现代分析基础 II 试卷

124 春期末试卷

(1) 叙述顺从性的定义.
(2) 叙述 F∅lner 条件与 Hulanicki–Reiter 条件.
(3) 证明 不是顺从群.

(1) 双射 除了有限个点外, 有 恒成立 顺从吗?
(2) Heisenberg 群 顺从吗?

(阅读理解) 对于局部凸空间 来说, 设 为一个非空紧凸集, 是一个局部紧群, 作用在 上 () . 我们称 是 separately continuous 的, 若
对任意 , 映射 连续;
对任意 , 映射 连续.

我们称 是仿射作用, 若对任意 , 有现在假设群 有如下性质: 对于每个作用 , 其中 为局部凸空间的非空紧凸集, 若这个作用是 separately continuous 的且是仿射作用, 则存在 , 使得 对任意 成立. 证明: 是顺从群.

(1) 叙述局部紧群上的左 Haar 测度的定义.
(2) 证明: 对于局部紧群 来说, 是紧群当且仅当左 Haar 测度有限 () .

设群 , 赋以欧氏拓扑. 计算 的左 Haar 测度、右 Haar 测度与模函数.

(1) 叙述 a–T–menability 性质, 举出书顺从群但无 a–T–menability 性质的例子 (无需证明) .
(2) 叙述 Kazhdan’s property (T).
(3) 证明: 有限群有 Kazhdan’s property (T).

222 春期末试卷

复旦大学数学科学学院
20212022 学年第一学期期末考试试卷

课程名称: 课程代码:
开课院系: 考试形式:
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  提示: 请同学们秉持诚实守信宗旨, 谨守考试纪律, 摒弃考试作弊. 学生如有违反学校考试纪律的行为, 学校将按《复旦大学学生纪律处分条例》规定予以严肃处理.

第一部分第二部分第三部分 分/300折算分/100

  本张试卷, 每一部分中的各题可能存在逻辑关系, 做后面的小题时可以直接应用前面小题的结论. 最终的卷面得分会折算成满分 100 分的得分.

第一部分

我们在区间 上考虑 .

定义在 上时, 记为 ;

定义在上时, 记为 .

1.

证明, 函数 的像集中, 当且仅当对于 , 都成立

2.

证明, .

3.

如果 是整个实轴, 证明 .

4.

此时, 证明 , 而 .

5.

如果 , 证明 .

第二部分

是复 Hilbert 空间 上的两个 (无界) 自伴算子.

1.

证明, 在 上,是一个完备的内积. 记相应的范数为 .

2.

对于任意 , 证明, 当 时, 弱收敛到 .

3.

由此说明, 存在常数 , 使得对于任意 和任意非零的 , 都成立

4.

对应的恒等映射的分解是 . 证明, 关于 是可积的.

5.

由此证明, 对于任意 , 当 时, .

6.

证明, 对于任意 , , 函数族 上是等度连续的.

7.

证明, 当 时, 上一致收敛到 .

8.

证明, 对于任意 , 时收敛到 .

9.

证明, 时强收敛到 .

第三部分

3.1 谐振子的准经典 (quasi–classical) 态

假设我们有一个谐振子, 质量为 , 振动频率为 .

1.

写出经典物理中这个谐振子的能量.

2.

把能量表达式中的动量 和位置 改成相应的算子 , 我们得到了这种情况下的 Hamilton 量 . 记 的特征向量为 , 我们直接承认: 本征态 对应的能量为 .

定义 , (这是两个无量纲的量). 写出相应的算子 , .

3.

我们记计算 , . 讨论 以及 的关系.

4.

计算 , 证明 只差一个相位因子 (即一个模长为 的复数). 下面我们规定这个因子就是 .

5.

对应的本征态 (基态) 波函数 及其 Fourier 变换 具有怎样的形式?

6.

对于任意的复数 , 证明 的一个模长为 的特征向量. 对应的特征值是什么?

7.

计算 对应的能量, . 后两个量的乘积是多少?

8.

证明, 也是算子 的特征向量, 这里 是一个常数.

3.2 理论的物理

我们假设 8. 中的 非常非常大, 满足 非常非常小. 这样在时间区间 上, 系统的演化可以近似地认为由 所决定.

9.

设在 时, 系统的波函数 , 求 的表达式.

10.

设 9. 中的 是一个模长很大的纯虚数, 定性地描述系统的 值的分布.

11.

现在假设物理学家 制备了 个相互独立的上述物理系统, 然后来测量每一个系统的动量. 用来测量动量的仪器具有精度 , 满足定性地描述测量值的分布.

12.

如果 用一个精度为 来测量这 个系统的位置, 会观测到怎样的图像?

13.

由此说明, 这的确是 个 (宏观水平的) 量子物理系统, 而不是由 做统计意义上的平均得到的.

3.3 数值的例子

假设我们的谐振子是单摆, 摆长 米, 质量为 克. 假设这个系统由一个准经典态描述, 且 时, 位于距离经典的平衡位置 毫米处, 速度为 .

14.

用两种方法表示系统的能量, 取 , 计算 .

15.

利用第 7 题, 求位置 的不确定性.

16.

对应到第 12 题, 测量位置的仪器的精度要达到多少?