现代偏微分方程 试卷

12022 秋期末 (周忆)

一	(10 分) 试说明什么是 (一) 广义函数的支集  (二) 广义函数的极限  (三) 广义函数的导数 (四) 广义函数的 Fourier 变换  (五) 广义函数的卷积
二	(10 分) 假设 $u(x),v(x)$ 和 $u_k(x)$ 是 ${\mathbb{R}}^n$ 上的可测函数, $1<p,q<\infty$, $u_k\rightharpoonup u$,  在 $L^p({\mathbb{R}}^n)$ 中弱 ${}^{\ast }$ 收敛 ${\partial }_{x_1}{u}_k\rightharpoonup v$,  在 $L^q({\mathbb{R}}^n)$ 中弱 ${}^{\ast }$ 收敛 试证明$$v={\partial }_{x_1}u.$$
三	(20 分) 试证明 Sobolev 不等式$$\Vert \phi {\Vert }_{L^q({\mathbb{R}}^n)}\le C\sum _{i=1}^n\Vert \frac{\partial \phi }{\partial x_i}{\Vert }_{L^1({\mathbb{R}}^n)}$$其中 $q=\frac{n}{n-1}$, 并证明 $q\ne \frac{n}{n-1}$ 时, 上述不等式不成立.
四	(20 分) 试完整叙述光滑有界区域上的 Sobolev 紧嵌入定理, 并予以证明.
五	(20 分) 设 $\Omega$ 是 ${\mathbb{R}}^n$ 上的有界区域, $\partial \Omega \in C^1$, 试用伽辽金方法证明椭圆方程$$\{\begin{array}{l}-\sum _{i,j=1}^n\frac{\partial }{\partial x_i}(a_{ij}(x)\frac{\partial u}{\partial x_j})+c(x)u=f(x),x\in \Omega ,\\ u{|}_{\partial \Omega }=0,\end{array}$$对任何 $f\in H^{-1}(\Omega )$, 都存在一个解$$u\in H_0^1(\Omega ).$$其中 $a_{ij}\in L^{\infty }(\Omega )$, $\sum _{i,j=1}^n{a}_{ij}(x){\xi }_i{\xi }_j\ge {\lambda }_0|\xi {|}^2$ 对一切 $x\in \Omega ,\xi \in {\mathbb{R}}^n$ 都成立, ${\lambda }_0>0$ 是一个常数, $c\in L^{\infty }({\mathbb{R}}^n)$, $c(x)\ge 0,\text{ a.e. }x\in \Omega$.
六	(20 分) 试利用压缩算子半群理论, 证明抛物方程的初边值问题$$\{\begin{array}{ll}\frac{\partial u}{\partial t}=\sum _{i,j=1}^n\frac{\partial }{\partial x_i}(a_{ij}(x)\frac{\partial u}{\partial x_j}),& 0<t<T,x\in \Omega ,\\ u{|}_{\partial \Omega }=0,& 0<t<T,\\ t=0:u=u_0(x),& x\in \Omega .\end{array}$$对任何 $u_0\in L^2(\Omega )$ 都存在一个解 $u(t,x)\in C([0,T];L^2)$, 使得 $\Vert u(t){\Vert }_{L^2(\Omega )}\le \Vert u_0{\Vert }_{L^2(\Omega )}$. 其中 $a_{ij}\in L^{\infty }(\Omega )$, $$\sum _{i,j=1}^n{a}_{ij}(x){\xi }_i{\xi }_j\ge {\lambda }_0|\xi {|}^2,\forall x\in \Omega ,\forall \xi \in {\mathbb{R}}^n$$${\lambda }_0$ 是一个正常数.

22023 秋期中 (张永前)

一	设 $K$ 于 ${\mathbb{R}}^n\backslash \{0\}$ 上连续, 且 (1) $K(t\omega )=t^{-n}K(\omega ),t>0,\omega \ne 0$, (2) ${\int }_{\{|\omega |=1\}}K(\omega )d\omega =0$, 并定义$$T(\varphi )=\underset{\epsilon \to 0+0}{\lim }{\int }_{|x|\ge \epsilon }K(x)\varphi (x)dx,$$试证: $T\in {\mathcal{D}}^{\prime }({\mathbb{R}}^n)$.
二	设 $u$ 于 $\overline{{\mathbb{R}}^2\times {\mathbb{R}}_{+}^1}$ 上具有连续的二阶导数且满足$$|u(x,y,t)|\le C(1+|x|+|y|+t{)}^k,(x,y,t)\in \overline{{\mathbb{R}}^2\times {\mathbb{R}}_{+}^1},$$其中 $C$ 是一个常数, $k$ 是正整数, 并有$$\{\begin{array}{ll}\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}+5\frac{{\partial }^{2}u}{\partial y^2}-\frac{\partial u}{\partial t}=0,& (x,y)\in {\mathbb{R}}^2,t>0,\\ u(x,y,0)=0,& (x,y)\in {\mathbb{R}}^2.\end{array}$$试证明: $u(x,y,t)=0$, $(x,y)\in {\mathbb{R}}^2,t>0$.
三	(1) 试确立整数 $k$ 的范围使得狄拉克广义函数 $\delta \in H^{k,p}({\mathbb{R}}^n)$. 其中 $n\ge 1,p>1$. (2) 证明: 当 $s<-\frac{n}{2}$ 时, $\underset{\epsilon \to 0+0}{\lim }\Vert {\rho }_{\epsilon }-\delta {\Vert }_{H^s({\mathbb{R}}^n)}=0$, 其中 $\rho \in C_c^{\infty }({\mathbb{R}}^n)$, $\int \rho dx=1$, $\rho \ge 0$, ${\rho }_{\epsilon }(x)={\epsilon }^{-n}\rho \left(\frac{x}{\epsilon }\right),\epsilon >0$.
四	记 $X=\{u\in H^1({\mathbb{R}}_{+}^n)\mid \Delta u\in L^2({\mathbb{R}}_{+}^n)\}$, 定义$$\Vert u{\Vert }_X=(\Vert u{\Vert }_{H^1({\mathbb{R}}_{+}^n)}^2+\Vert \Delta u{\Vert }_{L^2({\mathbb{R}}_{+}^n)}^2{)}^{1/2},$$试证: (1) $(X,\Vert \cdot {\Vert }_X)$ 是 Hilbert 空间; (2) ${\overline{X\cap C^{\infty }(\overline{{\mathbb{R}}_{+}^n})}}^{\Vert \cdot {\Vert }_X}=X$.
五	记 ${\mathbb{R}}_{+}^n=\{x_n>0\}$, 试证: 若 $u\in H_0^1({\mathbb{R}}_{+}^n)\cap H^2({\mathbb{R}}_{+}^n)$, 则 $\frac{\partial u}{\partial x_i}\in H_0^1({\mathbb{R}}_{+}^n),1\le i\le n-1$.
六	设实数 $s>t\ge 0$, 证明或否定下述结论: 集合 $\{u|\Vert u{\Vert }_{H^s({\mathbb{R}}^n)}\le 1,\mathrm{supp}u\subset B_1\}$ 是 $H^t({\mathbb{R}}^n)$ 中的致密集, 其中 $B_1=\{x\in {\mathbb{R}}^n||x|\le 1\}$.