用户: Solution/ 试卷: 解析数论

12024-2025 学年秋解析数论期末试题 (石荣刚)

1.	(20 分) 考虑函数 $f(x,y)=x^{2}y$, 求证对于任何 ${\mathbb{R}}^2$ 的格 $\Lambda$, 都有 $\underset{(x,y)\in \Lambda \backslash \{0\}}{\inf }|f(x,y)|=0$.
2.	(20 分) 求证: 对于任何 $ϵ>0$, 方程 $q|q\frac{1+\sqrt{5}}{2}+p|\le \frac{1}{\sqrt{5}+ϵ}$ 都至多只有有限组解 $(p,q)\in \mathbb{Z}\times \mathbb{N}$.
3.	(20 分) 设 $k$ 是一个数域,$[k:\mathbb{Q}]=n+1\ge 2$, 且 $\{1,{\theta }_1,\cdots ,{\theta }_n\}$ 是 $k$ 的一组 $\mathbb{Q}$-基, 那么向量 $({\theta }_1,\cdots ,{\theta }_n{)}^{tr}$ 是劣态逼近的, i.e. $\exists c>0,s.t.\forall q\in \mathbb{N},p_1\cdots ,p_n\in \mathbb{Z}$, 有: $$|q{|}^{\frac{1}{n}}\cdot \max \{|q{\theta }_1+p_1|,\cdots ,|q{\theta }_n+p_n|\}\ge c.$$
4.	(20 分) 记 $\theta (x)=\sum _{p\le x}\log p,\pi (x)=\sum _{p\le x}1$, 其中 $p$ 为素数. 求证: $\theta (x)\sim x$ 当且仅当 $\pi (x)\sim \frac{x}{\log x}$, 其中 $\theta (x)\sim x$ 指 $\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{\theta (x)}{x}=1$.
5.	(20 分) 设 $g\in {\text{SL}}_n(\mathbb{R})$, 考虑 $n$ 个线性型的乘积 $L_g$, 令 $N(L_g)=\underset{x\in {\mathbb{Z}}^n\backslash 0}{\inf }|L_g(x)|$,${\kappa }_n=\underset{g\in {\text{SL}}_n(\mathbb{R})}{\inf }N(L_g{)}^{-1}$, 证明: (1) ${\kappa }_n\le \inf \{d_k^{\frac{1}{2}}|[k:\mathbb{Q}]=n,k\text{为完全实域}\}$. (2) 存在某 $g\in {\text{SL}}_n(\mathbb{R})$ 使得 ${\kappa }_n=N(L_g{)}^{-1}$.