试卷: 流形的拓扑学

2024 秋 流形的拓扑学 期末试卷

1.	给出下面名词的定义: (1) 微分流形; (2) 子流形; (3) 临界点; (4) Morse 函数; (5) 给出 $T^n=S^1\times \cdots \times S^1$ 上恰有 $2^n$ 个临界点的 Morse 函数.
2.	在承认以下两个结论成立的前提下: (a) 设 $U$ 是 ${\mathbb{R}}^m$ 中的开集, $n\ge 2m$, $f\in C^{\infty }(U,{\mathbb{R}}^n)$. 则对于任意给定的实数 $\gamma$, 存在 $n\times m$ 矩阵 $A=(a_{ij})$, 满足条件$$|A|=\underset{i,j}{\max }\{|a_{ij}|\}<\gamma ,$$使得 $g(x)=f(x)+Ax$ 在 $U$ 上是浸入. (b) 设 $K\subset U$ 为紧致集. 如果 $f\in C^1(U,{\mathbb{R}}^n)$ 在 $K$ 上是浸入, 那么存在 $\delta >0$ 使得对任何$$g\in C^1(U,{\mathbb{R}}^n),|g-f{|}_K^{(1)}<\delta ,$$都有 $g$ 在 $K$ 上为浸入. 试证明 Whitney 浸入定理: 设 $M$ 是 $m$ 维光滑流形, $n\ge 2m$, 则对任何的 $f\in C^{\infty }(M,{\mathbb{R}}^n)$ 和任何 $\epsilon >0$, 存在 $g\in C^{\infty }(M,{\mathbb{R}}^n)$, 使得 $\circ$ (a) $g$ 是从 $M$ 到 ${\mathbb{R}}^n$ 的浸入; $\circ$ (b) $\Vert g(p)-f(p)\Vert <\epsilon$, $\forall p\in M$.
3.	设 $M$ 是所有 $n\times n$ 实矩阵构成的集合, $N$ 是是所有 $n\times n$ 对称阵构成的集合, 均赋予 ${\mathbb{R}}^{n^2}$ 的欧氏拓扑. 设 $f:M\to N$ 是光滑映射, $f(A)=A{A}^T$. 证明: (1) 证明单位阵 $I$ 是 $f$ 的正则值, 证明 $f^{-1}(I)$ 是 $M$ 的光滑的正则子流形, 试计算 $f^{-1}(I)$ 的维数. (2) 证明 $f^{-1}(I)$ 是个紧致集.
4.	记 $M(n,m;k)$ 是 $n\times m$ 实矩阵中秩为 $k$ 的矩阵全体, 赋予 ${\mathbb{R}}^{nm}$ 上的子空间拓扑 (看作是 $n\times m$ 实矩阵全体的子空间) . 证明: 它是一个 $nm-(n-k)(m-k)$ 维光滑流形.
5.	在承认 Morse 引理和第六章引理 4.10 的前提下, 证明 Reeb 定理.
6.	(1) 证明: 在 $\mathbb{R}{P}^n=S^n/(x\sim -x)$ 上, $E:=\{([x],v)\in \mathbb{R}{P}^n\times {\mathbb{R}}^{n+1}|v=kx,k\in {\mathbb{R}}^1\}$ 不是平凡的 ${\mathbb{R}}^1$-丛. (2) $F_g$ 是亏格为 $g$ 的可定向曲面, 请给出 $F_g$ 上无穷多个 ${\mathbb{R}}^2$-丛.

 

2023 秋 流形的拓扑学 期末试卷

1.	设 $M$ 为微分流形且 $p\in M$ 为其上一点, 请给出切空间 $T_{p}M$ 的定义, 并说明它是一个与 $M$ 维数相同的线性空间.
2.	设 $M$ 是 ${\mathbb{R}}^n$ 的正则光滑子流形且 $f\in C^{\infty }(M,\mathbb{R})$. 试证明几乎所有的 $\lambda \in {\mathbb{R}}^n$ 都使得如下定义的 $g:M\to \mathbb{R}$ 成为 Morse 函数: $$g(x)=f(x)+\lambda \cdot x,$$其中 $\lambda \cdot x$ 指 $\lambda$ 与 $x$ 的数量积.
3.	设 $M$ 和 $N$ 是 $C^r$ 流形 $(r\ge 1)$, $S$ 是 $N$ 的 $C^r$ 正则子流形, $f:M\to N$ 是 $C^r$ 映射. 如果 $f⋔S$, 则 $f^{-1}(S)$ 为 $M$ 的 $C^r$ 正则子流形.
4.	试陈述并证明浸入的典范表示.
5.	(a) 设 $U$ 是 ${\mathbb{R}}^m$ 中的开集, $n\ge 2m$, $f\in C^{\infty }(U,{\mathbb{R}}^n)$. 则对于任意给定的实数 $\gamma$, 存在 $n\times m$ 矩阵 $A=(a_{ij})$, 满足条件$$|A|=\underset{i,j}{\max }\{|a_{ij}|\}<\gamma ,$$使得 $g(x)=f(x)+Ax$ 在 $U$ 上是浸入. (b) 设 $K\subset U$ 为紧致集. 如果 $f\in C^1(U,{\mathbb{R}}^n)$ 在 $K$ 上是浸入, 那么存在 $\delta >0$ 使得对任何$$g\in C^1(U,{\mathbb{R}}^n),|g-f{|}_K^{(1)}<\delta ,$$都有 $g$ 在 $K$ 上为浸入.
6.	(a) 请各举两例互不同构的 ${\mathbb{S}}^1$ 为底空间的一维与二维丛. (共举四例) (b) 试说明切丛 $T{\mathbb{S}}^1$ 与 $T{\mathbb{S}}^3$ 为平凡丛.

 

2017 秋 流形的拓扑学 期末试卷

1.	(20 分) (1) 叙述微分流形的定义. (2) 说明 ${\mathbb{RP}}^2$ 是个光滑流形. (3) 叙述子流形 (正则子流形) 的定义. (4) 设 $a$ 是个无理数, 证明: 映射 $f:{\mathbb{R}}^1\to T^2=S^1\times S^1$, $$t\mapsto (e^{2\pi ti},e^{2a\pi ti})$$是个单射、浸入, 但非光滑嵌入.
2.	(10 分) 记 $M(n,m;k)$ 是 $n\times m$ 实矩阵中秩为 $k$ 的矩阵全体, 赋予 ${\mathbb{R}}^{nm}$ 上的子空间拓扑 (看作是 $n\times m$ 实矩阵全体的子空间) . 证明: 它是一个 $nm-(n-k)(m-k)$ 维光滑流形.
3.	(20 分) (1) 叙述临界点的定义. (2) 叙述 Morse 函数的定义. (3) 构造一个 ${\mathbb{RP}}^3$ 上的 Morse 函数, 使之恰好具有 $4$ 个临界点.
4.	(15 分) 设 $M$ 是所有 $n\times n$ 实矩阵构成的集合, $N$ 是是所有 $n\times n$ 对称阵构成的集合, 均赋予 ${\mathbb{R}}^{n^2}$ 的欧氏拓扑. 设 $f:M\to N$ 是光滑映射, $f(A)=A{A}^T$. 证明: (1) 单位阵 $I$ 是 $f$ 的正则值. (2) $f^{-1}(I)$ 是个紧致集.
5.	(15 分) 在承认以下两个结论成立的前提下: (a) 设 $U$ 是 ${\mathbb{R}}^m$ 中的开集, $n\ge 2m$, $f\in C^{\infty }(U,{\mathbb{R}}^n)$. 则对于任意给定的实数 $\gamma$, 存在 $n\times m$ 矩阵 $A=(a_{ij})$, 满足条件$$|A|=\underset{i,j}{\max }\{|a_{ij}|\}<\gamma ,$$使得 $g(x)=f(x)+Ax$ 在 $U$ 上是浸入. (b) 设 $K\subset U$ 为紧致集. 如果 $f\in C^1(U,{\mathbb{R}}^n)$ 在 $K$ 上是浸入, 那么存在 $\delta >0$ 使得对任何$$g\in C^1(U,{\mathbb{R}}^n),|g-f{|}_K^{(1)}<\delta ,$$都有 $g$ 在 $K$ 上为浸入. 试证明 Whitney 浸入定理: 设 $M$ 是 $m$ 维光滑流形, $n\ge 2m$, 则对任何的 $f\in C^{\infty }(M,{\mathbb{R}}^n)$ 和任何 $\epsilon >0$, 存在 $g\in C^{\infty }(M,{\mathbb{R}}^n)$, 使得 $\circ$ (a) $g$ 是从 $M$ 到 ${\mathbb{R}}^n$ 的浸入; $\circ$ (b) $\Vert g(p)-f(p)\Vert <\epsilon$, $\forall p\in M$.
6.	(10 分) 证明: 切丛 $T{\mathbb{S}}^1$ 与 $T{\mathbb{S}}^3$ 为平凡丛.
7.	(10 分) 设 $M$ 是紧致光滑流形, $N$ 是连通光滑流形, $f\in C^{\infty }(M,N)$ 是淹没, 证明: $f(M)=N$.