经典数学思想 试题

124 春试卷

一、	$\Gamma$ 是连通完备 Euclid 曲面, 判断以下命题的对错并说明理由. (1) $\forall r>0$, $\forall p\in \Gamma$, $B_r(p)$ 与半径为 $r$ 的 Euclid 圆盘等距对应. (2) 存在 $R>0$, 使得 $\forall r\in (0,R)$, $\forall p\in \Gamma$, $B_r(p)$ 与半径为 $r$ 的 Euclid 圆盘等距对应. (3) $\forall P,Q\in \Gamma$, $\Gamma$ 上存在一条弧长参数测地线连接 $P,Q$. (4) $\forall P,Q\in \Gamma$, $\Gamma$ 连接 $P,Q$ 的弧长参数测地线唯一.
二、	球面 ${\mathbb{S}}^2$ 上有三角形 $\vec{a}\vec{b}\vec{c}$, 其三顶点 $\vec{a},\vec{b},\vec{c}$ 的对角大小分别为 $\alpha ,\beta ,\gamma$, 对边长度分别为 $a,b,c$. 求证以下命题: (1) $a+b>c$. (2) $\cos c=\cos a\cos b+\sin a\sin b\sin \gamma$. (3) $\frac{\sin \alpha }{\sin a}=\frac{\sin \beta }{\sin b}=\frac{\sin \gamma }{\sin c}$. (4) $\alpha +\beta +\gamma >\pi$.
三、	在球面 ${\mathbb{S}}^2$ 上定义等价关系 $\sim$: $\vec{a}\sim \vec{b}\iff \vec{a}=\vec{b}\text{ 或 }\vec{a}=-\vec{b}$. 把 ${\mathbb{S}}^2/\sim$ 称为椭圆平面. 证明以下命题: (1) 任意 ${\mathbb{R}}^3$ 中的正交变换 $\varphi$ 都满足: 存在 ${\mathbb{R}}^3$ 中唯一的等距变换 $\sigma$, 使得 $\sigma ([\vec{a}])=[\varphi (\vec{a})]$. 称 $\sigma$ 为 $\varphi$ 诱导的等距变换. (2) 任意椭圆平面上的等距变换 $\sigma$ 都满足: 存在 ${\mathbb{R}}^3$ 中唯一的特殊正交变换 $\varphi$, 使得 $\sigma$ 是 $\varphi$ 诱导的等距变换.
四、	给出双环面的一个多边形剖分, 满足: (a) 每个面的边数相等, (b) 每个顶点连接的边数相等.
五、	(1) 由 $\{(x,y,z)||x+y|+|y+z|+|z+x|\le 1\}$ 确定的多面体有 ____ 个面, ____ 条棱, ____ 个顶点. (2) 设 $f:X\to Y$ 是连续满射, 考虑以下两个条件:   ($\alpha$) 对 $X$ 的任意开子集 $G$, $f(G)\subset Y\setminus f(X\backslash G)$.   ($\beta$) 对 $X$ 的任意闭真子集 $F$, $f(F)\ne Y$. 问 ($\alpha$) 是否能推出 ($\beta$)? ($\beta$) 是否能推出 ($\alpha$)?