解析几何试卷

复旦大学数学科学学院
2021 $\sim$ 2022 学年第一学期期末考试试卷
$□$ $A$ 卷

课程名称: $\underline{解析几何}$ 课程代码: $\underline{MATH120010}$
开课院系: $\underline{数学科学学院}$ 考试形式: $\underline{闭卷}$
姓名: 学号: 专业:

提示: 请同学们秉持诚实守信宗旨, 谨守考试纪律, 摒弃考试作弊. 学生如有违反学校考试纪律的行为, 学校将按《复旦大学学生纪律处分条例》规定予以严肃处理.

题目	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$
得分
题目	$7$	$8$	$9$	$10$	$11$	总分
得分

一、必做题 (每题 11 分, 共 55 分)

以下, 如果没有特殊说明, $[O; e_{1}, e_{2}]$ 指平面右手直角坐标系, $[O; e_{1}, e_{2}, e_{3}]$ 指空间右手直角坐标系.

1.

设向量 $a, b, c$ 在坐标系 $[O; e_{1}, e_{2}, e_{3}]$ 下的坐标分别为 $(1, 0, - 2)$ , $(- 1, 2, 2)$ 和 $(3, 4, 0)$ .

(a)	求 $a$ 关于 $b$ 的内射影和外射影的坐标.
(b)	求 $a, b, c$ 的混合积.

2.

设直线 $l_{1} : \frac{x _{1} - 1}{2} = \frac{x _{2} + 1}{1} = \frac{x _{3} - 3}{- 2}$ , $l_{2} : \frac{x _{1} + 1}{3} = \frac{x _{2} - 2}{0} = \frac{x _{3} + 1}{- 4}$ , $P : (- 2, 5, 1)$ .

(a)	求证: 过 $P$ 点存在唯一一条直线 $l$ , 与 $l_{1}, l_{2}$ 均相交.
(b)	求 $l$ 与 $l_{1}$ 的交点的坐标.

3.

设二次曲线 $γ$ 的方程为 $(x + 2 y - 3)^{2} + 2 x - λ y + 4 = 0,$ 其中 $λ$ 为参数.

(a)	判断 $γ$ 的类型.
(b)	若 $γ$ 为抛物线, 求 $γ$ 的对称轴的方向向量.

4.

求证: $Γ$ 是旋转曲面, 当且仅当存在坐标系 $[O; e_{1}, e_{2}, e_{3}]$ , 使得 $Γ$ 在此坐标系下的方程为 $G (x_{1}^{2} + x_{2}^{2}, x_{3}) = 0$ , 其中 $G$ 是定义在半平面 ${(x, y) : x \geq 0}$ 上的二元函数.

5.

求证: 平面上的所有双曲线构成一个仿射等价类.

二、选做题 (从以下 6 小题中选做 3 题 (第 6 题和第 11 题至多只能选做 1 题), 每题 15 分, 共 45 分)

6.

数学家 M. Klein 说: “数学是一种理性的精神, 使人类的思维得以运用到最完善的程度. ” 你认同他关于数学本质的观点吗? 请论述理由.

7.

求证:

(a)	四面体的任三个面的面积之和大于第四个面的面积.
(b)	设 $S_{1}, S_{2}, S_{3}, S_{4}$ 是四个正数, 任意三个数之和大于第四个数, 则存在四面体, 使得它的四个面的面积分别为 $S_{1}, S_{2}, S_{3}, S_{4}$ .

8.

已知单叶双曲面 $Γ : \frac{x _{1}^{2}}{a ^{2}} + \frac{x _{2}^{2}}{b ^{2}} - \frac{x _{3}^{2}}{c ^{2}} = 1$ , 其中 $a > b > c > 0$ .

(a)	$Γ$ 与平面的交线是什么类型的二次曲线? 证明你的结论.
(b)	设 $α$ 是通过原点的平面, $Γ$ 与 $α$ 的交线是一个圆, 求 $α$ 的法向量.

9.

$P$ 点在 $△ A BC$ 内部. 当 $P$ 满足什么条件时, 存在平面上的仿射变换 $σ$ , 使得 $P^{'}$ 是 $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ 的内心? 这里 $A^{'} = σ (A), B^{'} = σ (B), C^{'} = σ (C), P^{'} = σ (P)$ .

10.

给定平面上的 $4$ 个点, 当这 $4$ 个点满足什么条件时, 存在通过这 $4$ 个点的抛物线? 这样的抛物线是否唯一? 证明你的结论.

11.

非 Euclid 几何的产生在数学界引起了极大的震动. 有些数学家认为: 真理应该是具有唯一性的; 如果我们承认 “过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线不相交”, 就不能接受 “过直线外一点有无穷多条直线与已知直线不相交”; 也就是说, 如果 Euclid 几何是真理, 非 Euclid 几何就不是真理. 而另一些数学家认为: 既然我们可以用模型论的方法证明, 如果 Euclid 几何的公理系统是相容的, 则非 Euclid 几何的公理系统也是相容的, 那么 Euclid 几何和非 Euclid 几何都应该看作真理, 只不过它们是 “可选择性” 的真理. 请论述你对此问题的观点和看法.

复旦大学数学科学学院
2020 $\sim$ 2021 学年第一学期期末考试试卷
$□$ $A$ 卷

课程名称: $\underline{解析几何}$ 课程代码: $\underline{MATH120010}$
开课院系: $\underline{数学科学学院}$ 考试形式: $\underline{闭卷}$
姓名: 学号: 专业:

提示: 请同学们秉持诚实守信宗旨, 谨守考试纪律, 摒弃考试作弊. 学生如有违反学校考试纪律的行为, 学校将按《复旦大学学生纪律处分条例》规定予以严肃处理.

题目	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$
得分
题目	$7$	$8$	$9$	$10$	$11$	总分
得分

一、必做题 (共 55 分)

1.

(10 分) 设向量 $a, b$ 在空间右手直角坐标系 $[O; e_{1}, e_{2}, e_{3}]$ 下的坐标分别为 $(1, 2, 2)$ 和 $(2, - 1, - 2)$ , 向量 $c$ 的长度为 $5$ , 与 $a, b$ 的夹角分别为 $arccos (- 1/3)$ 和 $arccos (2/3)$ , 求 $(a \times b) \times c$ .

2.

(10 分) 设直线 $l$ 在空间右手直角坐标系 $[O; e_{1}, e_{2}, e_{3}]$ 下的普通方程为 ${3 x_{1} + x_{2} - x_{3} x_{1} - 2 x_{2} + 2 x_{3} = 4 = - 1$ 平面 $α$ 的普通方程为 $λ x_{2} + x_{3} = - 2$ (其中 $λ$ 为参数) . 则当 $λ$ 取何值时, $l$ 与 $α$ 平行? 并求出 $l$ 与 $α$ 之间的距离.

3.

(14 分) 设二次曲线 $γ$ 在平面直角坐标系 $[O; e_{1}, e_{2}]$ 下的方程为 $(x - y)^{2} + x + λ y - 1 = 0,$ 其中 $λ$ 为参数.

(a)	判断 $γ$ 的类型;
(b)	当 $λ = 2$ 时, 求 $γ$ 的对称轴的方程.

4.

(9 分) 给定双曲抛物面 $Γ$ , 是否存在 $Γ$ 的 $3$ 条直母线均与某一平面平行? 如果存在, 平面的法向量是什么? 证明你的结论.

5.

(12 分) 设 $A, B, C, D$ 为平面上某一梯形的 $4$ 个顶点, 记 $G = {σ 为平面上的仿射变换 : {σ (A), σ (B), σ (C), σ (D)} = {A, B, C, D}} .$

(a)	求证: $G$ 是一个群;
(b)	求 $G$ 中的元素个数.

二、选做题 (从以下 6 小题中选做 3 题 (第 6 题和第 11 题至多只能选做 1 题), 每题 15 分, 共 45 分)

6.

古希腊思想家 Plato 说: “哲学家也要学数学, 因为他必须跳出浩如烟海的万变现象而抓住真正的实质, 又因为这是使灵魂过渡到真理和永存的捷径. ” ¹你是否赞同这种观点? 请阐述理由.

1.

^ 上传者注: 这并非 Plato 的原话, 最为接近的是其在《理想国》第七卷的以下论述: (Plato, Rep. VII.525b-c; Cf. The Republic of Plato, trans. by Allan Bloom, Basic Books, 1991, p.204)
(It’s necessary) for a philosopher (to learn the arts of calculation and number) because he must rise up out of becoming and take hold of being or else never become skilled at calculating. $\dots$ (Then it would be fitting) to persuade those who are going to participate in the greatest things in the city to go to calculation and to take it up $\dots$ to stay with it until they come to the contemplation of the nature of numbers with intellection itself, $\dots$ for ease of turning the soul itself around from becoming to truth and being.

7.

空间三角形 $A BC$ 的有向面积定义为 $S_{△ A BC} = \frac{1}{2} A B \times A C$ .

(a)	求证: 对四面体 $O A BC$ , 有 $S_{△ A BC} = S_{△ O A B} + S_{△ OBC} + S_{△ OC A}$ .
(b)	设 $S_{1}, S_{2}, S_{3}, S_{4}$ 为空间中的 $4$ 个向量, 其中任意 $2$ 个向量均不平行, 并且 $S_{1} = S_{2} + S_{3} + S_{4}$ . 是否存在四面体 $O A BC$ , 使得 $S_{△ A BC} = S_{1}$ , $S_{△ O A B} = S_{2}$ , $S_{△ OBC} = S_{3}$ , $S_{△ OC A} = S_{4}$ ? 证明你的结论.

8.

椭球面 $\frac{x _{1}^{2}}{a ^{2}} + \frac{x _{2}^{2}}{b ^{2}} + \frac{x _{3}^{2}}{c ^{2}} = 1 (0 < a < b < c)$ 的外切柱面 $Γ$ 为圆柱面, 求 $Γ$ 的直母线的方向向量和半径.

9.

过平面上处于一般位置的 $5$ 个点 (也就是说, 其中任意 $3$ 个点都不共线) 的圆锥曲线是否唯一存在? 证明你的结论.

10.

设 $A BC D$ 是圆内接四边形, 射影直线 $A B$ 与 $C D$ 交于 $E$ 点, 射影直线 $A D$ 与 $BC$ 交于 $F$ 点, 过 $A$ 的切线与过 $C$ 的切线交于 $G$ 点. 求证: $E, F, G$ 在一条射影直线上, 并且这条射影直线与圆相离.

11.

非 Euclid 几何的产生在数学界引起了极大的震动. 有些数学家认为: 真理应该是具有唯一性的; 如果我们承认 “过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线不相交”, 就不能接受 “过直线外一点有无穷多条直线与已知直线不相交”; 也就是说, 如果 Euclid 几何是真理, 非 Euclid 几何就不是真理. 而另一些数学家认为: 既然我们可以用模型论的方法证明, 如果 Euclid 几何的公理系统是相容的, 则非 Euclid 几何的公理系统也是相容的, 那么 Euclid 几何和非 Euclid 几何都应该看作真理, 只不过它们是 “可选择性” 的真理. 请论述你对此问题的观点和看法.

复旦大学数学科学学院
2016 $\sim$ 2017 学年第一学期期末考试试卷
$□$ $A$ 卷

课程名称: $\underline{解析几何}$ 课程代码: $\underline{MATH120010}$
开课院系: $\underline{数学科学学院}$ 考试形式: $\underline{闭卷}$
姓名: 学号: 专业:

题目	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$	$8$	总分
得分

一、必做题 (共 55 分)

1.

(12 分) 设 $[O; e_{1}, e_{2}, e_{3}]$ 为空间右手直角坐标系. $A, B, C$ 三点在此坐标系下的坐标分别为 $(2, - 1, 2), (- 2, 2, 1)$ 和 $(- 3, 4, 1)$ , 求:

(a)	向量 $O A$ 和 $OB$ 之间的夹角.
(b)	$△ A BC$ 的面积.
(c)	四面体 $O A BC$ 的体积.

2.

(12 分) 设 $[O; e_{1}, e_{2}, e_{3}]$ 是空间仿射坐标系, $α : A x_{1} + B x_{2} + C x_{3} = 1$ , $β : A x_{1} + B x_{2} + C x_{3} = - 1$ 为一对平行平面 ( $A, B, C$ 不全为 $0$ ) , $l : \frac{x _{1}}{a} = \frac{x _{2}}{b} = \frac{x _{3}}{c}$ 为通过 $O$ 点的直线 ( $a, b, c$ 不全为 $0$ ) .

(a)	当 $A, B, C, a, b, c$ 满足什么条件时, $l$ 与 $α$ 平行? 证明你的结论.
(b)	若 $l$ 与平面 $α, β$ 分别相交于 $A, B$ 两点, 求 $\frac{∣ O A ∣}{∣ OB ∣}$ .

3.

(11 分) 设二次曲线 $γ$ 在平面直角坐标系 $[O; e_{1}, e_{2}]$ 下的方程为 $x^{2} + 4 x y + λ y^{2} - 2 x - 4 y + 3 = 0,$ 其中 $λ$ 为参数.

(a)	判断 $γ$ 的类型.
(b)	当 $λ$ 取什么值时, $γ$ 为双曲线, 且两条渐近线之间的夹角为 $6 0^{\circ}$ ?

4.

(10 分) 设二次曲线 $Γ$ 在空间直角坐标系 $[O; e_{1}, e_{2}, e_{3}]$ 下的方程为 $(4 - λ) x_{1}^{2} + (1 - 2 λ) x_{2}^{2} + (3 + λ) x_{3}^{2} = 1,$ 其中 $λ$ 为参数.

(a)	当 $λ$ 取什么值时, $Γ$ 为旋转曲面? 求转轴和母线的方程.
(b)	当 $λ$ 取什么值时, $Γ$ 为直纹面? 求准线的方程.

5.

(10 分) 设 $γ$ 为平面 $α$ 上的单位圆, $α$ 添加一条无穷远直线 $l_{\infty}$ 后得到射影平面 $\overset{α}{ˉ}$ .

(a)	设仿射变换 $σ : α \to α$ 满足 $σ (γ) = γ$ , 证明 $σ$ 一定是等距变换.
(b)	设 $A \in α$ 为 $γ$ 外的一个固定点, $\overset{σ}{ˉ} : \overset{α}{ˉ} \to \overset{α}{ˉ}$ 为射影变换, 满足 $\overset{σ}{ˉ} (γ) = γ$ , $\overset{σ}{ˉ} (A) = A$ , $\overset{σ}{ˉ}$ 是否一定是恒等变换? 如果不一定, 这样的射影变换是有限多个还是无限多个? 证明你的结论.

二、选做题 (从以下 6 小题中选做 3 题 (第 1 题和第 6 题至多只能选做 1 题), 每题 15 分, 共 45 分)

1.	数学家 M. Klein 说: “从最广泛的意义上说, 数学是一种精神, 一种理性的精神. ” 你是否赞同这种观点? 请阐述理由.
2.	用 Dedekind 分割理论证明: 长为 $a$ , 宽为 $b$ 的矩形的面积为单位正方形 (即边长为 $1$ 的正方形) 的面积的 $ab$ 倍.
3.	给定平面上的 $5$ 个点, 过这 $5$ 个点的圆锥曲线是否存在并唯一? 证明你的结论.
4.	设 $l_{1}$ 和 $l_{2}$ 是两条相互垂直的异面直线, 与 $l_{1}$ 和 $l_{2}$ 的距离之比等于正常数 $k$ 的点的轨迹是否构成一张二次曲面? 如果是, 请判断二次曲面的类型; 如果不是, 请说明理由.
5.	设 $γ$ 为射影平面上的一条圆锥曲线, $P$ 位于 $γ$ 外部. $l_{1}, l_{2}$ 是两条通过 $P$ 的射影直线. $l_{i} (i = 1, 2)$ 与 $γ$ 交于 $G_{i}, H_{i}$ 两点. 设 $A$ 为射影直线 $G_{1} G_{2}$ 和 $H_{1} H_{2}$ 的交点, $B$ 为射影直线 $G_{1} H_{2}$ 和 $G_{2} H_{1}$ 的交点. 证明: 射影直线 $A B$ 与 $γ$ 交于 $C_{1}, C_{2}$ 两点, 并且射影直线 $P C_{1}, P C_{2}$ 均与 $γ$ 相切.
6.	非 Euclid 几何的产生在数学界引起了极大的震动. 有些数学家认为: 真理应该是具有唯一性的; 如果我们承认 “过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线不相交”, 就不能接受 “过直线外一点有无穷多条直线与已知直线不相交”; 也就是说, 如果 Euclid 几何是真理, 非 Euclid 几何就不是真理. 而另一些数学家认为: 既然我们可以用模型论的方法证明, 如果 Euclid 几何的公理系统是相容的, 则非 Euclid 几何的公理系统也是相容的, 那么 Euclid 几何和非 Euclid 几何都应该看作真理, 只不过它们是 “可选择性” 的真理. 请论述你对此问题的观点和看法.

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