泛函分析 试卷

0精选书单

[i]	John B. Conway, $\text{A Course in Functional Analysis}$, GTM 96, Springer, 1990.
[ii]	Jan van Neerven, $\text{Functional Analysis}$, Cambridge Studies in Advanced Mathematics 201, Cambridge University Press, 2022.
[iii]	Barry Simon, $\text{Operator Theory: A Comprehensive Course in Analysis, Part 4}$, AMS, 2015.
[iv]	林源渠, 泛函分析学习指南, 北京大学出版社, 2019.

  同本课程内容最匹配的稍有进阶的参考书是 [i], 重点推荐. 经典教材推荐看 这里.

  此外, [ii] 涉及了很多的主题, [iii] 是算子理论的加深.

  习题可使用 [iv], 以及链接里的 Brezis 的书.

12024 秋 泛函分析 (H) 期末试卷 (姚一隽, 章嘉雯)

每一题中的各小题可能存在逻辑关系, 做后面的小题时可以直接应用前面小题的结论.

1.	(16 分)(1)(6 分) 陈述闭图像定理或者共鸣定理. (2)(10 分) 用上一小题中陈述的定理证明: 设 $H$ 是一个 Hilbert 空间. 对于线性算子 $A:H\to H$, 如果对于任意 $\phi ,\psi \in H$, 都有$$⟨\phi ,A\psi ⟩=⟨A\phi ,\psi ⟩,$$那么 $A$ 是一个有界线性算子.
2.	(24 分) 设 $K$ 是 $\mathbb{C}$ 中的紧子集. 我们知道, $K$ 上复值连续函数空间 $C(K)$(取最大模范数) 的对偶空间是 $K$ 上的正则 Borel 测度全体. (1)(4 分) 设 $\mu$ 是 $K$ 上的一个正则 Borel 测度, $w\notin K$. 定义$$\hat{\mu }(w)={\int }_K\frac{d\mu (z)}{z-w}.$$证明: $\hat{\mu }$ 是 $\mathbb{C}\setminus K$ 上的解析函数, 且在无穷远点有极限 $0$(从而 $\infty$ 是一个可去奇点). (2)(6 分) 证明: $\hat{\mu }$ 对于任意的 $w$ 均有定义, 且在以原点为中心, 任意有限半径的圆盘上, 都是 Lebesgue 可积的. (3)(6 分) 现在假设 $\hat{\mu }(w)\equiv 0(w\notin K)$. 证明: 对于任意在 $K$ 的一个开邻域上全纯的函数 $f$, 都成立 ${\int }_{K}f(z)d\mu (z)=0$. (提示: 利用 Cauchy 积分公式) (4)(8 分) 取定一个和 $\mathbb{C}\setminus K$ 的每一个连通分支都有非空交集的集合 $E$. 证明: 对于任意在 $K$ 的一个开邻域上全纯的函数 $f$, 都能找到一列有理函数 $\{f_n\}$, 其极点都在 $E$ 中, 且在 $K$ 上一致收敛到 $f$. (提示: 考察 $\hat{\mu }$ 的幂级数展开) [上传者注: 本结论称为 Runge 定理, 具体见 [i] III.8 节.]
3.	(30 分) 考虑 Hilbert 空间 $\mathcal{H}=l^2(\mathbb{N})$. (1)(6 分) 叙述 $\mathcal{H}$ 上有限秩算子和紧算子的定义. 对于 $\xi \in \mathcal{H}$, 定义其支撑为 $\{n\in \mathbb{N}|\xi (n)\ne 0\}$, 记为 $\mathrm{supp}(\xi )$. 设 $T$ 是 $\mathcal{H}$ 上的有界线性算子, 满足条件 ($\star$): 对于任何的 $\xi \in \mathcal{H}$, $\mathrm{supp}(T\xi )$ 是有限集. (2)(4 分) 假设有 $\mathcal{H}$ 中单位向量 ${\eta }_1,{\eta }_2$, 满足 $\mathrm{supp}(T{\eta }_2)\backslash \mathrm{supp}(T{\eta }_1)\ne \varnothing$. 我们取 $x_1\in \mathrm{supp}(T{\eta }_1)$, $x_2\in \mathrm{supp}(T{\eta }_2)\backslash \mathrm{supp}(T{\eta }_1)$, 并记 ${\alpha }_1=1$. 证明: 存在 ${\alpha }_2\in (0,\frac{1}{2})$ 使得: $$|T({\alpha }_1{\eta }_1+{\alpha }_2{\eta }_2)(x_1)|>\frac{3}{4}|T({\alpha }_1{\eta }_1)(x_1)|$$且$$T({\alpha }_1{\eta }_1+{\alpha }_2{\eta }_2)(x_2)\ne 0.$$(3)(4 分) 进而取 $x_3\in \mathrm{supp}(T{\eta }_3)\backslash (\mathrm{supp}(T{\eta }_1)\cup \mathrm{supp}(T{\eta }_2))$ (其中 ${\eta }_3$ 是一个单位向量). 证明: 存在 ${\alpha }_3\in (0,\frac{1}{4})$ 使得: $$|T({\alpha }_1{\eta }_1+{\alpha }_2{\eta }_2+{\alpha }_3{\eta }_3)(x_1)|>(1-\frac{1}{4}-\frac{1}{8})|T({\alpha }_1{\eta }_1)(x_1)|,$$$$|T({\alpha }_1{\eta }_1+{\alpha }_2{\eta }_2+{\alpha }_3{\eta }_3)(x_2)|>(1-\frac{1}{4})|T({\alpha }_2{\eta }_2)(x_2)|,$$且$$T({\alpha }_1{\eta }_1+{\alpha }_2{\eta }_2+{\alpha }_3{\eta }_3)(x_3)\ne 0.$$(4)(8 分) 进而假设存在一列 $\mathcal{H}$ 中单位向量 $\{{\eta }_n\}$ 满足对于任何自然数 $n$, $\mathrm{supp}(T{\eta }_n)\backslash (\bigcup _{k=1}^{n-1}\mathrm{supp}(T{\eta }_k))$ 非空, 我们取 $x_n\in \mathrm{supp}(T{\eta }_n)\backslash (\bigcup _{k=1}^{n-1}\mathrm{supp}(T{\eta }_k))$. 请由此推出矛盾, 从而证明: 存在有限集 $F\subseteq \mathbb{N}$ 使得对于任何的 $\xi \in \mathcal{H}$, 有 $\mathrm{supp}(T\xi )\subseteq F$. (5)(8 分) 证明: $\mathcal{H}$ 上任一紧算子都可以写成一列满足 (2) 中条件 ($\star$) 的有界线性算子在算子范数下的极限.
4.	(50 分) 对于 $\alpha \in (0,1)$, 记 $\mathbb{R}$ 上满足$$|f{|}_{\alpha }\triangleq \underset{x\ne y\in \mathbb{R}}{\sup }\frac{|f(x)-f(y)|}{|x-y{|}^{\alpha }}<+\infty$$的 $1$-周期复值连续函数全体为 $C^{\alpha }$, 定义范数 $\Vert f{\Vert }_{\alpha }=\Vert f{\Vert }_{\infty }+|f{|}_{\alpha }$. 我们承认上述赋范线性空间是完备的. 对于 $f\in C^{\alpha }$, 定义$$(T_{\alpha }f)(x)=\frac{1}{2}\left(f\right(\frac{x}{2})+f(\frac{x+1}{2}\left)\right).$$(1)(8 分) 证明: 对于任意 $\alpha \in [0,1)$, $T_{\alpha }$ 都是 $C^{\alpha }$ 到自身的连续线性算子. 并由此求出 $T_{\alpha }$ 的范数. 对于 $f\in C^{\alpha }$, $n\in \mathbb{Z}$, 我们定义 $f$ 的 Fourier 系数为$$\hat{f}(n)={\int }_0^{1}f(x)e^{-2\pi nxi}dx.$$(2)(4 分) 对于任意 $\alpha \in [0,1)$, 把 $T_{\alpha }f$ 的 Fourier 系数用 $f$ 的 Fourier 系数表达出来. 并由此求 $\ker T_{\alpha }$. 对于 $x\in [0,1]$, 我们考虑其二进制小数表示 $x=\sum _{k=1}^{\infty }\frac{x_k}{2^k}$, 规定对于有限小数, 取有限小数表示. (3)(8 分) 对于 $f\in C^{\alpha }$, 证明 $\{T_{\alpha }^{n}f\}$ 一致收敛到某个函数, 求这个函数. 并证明: $T_{\alpha }$ 的对应于特征值 $1$ 的特征向量都是常数函数. (4)(4 分) 证明: $1$ 是 $T_{\alpha }$ 唯一一个模长为 $1$ 的特征值. (5)(8 分) 对于任意 $\alpha \in (0,1)$, 证明: $T_{\alpha }$ 保持$$H_{\alpha }\triangleq \{f\in C^{\alpha }|{\int }_0^{1}f(x)dx=0\}$$不变, 且$$\Vert (T_{\alpha }{|}_{H_{\alpha }}{)}^n\Vert \le 2^{1-n\alpha }.$$(提示: 设 $g\in H_{\alpha }$, 则存在 $x_0\in (0,1)$, 使得 $g(x_0)=0$) (6)(10 分) 证明: 对于 $0<|\lambda |\le 2^{-\alpha }$, $f_{\lambda }(x)=\sum _{k=0}^{\infty }{\lambda }^k{e}^{2\pi 2^{k}xi}\in C^{\alpha }$, 且 $T_{\alpha }{f}_{\lambda }=\lambda f_{\lambda }$. (7)(8 分) 求 $\sigma (T_{\alpha })$ 及其所有特征向量.

22024 秋 泛函分析期末试卷 (王凯)

1.	给出赋范线性空间、Banach 空间的定义, 并给出一个 Banach 空间的例子 (不需要证明).
2.	(1) 给出可分的定义; (2) 证明 $L^{\infty }[a,b]$ 不是可分空间.
3.	(1) 给出疏朗集的定义, 叙述 Baire 纲定理; (2) 证明 $\mathbb{R}$ 的子集 $\mathbb{Q}$ 不是可数开子集的交.
4.	(1) 叙述 Banach 不动点定理; (2) 证明 $2$ 维隐函数存在定理.
5.	叙述闭图像定理、逆算子定理, 证明这两个定理是相互等价的.
6.	(1) 叙述凸集分离定理; (2)$M$ 是实赋范线性空间 $X$ 的闭凸子集, 对任意 $x\notin M$, 证明$$d(x,M)=\underset{f\in X^{\ast },\Vert f\Vert =1}{\sup }\left(f(x)-\underset{z\in M}{\sup }f(z)\right)$$
7.	(1) 叙述 Hahn–Banach 定理; (2) 证明: 在有界数列空间 $l^{\infty }$ 上存在如下线性泛函: 对任意的 $\{a_n\},\{b_n\}\in l^{\infty }$,  (i) $F(\{a_n\})=F(\{a_{n+1}\})$;  (ii) 若 $a_n⩾0$, 则 $F(\{a_n\})⩾0$;  (iii) 若 $\{a_n\}$ 是实数列, 则 $\underset{n\to \infty }{\underline{\lim }}{a}_n⩽F(\{a_n\})⩽\underset{n\to \infty }{\overline{\lim }}{a}_n$  (iv) 若 $\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n$ 存在, 则 $F(\{a_n\})=\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n$.
8.	$C[0,1]$ 上的算子 $T$ 定义为$$(Tf)(x)={\int }_0^{x}f(y)\mathrm{d}y$$ (1) 证明 $T$ 是紧算子;  (2) 求 $\sigma (T)$, 并给出 $T$ 的一个非平凡不变子空间.
9.	$f(z)$ 是复平面上的解析函数, 集合$$H=\left\{\Vert f\Vert ={\left(\frac{1}{\pi }{\int }_{\mathbb{C}}{\left|f(z)\right|}^2{e}^{-{|z|}^2}\mathrm{d}A(z)\right)}^{\frac{1}{2}}<+\infty \right\}$$这里 $A(z)$ 是复平面上的 Lebesgue 测度.  (1) 给出 $H$ 上的内积, 并证明这是 Hilbert 空间.  (2) 证明: 对任何 $\lambda \in \mathbb{C}$, 存在 $K_{\lambda }\in H$, 使得 $f(\lambda )=⟨f,K_{\lambda }⟩$, 并求出 $K_{\lambda }$.
10.	$M$ 是 $L^2[0,1]$ 的闭子空间, 且 $M\subseteq C[0,1]$, 求证 $M$ 是有限维的.

32024 秋 泛函分析期末试卷 (徐胜芝)

T1	(20) (1) 证明: $X$ 为拓扑空间, 若 $X$ 单点集的导集皆闭, 则 $X$ 每个子集的导集均闭. (杨忠道定理) (2) 作 $\bar{\mathbb{R}}$ 上拓扑使 $\bar{\mathbb{R}}$ 和全体 $[-\infty ,b)(b\in \bar{\mathbb{R}})$ 为开集, 求单点集的导集与闭包.
T2	(10) 证明有可数 Hamel 基 $\{e_n\mid n\ge 1\}$ 的赋范空间 $X$ 是第一纲的.
T3	(40) 叙述 Hahn–Banach 定理. 证明 $l^{\infty }$ 上有线性泛函 $f$ 使得 $\underset{n\to \infty }{\underline{\lim }}\mathrm{re}{x}_n⩽\mathrm{re}f(x)⩽\underset{n\to \infty }{\overline{\lim }}\mathrm{re}{x}_n$. (1) 证明所有上述 $f$ 全体 $T$ 为凸集 $T$, 且这是个弱 ${}^{\ast }$-闭集. (2) 考虑仅在 $n$ 处有非零值 $1$ 的 $e_n\in l^{\infty }$ 和处处值 $1$ 的 $e\in l^{\infty }$, 求 $f(e_n),f(e)$ 和 $\Vert f\Vert$. (3) 证明有界实数列 $a$ 总让 $f(a)=a$, $x\in \mathsf{c}$ 总让 $f(x)={\lim }_{n\to \infty }{x}_n$. (4) 证明 $T:l^1\to (l^{\infty }{)}^{\ast },y\mapsto y^{\ast },y^{\ast }(x)={\sum }_{n⩾1}{y}_n{x}_n$ 是等距映射, 但它不满.
T4	(30) 叙述规范直交系成为直交基的三个条件. 记 $V_s=\{z\in \mathbb{C}\mid |z|<s\}$, 证明 $\{e_n(z)=z^n\sqrt{(n+1)/(\pi s^{2n+2})}\mid n\in \mathbb{N}\}$ 是 ${\mathsf{A}}^2(V_s)$ 的规范直交基.

42023 秋 泛函分析 (H) 期末试卷 (王凯)

1.	(10 分) (1) 叙述 Baire 纲定理. (2) 用 Baire 纲定理证明: $[0,1]$ 是不可数集.
2.	(15 分) (1) 叙述 Hahn–Banach 定理. (2) 在有界实数列构成的线性空间 $l^{\infty }$ 中, 证明存在线性泛函 $F$, 使得对于 $\{a_n\}\in l^{\infty }$, ① $F(\{a_n\})=F(\{a_{n+1}\})$; ② $\underset{n\to \infty }{\underline{\lim }}{a}_n⩽F(\{a_n\})⩽\underset{n\to \infty }{\overline{\lim }}{a}_n$.
3.	(15 分) (1) 叙述弱收敛的定义. (2) 证明: $L^1[0,1]$ 中的函数列 $f_n$ 弱收敛至 $f$ 当且仅当 $\underset{n}{\sup }\Vert f_n\Vert <\infty$ 并且对 $[0,1]$ 中的任何 Lebesgue 可测集 $E$, 成立 $\underset{n\to \infty }{\lim }{\int }_E{f}_n\mathrm{d}m={\int }_{E}f\mathrm{d}m$.
4.	(15 分) (1) 叙述紧算子的定义. (2) 设 $T$ 是 $l^2$ 上的线性算子. $e_n=(\cdots ,0,1,0,\cdots )$ 是 $l^2$ 的一组标准正交基, $T$ 满足$$T{e}_k=\sum _{j=1}^{\infty }{a}_{jk}{e}_j.$$若 $\sum _{j,k=1}^{\infty }|a_{jk}{|}^2<\infty$, 证明 $T$ 是 $l^2$ 上的紧算子.
5.	(15 分) 设 $T$ 是 $L^2[0,1]$ 到 $L^2[0,1]$ 的有界线性算子, 并且将连续函数映成连续函数. 证明: $T$ 是 $C[0,1]$ 到 $C[0,1]$ 的有界线性算子.
6.	(15 分) 设 Hilbert 空间 $H$ 上的算子 $P,P_1,P_2,\cdots$ 分别是 $H$ 到闭子空间 $M,M_1,M_2,\cdots$ 的正交投影. 请问何时有 $\sum _{n=1}^{\infty }{P}_n$ 强算子收敛至 $P$?
7.	(15 分) 设 $K(x,y)$ 是 $[0,1]\times [0,1]$ 上的连续函数. $(Tf)(x)={\int }_0^{1}K(x,y)f(y)\mathrm{d}y$ 是 $L^2[0,1]$ 上的自伴迹类正算子. 正实数 ${\lambda }_1⩾{\lambda }_2⩾\cdots$ 以及 $L^2[0,1]$ 的一组完备标准正交基 $\{e_n\}$ 满足 $T{e}_n={\lambda }_n{e}_n$. (1) 证明: 对任意的 $x\in [0,1]$, $K(x,x)⩾0$. (2) 证明: $e_n$ 是连续函数. (3) 证明: 对固定的 $x\in [0,1]$, $\sum _{n=1}^{\infty }{\lambda }_n{e}_n(x)\overline{e_n(y)}$ 按 $L^2$ 范数收敛到 $K(x,y)$. (4) 证明: $\mathrm{tr}T={\int }_0^{1}K(x,x)\mathrm{d}x$.

52023 秋 泛函分析期末试卷 (姚一隽, 章嘉雯)

1.	(1) 设 $1⩽p<\infty$, $f,g\in L^p[0,1]$, 且存在 $R>0$ 使得 $\Vert f{\Vert }_p⩽R,\Vert g{\Vert }_p⩽R$. 记 $m$ 为其上的 Lebesgue 测度, 证明$${\int }_0^1||f{|}^p-|g{|}^p|\mathrm{d}m⩽2p{R}^{p-1}\Vert f-g{\Vert }_p.$$(2) 证明: 算子 $T:L^p[0,1]\to L^1[0,1],f\mapsto |f|$ 是连续的.
2.	(1) 设 $B(\mathbb{R})$ 是 $\mathbb{R}$ 上的有界函数全体, 证明 $(B(\mathbb{R}),\Vert \cdot {\Vert }_{\infty })$ 是 Banach 空间. (2) 证明:$$p(f)=\underset{\begin{array}{c}n\in \mathbb{N}\\ {\alpha }_1,\cdots ,{\alpha }_n\in \mathbb{R}\end{array}}{\inf }\left\{\underset{s\in \mathbb{R}}{\sup }\right(\sum _{k=1}^{n}f(s-{\alpha }_k)\left)\right\}$$为次线性函数. (3) 叙述实线性 Hahn–Banach 定理. (4) 构造 $B(\mathbb{R})$ 上的有界线性泛函 $M$, 使得  (a) $M(\mathrm{id})=1$,  (b) 对于 $f⩾0$, $M(f)⩾0$,  (c) 对任意的 $\alpha \in \mathbb{R}$, $M(f(x))=M(f(x+\alpha ))$.
3.	(1) 叙述闭图像定理. (2) 设无穷维矩阵 $A=(a_{ij})$ 满足$$\sum _{j=1}^{\infty }|a_{ij}{|}^2<\infty ,\forall i=1,2,\cdots ,$$且对任意 $(x_j)\in l^2$, $y_i=\sum _{j=1}^{\infty }{a}_{ij}{x}_j$ 存在且有限. 考虑算子$$T:(x_j)\in l^2\mapsto (y_j)\in l^2,$$证明 $T$ 是有界的.
4.	考虑算子 $T:l^1\to l^1$, $$T(x_1,x_2,x_3\cdots )=(0,x_1,\frac{1}{2}{x}_2,\frac{1}{3}{x}_3,\cdots ).$$(1) $T$ 是否为紧算子? (2) 求 $\sigma (T),{\sigma }_r(T),{\sigma }_c(T),{\sigma }_p(T)$.

62022 秋 泛函分析 (H) 期末试卷 (姚一隽)

注: 2022 年因疫情原因, 期末考试形式为 take home.

$\mathfrak{B}(E,F)$ 的子集

  设 $E$ 和 $F$ 是两个 Banach 空间, $\mathfrak{B}(E,F)$ 是全体从 $E$ 到 $F$ 的连续线性算子.

1.	设 $E_1$ 是 $E$ 的一个有限维子空间. 证明, 存在一个 $E$ 的闭子空间 $E_2$ 使得 $E=E_1\oplus E_2$. (我们可以关于 $E_1$ 的维数作归纳)
2.	设 $T\in \mathfrak{B}(E,F)$ 是一个满射. (a) 证明, 存在 $k⩾0$, 使得 $\{y\in F,\Vert y\Vert ⩽1\}\subset \{Tx,x\in E,\Vert x\Vert ⩽k\}$. 以下固定满足 (a) 的 $k$. (b) 证明, 对于任意 $\ell \in F^{\ast }$, 我们有 $k\Vert \ell \circ T\Vert ⩾\Vert \ell \Vert$. 设 $S\in \mathfrak{B}(E,F)$, 满足 $k\Vert S-T\Vert <1$. 我们记 $r=k\Vert S-T\Vert$. 设 $y\in F$. (c) 证明, 存在 $x\in E$, 使得 $\Vert x\Vert ⩽k\Vert y\Vert$ 且 $\Vert Sx-y\Vert ⩽r\Vert y\Vert$. (d) 证明, 存在 $E$ 中的一列元素 $(x_n)$ 和 $F$ 中的一列元素 $(y_n)$, 满足 $y_0=y$, 且对于任意自然数 $n$, 都有 $\Vert x_n\Vert ⩽k\Vert y_n\Vert ,\Vert y_{n+1}\Vert ⩽r\Vert y_n\Vert$, 且 $y_{n+1}=y_n-S{x}_n$. (e) 由此证明, $S$ 是满射. (我们记 $z_n=\sum _{k=0}^n{x}_k$, 证明序列 $z_n$ 收敛, 并计算)
3.	证明, $\mathfrak{B}(E,F)$ 中的满射全体构成一个开集.
4.	对于 $n\in \mathbb{N}$, 记$${\Omega }_n=\{T\in \mathfrak{B}(E,F)\text{ 是满射},\dim \ker T⩾n\}.$$(a) 设 $T\in {\Omega }_n$, $E_1$ 是 $\ker T$ 的一个 $n$ 维子空间. 设 $E_2$ 是 $E$ 的闭子空间, 且 $E=E_1\oplus E_2$. 证明, $$\{S\in \mathfrak{B}(E,F),S\text{ 在 }{E}_2\text{ 上的限制是一个满射}\}$$是 $\mathfrak{B}(E,F)$ 中的开集. (b) 证明, ${\Omega }_n$ 是 $\mathfrak{B}(E,F)$ 中的开集.

Hilbert 空间上的弱拓扑

  我们考虑一个 (复) Hilbert 空间 $H$ 上的弱拓扑.

(1)	证明, 数乘 $\mathbb{C}\times H\to H,(\lambda ,x)\mapsto \lambda x$ 是连续的.
(2)	对于 $T\in \mathfrak{B}(H,H)$, 证明, $$\{(\lambda ,x)\in \mathbb{C}\times H,Tx=\lambda x\}$$是闭集.
(3)	设 $\Delta =\{|z|⩽\Vert T\Vert \}$, $B$ 为 $H$ 中的闭单位球. 证明, $G=\{(\lambda ,x)\in \Delta \times B,Tx=\lambda x\}$ 是紧的.
(4)	证明, $T$ 在 $B$ 中的所有特征向量全体构成的集合 $P$ 是闭的.
(5)	对于 $x\in P\setminus \{0\}$, 以 $v(x)$ 记相应的特征值. 证明, $v$ 是从 $P\setminus \{0\}$ 到 $\mathbb{C}$ 的一个连续映射.
(6)	我们假设 $H$ 可分. 证明, $P\setminus \{0\}$ 是一列闭集的并集.
(7)	证明, 当 $H$ 可分时, $T$ 的特征值全体 ${\sigma }_p(T)$ 是 $\mathbb{C}$ 的一列闭子集的并集. 证明, ${\sigma }_p(T)$ 可以是 $\mathbb{C}$ 的任意有界可数子集. 它可能有非空的内点集么?
(8)	设 $I$ 是 $[0,1]$ 中的无理数全体. 构造一个 Hilbert 空间 $H$ 及 $H$ 上的一个有界共轭算子 $T$, 使得 ${\sigma }_p(T)=I$. 证明, $I$ 不能表达为 $\mathbb{C}$ 的一列闭子集的并集.

正算子与可逆性

  设 $H$ 是一个复 Hilbert 空间.

1.	(a) 设 $0⩽A⩽1-\epsilon$, 证明, $\Vert \sqrt{A+\epsilon }-\sqrt{A}\Vert ⩽\sqrt{\epsilon }$. (b) 设 $\epsilon ⩽A⩽1,\epsilon ⩽B⩽1$, 证明, $\Vert \sqrt{A}-\sqrt{B}\Vert ⩽(2\sqrt{\epsilon }{)}^{-1}\Vert A-B\Vert$. (c) 设 $0⩽B⩽1-\epsilon ,0⩽A⩽1-\epsilon$, 证明, $\Vert \sqrt{A}-\sqrt{B}\Vert ⩽2{\epsilon }^{1/2}+(2{\epsilon }^{1/2}{)}^{-1}\Vert A-B\Vert$. (d) 设 $\Vert A\Vert ⩽1/2,\Vert B\Vert ⩽1/2$, 证明, $\Vert \sqrt{A}-\sqrt{B}\Vert ⩽2\sqrt{\Vert A-B\Vert }$. (e) 总结得到的结论. [上传者注: 本题为 [iii] Chapter 2 Problem 14.]
2.	设 $B$ 是一个范数为 $1$ 的正算子. (a) 证明, $\sigma (B)\subset [0,1]$, 并举例说明, $\sigma (B)$ 可以取到整个 $[0,1]$. (b) 证明, $B$ 可逆当且仅当存在 $\epsilon >0$, 使得 $\sigma (B)\subset [\epsilon ,1]$. 此时我们有 $\Vert 1-B\Vert <1$. (c) 设 $B$ 可逆, 证明, 对于任意的 $T\in \mathfrak{B}(H,H)$, 存在 $S\in \mathfrak{B}(H,H)$, 使得 $T=\frac{1}{2}(BS+SB)$.
3.	(a) 设 $T$ 是一个自共轭算子, 证明, 对于任意 $S\in \mathfrak{B}(H,H)$, $S^{\ast }TS$ 是一个自共轭算子, 且 $S^{\ast }TS⩽\Vert T\Vert S^{\ast }S$. (b) 设三个正算子 $W,S,T$ 满足 $SWS=TWT$. 证明, $\sqrt{W}S\sqrt{W}=\sqrt{W}T\sqrt{W}$. 若还假设 $W$ 是单射, 则 $S=T$. (c) 设 $W,T$ 是正算子, $K=TWT$. 证明, $\sqrt{\sqrt{W}K\sqrt{W}}⩽\Vert T\Vert W$. (d) 设 $R,S\in \mathfrak{B}(H,H)$ 满足 $R^{\ast }R⩽S^{\ast }S$, 证明存在 $V\in \mathfrak{B}(H,H)$, $R=VS$. (e) 设正算子 $W,K$ 与实数 $a⩾0$ 满足 $\sqrt{\sqrt{W}K\sqrt{W}}⩽aW$. 证明, 存在 $S\in \mathfrak{B}(H,H)$ 使得 $\sqrt[4]{\sqrt{W}K\sqrt{W}}=S\sqrt{W}$. 记 $T=S^{\ast }S$. 证明, 若 $W$ 是单射, 则 $TWT=K$. (f) 设 $W,K$ 是正算子, 且 $W$ 可逆. 证明, 存在唯一的正算子 $T$, 使得 $TWT=K$.

保测映射与算子

  我们考虑 $[0,1]$ 上的 Lebesgue 测度. 设 $f:[0,1]\to [0,1]$ 是一个双射, $f$ 与 $f^{-1}$ 都保持 Lebesgue 可测集的测度不变. 所有这样的映射按照复合运算构成一个群 $G$. 既然我们讨论的是可测映射, 那么两个只在零测集上不同的映射自然认为是同一个.

1.	对于 $f,g\in G$, 定义$$d(f,g)=m(\{x,f(x)\ne g(x)\}).$$证明, $G$ 上的乘法和取逆元关于 $d$ 定义的拓扑都是连续的, 且相应的度量空间是完备的, 但不是可分的.
2.	证明, $f$ 可以对应到 $H=L^2([0,1])$ 上的一个酉算子 $T_f$.
3.	(1) 证明, $\delta (f,g)=\underset{X\subset [0,1]\text{ Lebesgue }可测}{\sup }m(f(X)\setminus g(X))+m(g(X)\setminus f(X))$ 也定义了 $G$ 上的一个度量. (2) 证明, $\delta (f,g)⩽d(f,g)$.
4.	我们在 $G$ 上还可以考虑由集族$$N(f;X,\epsilon )=\{g,m(f(X)\setminus g(X))+m(g(X)\setminus f(X))<\epsilon \}$$生成的拓扑. 证明, 这和 $\{T_f,f\in G\}$ 上的强算子拓扑是一致的.
5.	给定正整数 $m$, 我们考虑集合 $\{1,2,\dots ,2^m\}$ 的一个置换 $\pi$, 然后定义$$\begin{array}{rl}{f}_{\pi }:[0,1]& \to [0,1],\\ \frac{i-1}{2^m}+x& \mapsto \frac{\pi (i)-1}{2^m}+x,\end{array}$$这里 $x\in (0,\frac{1}{2^m}]$. 证明, 所有这样的映射全体 ($m$ 取遍所有的正整数, $\pi$ 取遍所有的置换) 按第 4 题描述的拓扑是稠密的, 从而 $G$ 按照这个拓扑是可分的.

72021 秋 泛函分析 (H) 期末试卷 (王凯)

1.	对于 $[0,1]$ 上的 Lebesgue 可测函数 $\phi$, 定义算子 $M_{\phi }:L^2[0,1]\to L^2[0,1]$ 为$$M_{\phi }f=\phi f.$$  (1) 对什么样的 $\phi$, $M_{\phi }$ 是有界算子?  (2) 对什么样的 $\phi$, $M_{\phi }$ 是 Fredholm 算子?
2.	称 Hilbert 空间 $H$ 上的有界线性算子 $T$ 为迹类算子, 若存在 $M>0$ 使得对于 $H$ 的任何两组规范正交基 $\{e_i\},\{f_i\}$ 有$$\sum _i|⟨T{e}_i,f_i⟩|⩽M.$$求证: (1) 迹类算子按算子范数构成 Banach 空间.    (2) 迹类算子是紧算子.
3.	证明或否定: $L^2[0,2\pi ]$ 的序列 $\frac{1}{n}\sum _{k=1}^{n^2}{e}^{\mathrm{i}kx}$ 当 $n\to \infty$ 时弱收敛于 $0$.
4.	证明或否定: ... (忘了) .
5.	设 $C[0,1]$ 的闭线性子空间 $M$ 包含于 $[0,1]$ 上连续可微的函数的空间 $C^1[0,1]$. 证明 $M$ 是有限维的. [上传者注: 本题解答见 [iv] 第二章 §3 例 21.]
6.	设 $X,Y$ 是赋范线性空间, $T$ 是 $X$ 到 $Y$ 的线性算子, 满足: 若 $X$ 的序列 $x_n$ 弱收敛于 $x$, 则 $T{x}_n$ 弱收敛于 $Tx$. 求证 $T$ 是有界算子.

82021 秋 泛函分析期末试卷 (黄昭波)

一	(30 分) $X$ 是由 $\left\{(x_1,x_2,\dots )|\sum _{n=1}^{\infty }{x}_n^2<\infty ;x_1,x_2,\dots \in \mathbb{R}\right\}$ 组成的实 Hilbert 空间. $e_n=(0,0,\dots ,1,0,\dots )$ 是第 $n$ 个位置取值为 $1$ , 其余位置取值为 $0$ 的向量. (1) 证明 $\left\{e_n:n\in {\mathbb{Z}}_{+}\right\}$ 是 $X$ 的规范正交基; (2) $T$ 是 $X$ 上的单侧移位算子, 即 $T{e}_n=e_{n+1},n=1,2,\dots$, 求 $T^{\ast }$; (3) 求 $T^{\ast }$ 的正则集和谱.
二	(20 分) $T$ 是 $C[a,b]$ 到 $C[a,b]$ 的积分算子:$$(T\phi )(s)={\int }_a^{b}K(s,t)\phi (t)\mathrm{d}t,\phi \in C[a,b]$$其中 $K(s,t)$ 是 $[a,b]\times [a,b]$ 上二元连续函数. 求 $\Vert T\Vert$.
三	(30 分) $C_{2\pi }$ 是直线上周期为 $2\pi$ 的连续函数全体组成的 Banach 空间, 对于任意的 $x\in C_{2\pi }$, 有 Fourier 展开:$$\begin{array}{c}x(t)\sim \frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }\left(a_n\cos nt+b_n\sin nt\right)\\ a_n=\frac{1}{\pi }{\int }_0^{2\pi }x(t)\cos nt\mathrm{d}t,b_n=\frac{1}{\pi }{\int }_0^{2\pi }x(t)\sin nt\mathrm{d}t(n=0,1,2,\dots )\end{array}$$令 $S_n(x)(t)=\frac{a_0}{2}+\sum _{k=1}^n\left(a_k\cos kt+b_k\sin kt\right)$, 证明: (1) $S_n(x)(s)=\frac{1}{2\pi }{\int }_0^{2\pi }x(t)\frac{\sin (2n+1)\frac{t-s}{2}}{\sin \frac{t-s}{2}}\mathrm{d}t$; (2) $S_n$ 是从 $C_{2\pi }$ 到 $C_{2\pi }$ 的有界线性算子, 且 $\Vert S_n\Vert =\frac{1}{\pi }{\int }_0^{\pi }\left|\frac{\sin (2n+1)t}{\sin t}\right|\mathrm{d}t$; (3) $\underset{n\to \infty }{\lim }\Vert S_n\Vert =+\infty$; (4) 存在连续周期函数, 其 Fourier 级数不是一致收敛的.
四	(20 分) 设 $T$ 是 Banach 空间 $X$ 上的紧算子, $\lambda$ 是非零复数. 证明: (1) $\mathfrak{R}(\lambda I-T)$ 是 $X$ 的闭子空间; (2) $\dim X^{\ast }/\mathfrak{R}(\lambda I-T^{\ast })=\dim \ker (\lambda I-T)$; (3) $\dim X/\mathfrak{R}(\lambda I-T)=\dim \ker (\lambda I-T^{\ast })$.

9202? 秋 泛函分析期末试卷 (徐胜芝)

T1	(30) 命 ${\mathrm{S}}_0=\{-1,1\}$, $X$ 为无限集, $A$ 为 $X$ 的可列子集. 证 $A$ 与 ${\mathbb{S}}_0\times A$ 对等. (1) 命 $E$ 为双射 $f:V(\subseteq X)\to {\mathbb{S}}_0\times V$ 的集合, 证 $E$ 依扩张关系是个非空偏序集. (2) $F$ 为 $E$ 的一个全序子集, 叙述 Zorn 引理, 并证明 $E$ 有个极大元 $f_0:V_0\to {\mathbb{S}}_0\times V_0$. (3) 证明 $X\backslash V_0$ 是个有限集, 并证明 $X$ 与 ${\mathbb{S}}_0\times X$ 对等.
T2	(30) 设 $(M,\mu )$ 是个有限测度空间, 命 $\delta (f)={\int }_M\frac{|f|}{1+|f|}\mathrm{d}\mu ,f\in (M,\mu )$. (1) 若 $g\le f$, 证明 $0\le \delta (g)\le \delta (f)$. (2) 证明 $\delta (f_1+f_2)\le \delta (f_1)+\delta (f_2)$, 且 $\delta (f)=0$ 当且仅当 $f$ 殆为 $0$. (3) $\delta$ 刻画了依测度收敛性: ${\lim }_{i\uparrow \beta }\delta (f_i-f)=0$ 当且仅当 $(f_i{)}_{i\uparrow \beta }$ 依测度逼近 $f$.
T3	(10) 设 $(X,\mu )$ 是个测度空间, $f_n$ 和 $f$ 是其上平方可积函数, 证明 ${\lim }_{n\to +\infty }\Vert f_n-f{\Vert }_2=0$ 当且仅当 ${\lim }_{n\to +\infty }\Vert f_n{\Vert }_2=\Vert f{\Vert }_2$ 且 $(f_n{)}_{n\ge 1}$ 依测度逼近 $f$.
T4	(30) 将 $\mathbb{I}=[0,1]$ 五等分, 移去其中第二与第四个开区间, 剩下三个闭区间, 每个五等分后移去第二与第四个开区间, 递归做下去剩个集合 $E$. 则 $E$ 是紧集并求其 Lebesgue 测度. (1) $E$ 中元素有唯一五进制表示 $(0.a_1{a}_2\dots a_n\dots {)}_5$, 诸 $a_i$ 取值于 $\{0,2,4\}$. (2) $E$ 上函数 $g:(0.a_1{a}_2\dots a_n\dots {)}_5\mapsto {\left(0.\frac{a_1}{2}\frac{a_2}{2}\dots \frac{a_n}{2}\dots \right)}_3$ 连续递增. (3) 将 $g$ 递增扩张至 $\mathbb{I}$ 上得 $h$. 求 ${\int }_{\mathbb{I}}h(x)\mathrm{d}x$ 和 ${\int }_{\mathbb{I}}x\mathrm{d}h(x)$.