科学计算 试题

12024-2025 学年秋科学计算期末试题 (魏益民)

1.	(20 分) 叙述矩阵的 SVD 分解, 并用 SVD 分解给出矩阵的 Moore–Penrose 逆的表示.
2.	(20 分) $A,B$ 均为 $n$ 阶实方阵, 且矩阵 $A+iB$ 为正定 Hermitian 阵. 证明: 矩阵$$\left[\begin{array}{cc}A& B\\ B& A\end{array}\right]$$为正定对称阵. $c,d,x,y$ 均为实向量, 如何用实数计算求解 $(A+iB)(c+id)=x+iy$?
3.	(20 分) 证明迭代序列:$$X_{k+1}=2X_k(I-A{X}_k)$$收敛到 $A$ 的 Moore–Penrose 逆. 讨论初值 $X_0$ 的选取.
4.	(20 分) 叙述矩阵的随机 SVD 分解, 并证明其收敛性.
5.	(20 分) 叙述本学期科研小活动的开展成果.