经典数学思想 试题

124 春试卷

一、	$\Gamma$ 是连通完备 Euclid 曲面, 判断以下命题的对错并说明理由. (1) $\forall r>0$, $\forall p\in \Gamma$, $B_r(p)$ 与半径为 $r$ 的 Euclid 圆盘等距对应. (2) 存在 $R>0$, 使得 $\forall r\in (0,R)$, $\forall p\in \Gamma$, $B_r(p)$ 与半径为 $r$ 的 Euclid 圆盘等距对应. (3) $\forall P,Q\in \Gamma$, $\Gamma$ 上存在一条弧长参数测地线连接 $P,Q$. (4) $\forall P,Q\in \Gamma$, $\Gamma$ 连接 $P,Q$ 的弧长参数测地线唯一.
二、	球面 ${\mathbb{S}}^2$ 上有三角形 $\vec{a}\vec{b}\vec{c}$, 其三顶点 $\vec{a},\vec{b},\vec{c}$ 的对角大小分别为 $\alpha ,\beta ,\gamma$, 对边长度分别为 $a,b,c$. 求证以下命题: (1) $a+b>c$. (2) $\cos c=\cos a\cos b+\sin a\sin b\sin \gamma$. (3) $\frac{\sin \alpha }{\sin a}=\frac{\sin \beta }{\sin b}=\frac{\sin \gamma }{\sin c}$. (4) $\alpha +\beta +\gamma >\pi$.
三、	在球面 ${\mathbb{S}}^2$ 上定义等价关系 $\sim$: $\vec{a}\sim \vec{b}\iff \vec{a}=\vec{b}\text{ 或 }\vec{a}=-\vec{b}$. 把 ${\mathbb{S}}^2/\sim$ 称为椭圆平面. 证明以下命题: (1) 任意 ${\mathbb{R}}^3$ 中的正交变换 $\varphi$ 都满足: 存在 ${\mathbb{R}}^3$ 中唯一的等距变换 $\sigma$, 使得 $\sigma ([\vec{a}])=[\varphi (\vec{a})]$. 称 $\sigma$ 为 $\varphi$ 诱导的等距变换. (2) 任意椭圆平面上的等距变换 $\sigma$ 都满足: 存在 ${\mathbb{R}}^3$ 中唯一的特殊正交变换 $\varphi$, 使得 $\sigma$ 是 $\varphi$ 诱导的等距变换.
四、	给出双环面的一个多边形剖分, 满足: (a) 每个面的边数相等, (b) 每个顶点连接的边数相等.
五、	(1) 由 $\{(x,y,z)||x+y|+|y+z|+|z+x|\le 1\}$ 确定的多面体有 $\underline{}$ 个面, $\underline{}$ 条棱, $\underline{}$ 个顶点. (2) 设 $f:X\to Y$ 是连续满射, 考虑以下两个条件:   ($\alpha$) 对 $X$ 的任意开子集 $G$, $f(G)\subset Y\setminus f(X\backslash G)$.   ($\beta$) 对 $X$ 的任意闭真子集 $F$, $f(F)\ne Y$. 问 ($\alpha$) 是否能推出 ($\beta$)? ($\beta$) 是否能推出 ($\alpha$)?

22021 秋期末试卷

(傅吉祥、沈维孝, 2022 年 1 月 10 日)

一．解析几何 (共六道题, 共 75 分)

1.	(15 分) 记 $\overrightarrow{OA}=\mathbf{a},\overrightarrow{OB}=\mathbf{b},\overrightarrow{OC}=\mathbf{c}$, 以向量 $\mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c}$ 为边构成一个平行六面体. (1) 以 $C$ 为起点的对角线向量为 $\underline{}$. (2) 记以 $O$ 为起点的对角线与平面 $ABC$ 的交点为 $D$ 点, 用 $\mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c}$ 表示 $\overrightarrow{OD}$. (3) 若 $a=-2e_1+3e_2,b=3e_2-e_3,c=e_1+e_2+e_3$, 则平行六面体的体积为 $\underline{}$.
2.	(10 分) 平面方程 $x+2y+3z+5=0$, 请用适当的直角坐标变换将平面方程变换为 $z^{\prime }=0$．
3.	(10 分) 请用不等式描绘下列方程围成的图形, 并作简图. $$x^2+y^2=16,z=0,z=x+4.$$
4.	(10 分) 平面上一个正五边形 $\Sigma$. (1) 请问有多少种平面等距变换使得这个正五边形保持不变. (2) 请问有多少种空间等距变换使得这个正五边形保持不变. (保持不变指的是形状不变, 位置不变. )
5.	(10 分) $\varphi$ 是空间上的等距变换, $\varphi (L)$ 是 $L$ 经过等距变换后得到的直线, 已知 $\varphi (L)$ 与 $L$ 是空间中两条不同的直线. 证明: 所有 $L$ 上的点 $P$ 与 $\varphi (P)$ 连线的中点要么共线, 要么是同一个点.
6.	(20 分) 将曲面 $x^2-2y^2-2z=0$ 参数化为 $\left(x,y,\frac{x^2-2y^2}{2}\right)$, 已知曲面上一点 $P$ 的坐标是 $(0,-1,-1)$. (1) 求 $P$ 的一个法向量. (2) 求 $P$ 的切平面方程. (3) 求 $P$ 点的 Gauss 曲率. (4) 证明: 曲面上任意一点的 Gauss 曲率均为负数. (3),(4)的解答. (3),(4) 的解答. 曲面 $z=f(x,y)$ 的 Gauss 曲率为$$K=\frac{f_{xx}{f}_{yy}-f_{xy}^2}{(1+f_x^2+f_y^2{)}^2}.$$本题中 $f_x=x,f_y=-2y,f_{xx}=1,f_{yy}=-2,f_{xy}=0$, 从而$$K=\frac{-2}{(1+x^2+4y^2{)}^2}<0.$$特别地, $K(p)=-2/25$. $\square$

二．集合论 (共一道题, 共 25 分)

1.

定义 $f$ 为上连续函数, 如果 $f$ 满足: $$U_{f,\alpha }=\{x\mid f(x)<\alpha \}$$均为 $\mathbb{R}$ 上的开子集. (1) 证明: 对任意 $f,g$ (不一定是上连续函数) , 若 $\forall \alpha \in \mathbb{Q}$, 均有 $U_{f,\alpha }=U_{g,\alpha }$, 则 $f\equiv g$. (2) 证明: 从 $\mathbb{N}$ 到 $\mathbb{R}$ 的所有函数构成的集合与 $\mathbb{R}$ 等势. (3) 证明: $\mathcal{F}$ 与 $\mathbb{R}$ 等势, 其中$$\mathcal{F}=\{f\mid f\text{ 为上连续函数 }\}.$$