_1+X_2},V=X_1+X_2$. 求 $U,V$ 的分布律, 并证明它们相互独立. 又问 $U$ 与 $X_1$ 独立吗?
六、	(7+8 分) 本问题意在讨论 $n⩾3$ 时在圆形池塘里独立游行的 $n$ 只小鸭子落在同一半圆中的概率: 设它们的位置 (视为质点) 分别为 $\{P_i{\}}_{i=0}^{n-1}$. 在大圆上固定一点 $O^{\ast }$, 对每只鸭子所在的位置 $P_i$, 分别作从池塘圆心 $O$ 出发、经过 $P_i$ 的射线, 交圆周于 $P_i^{\ast }$. 记从 $O^{\ast }$ 逆时针走到 $P_i^{\ast }$ 所经过的圆心角为 ${\Theta }_i$, 可以认为 ${\Theta }_i\stackrel{\text{i.i.d.}}{\sim }U(0,2\pi )$. 记 $X_i=\frac{{\Theta }_i}{2\pi }$, 这称为每只鸭子的 “绝对坐标”. 固定一只鸭子 $P_0$, 称为 “领头鸭”, 记 ${\hat{\Theta }}_0:=0$. 对于其他的鸭子 $P_i$, 记 ${\hat{\Theta }}_i$ 为从 $P_0^{\ast }$ 逆时针走到 $P_i^{\ast }$ 所经过的圆心角. 定义 “相对坐标” ${\hat{X}}_i=\frac{{\hat{\Theta }}_i}{2\pi }$. (1) 写出从 “绝对坐标” 到 “相对坐标” 的变换公式. (2) 证明: $\{{\hat{X}}_i{\}}_{i=1}^{n-1}\stackrel{\text{i.i.d.}}{\sim }U(0,1)$, 且它们与 $X_0$ 相互独立.
七、	(15 分) 设 $X_1,X_2,X_3\stackrel{\text{i.i.d.}}{\sim }N(0,1)$, 求 $\mathbb{E}[X_3^2\cdot (X_1\wedge X_2{)}^2]$, 写出论述过程.
八、	(15 分) 设 $p\in (0.5,1)$, 用概率方法求: $\underset{n\to \infty }{\lim }(2n+1)\cdot \sum _{k=0}^n\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n+1}{k}\right)p^k(1-p{)}^{2n+1-k}$.

附加题	(10 分) 基于第六题的讨论, 你能求出 $n$ 只小鸭子落在同一半圆中的概率吗? [提示: 利用次序统计量. 如能注意到一些对称性, 则计算将大大简化. ]

32023—2024 学年秋季学期期中

一、设 ${\left\{X_k\right\}}_{k=1}^n\stackrel{\text{i.i.d.}}{\sim }B(1,p)$, 其中 $p\in (0,1)$; $S_n:=X_1+\cdots +X_n$. 请计算 $\mathbb{E}\left[\frac{1}{1+S_n}\right]$.

解答. $S_n\sim B(n,p)$, $$\begin{array}{rl}\mathbb{E}\left[\frac{1}{1+S_n}\right]& =\sum _{k=0}^n\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)\frac{p^k{q}^{n-k}}{1+k}=\frac{1}{n+1}\sum _{k=0}^n\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+1}{k+1}\right)p^k{q}^{n-k}\\ & =\frac{1}{n+1}\sum _{k=1}^{n+1}\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+1}{k}\right)p^{k-1}{q}^{n+1-k}=\frac{1-(1-p{)}^{n+1}}{p(n+1)}.\end{array}$$

$\square$

二、设 ${\left\{X_k\right\}}_{k=1}^2\stackrel{\text{i.i.d.}}{\sim }U(0,1)$, $X_3:=X_1+X_2(\mathrm{mod}1)$. 求证: ${\left\{X_k\right\}}_{k=1}^3$ 两两独立、同分布.

证明. $$\begin{array}{rl}\mathbb{P}(X_3\le x)& =\mathbb{P}(X_1+X_2\le x)+\mathbb{P}(1<X_1+X_2\le 1+x)\\ & =\frac{x^2}{2}+\frac{1-(1-x{)}^2}{2}=x=\mathbb{P}(X_1\le x).\end{array}$$$$\begin{array}{rl}\mathbb{P}(X_1\le x,X_3\le y)& =\mathbb{P}(X_1\le x,X_2\le y-x\vee 1-x<X_2\le 1+y-x)\\ & =\mathbb{P}(X_1\le x)\mathbb{P}(X_2\le y-x\vee 1-x<X_2\le 1+y-x)\\ & =\mathbb{P}(X_1\le x)(\min (0,y-x)+\max (1+y-x,1)-(1-x))\\ & =\mathbb{P}(X_1\le x)y=\mathbb{P}(X_1\le x)\mathbb{P}(X_3\le y).\end{array}$$$X_2$ 同理.

$\square$

三、考虑反复投掷一枚均匀硬币, 如果获得正面则记录 “$\mathrm{H}$”, 获得反面则记录 “$\mathrm{T}$”. 请问为了获得记录 “$\mathrm{HTH}$” 平均所需的最少投掷硬币次数?

解答. 记 $\mathbb{E}$ 为所求的平均次数, $\mathbb{E}[|-]$ 为前几次扔出了记录 $-$ 后平均还需要的次数. 显然$$\mathbb{E}=\mathbb{E}[|\mathrm{T}]=\mathbb{E}[|\mathrm{HTT}],\mathbb{E}[|\mathrm{H}]=\mathbb{E}[|\mathrm{HH}],\mathbb{E}[|\mathrm{HTH}]=0.$$由下图有$$\{\begin{array}{rl}\mathbb{E}& =1+(\mathbb{E}[|\mathrm{H}]+\mathbb{E})/2\\ \mathbb{E}[|\mathrm{H}]& =1+(\mathbb{E}[|\mathrm{H}]+\mathbb{E}[\mathrm{HT}])/2\\ \mathbb{E}[|\mathrm{HT}]& =1+\mathbb{E}/2\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{rl}& \mathbb{E}=10\\ & \mathbb{E}[\mathrm{H}]=8\\ & \mathbb{E}[|\mathrm{HT}]=6\end{array}.$$$\square$

四、设随机变量 $X$ 的分布函数 $F$ 满足: 存在常数 $a>0$, 使得对任意 $x\in \mathbb{R}$, $$F(x+a)-F(x)\in \{0,1\}.$$试论证: $X$ 是退化的随机变量, 即存在 $b\in R$ 使得 $\mathbb{P}(X=b)=1$. 反过来结论也成立.

证明. 首先, 不能对所有的 $x$ 都 $\mathbb{P}(x-a,x]=0$, 即存在 $\bar{x}$ 使 $\mathbb{P}(\bar{x}-a,\bar{x}]=1$.

令 $b=\inf \{x\mid \mathbb{P}(x-a,x]=1\}\le b_0$, 则 $\forall b^{-}<b,\mathbb{P}(b^{-}-a,b^{-}]=0$, 不然 $\mathbb{P}(b^{-}-a,b^{-}]=1$, 与 $b$ 的最小性矛盾;

且 $\forall b^{+}>b,\mathbb{P}(b^{+},\infty )=0$, 不然对任何 $b^{\prime }\in [b,b^{+}),\mathbb{P}(b^{\prime }-a,b^{\prime }]<1$ 故 $=0$, 同样与 $b$ 的定义矛盾.

于是 $\mathbb{P}(X=b)=\mathbb{P}(\bar{x}-a,\bar{x}]-\mathbb{P}(\bar{x}-a,b)-\mathbb{P}(b,\bar{x}]=1$.

反过来, $F(x+a)-F(x)=0$ 对 $x\notin [b-a,b)$, $F(x+a)-F(x)=1$ 对 $x\in [b-a,b)$.

$\square$

五、设某游戏中杀死某怪物具有固定的 “爆率” 出现装备 $1,2$. 假定杀死该怪物后, 以 $0.2$ 的概率爆出装备 $1$, 以 $0.1$ 的概率爆出装备 $2$, 以 $0.7$ 的概率不爆出任何装备. 记 $\tau$ 是为了集齐装备 $1,2$ 所需的最小杀怪次数, 求 $\tau$ 的期望和方差.

解答. 记 ${\tau }_1,{\tau }_2$ 是得到装备 $1,2$ 所需的次数, $\tau =\max ({\tau }_1,{\tau }_2)$, 则$$\mathbb{P}(\tau >n)=\mathbb{P}({\tau }_1>n)+\mathbb{P}({\tau }_2>n)-\mathbb{P}({\tau }_1>n,{\tau }_2>n)=0.8^n+0.9^n-0.7^n.$$故$$\mathbb{E}[\tau ]=\sum _{n=0}^{\infty }\mathbb{P}(\tau >n)=\sum _{n=0}^{\infty }0.8^n+0.9^n-0.7^n=5+10-\frac{10}{3}=\frac{35}{3},$$$$\begin{array}{rl}\mathbb{E}[{\tau }^2]& =\sum _{n=0}^{\infty }(2n+1)\mathbb{P}(\tau >n)=\sum _{n=0}^{\infty }(2n+1)(0.8^n+0.9^n-0.7^n)\\ & =50-5+200-10-\frac{200}{9}+\frac{10}{3}=216+\frac{1}{9},\end{array}$$$$\mathbb{V}\mathrm{ar}(\tau )=216+\frac{1}{9}-\frac{35^2}{9}=80.$$这里用到了$$\begin{array}{rl}& \mathbb{E}[{\tau }^2]=\sum _{m=1}^{\infty }{m}^2\mathbb{P}(\tau =m)=\sum _{m=1}^{\infty }\sum _{n=0}^{m-1}(2n+1)(\mathbb{P}(\tau >m-1)-\mathbb{P}(\tau >m))\\ & =\sum _{n=0}^{\infty }(2n+1)\sum _{m=n+1}^{\infty }(\mathbb{P}(\tau >m-1)-\mathbb{P}(\tau >m))=\sum _{n=0}^{\infty }(2n+1)\mathbb{P}(\tau >n),\end{array}$$$$\sum _{n=0}^{\infty }(2n+1)p^n=2\sum _{n=0}^{\infty }(x^{n+1}{)}^{\prime }{|}_{x=p}-\sum _{n=0}^{\infty }{p}^n=\frac{2}{(1-p{)}^2}-\frac{1}{1-p}.$$$\square$

六、设 $\{X_n{\}}_{n=1}^{\infty }$ 独立同分布, 它们与非负整数值随机变量 $\tau$ 相互独立, 其中 $\mathbb{E}[|X_1|]<\infty ,\mathbb{E}\tau <\infty$. 记 $S_n:=X_1+\cdots +X_n$, 求证:

(1)	$\mathbb{E}{S}_{\tau }=(\mathbb{E}\tau )\cdot \mathbb{E}{X}_1$;
(2)	当 $\mathbb{E}[X_1^2]<\infty ,\mathbb{E}[{\tau }^2]<\infty$ 时, $\mathbb{V}\mathrm{ar}(S_{\tau })=(\mathbb{E}\tau )\cdot \mathbb{V}\mathrm{ar}(X_1)+(\mathbb{E}{X}_1{)}^2\mathbb{V}\mathrm{ar}(\tau )$.

证明.

(1)

$$\mathbb{E}{S}_{\tau }=\int \mathbb{E}(S_t)dF(t)=\int t\mathbb{E}{X}_{1}dF(t)=(\mathbb{E}\tau )\cdot \mathbb{E}{X}_1.$$

(2)

$$\begin{array}{rl}\mathbb{E}[S_{\tau }^2]& =\int \mathbb{E}(S_t^2)dF(t)=\int t\mathbb{E}[X_1^2]+(t^2-t)\mathbb{E}(X_1{X}_2)dF(t)\\ & =(\mathbb{E}\tau )\cdot \mathbb{E}[X_1^2]+(\mathbb{E}[{\tau }^2]-\mathbb{E}\tau )(\mathbb{E}{X}_1{)}^2,\end{array}$$于是$$\mathbb{V}\mathrm{ar}(S_{\tau })=\mathbb{E}[S_{\tau }^2]-(\mathbb{E}{S}_{\tau }{)}^2=(\mathbb{E}\tau )\cdot (\mathbb{E}[X_1^2]-(\mathbb{E}{X}_1{)}^2)+(\mathbb{E}{X}_1{)}^2(\mathbb{E}[{\tau }^2]-(\mathbb{E}\tau {)}^2).$$$\square$

七、求证: (1) 如果 $\mathbb{E}[|X|]<\infty$, 那么 $\underset{a\to \infty }{\lim }a\mathbb{P}(|X|>a)=0$.

(2) 如果对某个 $p>0$, $\sup \{a^p\mathbb{P}(|X|>a):a\ge 0\}<\infty$, 那么对任意 $0<\epsilon <p$, $\mathbb{E}[|X{|}^{p-\epsilon }]<\infty$.

证明. (1) $a{\chi }_{X>a}$ 点点收敛到 $0$ 且为可积变量 $X$ 控制, 根据 Lebesgue 控制收敛定理,$$a\mathbb{P}(|X|>a)=\int a{\chi }_{X>a}\to \int 0=0.$$

(2)$$\begin{array}{rl}& \mathbb{E}[|X{|}^{p-\epsilon }{]}^{p-\epsilon }=(p-\epsilon ){\int }_0^{\infty }{a}^{p-\epsilon -1}\mathbb{P}(|X|>a)da\\ & \le (p-\epsilon )({\int }_0^1{a}^{p-\epsilon -1}da+{\int }_1^{\infty }{a}^{-\epsilon -1}\sup \{a^p\mathbb{P}(|X|>a):a\ge 0\}da)\\ & =1+\frac{p-\epsilon }{\epsilon }\sup \{a^p\mathbb{P}(|X|>a):a\ge 0\}<\infty .\end{array}$$

$\square$

八、设 $N\ge 2$ 是一个正整数, ${\Sigma }_N:=\{1,2,\cdots ,N\},\Omega :={\Sigma }_N$, $(\Omega ,\mathcal{F},\P )$ 是古典概率模型. 请问: 在这个古典概率模型中能定义多少个不同的随机变量 $X$, 使得 $X\sim U({\Sigma }_N)$?

解答. 就是把 ${\Sigma }_N$ 划分成 $A_1\uplus A_2\uplus \cdots \uplus A_N$ 以对应到 $1,2,\cdots ,N$, 那所有的 $A_i$ 都是单元素集, 有 $N!$ 种方式.

$\square$