解析几何 试卷

121 年秋试卷

一、 必做题 (每题 11 分, 共 55 分)

1.
2.
3.
4.
5.

二、 选做题 (从以下 6 小题中选做 3 题 (第 1 题和第 6 题至多只能选做 1 题), 每题 15 分, 共 45 分)

6.	数学家 M. Klein 说: “从最广泛的意义上说, 数学是一种精神, 一种理性的精神. ” 你是否赞同这种观点? 请阐述理由.
7.	求证: (a) 四面体的任三个面的面积之和大于第四个面的面积. (b) 设 $S_1,S_2,S_3,S_4$ 是四个正数, 任意三个数之和大于第四个数, 则存在四面体, 使得它的四个面的面积分别为 $S_1,S_2,S_3,S_4$.
8.	已知单叶双曲面 $\Gamma :\frac{x_1^2}{a^2}+\frac{x_2^2}{b^2}-\frac{x_3^2}{c^2}=1$, 其中 $a>b>c>0$. (a) $\Gamma$ 与平面的交线是什么类型的二次曲线? 证明你的结论. (b) 设 $\alpha$ 是通过原点的平面, $\Gamma$ 与 $\alpha$ 的交线是一个圆, 求 $\alpha$ 的法向量.
9.	$P$ 点在 $△ABC$ 内部. 当 $P$ 满足什么条件时, 存在平面上的仿射变换 $\sigma$, 使得 $P^{\prime }$ 是 $△A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ 的内心? 这里 $A^{\prime }=\sigma (A),B^{\prime }=\sigma (B),C^{\prime }=\sigma (C),P^{\prime }=\sigma (P)$.
10.	给定平面上的 $4$ 个点, 当这 $4$ 个点满足什么条件时, 存在通过这 $4$ 个点的抛物线? 这样的抛物线是否唯一? 证明你的结论.
11.	非 Euclid 几何的产生在数学界引起了极大的震动. 有些数学家认为: 真理应该是具有唯一性的; 如果我们承认 “过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线不相交”, 就不能接受 “过直线外一点有无穷多条直线与已知直线不相交”; 也就是说, 如果 Euclid 几何是真理, 非 Euclid 几何就不是真理. 而另一些数学家认为: 既然我们可以用模型论的方法证明, 如果 Euclid 几何的公理系统是相容的, 则非 Euclid 几何的公理系统也是相容的, 那么 Euclid 几何和非 Euclid 几何都应该看作真理, 只不过它们是 “可选择性” 的真理. 请论述你对此问题的观点和看法.

220 年秋试卷

一、 必做题 (共 55 分)

1.	(10 分)
2.	(10 分)
3.	(14 分)
4.	(9 分)
5.	(12 分)

二、 选做题 (从以下 6 小题中选做 3 题 (第 1 题和第 6 题至多只能选做 1 题), 每题 15 分, 共 45 分)

6.	数学家 M. Klein 说: “从最广泛的意义上说, 数学是一种精神, 一种理性的精神. ” 你是否赞同这种观点? 请阐述理由.
7.	空间三角形 $ABC$ 的有向面积定义为 ${\mathbf{S}}_{△ABC}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}$. (a) 求证: 对四面体 $OABC$, 有 ${\mathbf{S}}_{△ABC}={\mathbf{S}}_{△OAB}+{\mathbf{S}}_{△OBC}+{\mathbf{S}}_{△OCA}$. (b) 设 ${\mathbf{S}}_1,{\mathbf{S}}_2,{\mathbf{S}}_3,{\mathbf{S}}_4$ 为空间中的 $4$ 个向量, 其中任意 $2$ 个向量均不平行, 并且 ${\mathbf{S}}_1={\mathbf{S}}_2+{\mathbf{S}}_3+{\mathbf{S}}_4$. 是否存在四面体 $OABC$, 使得 ${\mathbf{S}}_{△ABC}={\mathbf{S}}_1$, ${\mathbf{S}}_{△OAB}={\mathbf{S}}_2$, ${\mathbf{S}}_{△OBC}={\mathbf{S}}_3$, ${\mathbf{S}}_{△OCA}={\mathbf{S}}_4$? 证明你的结论.
8.
9.
10.
11.	非 Euclid 几何的产生在数学界引起了极大的震动. 有些数学家认为: 真理应该是具有唯一性的; 如果我们承认 “过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线不相交”, 就不能接受 “过直线外一点有无穷多条直线与已知直线不相交”; 也就是说, 如果 Euclid 几何是真理, 非 Euclid 几何就不是真理. 而另一些数学家认为: 既然我们可以用模型论的方法证明, 如果 Euclid 几何的公理系统是相容的, 则非 Euclid 几何的公理系统也是相容的, 那么 Euclid 几何和非 Euclid 几何都应该看作真理, 只不过它们是 “可选择性” 的真理. 请论述你对此问题的观点和看法.

316 年秋试卷

一、 必做题 (共 55 分)

1.	(12 分) 设 $[O;{\mathbf{e}}_1,{\mathbf{e}}_2,{\mathbf{e}}_3]$ 为空间右手直角坐标系. $A,B,C$ 三点在此坐标系下的坐标分别为 $(2,-1,2),(-2,2,1)$ 和 $(-3,4,1)$, 求: (a) 向量 $\overrightarrow{OA}$ 和 $\overrightarrow{OB}$ 之间的夹角. (b) $△ABC$ 的面积. (c) 四面体 $OABC$ 的体积.
2.	(12 分) 设 $[O;{\mathbf{e}}_1,{\mathbf{e}}_2,{\mathbf{e}}_3]$ 是空间仿射坐标系, $\alpha :A{x}_1+B{x}_2+C{x}_3=1$, $\beta :A{x}_1+B{x}_2+C{x}_3=-1$ 为一对平行平面 ($A,B,C$ 不全为 $0$) , $l:\frac{x_1}{a}=\frac{x_2}{b}=\frac{x_3}{c}$ 为通过 $O$ 点的直线 ($a,b,c$ 不全为 $0$) . (a) 当 $A,B,C,a,b,c$ 满足什么条件时, $l$ 与 $\alpha$ 平行? 证明你的结论. (b) 若 $l$ 与平面 $\alpha ,\beta$ 分别相交于 $A,B$ 两点, 求 $\frac{|OA|}{|OB|}$.
3.	(11 分) 设二次曲线 $\gamma$ 在平面直角坐标系 $[O;{\mathbf{e}}_1,{\mathbf{e}}_2]$ 下的方程为$$x^2+4xy+\lambda y^2-2x-4y+3=0,$$其中 $\lambda$ 为参数. (a) 判断 $\gamma$ 的类型. (b) 当 $\lambda$ 取什么值时, $\gamma$ 为双曲线, 且两条渐近线之间的夹角为 $60^{\circ }$?
4.	(10 分) 设二次曲线 $\Gamma$ 在空间直角坐标系 $[O;{\mathbf{e}}_1,{\mathbf{e}}_2,{\mathbf{e}}_3]$ 下的方程为$$(4-\lambda )x_1^2+(1-2\lambda )x_2^2+(3+\lambda )x_3^2=1,$$其中 $\lambda$ 为参数. (a) 当 $\lambda$ 取什么值时, $\Gamma$ 为旋转曲面? 求转轴和母线的方程. (b) 当 $\lambda$ 取什么值时, $\Gamma$ 为直纹面? 求准线的方程.
5.	(10 分) 设 $\gamma$ 为平面 $\alpha$ 上的单位圆, $\alpha$ 添加一条无穷远直线 $l_{\infty }$ 后得到射影平面 $\bar{\alpha }$. (a) 设仿射变换 $\sigma :\alpha \to \alpha$ 满足 $\sigma (\gamma )=\gamma$, 证明 $\sigma$ 一定是等距变换. (b) 设 $A\in \alpha$ 为 $\gamma$ 外的一个固定点, $\bar{\sigma }:\bar{\alpha }\to \bar{\alpha }$ 为射影变换, 满足 $\bar{\sigma }(\gamma )=\gamma$, $\bar{\sigma }(A)=A$, $\bar{\sigma }$ 是否一定是恒等变换? 如果不一定, 这样的射影变换是有限多个还是无限多个? 证明你的结论.

二、 选做题 (从以下 6 小题中选做 3 题 (第 1 题和第 6 题至多只能选做 1 题), 每题 15 分, 共 45 分)

1.	数学家 M. Klein 说: “从最广泛的意义上说, 数学是一种精神, 一种理性的精神. ” 你是否赞同这种观点? 请阐述理由.
2.	用 Dedekind 分割理论证明: 长为 $a$, 宽为 $b$ 的矩形的面积为单位正方形 (即边长为 $1$ 的正方形) 的面积的 $ab$ 倍.
3.	给定平面上的 $5$ 个点, 过这 $5$ 个点的圆锥曲线是否存在并唯一? 证明你的结论.
4.	设 $l_1$ 和 $l_2$ 是两条相互垂直的异面直线, 与 $l_1$ 和 $l_2$ 的距离之比等于正常数 $k$ 的点的轨迹是否构成一张二次曲面? 如果是, 请判断二次曲面的类型; 如果不是, 请说明理由.
5.	设 $\gamma$ 为射影平面上的一条圆锥曲线, $P$ 位于 $\gamma$ 外部. $l_1,l_2$ 是两条通过 $P$ 的射影直线. $l_i(i=1,2)$ 与 $\gamma$ 交于 $G_i,H_i$ 两点. 设 $A$ 为射影直线 $G_1{G}_2$ 和 $H_1{H}_2$ 的交点, $B$ 为射影直线 $G_1{H}_2$ 和 $G_2{H}_1$ 的交点. 证明: 射影直线 $AB$ 与 $\gamma$ 交于 $C_1,C_2$ 两点, 并且射影直线 $P{C}_1,P{C}_2$ 均与 $\gamma$ 相切.
6.	非 Euclid 几何的产生在数学界引起了极大的震动. 有些数学家认为: 真理应该是具有唯一性的; 如果我们承认 “过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线不相交”, 就不能接受 “过直线外一点有无穷多条直线与已知直线不相交”; 也就是说, 如果 Euclid 几何是真理, 非 Euclid 几何就不是真理. 而另一些数学家认为: 既然我们可以用模型论的方法证明, 如果 Euclid 几何的公理系统是相容的, 则非 Euclid 几何的公理系统也是相容的, 那么 Euclid 几何和非 Euclid 几何都应该看作真理, 只不过它们是 “可选择性” 的真理. 请论述你对此问题的观点和看法.