用户: Solution/ 试卷: 现代概率论基础II与随机过程

124 春期末试题

1.	设 $E$ 是二维整数格点. (a) 证明: 二维格点上的简单对称随机游动是常返的. (b) 设 $X$ 总是以概率 $1/4,1/4,1/3,1/6$ 分别往上下左右邻居转移, 证明: $X$ 是暂留的. (c) 设 $X$ 总是以概率 $1/3,1/3,1/6,1/6$ 分别往上下左右邻居转移, 问 $X$ 是常返的吗? 为什么?
2.	设马氏链 $X$ 的转移函数图如下, (1) 问哪些状态暂留, 常返, 零常返, 正常返? (2) 求 ${\lim }_n{p}_{1,1}^{(n)},{\lim }_n{p}_{6,1}^{(n)}$.
3.	设 $\{X_i=(X_i(t)):i⩾1\}$ 是一列独立的以 $\{0,1\}$ 为状态空间的右连续马氏链. 对任何 $i⩾1$, $X_i$ 的 $Q$-矩阵是$$\left[\begin{array}{cc}-a_i& a_i\\ & \\ b_i& -b_i\end{array}\right],$$其中 $a_i>0,b_i>0$. 令 $X(t):=(X_i(t):i⩾1)$. 它是一个右连续随机过程, 状态空间是 $\{0,1{\}}^{\mathbb{N}}$, 不可数的紧集, 称为 Blackwell 过程. 现在取其可数子集$$S=\{x=(x_i:i\in \mathbb{N})\in \{0,1{\}}^{\mathbb{N}}:\sum x_i<\infty \},$$即其中仅有有限个非零分量的全体. 假设条件 A: $$\sum _i\frac{a_i}{a_i+b_i}<\infty ,$$(1) 证明对 $t>0,x\in S$, ${\mathbb{P}}^x(X(t)\in S)=1$, 其中 ${\mathbb{P}}^x$ 表示从 $x$ 出发的概率. (2) 证明 $p_t(x,y)={\mathbb{P}}^x(X_t=y),x,y\in S$, 是 $S$ 上的标准转移函数.
4.	对于一维标准布朗运动, 证明: (1) 几乎所有轨道的零点集是没有孤立点的无处稠的闭集. (2) $A=\{1/n:n⩾1\}$, $T_A$ 是 $A$ 的首中时. 则 ${\mathbb{P}}^0(T_A=0)=1$.
5.	证明: 对于二维布朗运动来说, 任何一个 Borel 集或者是极集或者是常返集.