泛函分析 试卷

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[i]	John B. Conway, $\text{A Course in Functional Analysis}$, GTM 96, Springer, 1990.
[ii]	Jan van Neerven, $\text{Functional Analysis}$, Cambridge Studies in Advanced Mathematics 201, Cambridge University Press, 2022.
[iii]	Barry Simon, $\text{Operator Theory: A Comprehensive Course in Analysis, Part 4}$, AMS, 2015.
[iv]	林源渠, 泛函分析学习指南, 北京大学出版社, 2019.

  同本课程内容最匹配的稍有进阶的参考书是 [i], 重点推荐. 经典教材推荐看 这里.

  此外, [ii] 涉及了很多的主题, [iii] 是算子理论的加深.

  习题可使用 [iv], 以及链接里的 Brezis 的书.

12023 秋 泛函分析 (H) 期末试卷

1.	(10 分) (1) 叙述 Baire 纲定理. (2) 用 Baire 纲定理证明: $[0,1]$ 是不可数集.
2.	(15 分) (1) 叙述 Hahn–Banach 定理. (2) 在有界实数列构成的空间 $l^{\infty }$ 中, 证明存在线性泛函 $F$, 使得对于 $\{a_n\}\in l^{\infty }$, ① $F(\{a_n\})=F(\{a_{n+1}\})$; ② $\underset{n\to \infty }{\underline{\lim }}{a}_n\le F(\{a_n\})\le \underset{n\to \infty }{\overline{\lim }}{a}_n$.
3.	(15 分) (1) 叙述弱收敛的定义. (2) 证明: $L^1[0,1]$ 中的函数列 $f_n$ 弱收敛至 $f$ 当且仅当 $\underset{n}{\sup }\Vert f_n\Vert <\infty$ 并且对 $[0,1]$ 中的任何 Lebesgue 可测集 $E$, 成立 $\underset{n\to \infty }{\lim }{\int }_E{f}_{n}dm={\int }_{E}fdm$.
4.	(15 分) (1) 叙述紧算子的定义. (2) 设 $T$ 是 $l^2$ 上的线性算子. $e_n=(\cdots ,0,1,0,\cdots )$ 是 $l^2$ 的一组标准正交基, $T$ 满足$$T{e}_k=\sum _{j=1}^{\infty }{a}_{jk}{e}_j.$$若 $\sum _{j,k=1}^{\infty }|a_{jk}{|}^2<\infty$, 证明 $T$ 是 $l^2$ 上的紧算子.
5.	(15 分) 设 $T$ 是 $L^2[0,1]$ 到 $L^2[0,1]$ 的有界线性算子, 并且将连续函数映成连续函数. 证明: $T$ 是 $C[0,1]$ 到 $C[0,1]$ 的有界线性算子.
6.	(15 分) 设 Hilbert 空间 $H$ 上的算子 $P,P_1,P_2,\cdots$ 分别是 $H$ 到闭子空间 $M,M_1,M_2,\cdots$ 的正交投影. 请问何时有 $\sum _{n=1}^{\infty }{P}_n$ 强算子收敛至 $P$?
7.	(15 分) 设 $K(x,y)$ 是 $[0,1]\times [0,1]$ 上的连续函数. $(Tf)(x)={\int }_0^{1}K(x,y)f(y)\mathrm{d}y$ 是 $L^2[0,1]$ 上的自伴迹类正算子. 正实数 ${\lambda }_1\ge {\lambda }_2\ge \cdots$ 以及 $L^2[0,1]$ 的一组完备标准正交基 $\{e_n\}$ 满足 $T{e}_n={\lambda }_n{e}_n$. (1) 证明: 对任意的 $x\in [0,1]$, $K(x,x)\ge 0$. (2) 证明: $e_n$ 是连续函数. (3) 证明: 对固定的 $x\in [0,1]$, $\sum _{n=1}^{\infty }{\lambda }_n{e}_n(x)\overline{e_n(y)}$ 按 $L^2$ 范数收敛到 $K(x,y)$. (4) 证明: $\mathrm{tr}T={\int }_0^{1}K(x,x)\mathrm{d}x$.

22023 秋 泛函分析期末试卷

1.	(1) 设 $1\le p<\infty$, $f,g\in L^p[0,1]$, 且存在 $R>0$ 使得 $\Vert f{\Vert }_p\le R,\Vert g\Vert \le R$. 记 $m$ 为其上的 Lebesgue 测度, 证明$${\int }_0^1||f{|}^p-|g{|}^p|dm\le 2p{R}^{p-1}\Vert f-g{\Vert }_p.$$(2) 证明: 算子 $T:L^p[0,1]\to L^1[0,1],f\mapsto |f|$ 是连续的.
2.	(1) 设 $B(\mathbb{R})$ 是 $\mathbb{R}$ 上的有界函数全体, 证明 $(B(\mathbb{R}),\Vert \cdot {\Vert }_{\infty })$ 是 Banach 空间. (2) 证明:$$p(f)=\underset{\begin{array}{c}n\in \mathbb{N}\\ {\alpha }_1,\cdots ,{\alpha }_n\in \mathbb{R}\end{array}}{\inf }\left\{\underset{s\in \mathbb{R}}{\sup }\right(\sum _{k=1}^{n}f(s-{\alpha }_k)\left)\right\}$$为次线性函数. (3) 叙述实线性 Hahn–Banach 定理. (4) 构造 $B(\mathbb{R})$ 上的有界线性泛函 $M$, 使得  (a) $M(\mathrm{id})=1$,  (b) 对于 $f\ge 0$, $M(f)\ge 0$,  (c) 对任意的 $\alpha \in \mathbb{R}$, $M(f(x))=M(f(x+\alpha ))$.
3.	(1) 叙述闭图像定理. (2) 设无穷维矩阵 $A=(a_{ij})$ 满足$$\sum _{j=1}^{\infty }|a_{ij}{|}^2<\infty ,\forall i=1,2,\cdots ,$$且对任意 $(x_j)\in l^2$, $y_i=\sum _{j=1}^{\infty }{a}_{ij}{x}_j$ 存在且有限. 考虑算子$$T:(x_j)\in l^2\mapsto (y_j)\in l^2,$$证明 $T$ 是有界的.
4.	考虑算子 $T:l^1\to l^1$, $$T(x_1,x_2,x_3\cdots )=(0,x_1,\frac{1}{2}{x}_2,\frac{1}{3}{x}_3,\cdots ).$$(1) $T$ 是否为紧算子? (2) 求 $\sigma (T),{\sigma }_r(T),{\sigma }_c(T),{\sigma }_p(T)$.

32022 秋 泛函分析 (H) 期末试卷

$\mathfrak{B}(E,F)$ 的子集

  设 $E$ 和 $F$ 是两个 Banach 空间, $\mathfrak{B}(E,F)$ 是全体从 $E$ 到 $F$ 的连续线性算子.

1.	设 $E_1$ 是 $E$ 的一个有限维子空间. 证明, 存在一个 $E$ 的闭子空间 $E_2$ 使得 $E=E_1\oplus E_2$. (我们可以关于 $E_1$ 的维数作归纳)
2.	设 $T\in \mathfrak{B}(E,F)$ 是一个满射. (a) 证明, 存在 $k⩾0$, 使得 $\{y\in F,\Vert y\Vert ⩽1\}\subset \{Tx,x\in E,\Vert x\Vert ⩽k\}$. 以下固定满足 (a) 的 $k$. (b) 证明, 对于任意 $\ell \in F^{\ast }$, 我们有 $k\Vert \ell \circ T\Vert ⩾\Vert \ell \Vert$. 设 $S\in \mathfrak{B}(E,F)$, 满足 $k\Vert S-T\Vert <1$. 我们记 $r=k\Vert S-T\Vert$. 设 $y\in F$. (c) 证明, 存在 $x\in E$, 使得 $\Vert x\Vert ⩽k\Vert y\Vert$ 且 $\Vert Sx-y\Vert ⩽r\Vert y\Vert$. (d) 证明, 存在 $E$ 中的一列元素 $(x_n)$ 和 $F$ 中的一列元素 $(y_n)$, 满足 $y_0=y$, 且对于任意自然数 $n$, 都有 $\Vert x_n\Vert ⩽k\Vert y_n\Vert ,\Vert y_{n+1}\Vert ⩽r\Vert y_n\Vert$, 且 $y_{n+1}=y_n-S{x}_n$. (e) 由此证明, $S$ 是满射. (我们记 $z_n=\sum _{k=0}^n{x}_k$, 证明序列 $z_n$ 收敛, 并计算)
3.	证明, $\mathfrak{B}(E,F)$ 中的满射全体构成一个开集.
4.	对于 $n\in \mathbb{N}$, 记$${\Omega }_n=\{T\in \mathfrak{B}(E,F)\text{ 是满射},\dim \ker T⩾n\}.$$(a) 设 $T\in {\Omega }_n$, $E_1$ 是 $\ker T$ 的一个 $n$ 维子空间. 设 $E_2$ 是 $E$ 的闭子空间, 且 $E=E_1\oplus E_2$. 证明, $$\{S\in \mathfrak{B}(E,F),S\text{ 在 }{E}_2\text{ 上的限制是一个满射}\}$$是 $\mathfrak{B}(E,F)$ 中的开集. (b) 证明, ${\Omega }_n$ 是 $\mathfrak{B}(E,F)$ 中的开集.

Hilbert 空间上的弱拓扑

  我们考虑一个 (复) Hilbert 空间 $H$ 上的弱拓扑.

(1)	证明, 数乘 $\mathbb{C}\times H\to H,(\lambda ,x)\mapsto \lambda x$ 是连续的.
(2)	对于 $T\in \mathfrak{B}(H,H)$, 证明, $$\{(\lambda ,x)\in \mathbb{C}\times H,Tx=\lambda x\}$$是闭集.
(3)	设 $\Delta =\{|z|⩽\Vert T\Vert \}$, $B$ 为 $H$ 中的闭单位球. 证明, $G=\{(\lambda ,x)\in \Delta \times B,Tx=\lambda x\}$ 是紧的.
(4)	证明, $T$ 在 $B$ 中的所有特征向量全体构成的集合 $P$ 是闭的.
(5)	对于 $x\in P\setminus \{0\}$, 以 $v(x)$ 记相应的特征值. 证明, $v$ 是从 $P\setminus \{0\}$ 到 $\mathbb{C}$ 的一个连续映射.
(6)	我们假设 $H$ 可分. 证明, $P\setminus \{0\}$ 是一列闭集的并集.
(7)	证明, 当 $H$ 可分时, $T$ 的特征值全体 ${\sigma }_p(T)$ 是 $\mathbb{C}$ 的一列闭子集的并集. 证明, ${\sigma }_p(T)$ 可以是 $\mathbb{C}$ 的任意有界可数子集. 它可能有非空的内点集么?
(8)	设 $I$ 是 $[0,1]$ 中的无理数全体. 构造一个 Hilbert 空间 $H$ 及 $H$ 上的一个有界共轭算子 $T$, 使得 ${\sigma }_p(T)=I$. 证明, $I$ 不能表达为 $\mathbb{C}$ 的一列闭子集的并集.

正算子与可逆性

  设 $H$ 是一个复 Hilbert 空间.

1.	(a) 设 $0⩽A⩽1-\epsilon$, 证明, $\Vert \sqrt{A+\epsilon }-\sqrt{A}\Vert ⩽\sqrt{\epsilon }$. (b) 设 $\epsilon ⩽A⩽1,\epsilon ⩽B⩽1$, 证明, $\Vert \sqrt{A}-\sqrt{B}\Vert ⩽(2\sqrt{\epsilon }{)}^{-1}\Vert A-B\Vert$. (c) 设 $0⩽B⩽1-\epsilon ,0⩽A⩽1-\epsilon$, 证明, $\Vert \sqrt{A}-\sqrt{B}\Vert ⩽2{\epsilon }^{1/2}+(2{\epsilon }^{1/2}{)}^{-1}\Vert A-B\Vert$. (d) 设 $\Vert A\Vert ⩽1/2,\Vert B\Vert ⩽1/2$, 证明, $\Vert \sqrt{A}-\sqrt{B}\Vert ⩽2\sqrt{\Vert A-B\Vert }$. (e) 总结得到的结论.
2.	设 $B$ 是一个范数为 $1$ 的正算子. (a) 证明, $\sigma (B)\subset [0,1]$, 并举例说明, $\sigma (B)$ 可以取到整个 $[0,1]$. (b) 证明, $B$ 可逆当且仅当存在 $\epsilon >0$, 使得 $\sigma (B)\subset [\epsilon ,1]$. 此时我们有 $\Vert 1-B\Vert <1$. (c) 设 $B$ 可逆, 证明, 对于任意的 $T\in \mathfrak{B}(H,H)$, 存在 $S\in \mathfrak{B}(H,H)$, 使得 $T=\frac{1}{2}(BS+SB)$.
3.	(a) 设 $T$ 是一个自共轭算子, 证明, 对于任意 $S\in \mathfrak{B}(H,H)$, $S^{\ast }TS$ 是一个自共轭算子, 且 $S^{\ast }TS⩽\Vert T\Vert S^{\ast }S$. (b) 设三个正算子 $W,S,T$ 满足 $SWS=TWT$. 证明, $\sqrt{W}S\sqrt{W}=\sqrt{W}T\sqrt{W}$. 若还假设 $W$ 是单射, 则 $S=T$. (c) 设 $W,T$ 是正算子, $K=TWT$. 证明, $\sqrt{\sqrt{W}K\sqrt{W}}⩽\Vert T\Vert W$. (d) 设 $R,S\in \mathfrak{B}(H,H)$ 满足 $R^{\ast }R⩽S^{\ast }S$, 证明存在 $V\in \mathfrak{B}(H,H)$, $R=VS$. (e) 设正算子 $W,K$ 与实数 $a⩾0$ 满足 $\sqrt{\sqrt{W}K\sqrt{W}}⩽aW$. 证明, 存在 $S\in \mathfrak{B}(H,H)$ 使得 $\sqrt[4]{\sqrt{W}K\sqrt{W}}=S\sqrt{W}$. 记 $T=S^{\ast }S$. 证明, 若 $W$ 是单射, 则 $TWT=K$. (f) 设 $W,K$ 是正算子, 且 $W$ 可逆. 证明, 存在唯一的正算子 $T$, 使得 $TWT=K$.

保测映射与算子

  我们考虑 $[0,1]$ 上的 Lebesgue 测度. 设 $f:[0,1]\to [0,1]$ 是一个双射, $f$ 与 $f^{-1}$ 都保持 Lebesgue 可测集的测度不变. 所有这样的映射按照复合运算构成一个群 $G$. 既然我们讨论的是可测映射, 那么两个只在零测集上不同的映射自然认为是同一个.

1.	对于 $f,g\in G$, 定义$$d(f,g)=m(\{x,f(x)\ne g(x)\}).$$证明, $G$ 上的乘法和取逆元关于 $d$ 定义的拓扑都是连续的, 且相应的度量空间是完备的, 但不是可分的.
2.	证明, $f$ 可以对应到 $H=L^2([0,1])$ 上的一个酉算子 $T_f$.
3.	(1) 证明, $\delta (f,g)=\underset{X\subset [0,1]\text{ Lebesgue }可测}{\sup }m(f(X)\setminus g(X))+m(g(X)\setminus f(X))$ 也定义了 $G$ 上的一个度量. (2) 证明, $\delta (f,g)⩽d(f,g)$.
4.	我们在 $G$ 上还可以考虑由集族$$N(f;X,\epsilon )=\{g,m(f(X)\setminus g(X))+m(g(X)\setminus f(X))<\epsilon \}$$生成的拓扑. 证明, 这和 $\{T_f,f\in G\}$ 上的强算子拓扑是一致的.
5.	给定正整数 $m$, 我们考虑集合 $\{1,2,\dots ,2^m\}$ 的一个置换 $\pi$, 然后定义$$\begin{array}{rl}{f}_{\pi }:[0,1]& \to [0,1],\\ \frac{i-1}{2^m}+x& \mapsto \frac{\pi (i)-1}{2^m}+x,\end{array}$$这里 $x\in (0,\frac{1}{2^m}]$. 证明, 所有这样的映射全体 ($m$ 取遍所有的正整数, $\pi$ 取遍所有的置换) 按第 4 题描述的拓扑是稠密的, 从而 $G$ 按照这个拓扑是可分的.

42021 秋 泛函分析 (H) 期末试卷

1.	对于 $[0,1]$ 上的 Lebesgue 可测函数 $\phi$, 定义算子 $M_{\phi }:L^2[0,1]\to L^2[0,1]$ 为$$M_{\phi }f=\phi f.$$  (1) 对什么样的 $\phi$, $M_{\phi }$ 是有界算子?  (2) 对什么样的 $\phi$, $M_{\phi }$ 是 Fredholm 算子?
2.	称 Hilbert 空间 $H$ 上的有界线性算子 $T$ 为迹类算子, 若存在 $M>0$ 使得对于 $H$ 的任何两组规范正交基 $\{e_i\},\{f_i\}$ 有$$\sum _i|⟨T{e}_i,f_i⟩|\le M.$$求证: (1) 迹类算子按算子范数构成 Banach 空间.    (2) 迹类算子是紧算子.
3.	证明或否定: $L^2[0,2\pi ]$ 的序列 $\frac{1}{n}\sum _{k=1}^{n^2}{e}^{ikx}$ 当 $n\to \infty$ 时弱收敛于 $0$.
4.	证明或否定: ... (忘了) .
5.	设 $C[0,1]$ 的闭线性子空间 $M$ 包含于 $[0,1]$ 上连续可微的函数的空间 $C^1[0,1]$. 证明 $M$ 是有限维的.
6.	设 $X,Y$ 是赋范线性空间, $T$ 是 $X$ 到 $Y$ 的线性算子, 满足: 若 $X$ 的序列 $x_n$ 弱收敛于 $x$, 则 $T{x}_n$ 弱收敛于 $Tx$. 求证 $T$ 是有界算子.