用户: Solution/ 试卷: 现代代数学II

2023 秋季学期期末试卷

1.	(20 分) 设 $S_3$ 是 $3$ 个文字的对称群, $H=A_3$ 是其子群. (1) 写出 $H$ 在复数域上的特征表; (2) 对 $H$ 的每一个不可约复特征 $\chi$, 求 ${\mathrm{Ind}}_H^G\chi$, 说明理由.
2.	(20 分) (a) 设 $G$ 是非 Abel 群, $|G|=p^3$, 求 $G$ 的共轭类个数. (b) 设 $R$ 是一个环, $A$ 是 $R$-模, $B,C$ 是有限生成投射 $R$-模, 有短正合列问 $A$ 是否是有限生成投射 $R$-模?
3.	(25 分) 设 $R$ 是一个环. 称 $R$ 的左理想 $I$ 是 $R$ 的直和项, 若存在左理想 $J$ 使得 $R=I\oplus J$. (a) 证明: 左理想 $I$ 是直和项当且仅当存在 $e\in I$, 满足 $I=Re$ 且 $e=e^2$. (b) 设 $K$ 是一个域, $R=\left\{\left(\begin{array}{cc}a& b\\ 0& c\end{array}\right)\mid a,b,c\in K\right\}$ 是二阶矩阵环 $M_2(K)$ 的子环. 问 $R$ 是不是半单环? 说明理由.
4.	(15 分) 对一个 Abel 群 $A$, 记 $A^{\ast }=\mathrm{Hom}(A,\mathbb{Q}/\mathbb{Z})$ 是 $A$ 到 $\mathbb{Q}/\mathbb{Z}$ 的群同态全体. 考虑 Abel 群之间的同态 $\alpha :A\to B$, 它自然诱导了一个 ${\alpha }^{\ast }:B^{\ast }\to A^{\ast }$, ${\alpha }^{\ast }(g)=g\circ \alpha$. 证明: 若 ${\alpha }^{\ast }$ 是同构, 则 $\alpha$ 是同构.
5.	(20 分) 设 $G$ 是一个有限群, $H$ 是 $G$ 的子群, 满足 $(G:H)=2$. $(\rho ,W)$ 是 $H$ 在复数域上的一个不可约表示. 假设 $V={\mathrm{Ind}}_H^{G}W$ 是可约表示. (1) 证明: $V\cong V_1\oplus V_2$, 其中 $V_1,V_2$ 是两个不同构的不可约表示. (2) 证明: ${\dim }_{\mathbb{C}}{V}_1={\dim }_{\mathbb{C}}{V}_2={\dim }_{\mathbb{C}}W$.

 

2023 秋季学期期中试卷

1.	(20 分) 设 $R$ 是环. $M,N$ 是左 $R$-模, $f:M\to N$ 是模同态. 证明下面两个命题等价: (i) $f$ 是满射; (ii) 对任意左 $R$-模 $T$ 与任意模同态 $u_1,u_2:N\to T$, 如果 $u_1\circ f=u_2\circ f$, 则有 $u_1=u_2$.
2.	(20 分) (i) 设 ${\mathbb{Q}}^{\ast }=\mathbb{Q}\backslash \{0\}$ 是有理数乘法群. 作为 $\mathbb{Z}$-模, ${\mathbb{Q}}^{\ast }$ 是否是自由模? 说明理由. (ii) 设 $A\in M_4(\mathbb{Q})$, $A^3=I$, $I$ 表示 $4$ 阶单位阵. 求 $A$ 在 $M_4(\mathbb{Q})$ 中的所有可能的有理标准型, 说明理由.
3.	(20 分) 设 $R$ 是一个整区, $M\ne \{0\}$ 是一个有限生成无挠 (torsion-free)$R$-模. 证明: 存在一个有限生成的自由 $R$-模 $T$, 使得 $M$ 同构于 $T$ 的一个子模.
4.	(20 分) 设 $V$ 是 $n$ 维实向量空间, $n\ge 1$. $\mathbb{C}$ 是复数域, $\mathrm{i}\in \mathbb{C}$ 满足 ${\mathrm{i}}^2=-1$. (i) 设 $V_{\mathbb{C}}=V{\otimes }_{\mathbb{R}}\mathbb{C}$, $u,v\in V$, 若在 $V_{\mathbb{C}}$ 中有 $u\otimes 1+v\otimes \mathrm{i}=0$, 证明 $u=v=0$. (ii) 设 $v,w\in V$ 是两个非零元, 若在 $V{\otimes }_{\mathbb{R}}V$ 中有 $v\otimes w=w\otimes v$, 证明 $v,w$ 是 $\mathbb{R}$-线性相关的, 即存在 $0\ne \lambda \in \mathbb{R}$ 使得 $w=\lambda v$.
5.	(20 分) 设 $R$ 是一个整区, 且每个 $R$-模都是平坦模. 证明: $R$ 是一个域.

 

2022 秋季学期期中试卷

1.	(20 分) 设 $R$ 是一个环, 如果 $R$ 只有 $\{0\}$ 与 $R$ 两个左理想, 证明 $R$ 是一个可除环.
2.	(20 分) 设 $A=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 1& 1\end{array}\right),B=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 0& 1\\ 0& -1& 2\end{array}\right)\in M_3(\mathbb{Q})$ 是 $\mathbb{Q}$ 上的两个 $3$ 阶方阵. 问 $A$ 与 $B$ 在 $M_3(\mathbb{Q})$ 中是否相似? 说明理由.
3.	(20 分) (1) 设 $R$ 是环, $M\ne \{0\}$ 是一个自由左 $R$-模. 若 $M$ 只有 $\{0\}$ 和 $M$ 两个子模, 证明: 作为左 $R$-模, $M$ 同构于 $R$. (2) 给出一个非零 $\mathbb{Z}$-模 $A$, 满足 $A{\otimes }_{\mathbb{Z}}A=0$. 说明理由.
4.	(20 分) 设 $E,F$ 是域且 $F$ 是 $E$ 的子域, $V$ 是一个 $n$ 维 $F$-向量空间. 设 $V_E=V{\otimes }_{F}E$. 证明: 作为 $E$-向量空间, $V_E$ 的维数等于 $n$.
5.	(20 分) 设 $A$ 是一个 $\mathbb{Z}$-模. 考虑下面的群同态$$f:A\to \mathbb{Q}{\otimes }_{\mathbb{Z}}A,f(a)=1\otimes a,\forall a\in A.$$证明: $\ker f=T(A)$, 这里 $T(A)$ 表示 $A$ 的挠子模, 即 $T(A)=\{x\in A|\text{存在正整数 }n,\text{ 使得 }nx=0\}$.

 

2022 秋季学期期末试卷

1.	(20 分) 设 $S_3$ 是 $3$ 个文字的对称群, $H=\{1,(13)\}$ 是其子群. (a) 写出 $S_3$ 的共轭类 (不需要说明理由); (b) 求 $S_3$ 在复数域上的所有不可约特征, 说明理由; (c) 设 $\phi$ 是 $H$ 在复数域上的一次特征且 $\phi$ 不是一次平凡特征. 求诱导特征 $\beta ={\mathrm{Ind}}_H^{S_3}(\phi )$, 对 $S_3$ 的每个不可约特征 $\chi$, 求 $⟨\beta ,\chi {⟩}_{S_3}$, 说明理由.
2.	(20 分) 设 $G$ 是一个有限群, $k$ 是一个域, $V$ 是一个 $k$ 向量空间. 设 $\rho :G\to \mathrm{GL}(V)$ 是 $G$ 在 $k$ 上的一个线性表示. $V^{\ast }={\mathrm{Hom}}_k(V,k)$. $({\rho }^{\ast },V^{\ast })$ 是相应的对偶表示. (a) 若 $\rho$ 是不可约表示, 证明: $V$ 是有限维 $k$ 向量空间. (b) 设 $(\rho ,V)$ 是不可约表示, 问 $({\rho }^{\ast },V^{\ast })$ 是否也是不可约表示? 说明理由.
3.	(15 分) 设 $G$ 是一个有限群, $|G|>1$. 如果 $G$ 在复数域上有一个不可约特征 $\chi$ 满足: $\chi \ne 1$ 且 $\forall g\in G$, $\chi (g)\in \mathbb{R}$, 这里 $1$ 表示一次平凡特征, 证明: $G$ 有 $2$ 阶元.
4.	(20 分) 设 $(\mathbb{Q},+)$ 是有理数加法群, $\mathbb{Q}/\mathbb{Z}$ 是商群. (a) 作为 $\mathbb{Z}$-模, $\mathbb{Q}/\mathbb{Z}$ 是不是投射模? 说明理由. (b) 作为 $\mathbb{Z}$-模, $\mathbb{Q}/\mathbb{Z}$ 是不是半单模? 说明理由.
5.	(25 分) 设 $R$ 是一个主理想整区 (P.I.D) , $I$ 是 $R$ 的一个非平凡理想, $R/I$ 是商环. (a) 证明: 作为 $R/I$-模, $R/I$ 是内射模; (b) 设 $M$ 是一个自由 $R/I$-模, 证明 $M$ 是内射模; (c) 设 $A$ 是一个 $\mathbb{Z}$-模, 即 Abel 群, 且存在正整数 $m$, 使得$$mA=\{ma|a\in A\}=\{0\}.$$证明: $A$ 是一些循环子群的直和.

 

2021 秋季学期期末试卷

1.	(20 分) (1) $\mathbb{Q}/\mathbb{Z}$ 是否为投射 $\mathbb{Z}$-模? (2) 设 $A$ 为 Abel 群, $0\ne a\in A$, 求证: 存在群同态 $f:A\to \mathbb{Q}/\mathbb{Z}$ 使得 $f(a)\ne 0$.
2.	(20 分) (1) 设 $n$ 为正整数, 则 $n$ 取何值时 $\mathbb{C}[x]/(x^n)$ 为半单 $\mathbb{C}[x]$-模? (2) 设 $R$ 为半单环, $I$ 为 $R$ 的左理想, 求证: 存在 $a\in I$, 使得 $I=R\cdot a$ 且 $a^2=a$.
3.	(20 分) (1) 设 $G$ 为有限群, $k$ 为域, $r_G$ 为 $G$ 在 $k$ 上的正则表示, $r_G^{\ast }$ 为 $r_G$ 的对偶表示. 是否有 $r_G^{\ast }$ 与 $r_G$ 同构? (2) 设 $G$ 为有限群, $g\in G$, 若对于 $G$ 的任意复特征 $\chi$, 成立 $\chi (g)\in \mathbb{R}$, 求证: $g$ 与 $g^{-1}$ 共轭.
4.	(15 分) 设 $G$ 为有限 Abel 群, $H$ 为 $G$ 的子群且 $(G:H)=m$, $\alpha$ 为 $H$ 的复不可约特征. 求证: 恰存在 $G$ 的 $m$ 个不可约复特征 ${\chi }_1,\cdots ,{\chi }_m$, 使得 ${\chi }_i$ 在 $H$ 上的限制等于 $\alpha$.
5.	(25 分) 设 $G$ 为 $3$ 阶循环群. (1) 求证: 作为 $\mathbb{Q}$-代数, $\mathbb{Q}[G]$ 同构于 $\mathbb{Q}[x]/(x^3-1)$. (2) 求 $G$ 的所有不可约 $\mathbb{Q}$ 表示.

 

2018 秋季学期期末试卷

1.	(20 分) (1) $\mathbb{Q}/\mathbb{Z}$ 作为 $\mathbb{Z}$-模是否是投射模? 说明理由. (2) $\mathbb{Q}/\mathbb{Z}$ 作为 $\mathbb{Z}$-模是否是半单模? 说明理由. (3) $\mathbb{Q}$ 作为 $\mathbb{Z}$-模是否是内射模? 说明理由.
2.	(20 分) 设 $G$ 是一个有限群, $k$ 是域, $V$ 是 $k$ 向量空间, $\rho :G\to \mathrm{GL}(V)$ 是线性表示. (1) 若 $\rho$ 是不可约表示, 则 $V$ 作为 $k$-向量空间是有限维的. (2) 用 $({\rho }^{\ast },V^{\ast })$ 记 $(\rho ,V)$ 的对偶表示. 证明, $(\rho ,V)$ 是不可约表示当且仅当 $({\rho }^{\ast },V^{\ast })$ 是不可约表示.
3.	(15 分) 设有限群 $G$ 有一个非平凡的实值不可约特征, 证明 $G$ 的阶数是偶数.
4.	(20 分) 设 $G=A_4$ 是 $4$ 个文字的交错群, $K=\{1,(12)(34),(13)(24),(14)(23)\}$ 是 $G$ 的一个子群. (1) 求出 $K$ 在复数域上的特征表. (2) 对 $K$ 的每一个不可约特征 $\chi$, 求其诱导表示的特征 ${\mathrm{Ind}}_K^G\chi$. 然后验证这些诱导表示是否是不可约的.
5.	(15 分) (1) 设 $R$ 是交换环, $I$ 是其理想. 证明, 作为 $R$-模有同构 $R/I\cong \mathrm{Hom}(R/I,R/I)$. (2) 设 $R$ 是整区, $F$ 是其分式域, $I$ 是 $R$ 的非零主理想. 证明, 作为 $R$-模有同构 $R/I\cong \mathrm{Hom}(R/I,F/R)$.
6.	(20 分) 设 $G$ 是有限群, ${\chi }_1,\dots ,{\chi }_h$ 是 $G$ 在复数域上的全体不可约特征, $h$ 是正整数. 证明, 对于 $g\in G$, $g$ 落在 $G$ 的中心 $C(G)$ 里当且仅当 $|{\chi }_i(g)|={\chi }_i(1)$, $\forall i=1,\dots ,h$.