用户: Solution/ 试卷: 经典物理选讲

124 秋 经典物理选讲 期末试卷

1.	选择题
(1)	自由旋转刚体的 Euler 角有 $\underline{}$ 个自由度. (A) 1; (B) 2; (C) 3; (D) 4; .
(2)	给定坐标系正向 $(z,y,x)$, $\omega =Adx+Bdy.$ 则 $\ast \omega =\underline{}$. (A) $Ady\wedge dz+Bdz\wedge dx$; (B) $Ady\wedge dz-Bdz\wedge dx$; (C) $-Ady\wedge dz+Bdz\wedge dx$; (D) $-Ady\wedge dz-Bdz\wedge dx$.
(3)	假设地球均匀, 则在 $\underline{}$ 处, 地球表面质点所受的 Coriolis 力沿地表的切向分量为 $0$. (A) 南北极点; (B) 南北极圈; (C) 南北回归线; (D) 赤道.
(4)	$L\frac{dI}{dt}=U$, $\omega$ 是正弦交流电的角频率. $U=ZI$, 则感抗 $Z=\underline{}$. (A) $i\omega L$; (B) $\frac{iL}{\omega }$;  (C) $\frac{1}{i\omega L}$; (D) $\frac{\omega }{iL}$.
(5)	(多选) 在规范变换下 $\underline{}$ 保持不变. (A) $\mathbf{E}\cdot \mathbf{B}$; (B) $\phi \mathbf{A}$;  (C) $\mathbf{j}\cdot \mathbf{E}$; (D) $\nabla \times \mathbf{A}$.
(6)	(多选) 已知 Lagrange 函数的形式为 $L(x,y,\dot{x},\dot{y},\dot{z})$, 即显式中不含 $t,z$. 那么以下量哪个是守恒量? (A) 机械能; (B) $x,y$ 的动量; (C) $z$ 的动量; (D) $z$ 的角动量.
(7)	参考系 $K^{\prime }$ 相对 $K$ 以 $x$ 正向速度 $v$ 运动, $K^{\prime }$ 中有一个与 $x^{\prime }$ 夹角为为 $\theta$ 的长为 $l$ 的直杆, 为求 $K$ 中这条杆的长度, 除了 Lorentz 变换式, 还需要以下条件: (A) $\Delta x=0$; (B) $\Delta x=\Delta y=0$;  (C) $\Delta t=0$; (D) $\Delta t^{\prime }=0.$
(8)	现在有一个边长为 $2a$, 质量为 $m$ 的正方体 $ABCD-A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, 设 $E$ 是面 $AB{B}^{\prime }{A}^{\prime }$ 的中心, $F$ 是面 $CD{D}^{\prime }{C}^{\prime }$ 的中心, 已知正方体绕 $EF$ 的转动惯量是 $\frac{2}{3}m{a}^2$, 则绕 $A^{\prime }C$ 与 $BC$ 的转动惯量分别为: $\underline{},\underline{}$. (A) $\frac{2}{3}m{a}^2,\frac{5}{3}m{a}^2$; (B) $\frac{2}{3}m{a}^2,\frac{8}{3}m{a}^2$; (C) $2m{a}^2,\frac{5}{3}m{a}^2$; (D) $2m{a}^2,\frac{8}{3}m{a}^2$.
2.	$(q(t),p(t))$ 满足 Hamilton 函数 $H$ 的正则方程, 证明: $$\frac{d}{dt}\phi (q(t),p(t))=\{\phi ,H\}.$$
3.	已知麦克斯韦方程组 (已经把所有系数变成了 $1$ (Gauss 单位制) ), $$\{\begin{array}{l}\nabla \cdot \mathbf{E}=\rho \\ \nabla \cdot \mathbf{B}=0\\ \nabla \times \mathbf{E}=-\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}\\ \nabla \times \mathbf{B}=\mathbf{j}+\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}\end{array}$$求证: $\mathbf{B}$ 满足非齐次波动方程.
4.	对于两个指向未来的类时向量 ${\mathbf{v}}_1,{\mathbf{v}}_2$, 证明: (1) $⟨{\mathbf{v}}_1,{\mathbf{v}}_2⟩>0$; (2) $⟨{\mathbf{v}}_1,{\mathbf{v}}_2⟩\ge \Vert {\mathbf{v}}_1\Vert \cdot \Vert {\mathbf{v}}_2\Vert$.
5.	已知一个倾角为 $\alpha$ 的质量为 $2m$ 的直角三角形斜面, 顶部有一个定滑轮, 通过长为 $l$ 的细绳连接两端两个质量为 $m$ 的质点. 左边的质点被一个管道控制住, 只能相对斜面上下运动. 试以定滑轮中心的 $x$ 坐标和定滑轮中心到斜面上质点的距离 $z$ 为广义坐标, (1) 写出系统的 Lagrange 函数; (2) 求出斜面的加速度.
6.	现有 $2$-形式 $F=\mathbf{B}\cdot d\sigma +c^{-1}\mathbf{E}\cdot d\mathbf{r}\wedge d{x}^0$, 回答以下问题: (1) 计算 $dF$; (2) 说明为什么由 $dF=0$ 可得电磁势存在; (3) 通过计算 $F\wedge \ast F$, 来说明 $\Vert \mathbf{B}{\Vert }^2+c^{-2}\Vert \mathbf{E}{\Vert }^2$ 在正 Lorentz 变换下不可能不变.
7.	一个质量为 $m$ 的质点限制在平面上运动, 受力为 $kr$, 且指向原点, 这里 $r=\sqrt{x^2+y^2}$. 运动到离原点最近和最远的点时, 质点相对原点的角速度分别为 ${\omega }_1,{\omega }_2$. 证明: ${\omega }_1{\omega }_2$ 仅与 $m,k$ 有关.