现代分析基础 II 试卷

复旦大学数学科学学院
2021$\sim$2022 学年第一学期期末考试试卷
A 卷

  提示: 请同学们秉持诚实守信宗旨, 谨守考试纪律, 摒弃考试作弊. 学生如有违反学校考试纪律的行为, 学校将按《复旦大学学生纪律处分条例》规定予以严肃处理.

题 号	第一部分	第二部分	第三部分	总 分/300	折算分/100
得 分

  本张试卷, 每一部分中的各题可能存在逻辑关系, 做后面的小题时可以直接应用前面小题的结论. 最终的卷面得分会折算成满分 100 分的得分.

1第一部分

我们在区间 $(a,b)$ 上考虑 $(-i{)}^n\frac{d^n}{d{x}^n}$.

•	定义在 $C_0^{\infty }(a,b)$ 上时, 记为 $T_{n,0}$;
•	定义在$$\{f,f\text{ 及其直到}n-2次导数都是连续可微的,f^{(n-1)}\text{ 是绝对连续的},f^{(n)}\in L^2(a,b)\}$$上时, 记为 $T_n$.

1.	证明, 函数 $g\in C_0^{\infty }(a,b)$ 在 $T_{n,0}$ 的像集中, 当且仅当对于 $k=0,1,\dots ,n-1$, 都成立$${\int }_a^b{x}^{k}g(x)dx=0.$$
2.	证明, $T_{n,0}^{\ast }=T_n$.
3.	如果 $(a,b)$ 是整个实轴, 证明 $\overline{T_{n,0}}=T_n^{\ast }=T_n$.
4.	此时, 证明 $\sigma (T_{2n})=[0,\infty )$, 而 $\sigma (T_{2n-1})=\mathbb{R}$.
5.	如果 $(a,b)\ne \mathbb{R}$, 证明 $\overline{T_{n,0}}\ne T_n$.

2第二部分

设 $T,S$ 是复 Hilbert 空间 $H$ 上的两个 (无界) 自伴算子.

1.	证明, 在 $D(T+S)$ 上,$$⟨f,g{⟩}_{T+S}=⟨f,(T+S)g{⟩}_H$$是一个完备的内积. 记相应的范数为 $\Vert \cdot {\Vert }_{T+S}$.
2.	对于任意 $f\in D(T+S)$, 证明, 当 $t\to 0$ 时, $$\frac{1}{t}(e^{itT}{e}^{itS}-e^{it(T+S)})f$$弱收敛到 $0$.
3.	由此说明, 存在常数 $C$, 使得对于任意 $f\in D(T+S)$ 和任意非零的 $t$, 都成立$$\Vert \frac{1}{t}(e^{itT}{e}^{itS}-e^{it(T+S)})f\Vert ⩽C\Vert f{\Vert }_{T+S}.$$
4.	设 $T+S$ 对应的恒等映射的分解是 $\{E(t)\}$. 证明, $(t^2+1)$ 关于 $d\Vert E(t)f{\Vert }^2$ 是可积的.
5.	由此证明, 对于任意 $f\in D(T+S)$, 当 $s^{\prime }\to s$ 时, $\Vert e^{is(T+S)}f-e^{i{s}^{\prime }(T+S)}f{\Vert }_{T+S}\to 0$.
6.	证明, 对于任意 $f\in D(T+S)$, $r>0$, 函数族 $(t\ne 0)$ $${\phi }_t(s)=t^{-1}(e^{itT}{e}^{itS}-e^{it(T+S)})e^{is(T+S)}f$$在 $[-r,r]$ 上是等度连续的.
7.	证明, 当 $t\to 0$ 时, ${\phi }_t$ 在 $[-r,r]$ 上一致收敛到 $0$.
8.	证明, 对于任意 $f\in D(T+S)$, $[e^{i(t/n)T}{e}^{i(t/n)S}{]}^{n}f$ 当 $n\to \infty$ 时收敛到 $e^{it(T+S)}f$.
9.	证明, $[e^{i(t/n)T}{e}^{i(t/n)S}{]}^n$ 当 $n\to \infty$ 时强收敛到 $e^{it(T+S)}$.

3第三部分

3.1 谐振子的准经典 (quasi–classical) 态

假设我们有一个谐振子, 质量为 $m$, 振动频率为 $\omega$.

1.	写出经典物理中这个谐振子的能量.
2.	把能量表达式中的动量 $p$ 和位置 $x$ 改成相应的算子 $\hat{p}$ 和 $\hat{x}$, 我们得到了这种情况下的 Hamilton 量 $\hat{H}$. 记 $\hat{H}$ 的特征向量为 $\{|n⟩\}$, 我们直接承认: 本征态 $|n⟩$ 对应的能量为 $E_n=(n+1/2)\hslash \omega$. 定义 $X=x\sqrt{\frac{m\omega }{\hslash }}$, $P=\frac{p}{\sqrt{m\hslash \omega }}$ (这是两个无量纲的量). 写出相应的算子 $\hat{X}$, $\hat{P}$.
3.	我们记$$\hat{a}=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\hat{X}+i\hat{P}\right),{\hat{a}}^{†}=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\hat{X}-i\hat{P}\right),\hat{N}={\hat{a}}^{†}\hat{a}.$$计算 $[\hat{X},\hat{P}]$, $[\hat{a},{\hat{a}}^{†}]$. 讨论 $\hat{N}$ 和 $\hat{H}$ 以及 $|n⟩$ 的关系.
4.	计算 $[\hat{N},\hat{a}]$, 证明 $\hat{a}|n⟩$ 和 $\sqrt{n}|n-1⟩$ 只差一个相位因子 (即一个模长为 $1$ 的复数). 下面我们规定这个因子就是 $1$.
5.	$n=0$ 对应的本征态 (基态) 波函数 ${\psi }_0(X)$ 及其 Fourier 变换 ${\phi }_0(P)$ 具有怎样的形式?
6.	对于任意的复数 $\alpha$, 证明$$|\alpha ⟩=e^{-|\alpha {|}^2/2}\sum _n\frac{{\alpha }^n}{\sqrt{n!}}|n⟩$$是 $\hat{a}$ 的一个模长为 $1$ 的特征向量. 对应的特征值是什么?
7.	计算 $|\alpha ⟩$ 对应的能量, $\Delta x$ 和 $\Delta p$. 后两个量的乘积是多少?
8.	证明, $|n⟩$ 也是算子 $\hat{W}=\hslash g({\hat{a}}^{†}\hat{a}{)}^2$ 的特征向量, 这里 $g$ 是一个常数.

3.2 理论的物理

我们假设 8. 中的 $g$ 非常非常大, $T>0$ 满足 $\omega T$ 非常非常小. 这样在时间区间 $[0,T]$ 上, 系统的演化可以近似地认为由 $\hat{W}$ 所决定.

9.	设在 $t=0$ 时, 系统的波函数 $|\psi (0)⟩=|\alpha ⟩$, 求 $T=\frac{\pi }{2g}$ 时 $|\psi (T)⟩$ 的表达式.
10.	设 9. 中的 $\alpha$ 是一个模长很大的纯虚数, 定性地描述系统的 $P$ 值的分布.
11.	现在假设物理学家 $A$ 制备了 $N\gg 1$ 个相互独立的上述物理系统, 然后来测量每一个系统的动量. 用来测量动量的仪器具有精度 $\delta p$, 满足$$\sqrt{m\hslash \omega }\ll \delta p\ll |\alpha |\sqrt{2m\hslash \omega }.$$定性地描述测量值的分布.
12.	如果 $A$ 用一个精度为 $\delta x\ll \frac{1}{|\alpha |}\sqrt{\frac{\hslash }{m\omega }}$ 来测量这 $N$ 个系统的位置, 会观测到怎样的图像?
13.	由此说明, 这的确是 $N$ 个 (宏观水平的) 量子物理系统, 而不是由 $N/2$ 个 $|\alpha ⟩$ 与 $N/2$ 个 $|-\alpha ⟩$ 做统计意义上的平均得到的.

3.3 数值的例子

 假设我们的谐振子是单摆, 摆长 $1$ 米, 质量为 $1$ 克. 假设这个系统由一个准经典态描述, 且 $t=0$ 时, $⟨x_0⟩$ 位于距离经典的平衡位置 $1$ 毫米处, 速度为 $0$.

14.	用两种方法表示系统的能量, 取 $\hslash =6.62607015\times 10^{-34}/2\pi \text{ J}\cdot {\text{Hz}}^{-1}$, 计算 $\alpha (0)$.
15.	利用第 7 题, 求位置 $x_0$ 的不确定性.
16.	对应到第 12 题, 测量位置的仪器的精度要达到多少?