用户: Solution/ 试卷: 泛函分析续论

下文涉及的课本为郭坤宇编著的算子理论基础 (第二版).

12024 秋期末

1.

(i) 陈述并证明 Baire 纲定理, 并以之证明共鸣定理.
(ii) 陈述并证明 Banach–Alaoglu 定理, 并予以证明.
(iii) 设 为交换的 Banach 代数, 证明 中的极大理想与 上的可乘线性泛函一一对应.

2.

表示 上周期为 的连续函数全体构成的 Banach 空间, . 定义 . 证明:
(i) 是一个等距的 -算子半群.
(ii) 求其母元 的表达式及其定义域 .

3.

设拓扑线性空间 上的拓扑由一族半范数 定义, 上的线性泛函. 证明: 连续当且仅当存在 , 使得 .

4.

的 Gelfand 变换, 并证明 Wiener 定理.

5.

为离散的 Abel 群, 为局部紧的 Hausdorff 空间, 上有连续的作用, 证明: 存在 的 Borel 子集全体上的一个非负函数 , 使得 (i) 是有限可加的, (ii) , (iii) 是关于 -作用不变的.

22024 春期末

1.

证明推论 4.3.5, 4.3.6. (25 分)

2.

用 Moore 再生核函数方法证明 GNS 构造. (15 分)

3.

证明定理 4.5.7. (20 分)

4.

叙述并证明 von Neumann 二次换位子定理. (20 分)

5.

(1) 如果 上的速降函数, 证明 的 Fourier 变换 是速降函数.
(2) 证明 .
(3) 证明 Fourier 变换可以唯一延拓为 上的酉算子. (20 分)

32023 秋期末

1.

叙述 Baire 纲定理, 并且证明如下命题: 给定 为完备度量空间 上的函数, 其连续点集 中稠密. 证明其不连续点集 是第一纲的.

2.

(1) 叙述并证明开映射定理.
(2) 对复数序列 , 是否存在 使得 ?

3.

课本第二章 2.2 节习题的第 2 题.

4.

(1) 课本第二章 2.3 节习题的第 19 题.
(2) (课本第二章 2.3.4 小节的例子 2.3.12) 请用 Krein–Milman 定理和 Banach–Alaoglu 定理说明 不是赋范线性空间的对偶.

5.

课本第四章 4.2 节正文一开始到定理 4.2.2 证明结束.

42023 春期末

一.

(1)

(i) 证明 -代数上的正线性泛函连续; (ii) 证明正线性泛函的 Cauchy–Schwarz 不等式.

(2)

叙述正规元的连续函数演算及 ?

(3)

叙述 von Neumann 二次换位子定理, 证明 P184 习题 1.

(4)

证明 -代数之间的单同态是等距, 特别地, 对于同态 , 的子代数.

二.

证明 P145 系 4.3.5.

三.

证明 P171 定理 4.5.7.

四.

证明 P180 习题 1.