用户: Solution/ 试卷: 泛函分析续论
下文涉及的课本为郭坤宇编著的算子理论基础 (第二版).
12024 秋期末
1. | (i) 陈述并证明 Baire 纲定理, 并以之证明共鸣定理. |
2. | 设 表示 上周期为 的连续函数全体构成的 Banach 空间, . 定义 . 证明: |
3. | 设拓扑线性空间 上的拓扑由一族半范数 定义, 为 上的线性泛函. 证明: 连续当且仅当存在 和 , 使得 . |
4. | 求 的 Gelfand 变换, 并证明 Wiener 定理. |
5. | 设 为离散的 Abel 群, 为局部紧的 Hausdorff 空间, 在 上有连续的作用, 证明: 存在 的 Borel 子集全体上的一个非负函数 , 使得 (i) 是有限可加的, (ii) , (iii) 是关于 -作用不变的. |
22024 春期末
1. | 证明推论 4.3.5, 4.3.6. (25 分) |
2. | 用 Moore 再生核函数方法证明 GNS 构造. (15 分) |
3. | 证明定理 4.5.7. (20 分) |
4. | 叙述并证明 von Neumann 二次换位子定理. (20 分) |
5. | (1) 如果 是 上的速降函数, 证明 的 Fourier 变换 是速降函数. |
32023 秋期末
1. | 叙述 Baire 纲定理, 并且证明如下命题: 给定 为完备度量空间 上的函数, 其连续点集 在 中稠密. 证明其不连续点集 是第一纲的. |
2. | (1) 叙述并证明开映射定理. |
3. | 课本第二章 2.2 节习题的第 2 题. |
4. | (1) 课本第二章 2.3 节习题的第 19 题. |
5. | 课本第四章 4.2 节正文一开始到定理 4.2.2 证明结束. |
42023 春期末
一. |
| ||||||||
二. | 证明 P145 系 4.3.5. | ||||||||
三. | 证明 P171 定理 4.5.7. | ||||||||
四. | 证明 P180 习题 1. |