用户: Solution/ 试卷: 泛函分析续论

下文涉及的课本为郭坤宇编著的算子理论基础.

12023 春期末

一.

(1)	(i) 证明 $C^{*}$ -代数上的正线性泛函连续; (ii) 证明正线性泛函的 Cauchy–Schwarz 不等式.
(2)	叙述正规元的连续函数演算及 $σ (f (N)) =$ ?
(3)	叙述 Von Neumann 二次换位子定理, 证明 P184 习题 1.
(4)	证明 $C^{*}$ -代数之间的单同态是等距, 特别地, 对于同态 $ρ : A \to B$ , $ρ (A)$ 是 $B$ 的子代数.

二.

证明 P145 系 4.3.5.

三.

证明 P171 定理 4.5.7.

四.

证明 P180 习题 1.

1.	叙述 Baire 纲定理, 并且证明如下命题: 给定 $f$ 为完备度量空间 $X$ 上的函数, 其连续点集 $C_{f}$ 在 $X$ 中稠密. 证明其不连续点集 $D_{f}$ 是第一纲的.
2.	(1) 叙述并证明开映射定理. (2) 对复数序列 $(a_{n})_{n \in Z}, lim_{∣ n ∣ \to \infty} a_{n} = 0$ , 是否存在 $f \in L^{1} [0, 2 π]$ 使得 $\hat{f} (n) = a_{n}$ ?
3.	课本第二章 2.2 节习题的第 2 题.
4.	(1) 课本第二章 2.3 节习题的第 19 题. (2) (课本第二章 2.3.4 小节的例子 2.3.12) 请用 Krein–Milman 定理和 Banach–Alaoglu 定理说明 $L^{1} [0, 1]$ 不是赋范线性空间的对偶.
5.	课本第四章 4.2 节正文一开始到定理 4.2.2 证明结束.

1.	证明推论 4.3.5, 4.3.6. (25 分)
2.	用 Moore 再生核函数方法证明 GNS 构造. (15 分)
3.	证明定理 4.5.7. (20 分)
4.	叙述并证明 Von Neumann 二次换位子定理. (20 分)
5.	(1) 如果 $f$ 是 $R$ 上的速降函数, 证明 $f$ 的 Fourier 变换 $\hat{f}$ 是速降函数. (2) 证明 $∥ f ∥_{L^{2}} = ∥ \hat{f} ∥_{L^{2}}$ . (3) 证明 Fourier 变换可以唯一延拓为 $L^{2} (R)$ 上的酉算子. (20 分)