现代代数学 I 试卷

12024 春

一	(20 分) 、令 $E/F$ 为有限 Galois 扩张. 设 $\alpha ,\beta \in E$ 在 $F$ 上分别为 $m$ 次和 $n$ 次元, $\gcd (m,n)=1$, 并且 $[F[\alpha ,\beta ]:F]=mn$. 证明: $\cdot$ 对于任意 $\alpha$ 在 $E$ 中共轭元 ${\alpha }^{\prime }$ 及 $\beta$ 在 $E$ 中共轭元 ${\beta }^{\prime }$, 存在 $\sigma \in \mathrm{Gal}(E/F)$ 使得 $\sigma (\alpha )={\alpha }^{\prime },\sigma (\beta )={\beta }^{\prime }$. $\cdot$ $F[\alpha ,\beta ]=F[\alpha +\beta ]$.
二	(40 分) 、令 $F$ 为特征不为 $2$ 的域. 考虑 $4$ 次方程 $f(X)=X^4-2a{X}^2+c\in F[X]$. 令 $b=a^2-c$. 设 $a$ 与 $b$ 不是 $F$ 上的平方数. $\cdot$ 说明 $f(X)$ 为可分多项式. $\cdot$ 设 $bc$ 为 $F$ 上平方数, 证明 $f(X)$ 在 $F$ 上的 Galois 群同构于 ${\mathbb{Z}}_4$. $\cdot$ 设 $c=c^{\prime 2}$ 为 $F$ 上平方数, 证明当 $2(a+c^{\prime })$ 及 $2(a-c^{\prime })$ 都不是 $F$ 上平方数时, $f(X)$ 的 Galois 群同构于 ${\mathbb{Z}}_2\times {\mathbb{Z}}_2$, 当其中之一为平方数时 $f(X)$ 的 Galois 群为 ${\mathbb{Z}}_2$. $\cdot$ 设 $bc$ 及 $c$ 均不是平方数时, $f(X)$ 的 Galois 群为 $8$ 阶群 $D_4$.
三	(20 分) 、设 $F$ 为特征为 $p$ 的完美域. 令 $F(X)$ 为 $F$ 的一次纯超越扩张, 并令 $\Omega$ 为 $F(X)$ 的一个代数闭包. 令 $E=\bigcup _{k=1}^{\infty }F(X^{\frac{1}{p^k}}\subset \Omega )$, 其中 $X^{\frac{1}{p^k}}\in \Omega$ 为多项式 $T^{p^k}-X\in F(X)[T]$ 在 $\Omega$ 中的一个根. $\cdot$ 说明 $E$ 为 $\Omega$ 的子域; $\cdot$ 计算 $E/F$ 的超越度; $\cdot$ $E/F$ 是否有可分超越基? 给出判断依据.
四	(20 分) 、令 ${\mathbb{F}}_2(X)$ 为 ${\mathbb{F}}_2$ 的纯超越扩张, 并令 $G=\mathrm{Aut}({\mathbb{F}}_2(X)/{\mathbb{F}}_2)$. 计算 $G$ 的阶, 并列出使得 ${\mathbb{F}}_2(X)/L$ 为有限 Galois 扩张的所有 ${\mathbb{F}}_2(X)/{\mathbb{F}}_2$ 的中间域 $L$.

22023 春

一	(20 分) 、$F$ 是一个特征为 $p>0$ 的域.$a\in F,a\notin F^p$. $\cdot$ 证明: $\forall n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, $X^{p^n}-a\in F[X]$ 不可约. $\cdot$ 证明: $\alpha$ 在 $F$ 上可分当且仅当 $\forall n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, $F(\alpha )=F({\alpha }^{p^n})$.
二	(25 分) 、给定域扩张 ${\mathbb{F}}_5(X)/{\mathbb{F}}_5$, 其中 $X$ 是未定元. $\sigma ,\tau \in \mathrm{Aut}({\mathbb{F}}_5(X)/{\mathbb{F}}_5)$, 其中 $\sigma (X)=X+1,\tau (X)=\frac{1}{X}$. $G$ 是由 $\sigma$ 生成的群, $H$ 是由 $\sigma ,\tau$ 生成的群. $\cdot$ 计算 $[{\mathbb{F}}_5(X):{\mathbb{F}}_5(X{)}^G]$, 并求 $f\in {\mathbb{F}}_5(X)$ 使得 ${\mathbb{F}}_5(X{)}^G={\mathbb{F}}_5(f)$. $\cdot$ 求 $H$ 的阶数.
三	(25 分) 、已知 $E/F$ 是 Galois 扩张. $H$ 是 $G:=\mathrm{Gal}(E/F)$ 的子群. 证明: $H$ 在 $G$ 中稠密当且仅当对于任何 $E/F$ 的中间域 $K$ 且 $K/F$ 是有限 Galois 扩张, $H/(H\cap \mathrm{Gal}(E/K))\cong \mathrm{Gal}(K/F)$.
四	(20 分) 、讨论 $X^4+pX+p\in \mathbb{Q}[X]$ 的 Galois 群, 其中 $p$ 是素数.
五	(10 分) 、$F$ 是一个特征为 $p>0$ 的域. 称一个扩张 $E/F$ 是根式扩张, 如果存在一列域扩张 $F=F_0\subset F_1\subset \dots \subset F_n=E$ 满足: $F_{i+1}=F_i[u_i]$, 且要么存在一个与 $p$ 互素的 $n_i\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ 使得 $u_i^{n_i}\in F_i$, 要么 $u_i^p-u_i\in F_i$. 证明: 对于可分多项式 $f(X)\in F[X]$, $E_f/F$ 是根式扩张当且仅当 $\mathrm{Gal}(E_f/F)$ 是可解群.

32022 春

一	(20 分)、写出一个域上多项式根式可解的定义. 令 $f(X)=X^4+101X^3-78X^2+3\in \mathbb{Q}[X]$, $f(X)$ 在 $\mathbb{Q}$ 上是否根式可解? 并解释原因.
二	(30 分)、计算如下多项式的的 Galois 群: $X^5-2\in \mathbb{Q}[X],X^5-2\in {\mathbb{F}}_3[X],X^4-4X^2+2\in \mathbb{Q}[X]$.
三	(25 分)、令 $E$ 为 $f(X)=(X^3-5)(X^3-7)\in \mathbb{Q}[X]$ 的分裂域. 描述 $E/\mathbb{Q}$ 的 Galois 群并写出所有的的中间域.
四	(25 分)、令 $E:={\mathbb{F}}_2(X)$ 为 ${\mathbb{F}}_2$ 上单变量多项式函数环的分式域. 写出 $E/{\mathbb{F}}_2$ 的中间域 $K_i$, $1⩽i⩽4$, 使得 ∘ $E/K_1$ 为有限不可分扩张; ∘ $E/K_2$ 为 $2$ 次 Galois 扩张; ∘ $E/K_3$ 为 $3$ 次 Galois 扩张; ∘ $E/K_4$ 为有限不正规扩张.

42021 春

一、	${\mu }_n$ 为 $n$ 次单位根全体构成的群. 证明: $\mathbb{Q}[\bigcup _{n\ge 0}{\mu }_n]/\mathbb{Q}$ 为 Galois 扩张, 并用逆极限描述其 Galois 群.
二、	取 $\sigma \in \mathrm{Aut}(\mathbb{C}(X)/\mathbb{C})$, $\sigma (X)=-\frac{1}{X+1}$, $G$ 为 $\sigma$ 生成的循环群. 求 $f(x)\in \mathbb{C}(X)$, 使得 $\mathbb{C}(X{)}^G=\mathbb{C}(f)$.
三、	$E,F$ 为有限可分扩张, 且 $[E:F]=n$. (1) 证明 $E/F$ 为单扩张, (2) 证明 $E/F$ 至多有 $2^{n-1}$ 个中间域.
四、	$F$ 为域, $\mathrm{char}F=0$. 若存在素数 $p$, 使得 $F[X]$ 上任一不可约多项式 $f$, 都存在 $n\ge 0$, 使得 $\mathrm{deg}f=p^n$, 证明: 任何 $g(X)\in F[X]$ 均根式可解.
五、	(1) 求 ${\mathbb{F}}_3$ 上所有 $2$ 次不可约多项式;    (2) 记 $E$ 为 ${\mathbb{F}}_2$ 上 $X^5-1$ 的分裂域, 求 $[E:{\mathbb{F}}_2]$;    (3) 计算 $X^5+2X^3+1\in \mathbb{Q}[X]$ 的 Galois 群.

52020 春

一	(30 分)、 给出如下域 $F$ 上不可约方程 $f(T)$ 的 Galois 群的描述, 并说明理由: (1) $F=\mathbb{C}(X)$, $f(T)=T^n-X\in F[T]$; (2) $F=\mathbb{Q}$, $f(T)=T^p-a\in F[T]$, 其中 $p$ 为素数, $a\in F$ 使得 $f(T)$ 不可约.
二	(20 分)、 令 $L={\mathbb{F}}_3(X)$. 考虑 $L$ 的如下自同构: $\sigma \in \mathrm{Aut}(L/{\mathbb{F}}_3)$, $\sigma (X)=1+\frac{1}{X}$ . 令 $G<\mathrm{Aut}(L/{\mathbb{F}}_3)$ 为 $\sigma$ 生成的循环群. 计算 $[L:L^G]$ 并给出 $L^G$ 的具体描述.
三	(30 分)、 如下方程在有理数域 $\mathbb{Q}$ 上可解吗? 可解的给出根式可解的步骤, 不可解的给出不可解的证明: $X^6-X^3+1,X^5-X^2-X-2,X^5-9X-3$.
四	(20 分)、 令 $E/F$ 为有限域扩张. 设 $\alpha ,\beta \in E$ 使得 $F[\alpha ]/F$ 和 $F[\beta ]/F$ 都是正则扩张, 并且 $F[\alpha ]\cap F[\beta ]=F$. 证明 $[F[\alpha ,\beta ]:F]=[F[\alpha ]:F][F[\beta ]:F]$.